Geometrijski prikaz racionalnih brojeva. Skup realnih brojeva. Operacije na skupovima. Redovi. Brojne serije
Postoje sljedeći oblici kompleksnih brojeva: algebarski(x+iy), trigonometrijski(r(cos+isin )), indikativno(re i ).
Bilo koji kompleksni broj z=x+iy može se predstaviti na XOU ravni kao tačka A(x,y).
Ravan na kojoj su prikazani kompleksni brojevi naziva se ravan kompleksne varijable z (na ravan stavljamo simbol z).
Osa OX je realna osa, tj. sadrži realne brojeve. OU je imaginarna osa sa imaginarnim brojevima.
x+iy- algebarski oblik pisanja kompleksnog broja.
Izvedemo trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja.
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u početni oblik: , tj.
r(cos+isin) - trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja.
Eksponencijalni oblik pisanja kompleksnog broja slijedi iz Eulerove formule:
,Onda
z= re i - eksponencijalni oblik pisanja kompleksnog broja.
Operacije nad kompleksnim brojevima.
1. dodatak. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . oduzimanje. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. množenje. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. divizije. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Dva kompleksna broja koja se razlikuju samo po predznaku imaginarne jedinice, tj. z=x+iy (z=x-iy) se nazivaju konjugati.
Posao.
z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).
Taj proizvod z1*z2 kompleksnih brojeva nalazi se: , tj. modul proizvoda je jednak proizvodu modula, a argument proizvoda jednak je zbiru argumenata faktora.
;
;
Privatno.
Ako su kompleksni brojevi dati u trigonometrijskom obliku.
Ako su kompleksni brojevi dati u eksponencijalnom obliku.
Eksponencijacija.
1. Složeni broj dat u algebarski formu.
z=x+iy, tada se z n nalazi pomoću Newtonova binomna formula:
- broj kombinacija od n elemenata od m (broj načina na koje se n elemenata iz m može uzeti).
;
.
n!=1*2*…*n; 0!=1;
Prijavite se za kompleksne brojeve.
U rezultirajućem izrazu, trebate zamijeniti stepene i njihovim vrijednostima:
i 0 =1 Dakle, u opštem slučaju dobijamo: i 4k =1
i 1 =i i 4k+1 =i
i 2 =-1 i 4k+2 =-1
i 3 =-i i 4k+3 =-i.
Primjer
i 31 = i 28 i 3 =-i
2. i 1063 = i 1062 i=i formu.
trigonometrijski +isin z=r(cos
- ), To.
Moivreova formula
3. Ovdje n može biti “+” ili “-” (cijeli broj). indikativno oblik:
Ekstrakcija korijena.
Razmotrimo jednačinu:
.
Njegovo rješenje bit će n-ti korijen kompleksnog broja z:
.
N-ti korijen kompleksnog broja z ima tačno n rješenja (vrijednosti). N-ti korijen realnog broja ima samo jedno rješenje. U složenim postoji n rješenja.
Ako je dat kompleksan broj i 1063 = i 1062 i=i oblik:
trigonometrijski +isin ), tada se n-ti korijen od z nalazi po formuli:
, gdje je k=0,1…n-1.
Redovi. Brojne serije.
Neka promenljiva a uzima sekvencijalno vrednosti a 1, a 2, a 3,…, a n. Takav prenumerirani skup brojeva naziva se niz. To je beskrajno.
Brojevni niz je izraz a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= . Brojevi a 1, a 2, a 3,... i n su članovi niza.
Na primjer.
i 1 je prvi član serije.
i n je n-ti ili uobičajeni član serije.
Smatra se da je niz dat ako je poznat n-ti (uobičajeni pojam serije).
Brojevni niz ima beskonačan broj pojmova.
Brojači – aritmetička progresija (1,3,5,7…).
N-ti član se nalazi po formuli a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .
imenilac – geometrijska progresija. b n =b 1 q n-1 ;
.
Razmotrimo zbir prvih n članova niza i označimo ga Sn.
Sn=a1+a2+…+a n.
Sn je n-ti parcijalni zbir niza.
Uzmite u obzir ograničenje:
S je zbir niza.
Red konvergentan , ako je ova granica konačna (postoji konačna granica S).
Red divergentan , ako je ova granica beskonačna.
U budućnosti, naš zadatak je sljedeći: ustanoviti koji red.
Jedna od najjednostavnijih, ali najčešćih serija je geometrijska progresija.
, C=konst.
Geometrijska progresija jekonvergentan
blizu, Ako
, i divergentno ako
.
Također pronađeno harmonične serije(red
). Ovaj red divergentan
.
Geometrijski realni brojevi, kao i racionalni brojevi, predstavljeni su tačkama na pravoj.
Neka l je proizvoljna prava linija, a O neke od njenih tačaka (slika 58). Svaki pozitivan realan broj α pridružimo tačku A, koja leži desno od O na udaljenosti od α jedinice dužine.
ako npr. α = 2,1356..., dakle
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
itd. Očigledno, tačka A u ovom slučaju mora biti na pravoj liniji l desno od tačaka koje odgovaraju brojevima
2; 2,1; 2,13; ... ,
ali lijevo od tačaka koje odgovaraju brojevima
3; 2,2; 2,14; ... .
Može se pokazati da se ovi uslovi definiraju na pravoj liniji l jedina tačka A, koju smatramo geometrijskom slikom realnog broja α = 2,1356... .
Isto tako, za svaki negativan realan broj β pridružimo tačku B koja leži lijevo od O na udaljenosti od | β | jedinice dužine. Konačno, broj "nula" povezujemo sa tačkom O.
Dakle, broj 1 će biti prikazan na pravoj liniji l tačka A, koja se nalazi desno od O na udaljenosti od jedne jedinice dužine (slika 59), broj - √2 - do tačke B, koja se nalazi levo od O na udaljenosti od √2 jedinice dužine, itd. .
Hajde da pokažemo kako na pravoj liniji l pomoću šestara i ravnala možete pronaći tačke koje odgovaraju realnim brojevima √2, √3, √4, √5, itd. Da bismo to uradili, prvo ćemo pokazati kako možete konstruisati segmente čije su dužine izražene po ovim brojevima. Neka je AB odsječak uzet kao jedinica dužine (slika 60).
U tački A konstruišemo okomitu na ovaj segment i na nju iscrtamo segment AC jednak segmentu AB. Zatim, primjenom Pitagorine teoreme na pravougli trokut ABC, dobijamo; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2
Dakle, segment BC ima dužinu √2. Sada konstruirajmo okomicu na segment BC u tački C i na njoj izaberimo tačku D tako da je segment CD jednak jednoj jedinici dužine AB. Tada iz pravouglog trougla BCD nalazimo:
VD = √VC 2 + SD 2 = √2+1 = √3
Dakle, segment BD ima dužinu √3. Nastavljajući dalje opisani proces, mogli bismo dobiti segmente BE, BF, ... čije su dužine izražene brojevima √4, √5, itd.
Sada na pravoj liniji l lako je pronaći one tačke koje služe kao geometrijski prikaz brojeva √2, √3, √4, √5, itd.
Iscrtavanjem, na primer, segmenta BC desno od tačke O (slika 61), dobijamo tačku C, koja služi kao geometrijska slika broja √2. Na isti način, stavljanjem segmenta BD desno od tačke O, dobijamo tačku D", koja je geometrijska slika broja √3, itd.
Međutim, ne treba misliti da koristite šestar i ravnalo na brojevnoj liniji l može se naći tačka koja odgovara bilo kojem realnom broju. Dokazano je, na primjer, da je, ako imate samo šestar i ravnalo na raspolaganju, nemoguće konstruisati segment čija se dužina izražava brojem π = 3,14... . Dakle, na brojevnoj pravoj l uz pomoć ovakvih konstrukcija nemoguće je naznačiti tačku koja odgovara ovom broju. Ipak, takva tačka postoji.
Dakle, za svaki realan broj α moguće je povezati neku dobro definisanu tačku sa pravom linijom l . Ova tačka će biti na udaljenosti od | α | jedinice dužine i biti desno od O if α > 0, a lijevo od O, ako α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . U stvari, neka broj α tačka A odgovara, a broj β - tačka B. Onda, ako α > β , tada će A biti desno od B (slika 62, a); ako α < β , tada će A ležati lijevo od B (slika 62, b).
Govoreći u § 37 o geometrijskoj slici racionalnih brojeva, postavili smo pitanje: može li se bilo koja tačka na pravoj smatrati geometrijskom slikom nekog racionalno brojevi? Tada nismo mogli odgovoriti na ovo pitanje; Sada možemo sasvim sigurno odgovoriti. Na pravoj postoje tačke koje služe kao geometrijski prikaz iracionalnih brojeva (na primjer, √2). Stoga, ne predstavlja svaka tačka na pravoj racionalan broj. Ali u ovom slučaju postavlja se još jedno pitanje: može li se bilo koja tačka na brojevnoj pravoj smatrati geometrijskom slikom neke validan brojevi? Ovo pitanje je već pozitivno riješeno.
Zaista, neka je A proizvoljna tačka na pravoj l , koji leži desno od O (Sl. 63).
Dužina segmenta OA je izražena nekim pozitivnim realnim brojem α (vidi § 41). Dakle, tačka A je geometrijska slika broja α . Slično je utvrđeno da se svaka tačka B koja leži lijevo od O može smatrati geometrijskom slikom negativnog realnog broja - β , Gdje β - dužina segmenta VO. Konačno, tačka O služi kao geometrijski prikaz broja nula. Jasno je da su dvije različite tačke na pravoj l ne može biti geometrijska slika istog realnog broja.
Iz gore navedenih razloga, prava linija na kojoj je određena tačka O označena kao „početna“ tačka (za datu jedinicu dužine) naziva se brojevnu liniju.
Zaključak. Skup svih realnih brojeva i skup svih tačaka brojevne prave su u korespondenciji jedan prema jedan.
To znači da svakom realnom broju odgovara jedna, dobro definisana tačka na brojevnoj pravoj, i obrnuto, svakoj tački na brojevnoj pravoj, sa takvom korespondencijom, odgovara jedan, dobro definisan realan broj.
Ekspresivan geometrijski prikaz sistema racionalnih brojeva može se dobiti na sledeći način.
Rice. 8. Broj osa
Na određenoj pravoj liniji, „brojanoj osi“, označavamo segment od 0 do 1 (slika 8). Ovo postavlja dužinu jediničnog segmenta, koji se, općenito govoreći, može proizvoljno birati. Pozitivni i negativni cijeli brojevi su tada prikazani skupom jednako raspoređenih tačaka na brojevnoj osi, naime, pozitivni brojevi su označeni desno, a negativni brojevi lijevo od tačke 0. Da bismo prikazali brojeve sa nazivnikom, podijelimo svaki od rezultirajući segmenti jedinične dužine na jednake dijelove; podjele će predstavljati razlomke sa nazivnikom. Ako to učinimo za vrijednosti koje odgovaraju svim prirodnim brojevima, onda će svaki racionalni broj biti prikazan nekom tačkom na brojevnoj osi. Složićemo se da ove tačke nazovemo „racionalnim“; Općenito ćemo koristiti pojmove “racionalni broj” i “racionalna tačka” kao sinonime.
U poglavlju I, § 1, definisan je odnos nejednakosti za prirodne brojeve. Na brojevnoj osi ovaj odnos se odražava na sljedeći način: ako je prirodni broj A manji od prirodnog broja B, tada tačka A leži lijevo od tačke B. Pošto je naznačeni geometrijski odnos uspostavljen za bilo koji par racionalnih tačaka, prirodno je pokušati generalizirati odnos aritmetičke nejednakosti na ovaj način, kako bi se održao ovaj geometrijski red za tačke o kojima je riječ. Ovo je moguće ako prihvatimo sljedeću definiciju: kažemo da je racionalni broj A manji od racionalnog broja ili da je broj B veći od broja ako je razlika pozitivna. Iz toga slijedi (na ) da su tačke (brojevi) između one koje
istovremeno Svaki takav par tačaka, zajedno sa svim tačkama između njih, naziva se segment (ili segment) i označava se (a sam skup međutačaka naziva se interval (ili interval), označen
Udaljenost proizvoljne tačke A od početka 0, koja se smatra pozitivnim brojem, naziva se apsolutna vrijednost A i označava se simbolom
Koncept "apsolutne vrijednosti" definiran je na sljedeći način: ako , onda ako onda Jasno je da ako brojevi imaju isti predznak, onda je jednakost istinita ako imaju različiti znakovi, To . Stavljajući ova dva rezultata zajedno dolazimo do opšte nejednakosti
što je tačno bez obzira na znakove
Činjenica od fundamentalne važnosti izražena je sljedećom rečenicom: racionalne tačke su gusto smještene svuda na brojevnoj pravoj. Značenje ove izjave je da svaki interval, ma koliko mali, sadrži racionalne tačke. Da bismo potvrdili ispravnost navedene tvrdnje, dovoljno je uzeti broj toliko velik da će interval ( biti manji od datog intervala; tada će barem jedna od tačaka forme biti unutar datog intervala. Dakle, postoji nije takav interval na brojevnoj osi (čak i najmanji, zamisliv), unutar kojeg ne bi bilo racionalnih tačaka konačan broj racionalnih tačaka, onda unutar intervala formiranog od dve susedne takve tačke, više ne bi bilo racionalnih tačaka, a to je u suprotnosti sa onim što je upravo dokazano.
ULAZNICA 1
Racionalno brojevi – brojevi zapisani u obliku p/q, gdje je q prirodan broj. broj, a p je cijeli broj.
Dva broja a=p1/q1 i b=p2/q2 nazivaju se jednakima ako je p1q2=p2q1, i p2q1 i a>b ako je p1q2
ULAZNICA 2
Kompleksni brojevi. Kompleksni brojevi
Algebarska jednadžba je jednadžba oblika: P n ( x) = 0, gdje je P n ( x) - polinom n- o stepen. Par realnih brojeva x I at Nazovimo ga uređenim ako je naznačeno koji se od njih smatra prvim, a koji drugim. Oznaka poredanog para: ( x, y). Kompleksni broj je proizvoljan uređen par realnih brojeva. z = (x, y)-kompleksni broj.
x-pravi deo z, y-imaginarni dio z. Ako x= 0 i y= 0, onda z= 0. Uzmimo z 1 = (x 1 , y 1) i z 2 = (x 2 , y 2).
Definicija 1. z 1 = z 2 ako je x 1 = x 2 i y 1 = y 2.
Koncepti > i< для комплексных чисел не вводятся.
Geometrijski prikaz i trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(slika)
r se naziva modulom kompleksnog broja z.
j se naziva argument kompleksnog broja z. Određuje se sa tačnošću od ± 2p n.
X= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r(cosj + i sinj) je trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.
Izjava 3.
= (cos + i grijeh),
= (cos + i greh), onda
= (cos( + ) + i sin( + )),
= (cos(-)+ i sin( - )) na ¹0.
Izjava 4.
Ako z=r(cosj+ i sinj), zatim "prirodna n:
= (cos nj + i grijeh nj),
ULAZNICA 3
Neka X- numerički skup koji sadrži najmanje jedan broj (neprazan skup).
xÎ X- x sadržano u X. ; xÏ X- x ne pripada X.
Definicija: Mnogi X naziva se ograničenim odozgo (ispod) ako postoji broj M(m) takav da za bilo koji x Î X važi nejednakost x £ M (x ³ m), dok je broj M naziva se gornja (donja) granica skupa X. Mnogi X se kaže da je ograničen iznad ako je $ M, " x Î X: x £ M. Definicija neograničen set odozgo. Mnogi X kaže se da je neograničeno odozgo ako " M $ x Î X: x> M. Definicija mnogi X se naziva ograničenim ako je omeđen odozgo i odozdo, odnosno $ M, m takav da " x Î X: m £ x £ M. Ekvivalentna definicija ogre mn-va: Set X naziva se ograničenim ako $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Definicija: Najmanja gornja granica skupa ograničenog odozgo X naziva se njegov supremum, a označava se Sup X
(supremum). =Sup X. Slično, može se tačno odrediti
donja ivica. Ekvivalentno definicija tačna gornja granica:
Broj se naziva supremum skupa X, Ako: 1) " x Î X: X£ (ovaj uslov pokazuje da je to jedna od gornjih granica). 2) " < $ x Î X: X> (ovaj uslov pokazuje da -
najmanja gornja strana).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) je tačna donja granica. Postavimo pitanje: da li svaki ograničeni skup ima tačne rubove?
primjer: X= {x: x>0) nema najmanji broj.
Teorema o postojanju egzaktnog gornjeg (donjeg) lica. Bilo koja neprazna gornja (donja) granica xÎR ima tačno gornje (donje) lice.
Teorema o odvojivosti brojevnih množina:▀▀▄
ULAZNICA 4
Ako je svakom prirodnom broju n (n=1,2,3..) dodeljen odgovarajući broj Xn, onda kažu da je on definisan i dat podsekvenca x1, x2..., napišite (Xn), (Xn) Primjer: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Naziv granice. odozgo (odozdo) ako je skup tačaka x=x1,x2,…xn koje leže na numeričkoj osi ograničen odozgo (odozdo), tj. $C:Xn£C" Ograničenje redoslijeda: broj a se naziva granicom niza ako je za bilo koje ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nejednakosti |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
at n>N.
Jedinstvenost granice ograničen i konvergentan niz
Svojstvo 1: Konvergentni niz ima samo jedno ograničenje.
Dokaz: kontradiktorno neka A I b granice konvergentnog niza (x n), a a nije jednako b. razmotrimo infinitezimalne nizove (α n )=(x n -a) i (β n )=(x n -b). Jer svi elementi b.m. nizovi (α n -β n ) imaju istu vrijednost b-a, tada po svojstvu b.m. nizovi b-a=0 tj. b=a i došli smo do kontradikcije.
Svojstvo 2: Konvergentni niz je ograničen.
Dokaz: Neka je a granica konvergentnog niza (x n), tada je α n =x n -a element b.m. sekvence. Uzmimo bilo koji ε>0 i koristimo ga da pronađemo N ε: / x n -a/< ε при n>N ε . Označimo sa b najveći od brojeva ε+/a/, /h1/, /h2/,…,/h N ε-1 /,h N ε. Očigledno je da / x n /
Napomena: ograničeni niz možda neće biti konvergentan.
ULAZNICA 6
Niz a n naziva se beskonačno mali, što znači da je granica ovog niza nakon 0.
a n – infinitezimalno Û lim(n ® + ¥)a n =0, odnosno za bilo koje ε>0 postoji N tako da je za bilo koje n>N |a n |<ε
Teorema. Zbir infinitezimalnog je beskonačno mali.
a n b n ®infinitezimalno Þ a n +b n – beskonačno malo.
Dokaz.
a n - infinitezimalno Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - infinitezimalno Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Postavimo N=max(N 1 ,N 2 ), tada su za bilo koje n>N Þ obe nejednakosti istovremeno zadovoljene:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Postavimo "ε 1 >0, postavimo ε=ε 1 /2. Tada za bilo koje ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
je a n + b n – infinitezimalno.
Teorema Umnožak infinitezimalnog je beskonačno mali.
a n ,b n – beskonačno malo Þ a n b n – infinitezimalno.
Dokaz:
Postavimo "ε 1 >0, stavimo ε=Öε 1, pošto su a n i b n beskonačno mali za ovo ε>0, onda postoji N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Uzmimo N=max (N 1 ;N 2 ), tada je "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – infinitezimalno, što je trebalo dokazati.
Teorema Proizvod ograničenog niza i infinitezimalnog niza je beskonačno mali niz
i n je ograničen niz
a n – beskonačno mali niz Þ a n a n – beskonačno mali niz.
Dokaz: Pošto je n ograničen Û $S>0: "nO NÞ |a n |£C
Postavimo "ε 1 >0; stavimo ε=ε 1 /C; pošto je n infinitezimalno, onda je ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – infinitezimalno Slijed se zove BBP(u nizu) ako pišu. Očigledno, BBP nije ograničen. Suprotna izjava je općenito lažna (primjer). Ako za velike nčlanova, onda napišite ovo znači da čim. Slično se određuje i značenje unosa Beskonačno velike sekvence a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Definicija(beskonačno velike sekvence) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, ako je "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε gdje je ε proizvoljno malo. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, ako je "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε ULAZNICA 7 Teorema “O konvergenciji monotone. zadnji" Svaki monotoni niz je konvergentan, tj. ima granice. Dokument Neka je niz (xn) monotono rastući. i ograničen je odozgo. X – cijeli skup brojeva koji prihvata element ovog niza prema konvenciji. Broj teorema je ograničen, prema tome, prema Teorema ima konačnu tačnu gornju granicu. lice supX xn®supX (supX označavamo sa x*). Jer x* tačan vrh. lice, onda xn£x* " n. " e >0 izvan živca $ xm (neka je m n sa poklopcem): xm>x*-e sa " n>m => iz naznačene 2 nejednačine dobijamo druga nejednakost x*-e£xn£x*+e za n>m je ekvivalentna ½xn-x*1 ULAZNICA 8 Eksponent ili broj e R-rimski broj niz sa zajedničkim pojmom xn=(1+1/n)^n (na stepen n)(1) . Ispada da se niz (1) monotono povećava, ograničen je odozgo i konvergentan je granica ovog niza naziva se eksponencijalom i označava se simbolom e»2.7128... Broj e ULAZNICA 9 Princip ugniježđenih segmenata Neka je brojevnoj pravoj dat niz segmenata ,,...,,... Štaviše, ovi segmenti zadovoljavaju sljedeće. stanje: 1) svaki sljedeći je ugniježđen u prethodni, tj. M, "n=1,2,…; 2) Dužine segmenata ®0 kako n raste, tj. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekvence sa navedenim nizovima nazivaju se ugniježđenim. Teorema Svaki niz ugniježđenih segmenata sadrži jednu tačku c koja pripada svim segmentima niza istovremeno, sa zajedničkom tačkom svih segmenata na koje su skupljeni. Dokument(an) - niz lijevih krajeva segmenata fenomena. monotono neopadajuća i odozgo ograničena brojem b1. (bn) - niz desnih krajeva nije monotono rastući, dakle ovi nizovi pojava. konvergentno, tj. postoje brojevi c1=lim(n®¥)an i c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - njihov opšte značenje. Zaista, ima granicu lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) zbog uslova 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=s2-s1=> s1=s2=s Jasno je da je t.c zajednički za sve segmente, jer "n an£c£bn. Sada ćemo dokazati da je jedan. Pretpostavimo da je $ još jedan c' na koji su svi segmenti skupljeni. Ako uzmemo bilo koje segmente c i c' koji se ne sijeku, tada bi s jedne strane cijeli "rep" nizova (an), (bn) trebao biti smješten u blizini tačke c'' (pošto an i bn konvergiraju u c i c' istovremeno). Kontradikcija je tačna. ULAZNICA 10 Bolzano-Weierstrassova teorema
Od bilo kog reza. Nakon toga možete odabrati okupljanje. Podnastavni plan 1. Pošto je niz ograničen, onda su $ m i M, takvi da je " m£xn£M, " n. D1= – segment u kojem leže sve t-ki sekvence. Hajde da ga podelimo na pola. Najmanje jedna od polovica će sadržavati beskonačno broj t-k poslije. D2 je polovina na kojoj se nalazi beskonačan broj t-k sekvenci. Podijelimo ga na pola. Barem u jednoj od polovina neg. D2 ima beskonačan broj sekvenci. Ova polovina je D3. Podijelite segment D3... itd. dobijamo niz ugniježđenih segmenata, čije dužine teže 0. Prema pravilu o ugniježđenim segmentima, $ jedinica. t-ka S, kat. pripadanje svi segmenti D1, bilo koji t-tu Dn1. U segmentu D2 biram tačku xn2, tako da je n2>n1. U segmentu D3... itd. Kao rezultat, posljednja riječ je xnkÎDk. ULAZNICA 11 ULAZNICA 12 fundamentalno U zaključku razmatramo pitanje kriterija konvergencije numeričkog niza. Neka tj.: Uz prirodni broj, možete zamijeniti još jedan prirodni broj u posljednju nejednačinu ,Onda Dobili smo sljedeću izjavu: Ako se niz konvergira, uslov je zadovoljen Cauchy: Poziva se brojčani niz koji zadovoljava Cauchyjev uslov fundamentalno. Može se dokazati da je i obrnuto tačno. Dakle, imamo kriterijum (neophodan i dovoljan uslov) za konvergenciju niza. Cauchy kriterij. Da bi niz imao granicu, neophodno je i dovoljno da bude fundamentalan. Drugo značenje Cauchyjevog kriterija.Članovi niza i gdje n I m– svako približavanje bez ograničenja u . ULAZNICA 13 Jednostrane granice. Definicija 13.11. Broj A zove se granica funkcije y = f(x) at X, teži za x 0 lijevo (desno), ako je takvo da | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Oznake: Teorema 13.1 (druga definicija granice). Funkcija y=f(x) ima u X, teži za X 0, granica je jednaka A, ako i samo ako obje njegove jednostrane granice u ovoj tački postoje i jednake su A. Dokaz. 1) Ako , tada i za x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Ako , tada postoji δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Birajući manji od brojeva δ 1 i δ 2 i uzimajući ga kao δ, dobijamo da je za | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentar. Pošto je dokazana ekvivalencija zahtjeva sadržanih u definiciji granice 13.7 i uslova za postojanje i jednakost jednostranih granica, ovaj uslov se može smatrati drugom definicijom granice. Definicija 4 (prema Heineu) Broj A naziva se granica funkcije ako bilo koji BBP vrijednosti argumenata, niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u A. Definicija 4 (prema Cauchyju). Broj A zove ako . Dokazano je da su ove definicije ekvivalentne. ULAZNICA 14 i 15 Svojstva ograničenja funkcije u točki 1) Ako postoji granica, onda je ona jedina 2) Ako je u tka x0 granica funkcije f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> onda je u ovom slučaju $ granica zbira, razlike, proizvoda i količnika. Razdvajanje ove 2 funkcije. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorema 3. ako ( odn. A ) zatim $ susjedstvo u kojem vrijedi nejednakost >B (odg Neka A>B Stavimo onda Kada je odabrana, lijeva jedna od ovih nejednačina ima oblik >B odn 2. dio teoreme je dokazan, samo u ovom slučaju uzimamo Posljedica (očuvanje funkcijskih znakova svoje granice). Uz pretpostavku teoreme 3 B=0, dobijamo: ako ( odn), zatim $ , u svim tačkama, što će biti >0 (odg<0),
one. funkcija čuva predznak svoje granice. Teorema 4(o prelasku do granice u nejednakosti). Ako je u nekom susjedstvu točke (osim možda ove same točke) uvjet zadovoljen i ove funkcije imaju granice u točki, onda . Na jeziku i. Hajde da predstavimo funkciju. Jasno je da je u blizini t. Tada, prema teoremi o očuvanju funkcije, imamo vrijednost njene granice, ali Teorema 5.(na granici posredne funkcije). (1) Ako i u nekom okruženju tačke (osim možda same tačke) uslov (2) je zadovoljen, tada funkcija ima granicu u tački i ta granica je jednaka A. po uslovu (1) $ za (ovde je najmanja okolina tačke). Ali tada, na osnovu uslova (2), vrednost će takođe biti locirana u blizini tačke A, one. . ULAZNICA 16 Definicija 14.1. Funkcija y=α(x) se naziva infinitezimalnim at x→x 0, Ako Svojstva infinitezimala. 1. Zbir dva infinitezimala je beskonačno mali. Dokaz. Ako α(x) I β(x) – beskonačno mali at x→x 0, tada postoje δ 1 i δ 2 takvi da | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, , odnosno α(x)+β(x) – beskonačno mali. Komentar. Iz toga slijedi da je zbir bilo kojeg konačnog broja infinitezimala infinitezimala. 2. Ako je α( X) – beskonačno mali at x→x 0, A f(x) – funkcija ograničena u određenom susjedstvu x 0, To α(x)f(x) – beskonačno mali at x→x 0. Dokaz. Odaberimo broj M takav da | f(x)| Posljedica 1. Umnožak infinitezimalnog na konačni broj je beskonačno mali. Korolar 2. Proizvod dva ili više infinitezimala je infinitezimimalan. Korolar 3. Linearna kombinacija infinitezimala je infinitezimalna. 3. (Treća definicija granice). Ako je , tada je neophodan i dovoljan uslov za to da je funkcija f(x) može se predstaviti u obliku f(x)=A+α(x), Gdje α(x) – beskonačno mali at x→x 0. Dokaz. 1)
Neka Onda | f(x)-A|<ε при x→x 0, odnosno α(x)=f(x)-A– beskonačno malo pri x→x 0 . Dakle , f(x)=A+α(x). 2) Neka f(x)=A+α(x). Onda znači | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, . Komentar. Tako se dobija druga definicija granice, ekvivalentna prethodnim dvema. Beskonačno velike funkcije. Definicija 15.1. Kaže se da je funkcija f(x) beskonačno velika za x x 0 ako Za beskonačno velike, možete uvesti isti sistem klasifikacije kao i za beskonačno male, i to: 1. Beskonačno velike f(x) i g(x) smatraju se veličinama istog reda ako 2. Ako je , onda se f(x) smatra beskonačno velikim višeg reda od g(x). 3. Beskonačno veliki f(x) naziva se količina k-tog reda u odnosu na beskonačno veliki g(x) ako je . Komentar. Imajte na umu da je a x beskonačno veliko (za a>1 i x) višeg reda od x k za bilo koje k, a log a x je beskonačno veliko nižeg reda od bilo kojeg stepena x k. Teorema 15.1. Ako je α(x) beskonačno mali kao x→x 0, tada je 1/α(x) beskonačno veliko kao x→x 0. Dokaz. Dokažimo da je za |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. To znači, to jest, 1/α(x) je beskonačno veliko kao x→x 0. ULAZNICA 17 Teorema 14.7 (prva izuzetna granica). . Dokaz. Razmotrimo krug jediničnog poluprečnika sa centrom u početku i pretpostavimo da je ugao AOB jednak x (radijanima). Uporedimo površine trougla AOB, sektora AOB i trougla AOC, gde je prava OS tangenta na kružnicu koja prolazi kroz tačku (1;0). Očigledno je da . Koristeći odgovarajuće geometrijske formule za površine figura, dobijamo iz ovoga da , ili sinx REALNI BROJEVI II § 44 Geometrijski prikaz realnih brojeva Geometrijski realni brojevi, kao i racionalni brojevi, predstavljeni su tačkama na pravoj. Neka l
je proizvoljna prava linija, a O neke od njenih tačaka (slika 58). Svaki pozitivan realan broj α
pridružimo tačku A, koja leži desno od O na udaljenosti od α
jedinice dužine. ako npr. α
= 2,1356..., dakle 2 < α
< 3 itd. Očigledno, tačka A u ovom slučaju mora biti na pravoj liniji l
desno od tačaka koje odgovaraju brojevima 2; 2,1; 2,13; ... , ali lijevo od tačaka koje odgovaraju brojevima 3; 2,2; 2,14; ... . Može se pokazati da se ovi uslovi definiraju na pravoj liniji l
jedina tačka A, koju smatramo geometrijskom slikom realnog broja α
= 2,1356... . Isto tako, za svaki negativan realan broj β
pridružimo tačku B koja leži lijevo od O na udaljenosti od | β |
jedinice dužine. Konačno, broj "nula" povezujemo sa tačkom O. Dakle, broj 1 će biti prikazan na pravoj liniji l
tačka A, koja se nalazi desno od O na udaljenosti od jedne jedinice dužine (slika 59), broj - √2 - do tačke B, koja se nalazi levo od O na udaljenosti od √2 jedinice dužine, itd. . Hajde da pokažemo kako na pravoj liniji l
pomoću šestara i ravnala možete pronaći tačke koje odgovaraju realnim brojevima √2, √3, √4, √5, itd. Da bismo to uradili, prvo ćemo pokazati kako možete konstruisati segmente čije su dužine izražene po ovim brojevima. Neka je AB odsječak uzet kao jedinica dužine (slika 60). U tački A konstruišemo okomitu na ovaj segment i na nju iscrtamo segment AC jednak segmentu AB. Zatim, primjenom Pitagorine teoreme na pravougli trokut ABC, dobijamo; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2 Dakle, segment BC ima dužinu √2. Sada konstruirajmo okomicu na segment BC u tački C i na njoj izaberimo tačku D tako da je segment CD jednak jednoj jedinici dužine AB. Tada iz pravouglog trougla BCD nalazimo: VD = √VC 2 + SD 2 = √2+1 = √3 Dakle, segment BD ima dužinu √3. Nastavljajući dalje opisani proces, mogli bismo dobiti segmente BE, BF, ... čije su dužine izražene brojevima √4, √5, itd. Sada na pravoj liniji l
lako je pronaći one tačke koje služe kao geometrijski prikaz brojeva √2, √3, √4, √5, itd. Odlaganjem, na primer, segmenta BC desno od tačke O (slika 61), dobijamo tačku C, koja služi kao geometrijska slika broja √2. Na isti način, stavljanjem segmenta BD desno od tačke O, dobijamo tačku D", koja je geometrijska slika broja √3, itd. Međutim, ne treba misliti da koristite šestar i ravnalo na brojevnoj liniji l
može se naći tačka koja odgovara bilo kojem realnom broju. Dokazano je, na primjer, da je, ako imate samo šestar i ravnalo na raspolaganju, nemoguće konstruisati segment čija se dužina izražava brojem π
= 3,14... . Dakle, na brojevnoj pravoj l
uz pomoć ovakvih konstrukcija nemoguće je naznačiti tačku koja odgovara ovom broju. Ipak, takva tačka postoji. Dakle, za svaki realan broj α
moguće je povezati neku dobro definisanu tačku sa pravom linijom l
. Ova tačka će biti na udaljenosti od | α
| jedinice dužine i biti desno od O if α
> 0, a lijevo od O, ako α
< 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l
. U stvari, neka broj α
tačka A odgovara, a broj β
- tačka B. Onda, ako α
> β
, tada će A biti desno od B (slika 62, a); ako α
< β
, tada će A ležati lijevo od B (slika 62, b). Govoreći u § 37 o geometrijskoj slici racionalnih brojeva, postavili smo pitanje: može li se bilo koja tačka na pravoj smatrati geometrijskom slikom nekog racionalno brojevi? Tada nismo mogli odgovoriti na ovo pitanje; Sada možemo sasvim sigurno odgovoriti. Na pravoj postoje tačke koje služe kao geometrijski prikaz iracionalnih brojeva (na primjer, √2). Stoga, ne predstavlja svaka tačka na pravoj racionalan broj. Ali u ovom slučaju postavlja se još jedno pitanje: može li se bilo koja tačka na brojevnoj pravoj smatrati geometrijskom slikom neke validan brojevi? Ovo pitanje je već pozitivno riješeno. Zaista, neka je A proizvoljna tačka na pravoj l
, koji leži desno od O (Sl. 63). Dužina segmenta OA je izražena nekim pozitivnim realnim brojem α
(vidi § 41). Dakle, tačka A je geometrijska slika broja α
. Slično je utvrđeno da se svaka tačka B koja leži lijevo od O može smatrati geometrijskom slikom negativnog realnog broja - β
, Gdje β
- dužina segmenta VO. Konačno, tačka O služi kao geometrijski prikaz broja nula. Jasno je da su dvije različite tačke na pravoj l
ne može biti geometrijska slika istog realnog broja. Iz gore navedenih razloga, prava linija na kojoj je određena tačka O označena kao „početna“ tačka (za datu jedinicu dužine) naziva se brojevnu liniju. Zaključak. Skup svih realnih brojeva i skup svih tačaka brojevne prave su u korespondenciji jedan prema jedan. To znači da svakom realnom broju odgovara jedna, dobro definisana tačka na brojevnoj pravoj, i obrnuto, svakoj tački na brojevnoj pravoj, sa takvom korespondencijom, odgovara jedan, dobro definisan realan broj. Vježbe
320. Odredi koja je od dvije tačke lijevo, a koja desno na brojevnoj pravoj, ako ove tačke odgovaraju brojevima: a) 1,454545... i 1,455454...; c) 0 i - 1,56673...; b) - 12,0003... i - 12,0002...; d) 13.24... i 13.00.... 321. Pronađi koja se od dvije tačke nalazi na brojevnoj pravoj dalje od početne tačke O, ako ove tačke odgovaraju brojevima: a) 5,2397... i 4,4996...; .. c) -0,3567... i 0,3557... . d) - 15,0001 i - 15,1000...; 322. U ovom dijelu je pokazano da je za konstruiranje odsječka dužine √ n
koristeći šestar i lenjir, možete postupiti na sledeći način: prvo konstruisati segment dužine √2, zatim segment dužine √3, itd., dok ne dođemo do segmenta dužine √ n
. Ali za svaki fiksni n
> 3 ovaj proces se može ubrzati. Kako biste, na primjer, počeli konstruirati segment dužine √10? 323*. Kako koristiti šestar i ravnalo da pronađemo tačku na brojevnoj pravoj koja odgovara broju 1 / α
, ako je pozicija tačke koja odgovara broju α
, je li poznato?
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
- Poslovice i izreke o poštovanom odnosu djece prema roditeljima za djecu predškolskog i školskog uzrasta, škole, predškolske obrazovne ustanove: zbirka najboljih poslovica s objašnjenjem značenja
- Naši ruski kosmonauti ili prvi put u istoriji čovečanstva Ko je prvi ruski kosmonaut
- Kada treba fermentirati kupus u godini?
- Sazviježđe Lav: lokacija i sjajne zvijezde