वास्तविक दुनिया में फ्रैक्टल अध्ययन का विषय हैं। रहस्यमय विकार: फ्रैक्टल्स का इतिहास और उनके अनुप्रयोग के क्षेत्र। ⇡ बेनोइट मैंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

नगर बजटीय शैक्षिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय

साथ। मेचेतनोये

वैज्ञानिक एवं व्यावहारिक सम्मेलन "गणित की अद्भुत दुनिया"

शोध कार्य "फ्रैक्टल्स की दुनिया की यात्रा"

द्वारा पूरा किया गया: 10वीं कक्षा का छात्र

अल्लाहवरदिएवा नेल्या

प्रमुख: डेविडोवा ई.वी.

1. 
   परिचय।
2. 
   मुख्य भाग:

ए) फ्रैक्टल की अवधारणा;

बी) फ्रैक्टल्स के निर्माण का इतिहास;

ग) भग्नों का वर्गीकरण;

घ) फ्रैक्टल्स का अनुप्रयोग;

ई) प्रकृति में भग्न;

च) भग्न के रंग.

3. निष्कर्ष.

परिचय।

"फ्रैक्टल" की रहस्यमय अवधारणा के पीछे क्या छिपा है? संभवतः, कई लोगों के लिए, यह शब्द कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके बनाई गई सुंदर छवियों, जटिल पैटर्न और उज्ज्वल छवियों से जुड़ा है। लेकिन फ्रैक्टल केवल सुंदर चित्र नहीं हैं। ये विशेष संरचनाएँ हैं जो हमारे चारों ओर मौजूद हर चीज़ का आधार हैं। कुछ ही दशक पहले वैज्ञानिक दुनिया में प्रवेश करने के बाद, फ्रैक्टल्स आसपास की वास्तविकता की धारणा में एक वास्तविक क्रांति लाने में कामयाब रहे। फ्रैक्टल्स का उपयोग करके, कोई व्यक्ति प्राकृतिक वस्तुओं, प्रणालियों, प्रक्रियाओं और घटनाओं के अत्यधिक सटीक गणितीय मॉडल बना सकता है।

मुख्य भाग
भग्न की अवधारणा.

भग्न(अक्षांश से. फ्रैक्टस- कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, अर्थात, कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है। प्रकृति में कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए, तट, बादल, वृक्ष मुकुट, संचार प्रणाली और मनुष्यों या जानवरों की वायुकोशीय प्रणाली।

फ्रैक्टल्स, विशेष रूप से हवाई जहाज़ पर, कंप्यूटर का उपयोग करके निर्माण में आसानी के साथ सुंदरता के संयोजन के कारण लोकप्रिय हैं।

सृष्टि का इतिहास.
फ्रांसीसी गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट, एक वैज्ञानिक जो आज फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक के रूप में पहचाने जाते हैं, फ्रैक्टल के विज्ञान को एक नए स्तर पर लाने में सक्षम थे। मैंडेलब्रॉट ने सबसे पहले "फ्रैक्टल" शब्द को परिभाषित किया:

उद्धरण

"फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे भाग होते हैं जो कुछ अर्थों में संपूर्ण के समान होते हैं"
70 के दशक में, बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने आईबीएम में गणितीय विश्लेषक के रूप में काम किया। इलेक्ट्रॉनिक नेटवर्क में शोर का अध्ययन करते समय वैज्ञानिक ने पहली बार फ्रैक्टल के बारे में सोचा। पहली नज़र में, डेटा ट्रांसमिशन के दौरान हस्तक्षेप बिल्कुल अव्यवस्थित रूप से हुआ। मैंडेलब्रॉट ने त्रुटियों की घटना की साजिश रची और यह देखकर आश्चर्यचकित रह गए कि, किसी भी समय पैमाने पर, सभी टुकड़े समान दिखते थे। एक सप्ताह के पैमाने पर, शोर उसी क्रम में दिखाई दिया जैसे एक दिन, घंटे या मिनट के पैमाने पर। मैंडेलब्रॉट ने महसूस किया कि डेटा ट्रांसमिशन में त्रुटियों की आवृत्ति 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर द्वारा उल्लिखित सिद्धांत के अनुसार समय के साथ वितरित की जाती है। तब बेनोइट मैंडेलब्रॉट को फ्रैक्टल्स के अध्ययन में गंभीरता से रुचि हो गई।
अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत, फ्रैक्टल बनाने के लिए, मैंडेलब्रॉट ने ज्यामितीय निर्माणों का नहीं, बल्कि अलग-अलग जटिलता के बीजगणितीय परिवर्तनों का उपयोग किया। गणितज्ञ ने रिवर्स पुनरावृत्ति विधि का उपयोग किया, जिसमें एक ही फ़ंक्शन की बार-बार गणना करना शामिल है। कंप्यूटर की क्षमताओं का उपयोग करते हुए, गणितज्ञ ने बड़ी संख्या में अनुक्रमिक गणनाएँ कीं, जिसके परिणाम उन्होंने जटिल विमान पर ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किए। इस तरह मैंडेलब्रॉट सेट प्रकट हुआ - एक जटिल बीजगणितीय फ्रैक्टल, जिसे आज फ्रैक्टल के विज्ञान का एक क्लासिक माना जाता है। कुछ मामलों में, एक ही वस्तु को चिकनी और भग्न दोनों माना जा सकता है। यह समझाने के लिए कि ऐसा क्यों होता है, मैंडेलब्रॉट एक दिलचस्प दृश्य उदाहरण देता है। कुछ दूरी पर हटाई गई ऊनी धागों की एक गेंद 1 आयाम वाले एक बिंदु की तरह दिखती है। पास में स्थित एक गेंद दो-आयामी डिस्क की तरह दिखती है। इसे अपने हाथों में लेते हुए, आप गेंद की मात्रा को स्पष्ट रूप से महसूस कर सकते हैं - अब इसे त्रि-आयामी माना जाता है। फ्रैक्टल की एक गेंद को केवल एक आवर्धक उपकरण का उपयोग करने वाले पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, या एक असमान ऊनी धागे की सतह पर उतरने वाली मक्खी के दृष्टिकोण से ही माना जा सकता है। इसलिए, किसी वस्तु की वास्तविक भग्नता पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण और उपयोग किए गए उपकरण के रिज़ॉल्यूशन पर निर्भर करती है।
मैंडेलब्रॉट ने एक दिलचस्प पैटर्न नोट किया - आप मापी गई वस्तु को जितना करीब से देखेंगे, उसकी सीमा उतनी ही अधिक विस्तारित होगी। इस संपत्ति को प्राकृतिक भग्नों में से एक - समुद्र तट की लंबाई को मापकर स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। भौगोलिक मानचित्र पर माप करके, आप अनुमानित लंबाई प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि सभी अनियमितताओं और मोड़ों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा। यदि माप मानव ऊंचाई की ऊंचाई से दिखाई देने वाली राहत की सभी असमानताओं को ध्यान में रखते हुए किया जाता है, तो परिणाम कुछ अलग होगा - समुद्र तट की लंबाई में काफी वृद्धि होगी। और अगर हम सैद्धांतिक रूप से कल्पना करें कि मापने वाला उपकरण प्रत्येक कंकड़ की असमानता के आसपास जाएगा, तो इस मामले में समुद्र तट की लंबाई लगभग अनंत होगी।
भग्नों का वर्गीकरण.

फ्रैक्टल्स को विभाजित किया गया है:

ज्यामितीय: इस वर्ग के भग्न सबसे अधिक दृश्यमान होते हैं, उनमें आत्म-समानता तुरंत दिखाई देती है। फ्रैक्टल्स का इतिहास सटीक रूप से ज्यामितीय फ्रैक्टल्स से शुरू हुआ, जिनका अध्ययन 19वीं शताब्दी में गणितज्ञों द्वारा किया गया था।

बीजगणितीय: भग्नों के इस समूह को यह नाम इसलिए मिला क्योंकि भग्न सरल बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग करके बनाए जाते हैं।

स्टोकेस्टिक: फ्रैक्टल मापदंडों की पुनरावृत्ति प्रक्रिया में यादृच्छिक परिवर्तन की स्थिति में बनता है। द्वि-आयामी स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स का उपयोग इलाके और समुद्री सतहों के मॉडलिंग में किया जाता है।

ज्यामितीय भग्न

यहीं से फ्रैक्टल्स का इतिहास शुरू हुआ। इस प्रकार का फ्रैक्टल सरल ज्यामितीय निर्माणों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। आमतौर पर, इन फ्रैक्टल्स का निर्माण करते समय, वे ऐसा करते हैं: वे एक "बीज" लेते हैं - एक स्वयंसिद्ध - खंडों का एक सेट जिसके आधार पर फ्रैक्टल का निर्माण किया जाएगा। इसके बाद, इस "बीज" पर नियमों का एक सेट लागू किया जाता है, जो इसे किसी प्रकार की ज्यामितीय आकृति में बदल देता है। इसके बाद, नियमों का वही सेट इस आकृति के प्रत्येक भाग पर फिर से लागू किया जाता है। प्रत्येक चरण के साथ, आंकड़ा अधिक से अधिक जटिल होता जाएगा, और यदि हम (कम से कम हमारे दिमाग में) अनंत संख्या में परिवर्तन करते हैं, तो हमें एक ज्यामितीय फ्रैक्टल मिलेगा। ज्यामितीय फ्रैक्टल्स के उत्कृष्ट उदाहरण: कोच का स्नोफ्लेक, लिस्ज़्ट, सिएरपिंस्की त्रिभुज, ड्रेकॉन की टूटी हुई रेखा (परिशिष्ट 1)।

बीजगणितीय भग्न

भग्नों का दूसरा बड़ा समूह बीजगणितीय है (परिशिष्ट 2)। उन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि वे बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर बनाए गए हैं, कभी-कभी बहुत सरल सूत्रों के आधार पर। बीजगणितीय भग्न प्राप्त करने की कई विधियाँ हैं।

दुर्भाग्य से, फ्रैक्टल के निर्माण को समझाने के लिए आवश्यक जटिल संख्याओं से संबंधित 10-11 ग्रेड स्तर के कई शब्द मेरे लिए अज्ञात हैं और उन्हें समझना अभी भी मुश्किल है, इसलिए मेरे लिए इस प्रकार के फ्रैक्टल के निर्माण का विस्तार से वर्णन करना संभव नहीं है। .

प्रारंभ में, भग्न प्रकृति काली और सफेद होती है, लेकिन यदि आप थोड़ी कल्पना और रंग जोड़ते हैं, तो आप कला का एक वास्तविक काम प्राप्त कर सकते हैं।

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स

फ्रैक्टल्स के इस वर्ग का एक विशिष्ट प्रतिनिधि "प्लाज्मा" (परिशिष्ट 3) है। इसे बनाने के लिए, एक आयत लें और उसके प्रत्येक कोने के लिए एक रंग परिभाषित करें। इसके बाद, हम आयत का केंद्रीय बिंदु ढूंढते हैं और इसे आयत के कोनों पर रंगों के अंकगणितीय माध्य और कुछ यादृच्छिक संख्या के बराबर रंग से रंगते हैं। यादृच्छिक संख्या जितनी बड़ी होगी, चित्र उतना ही अधिक "रैग्ड" होगा। यदि अब हम कहें कि किसी बिंदु का रंग समुद्र तल से ऊँचाई है, तो हमें प्लाज्मा के स्थान पर एक पर्वत श्रृंखला मिलेगी। इसी सिद्धांत पर अधिकांश कार्यक्रमों में पहाड़ों का मॉडल तैयार किया जाता है। प्लाज्मा के समान एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, एक ऊंचाई मानचित्र बनाया जाता है, उस पर विभिन्न फिल्टर लगाए जाते हैं, एक बनावट लागू की जाती है और, कृपया, फोटोरिअलिस्टिक पहाड़ तैयार हैं!

भग्न का अनुप्रयोग

पहले से ही आज, विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में फ्रैक्टल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। ग्राफिक जानकारी के फ्रैक्टल संग्रह की दिशा सक्रिय रूप से विकसित हो रही है। सिद्धांत रूप में, फ्रैक्टल संग्रह गुणवत्ता खोए बिना छवियों को एक बिंदु के आकार तक संपीड़ित कर सकता है। जब आप फ्रैक्टल सिद्धांत के अनुसार संपीड़ित छवियों को बड़ा करते हैं, तो सबसे छोटे विवरण स्पष्ट रूप से प्रदर्शित होते हैं, और दानेदार प्रभाव पूरी तरह से अनुपस्थित होता है।

फ्रैक्टल सिद्धांत के सिद्धांतों का उपयोग चिकित्सा में इलेक्ट्रोकार्डियोग्राम का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, क्योंकि हृदय ताल भी एक फ्रैक्टल है। मानव शरीर की संचार प्रणाली और अन्य आंतरिक प्रणालियों में अनुसंधान की दिशा सक्रिय रूप से विकसित हो रही है। जीव विज्ञान में, आबादी के भीतर होने वाली प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है।
मौसम विज्ञानी वायु द्रव्यमान की गति की तीव्रता का विश्लेषण करने के लिए फ्रैक्टल संबंधों का उपयोग करते हैं, जिससे मौसम परिवर्तन की अधिक सटीक भविष्यवाणी करना संभव हो जाता है। फ्रैक्टल मीडिया की भौतिकी जटिल अशांत प्रवाह, सोखना और प्रसार प्रक्रियाओं की गतिशीलता का अध्ययन करने की समस्याओं को बड़ी सफलता के साथ हल करती है। पेट्रोकेमिकल उद्योग में, झरझरा सामग्री को मॉडल करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल का सिद्धांत वित्तीय बाजारों में प्रभावी ढंग से उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग शक्तिशाली एंटीना उपकरण बनाने के लिए किया जाता है।
आज फ्रैक्टल्स का सिद्धांत विज्ञान का एक स्वतंत्र क्षेत्र है, जिसके आधार पर विभिन्न क्षेत्रों में अधिक से अधिक नई दिशाएँ बनाई जा रही हैं। कई वैज्ञानिक कार्य फ्रैक्टल्स के महत्व के प्रति समर्पित हैं।

लेकिन ये असामान्य वस्तुएं न केवल बेहद उपयोगी हैं, बल्कि अविश्वसनीय रूप से सुंदर भी हैं। यही कारण है कि फ्रैक्टल धीरे-धीरे कला में अपना स्थान पा रहे हैं। उनकी अद्भुत सौंदर्य अपील कई कलाकारों को फ्रैक्टल पेंटिंग बनाने के लिए प्रेरित करती है। आधुनिक संगीतकार विभिन्न भग्न विशेषताओं वाले इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों का उपयोग करके संगीत रचनाएँ बनाते हैं। लेखक अपने साहित्यिक कार्यों को आकार देने के लिए फ्रैक्टल संरचना का उपयोग करते हैं, और डिजाइनर फर्नीचर और इंटीरियर डिजाइन के फ्रैक्टल टुकड़े बनाते हैं।

स्वभाव में भंगुरता

1977 में, मैंडेलब्रॉट की पुस्तक "फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन" प्रकाशित हुई थी, और 1982 में एक और मोनोग्राफ प्रकाशित हुआ था - "फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर", जिसके पन्नों पर लेखक ने विभिन्न फ्रैक्टल सेटों के स्पष्ट उदाहरण प्रदर्शित किए और साक्ष्य प्रदान किए। प्रकृति में फ्रैक्टल्स का अस्तित्व. मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल सिद्धांत के मुख्य विचार को निम्नलिखित शब्दों में व्यक्त किया है:

"ज्यामिति को अक्सर ठंडा और शुष्क क्यों कहा जाता है? एक कारण यह है कि यह बादल, पहाड़, पेड़ या समुद्र तट के आकार का सटीक वर्णन नहीं कर सकता है। बादल गोलाकार नहीं हैं, तटरेखाएं वृत्त नहीं हैं, और परत चिकनी नहीं है ।" , और बिजली एक सीधी रेखा में यात्रा नहीं करती है। प्रकृति हमें न केवल उच्च डिग्री दिखाती है, बल्कि जटिलता का एक बिल्कुल अलग स्तर दिखाती है। संरचनाओं में विभिन्न लंबाई के पैमानों की संख्या हमेशा अनंत होती है। इन संरचनाओं का अस्तित्व हमें चुनौती देता है यूक्लिड ने जिन रूपों को निराकार कहकर खारिज कर दिया, उनका अध्ययन करना एक कठिन कार्य था - हालांकि, गणितज्ञों ने इस चुनौती की उपेक्षा की और ऐसे सिद्धांतों का आविष्कार करते हुए प्रकृति से दूर जाना पसंद किया किसी भी चीज़ से मेल खाता है जिसे देखा या महसूस किया जा सकता है।"

कई प्राकृतिक वस्तुओं में फ्रैक्टल सेट के गुण होते हैं (परिशिष्ट 4)।

क्या फ्रैक्टल वास्तव में सार्वभौमिक संरचनाएं हैं जिन्हें इस दुनिया में मौजूद हर चीज के निर्माण के आधार के रूप में लिया गया था? कई प्राकृतिक वस्तुओं का आकार यथासंभव भग्न के करीब होता है। लेकिन दुनिया में मौजूद सभी फ्रैक्टल्स में इतनी नियमित और अंतहीन दोहराई जाने वाली संरचना नहीं होती जितनी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए सेटों में होती है। पर्वत श्रृंखलाएं, धातु खंडित सतहें, अशांत प्रवाह, बादल, झाग और कई अन्य प्राकृतिक भग्नों में बिल्कुल सटीक आत्म-समानता का अभाव है। और यह मानना ​​बिल्कुल गलत होगा कि फ्रैक्टल्स ब्रह्मांड के सभी रहस्यों की सार्वभौमिक कुंजी हैं। अपनी सभी स्पष्ट जटिलताओं के बावजूद, फ्रैक्टल वास्तविकता का एक सरलीकृत मॉडल मात्र हैं। लेकिन आज उपलब्ध सभी सिद्धांतों के बीच, फ्रैक्टल हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने का सबसे सटीक साधन हैं।

क्या फ्रैक्टल वास्तव में सार्वभौमिक संरचनाएं हैं जिन्हें इस दुनिया में मौजूद हर चीज के निर्माण के आधार के रूप में लिया गया था? कई प्राकृतिक वस्तुओं का आकार यथासंभव भग्न के करीब होता है। लेकिन दुनिया में मौजूद सभी फ्रैक्टल्स में इतनी नियमित और अंतहीन दोहराई जाने वाली संरचना नहीं होती जितनी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए सेटों में होती है। पर्वत श्रृंखलाएं, धातु खंडित सतहें, अशांत प्रवाह, बादल, झाग और कई अन्य प्राकृतिक भग्नों में बिल्कुल सटीक आत्म-समानता का अभाव है। और यह मानना ​​बिल्कुल गलत होगा कि फ्रैक्टल्स ब्रह्मांड के सभी रहस्यों की सार्वभौमिक कुंजी हैं। अपनी सभी स्पष्ट जटिलताओं के बावजूद, फ्रैक्टल वास्तविकता का एक सरलीकृत मॉडल मात्र हैं। लेकिन आज उपलब्ध सभी सिद्धांतों के बीच, फ्रैक्टल हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने का सबसे सटीक साधन हैं।
भग्न रंग

फ्रैक्टल्स की सुंदरता उनके चमकीले और आकर्षक रंगों से बढ़ जाती है। जटिल रंग योजनाएं फ्रैक्टल को सुंदर और यादगार बनाती हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, फ्रैक्टल काली और सफेद वस्तुएं हैं, जिनमें से प्रत्येक बिंदु या तो सेट से संबंधित है या उससे संबंधित नहीं है। लेकिन आधुनिक कंप्यूटर की क्षमताएं फ्रैक्टल को रंगीन और चमकीला बनाना संभव बनाती हैं। और यह सेट के पड़ोसी क्षेत्रों को किसी भी क्रम में रंगना कोई साधारण बात नहीं है।

प्रत्येक बिंदु के मूल्य का विश्लेषण करके, प्रोग्राम स्वचालित रूप से एक विशेष टुकड़े की छाया निर्धारित करता है। वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन स्थिर मान लेता है उन्हें काले रंग में दिखाया गया है। यदि फ़ंक्शन का मान अनंत की ओर जाता है, तो बिंदु को एक अलग रंग में रंगा जाता है। रंग की तीव्रता अनंत तक पहुँचने की गति पर निर्भर करती है। किसी बिंदु को स्थिर मान के करीब लाने के लिए जितनी अधिक पुनरावृत्ति होती है, उसका रंग उतना ही हल्का होता जाता है। और इसके विपरीत - जो बिंदु तेजी से अनंत की ओर बढ़ते हैं वे चमकीले और संतृप्त रंगों में चित्रित होते हैं।
निष्कर्ष

जब आप पहली बार फ्रैक्टल के बारे में सुनते हैं, तो आपको आश्चर्य होता है कि वे क्या हैं?

एक ओर, यह एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, अर्थात, यह कई भागों से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होती है।

यह अवधारणा अपनी सुंदरता और रहस्य से रोमांचित करती है, खुद को सबसे अप्रत्याशित क्षेत्रों में प्रकट करती है: मौसम विज्ञान, दर्शन, भूगोल, जीव विज्ञान, यांत्रिकी और यहां तक ​​​​कि इतिहास।

प्रकृति में फ्रैक्टल न देखना लगभग असंभव है, क्योंकि लगभग हर वस्तु (बादल, पहाड़, समुद्र तट, आदि) में फ्रैक्टल संरचना होती है। अधिकांश वेब डिज़ाइनरों और प्रोग्रामरों के पास फ्रैक्टल्स (असाधारण रूप से सुंदर) की अपनी गैलरी होती है।

अनिवार्य रूप से, फ्रैक्टल हमारी आँखें खोलते हैं और हमें गणित को एक अलग दृष्टिकोण से देखने की अनुमति देते हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि सामान्य गणनाएँ सामान्य "सूखी" संख्याओं के साथ की जाती हैं, लेकिन यह हमें अपने तरीके से अद्वितीय परिणाम देता है, जिससे हमें प्रकृति के निर्माता की तरह महसूस होता है। फ्रैक्टल्स यह स्पष्ट करते हैं कि गणित सौंदर्य का विज्ञान भी है।

अपने प्रोजेक्ट कार्य के साथ मैं गणित की एक बिल्कुल नई अवधारणा "फ्रैक्टल" के बारे में बात करना चाहता था। यह क्या है, किस प्रकार मौजूद हैं, वे कहाँ वितरित हैं। मैं सचमुच आशा करता हूं कि फ्रैक्टल्स में आपकी रुचि होगी। आख़िरकार, जैसा कि यह पता चला है, फ्रैक्टल काफी दिलचस्प हैं और वे लगभग हर कदम पर मौजूद हैं।

संदर्भ

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  http://ru.wikipedia.org/wiki
• 
  http://www.metafor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
• 
  http://fractals.naroad.ru/
• 
  http://rusproject.naroad.ru/article/fractals.htm
• 
  बोंडारेंको वी.ए., डोलनिकोव वी.एल. बार्न्सले-स्लोअन के अनुसार फ्रैक्टल छवि संपीड़न। // स्वचालन और टेलीमैकेनिक्स.-1994.-एन5.-पी.12-20.
• 
  वैटोलिन डी. कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का अनुप्रयोग। // कंप्यूटरवर्ल्ड-रूस.-1995.-एन15.-पी.11.
• 
  फेडर ई. फ्रैक्टल्स। प्रति. अंग्रेज़ी से-एम.: मीर, 1991.-254 पी. (जेन्स फेडर, प्लेनम प्रेस, न्यूयॉर्क, 1988)
• 
  भग्न और अराजकता का अनुप्रयोग. 1993, स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन।

परिशिष्ट 1

परिशिष्ट 2

परिशिष्ट 3

परिशिष्ट 4

फ्रैक्टल्स को समर्पित एक बहुत ही दिलचस्प साइट है, जहाँ से हमने कुछ जानकारी ली: http://elementy.ru/posters/fractals/nature

एक पेड़, एक समुद्र तट, एक बादल, या हमारे हाथ की रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? संरचना का एक गुण है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में निहित है: वे स्व-समान हैं. एक शाखा से, जैसे कि एक पेड़ के तने से, छोटे-छोटे अंकुर निकलते हैं, उनसे और भी छोटे अंकुर निकलते हैं, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। के साथ भी ऐसा ही होता है

फ़र्न.

संचार प्रणाली को एक समान तरीके से संरचित किया जाता है: धमनी धमनियों से निकलती है, और उनसे - सबसे छोटी केशिकाएं, जिसके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है।

आइए समुद्री तट की उपग्रह छवियों को देखें: हम खाड़ियाँ और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम खाड़ियाँ और टोपियाँ देखेंगे; अब आइए कल्पना करें कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा ऐसे कंकड़ होंगे जो बाकी हिस्सों की तुलना में पानी में अधिक दूर तक निकले होंगे। यानी ज़ूम इन करने पर समुद्र तट अपने जैसा ही रहता है . वस्तुओं के इस गुण को अमेरिकी गणितज्ञ (हालाँकि वह फ़्रांस में पले-बढ़े थे) बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने कहा था भग्नता , और ऐसी वस्तुएं स्वयं - फ्रैक्टल्स (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटा हुआ)।
समुद्र तट से, या अधिक सटीक रूप से, इसकी लंबाई मापने के प्रयास से जुड़ी एक दिलचस्प कहानी है, जिसने मैंडलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी इसका वर्णन किया गया है। यह लुईस रिचर्डसन द्वारा किया गया एक प्रयोग है (लुईस फ्राई रिचर्डसन ) एक बहुत ही प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी हैं।

उनके शोध की दिशाओं में से एक दो देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। उन्होंने जिन मापदंडों को ध्यान में रखा उनमें दो युद्धरत देशों की आम सीमा की लंबाई भी शामिल थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि स्पेन और पुर्तगाल की आम सीमा पर डेटा विभिन्न स्रोतों से काफी भिन्न था। इससे उन्हें निम्नलिखित खोज हुई: किसी देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिससे हम उन्हें मापते हैं। पैमाना जितना छोटा होगा, सीमा उतनी ही लंबी होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिक आवर्धन के साथ तट के अधिक से अधिक नए मोड़ों को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की कठोरता के कारण अनदेखा कर दिया गया था। और यदि, पैमाने में प्रत्येक वृद्धि के साथ, रेखाओं के पहले से बेहिसाब मोड़ प्रकट होते हैं, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

आजकल, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अलावा फ्रैक्टल पेंटिंग फ्रैक्टल्स का उपयोग किया जाता है ग्राफ़िक डेटा संपीड़न के लिए सूचना सिद्धांत में (यहां, फ्रैक्टल्स की स्व-समानता संपत्ति का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - आखिरकार, एक पैटर्न के एक छोटे से टुकड़े को याद रखने के लिए और उन परिवर्तनों को जिनके साथ आप शेष भागों को प्राप्त कर सकते हैं, पूरी फ़ाइल को संग्रहीत करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी की आवश्यकता होती है)। फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले सूत्रों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, आप स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं जो कुछ वास्तविक वस्तुओं - राहत तत्वों, जलाशयों की सतह, कुछ पौधों को बहुत ही प्रशंसनीय रूप से व्यक्त करते हैं, जिसका उपयोग भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में अधिक से अधिक प्राप्त करने के लिए सफलतापूर्वक किया जाता है। वास्तविक वस्तुओं के साथ नकली वस्तुओं की समानता।

रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, पिछले दशक में, फ्रैक्टल आकार वाले एंटेना का उत्पादन शुरू हुआ। कम जगह लेते हुए, वे उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं। और अर्थशास्त्री फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं मुद्रा दर में उतार-चढ़ाव वक्रों का वर्णन करने के लिए (इस संपत्ति की खोज मैंडेलब्रॉट ने 30 साल से भी पहले की थी)।

में प्रकृति में, कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़ के मुकुट, फूलगोभी, बादल, मनुष्यों और जानवरों की परिसंचरण और वायुकोशीय प्रणाली, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े,जिसके तत्व एक जटिल संरचना में व्यवस्थित हैं, तट (फ्रैक्टल अवधारणा ने वैज्ञानिकों को ब्रिटिश द्वीपों की तटरेखा और अन्य पहले मापी न जा सकने वाली वस्तुओं को मापने की अनुमति दी) http://www.liveinternet.ru/users/4293782/post163419491/)

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हम पहले ही लिख चुके हैं कि कैसे अराजकता के अमूर्त गणितीय सिद्धांत को विभिन्न विज्ञानों में - भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और राजनीति विज्ञान तक - में अनुप्रयोग मिला है। अब हम इसी तरह का एक और उदाहरण देंगे - फ्रैक्टल का सिद्धांत। गणित में भी "फ्रैक्टल" अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। निःसंदेह, वे ऐसा कुछ कहते हैं। लेकिन “आम आदमी” इस बात को नहीं समझ सकता. इस वाक्यांश के बारे में क्या ख्याल है, उदाहरण के लिए: "फ्रैक्टल एक सेट है जिसमें फ्रैक्शनल हॉसडॉर्फ आयाम होता है, जो टोपोलॉजिकल आयाम से बड़ा होता है।" फिर भी, वे, फ्रैक्टल, हमें घेर लेते हैं और जीवन के विभिन्न क्षेत्रों से कई घटनाओं को समझने में हमारी मदद करते हैं।

यह सब कहां से शुरू हुआ

लंबे समय तक, पेशेवर गणितज्ञों को छोड़कर किसी को भी फ्रैक्टल में दिलचस्पी नहीं थी। कंप्यूटर और संबंधित सॉफ्टवेयर के आगमन से पहले. 1982 में सब कुछ बदल गया, जब बेनोइट मैंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई। यह पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, सामग्री की सरल और समझने योग्य प्रस्तुति के कारण नहीं (हालांकि यह कथन बहुत सापेक्ष है - जिस व्यक्ति के पास पेशेवर गणितीय शिक्षा नहीं है वह इसमें कुछ भी नहीं समझ पाएगा), लेकिन कंप्यूटर के कारण फ्रैक्टल के चित्रण जो वास्तव में मंत्रमुग्ध कर देने वाले हैं। आइए नजर डालते हैं इन तस्वीरों पर. वे वास्तव में इसके लायक हैं।

और ऐसी कई तस्वीरें हैं. लेकिन इस सारे वैभव का हमारे वास्तविक जीवन और प्रकृति तथा रोजमर्रा की दुनिया में हमारे चारों ओर मौजूद चीज़ों से क्या लेना-देना है? यह पता चला है कि यह सबसे प्रत्यक्ष है।

लेकिन पहले, आइए ज्यामितीय वस्तुओं के रूप में फ्रैक्टल के बारे में कुछ शब्द कहें।

सरल शब्दों में फ्रैक्टल क्या है?

पहला। वे, फ्रैक्टल, कैसे निर्मित होते हैं। यह एक जटिल प्रक्रिया है जो जटिल स्तर पर विशेष परिवर्तनों का उपयोग करती है (आपको यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि यह क्या है)। एकमात्र महत्वपूर्ण बात यह है कि ये परिवर्तन दोहराए जाते हैं (वे होते हैं, जैसा कि वे गणित में कहते हैं, पुनरावृत्तियाँ)। इस दोहराव के परिणामस्वरूप फ्रैक्टल उत्पन्न होते हैं (जिन्हें आपने ऊपर देखा)।

दूसरा। फ्रैक्टल एक स्व-समान (बिल्कुल या लगभग) संरचना है। इसका मतलब निम्नलिखित है. यदि आप प्रस्तुत चित्रों में से किसी में माइक्रोस्कोप लाते हैं, छवि को उदाहरण के लिए 100 बार बढ़ाते हैं, और फ्रैक्टल के एक टुकड़े को देखते हैं जो ऐपिस में प्रवेश कर गया है, तो आप पाएंगे कि यह मूल छवि के समान है। यदि आप एक मजबूत माइक्रोस्कोप लेते हैं जो छवि को 1000 गुना बढ़ा देता है, तो आप पाएंगे कि पिछली छवि के टुकड़े का एक टुकड़ा जो ऐपिस में प्रवेश किया था, उसकी संरचना समान या बहुत समान है।

इससे एक निष्कर्ष निकलता है जो आगे के लिए बेहद महत्वपूर्ण है। फ्रैक्टल में एक अत्यंत जटिल संरचना होती है जो विभिन्न पैमानों पर खुद को दोहराती है। लेकिन जितना अधिक हम इसकी संरचना में गहराई से उतरते हैं, यह समग्र रूप से उतना ही अधिक जटिल होता जाता है। और मूल चित्र के गुणों का मात्रात्मक अनुमान बदलना शुरू हो सकता है।

अब हम अमूर्त गणित को छोड़ देंगे और अपने आस-पास की चीज़ों की ओर बढ़ेंगे - जो देखने में बहुत सरल और समझने योग्य है।

प्रकृति में भग्न वस्तुएँ

समुद्र तट

कल्पना करें कि आप पृथ्वी की कक्षा से ब्रिटेन जैसे किसी द्वीप की तस्वीर ले रहे हैं। आपको वही छवि मिलेगी जो भौगोलिक मानचित्र पर होती है। समुद्र तट की चिकनी रूपरेखा, जिसके चारों ओर समुद्र है।

समुद्र तट की लंबाई पता करना बहुत आसान है। एक नियमित धागा लें और इसे ध्यान से द्वीप की सीमाओं पर बिछा दें। फिर, इसकी लंबाई सेंटीमीटर में मापें और परिणामी संख्या को मानचित्र के पैमाने से गुणा करें - एक सेंटीमीटर में कई किलोमीटर होते हैं। यहाँ परिणाम है.

और अब अगला प्रयोग. आप विहंगम दृश्य में विमान से उड़ते हैं और समुद्र तट की तस्वीरें लेते हैं। परिणाम उपग्रह तस्वीरों के समान एक तस्वीर है। लेकिन यह तटरेखा दांतेदार निकली है। आपकी तस्वीरों में समुद्र में उभरी हुई छोटी-छोटी खाड़ियाँ, खाड़ियाँ और ज़मीन के टुकड़े दिखाई देते हैं। ये सब सच है, लेकिन सैटेलाइट से नहीं देखा जा सका. समुद्र तट की संरचना अधिक जटिल होती जा रही है।

मान लीजिए, घर पहुंचकर आपने अपनी तस्वीरों के आधार पर समुद्र तट का एक विस्तृत नक्शा बनाया। और आपने उसी धागे का उपयोग करके इसकी लंबाई मापने का निर्णय लिया, इसे आपको प्राप्त नए डेटा के अनुसार सख्ती से बिछाया। नई तटरेखा की लंबाई पुरानी से अधिक होगी। और महत्वपूर्ण रूप से. यह सहज रूप से स्पष्ट है. आख़िरकार, अब आपका धागा सभी खाड़ियों और खाड़ियों के किनारों के चारों ओर जाना चाहिए, न कि केवल तट के साथ से गुजरना चाहिए।

कृपया ध्यान दें। हमने ज़ूम आउट किया और सब कुछ बहुत अधिक जटिल और भ्रमित करने वाला हो गया। फ्रैक्टल्स की तरह.

और अब एक और पुनरावृत्ति. तुम उसी तट पर चलो। और समुद्र तट की राहत को रिकॉर्ड करें। यह पता चला है कि खाड़ियों और खाड़ियों के किनारे जिनकी आपने हवाई जहाज़ से तस्वीरें खींची थीं, वे बिल्कुल भी उतने चिकने और सरल नहीं हैं जितना आपने अपनी तस्वीरों में सोचा था। उनकी एक जटिल संरचना है. और इस प्रकार, यदि आप इस "पैदल यात्री" समुद्र तट का मानचित्रण करते हैं, तो इसकी लंबाई और भी अधिक बढ़ जाएगी।

हां, प्रकृति में कोई अनंतता नहीं है। लेकिन यह बिल्कुल स्पष्ट है कि समुद्र तट एक विशिष्ट भग्न है। यह अपने जैसा ही रहता है, लेकिन बारीकी से जांच करने पर इसकी संरचना अधिक से अधिक जटिल हो जाती है (माइक्रोस्कोप से उदाहरण याद रखें)।

यह सचमुच एक अद्भुत घटना है. हम इस तथ्य के आदी हैं कि आकार (वर्ग, त्रिकोण, वृत्त) में सीमित विमान पर किसी भी ज्यामितीय वस्तु की सीमाओं की एक निश्चित और सीमित लंबाई होती है। लेकिन यहां सब कुछ अलग है. सीमा में समुद्र तट की लंबाई अनंत हो जाती है।

पेड़

लेकिन आइए एक पेड़ की कल्पना करें। एक साधारण पेड़. कुछ फैले हुए लिंडन के पेड़। आइए उसकी सूंड को देखें। जड़ के पास. यह थोड़ा विकृत सिलेंडर जैसा दिखता है। वे। बहुत ही सरल आकार है.

आइए अपनी आँखें ऊपर उठाएँ। तने से शाखाएँ निकलने लगती हैं। प्रत्येक शाखा की शुरुआत में, ज्यामिति के दृष्टिकोण से, ट्रंक के समान संरचना होती है - बेलनाकार। लेकिन पूरे पेड़ की संरचना बदल गई है। यह बहुत अधिक जटिल हो गया है.

अब आइए इन शाखाओं पर नजर डालें। उनसे छोटी शाखाएँ निकलती हैं। उनके आधार पर उनका आकार थोड़ा विकृत बेलनाकार जैसा ही होता है। उसी ट्रंक की तरह. और फिर उनसे बहुत छोटी शाखाएँ निकलती हैं। और इसी तरह।

पेड़ हर स्तर पर अपना पुनरुत्पादन करता है। साथ ही, इसकी संरचना लगातार अधिक जटिल होती जा रही है, लेकिन अपने जैसी ही बनी हुई है। क्या यह भग्न नहीं है?

प्रसार

और यहाँ मानव परिसंचरण तंत्र है। इसकी एक भग्न संरचना भी होती है। धमनियाँ और नसें होती हैं। उनमें से कुछ के माध्यम से रक्त हृदय (नसों) में आता है, दूसरों के माध्यम से यह (धमनियों) से आता है। और फिर, परिसंचरण तंत्र उसी पेड़ जैसा दिखने लगता है जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी। वाहिकाएँ, अपनी संरचना को बनाए रखते हुए, तेजी से पतली और शाखायुक्त हो जाती हैं। वे हमारे शरीर के सबसे दूरस्थ क्षेत्रों में प्रवेश करते हैं, हर कोशिका तक ऑक्सीजन और अन्य महत्वपूर्ण घटक पहुंचाते हैं। यह एक विशिष्ट भग्न संरचना है जो छोटे और छोटे पैमाने पर खुद को पुन: उत्पन्न करती है।

नदी जल निकासी

"वोल्गा नदी बहुत दूर से बहती है।" भौगोलिक मानचित्र पर यह एक नीली घुमावदार रेखा है। खैर, बड़ी सहायक नदियाँ चिन्हित हैं। ठीक है, कामा. अगर हम ज़ूम आउट करें तो क्या होगा? इससे पता चलता है कि इनमें से कई और सहायक नदियाँ हैं। न केवल वोल्गा के पास, बल्कि ओका और कामा के पास भी। और उनकी अपनी सहायक नदियाँ भी हैं, केवल छोटी। और उनका अपना है. एक संरचना उभरती है जो उल्लेखनीय रूप से मानव परिसंचरण तंत्र के समान है। और फिर सवाल उठता है. यह सम्पूर्ण जल व्यवस्था कितनी लम्बी है? यदि आप केवल मुख्य चैनल की लंबाई मापें, तो सब कुछ स्पष्ट है। आप इसे किसी भी पाठ्यपुस्तक में पढ़ सकते हैं। यदि आप सब कुछ मापें तो क्या होगा? पुनः, सीमा में, अनन्तता निकलती है।

हमारा ब्रह्मांड

बेशक, अरबों प्रकाश वर्ष के पैमाने पर, ब्रह्मांड की संरचना सजातीय है। लेकिन आइए इस पर करीब से नज़र डालें। और फिर हम देखेंगे कि इसमें कोई एकरूपता नहीं है. कहीं आकाशगंगाएँ (तारा समूह) हैं, कहीं ख़ालीपन है। क्यों? पदार्थ का वितरण अनियमित श्रेणीबद्ध नियमों का पालन क्यों करता है? और आकाशगंगाओं के अंदर क्या होता है (एक और ज़ूम आउट)। कहीं तारे ज्यादा हैं तो कहीं कम। कहीं ग्रहीय प्रणालियाँ हैं, जैसे हमारे सौर मंडल में, और कहीं नहीं।

क्या संसार का भग्न सार यहाँ प्रकट नहीं हुआ है? अब, निःसंदेह, सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत, जो हमारे ब्रह्मांड की उत्पत्ति और इसकी संरचना की व्याख्या करता है, और भग्न गणित के बीच एक बड़ा अंतर है। लेकिन कौन जानता है? शायद यह सब एक दिन एक "सामान्य भाजक" पर लाया जाएगा, और हम अपने चारों ओर के ब्रह्मांड को पूरी तरह से अलग आँखों से देखेंगे।

व्यावहारिक बातों के लिए

ऐसे ही कई उदाहरण दिए जा सकते हैं. लेकिन आइए अधिक नीरस बातों पर वापस आते हैं। उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र. ऐसा प्रतीत होता है कि फ्रैक्टल्स का इससे कुछ लेना-देना है। इससे पता चलता है कि इसका इससे बहुत कुछ लेना-देना है। इसका उदाहरण शेयर बाज़ार है।

अभ्यास से पता चलता है कि आर्थिक प्रक्रियाएँ अक्सर अराजक और अप्रत्याशित होती हैं। आज तक मौजूद गणितीय मॉडल, जो इन प्रक्रियाओं का वर्णन करने की कोशिश करते थे, उन्होंने एक बहुत महत्वपूर्ण कारक - बाजार की स्व-संगठित करने की क्षमता को ध्यान में नहीं रखा।

यहीं पर फ्रैक्टल्स का सिद्धांत बचाव के लिए आता है, जिसमें "स्व-संगठन" के गुण होते हैं, जो खुद को विभिन्न पैमानों के स्तर पर पुन: प्रस्तुत करते हैं। बेशक, फ्रैक्टल एक विशुद्ध गणितीय वस्तु है। प्रकृति और अर्थव्यवस्था दोनों में, वे मौजूद नहीं हैं। लेकिन भग्न घटना की एक अवधारणा है। वे केवल सांख्यिकीय अर्थ में भग्न हैं। फिर भी, फ्रैक्टल गणित और सांख्यिकी का सहजीवन काफी सटीक और पर्याप्त पूर्वानुमान प्राप्त करना संभव बनाता है। शेयर बाज़ारों का विश्लेषण करते समय यह दृष्टिकोण विशेष रूप से प्रभावी होता है। और ये गणितज्ञों के "आविष्कार" नहीं हैं। विशेषज्ञ डेटा से पता चलता है कि कई शेयर बाजार प्रतिभागी फ्रैक्टल गणित के क्षेत्र में विशेषज्ञों को भुगतान करने पर बहुत पैसा खर्च करते हैं।

फ्रैक्टल का सिद्धांत क्या देता है? यह अतीत में जो कुछ हुआ उस पर मूल्य निर्धारण की एक सामान्य, वैश्विक निर्भरता को दर्शाता है। बेशक, स्थानीय स्तर पर मूल्य निर्धारण प्रक्रिया यादृच्छिक है। लेकिन कीमतों में बेतरतीब उछाल और गिरावट, जो क्षणिक रूप से हो सकती है, समूहों में इकट्ठा होने की क्षमता रखती है। जिन्हें बड़े समय के पैमाने पर पुन: प्रस्तुत किया जाता है। इसलिए, जो एक बार था उसका विश्लेषण करके, हम अनुमान लगा सकते हैं कि यह या वह बाजार विकास प्रवृत्ति (वृद्धि या गिरावट) कितने समय तक चलेगी।

इस प्रकार, वैश्विक स्तर पर, यह या वह बाज़ार स्वयं को "पुन: प्रस्तुत" करता है। किसी भी समय किसी भी समय कई बाहरी कारकों के कारण होने वाले यादृच्छिक उतार-चढ़ाव की अनुमति देना। लेकिन वैश्विक रुझान कायम हैं।

निष्कर्ष

संसार भग्न सिद्धांत के अनुसार क्यों व्यवस्थित है? इसका उत्तर यह हो सकता है कि गणितीय मॉडल के रूप में फ्रैक्टल्स में स्व-संगठन और आत्म-समानता का गुण होता है। इसके अलावा, उनका प्रत्येक रूप (लेख की शुरुआत में दिए गए चित्र देखें) कितना भी जटिल क्यों न हो, समान रूप विकसित करते हुए अपना जीवन जीता है। क्या हमारी दुनिया ऐसे ही नहीं चलती?

और यहाँ समाज है. एक विचार प्रकट होता है. पहले तो काफ़ी सारगर्भित. और फिर यह "जनता में प्रवेश करता है।" हाँ, यह किसी तरह बदल जाता है। लेकिन कुल मिलाकर मामला वैसा ही है. और अधिकांश लोगों के स्तर पर यह जीवन पथ के लिए लक्ष्य निर्धारण में बदल जाता है। यहाँ वही यूएसएसआर है। सीपीएसयू की अगली कांग्रेस ने अगले युग-निर्माण निर्णयों को अपनाया, और यह सब पतन की ओर चला गया। छोटे और छोटे पैमाने पर. नगर समितियाँ, पार्टी समितियाँ। और इसी तरह हर व्यक्ति के लिए। दोहराई जाने वाली संरचना.

बेशक, फ्रैक्टल सिद्धांत हमें भविष्य की घटनाओं की भविष्यवाणी करने की अनुमति नहीं देता है। और ये शायद ही संभव हो. लेकिन जो कुछ भी हमें घेरे हुए है और हमारे दैनिक जीवन में जो कुछ भी घटित होता है, वह हमें इसे पूरी तरह से अलग आंखों से देखने की अनुमति देता है। सचेत।

फ्रैक्टल की खोज कैसे हुई

फ्रैक्टल के रूप में जानी जाने वाली गणितीय आकृतियाँ प्रख्यात वैज्ञानिक बेनोइट मैंडेलब्रॉट की प्रतिभा से उत्पन्न हुई हैं। अपने जीवन के अधिकांश समय उन्होंने अमेरिका के येल विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाया। 1977 - 1982 में, मैंडेलब्रॉट ने "फ्रैक्टल ज्योमेट्री" या "प्रकृति की ज्यामिति" के अध्ययन के लिए समर्पित वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित किए, जिसमें उन्होंने प्रतीत होता है कि यादृच्छिक गणितीय रूपों को घटक तत्वों में तोड़ दिया, जो बारीकी से जांच करने पर, दोहराए जाने वाले निकले - जो नकल के लिए एक निश्चित मॉडल की उपस्थिति साबित हुई। मैंडेलब्रॉट की खोज का भौतिकी, खगोल विज्ञान और जीव विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण परिणाम हुआ।

प्रकृति में भग्न

प्रकृति में, कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़ के मुकुट, फूलगोभी, बादल, मनुष्यों और जानवरों की परिसंचरण और वायुकोशीय प्रणाली, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े, जिनके तत्व एक जटिल संरचना में व्यवस्थित होते हैं, समुद्र तट (भग्न अवधारणा की अनुमति है) वैज्ञानिक ब्रिटिश द्वीपों की तटरेखा और अन्य पहले मापी न जा सकने वाली वस्तुओं को मापेंगे)।

आइए फूलगोभी की संरचना पर नजर डालें। यदि आप फूलों में से एक को काटते हैं, तो यह स्पष्ट है कि वही फूलगोभी आपके हाथों में रहती है, केवल आकार में छोटी। हम बार-बार काट सकते हैं, यहां तक ​​कि माइक्रोस्कोप के नीचे भी - लेकिन हमें फूलगोभी की छोटी-छोटी प्रतियां ही मिलती हैं। इस सरलतम मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में भी संपूर्ण अंतिम संरचना के बारे में जानकारी होती है।

डिजिटल प्रौद्योगिकी में भग्न

फ्रैक्टल ज्योमेट्री ने डिजिटल संगीत के क्षेत्र में नई तकनीकों के विकास में अमूल्य योगदान दिया है, और डिजिटल छवियों को संपीड़ित करना भी संभव बनाया है। मौजूदा फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम डिजिटल छवि के बजाय संपीड़ित छवि को संग्रहीत करने के सिद्धांत पर आधारित हैं। संपीड़ित छवि के लिए, मुख्य छवि एक निश्चित बिंदु बनी रहती है। माइक्रोसॉफ्ट ने अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग किया था, लेकिन किसी न किसी कारण से इस विचार का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स का गणितीय आधार फ्रैक्टल ज्यामिति है, जहां मूल "मूल वस्तुओं" से विरासत का सिद्धांत "उत्तराधिकारी छवियों" के निर्माण के तरीकों का आधार है। फ्रैक्टल ज्योमेट्री और फ्रैक्टल ग्राफिक्स की अवधारणाएं लगभग 30 साल पहले ही सामने आईं, लेकिन कंप्यूटर डिजाइनरों और गणितज्ञों के रोजमर्रा के जीवन में पहले ही मजबूती से स्थापित हो चुकी हैं।

फ्रैक्टल कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की मूल अवधारणाएँ हैं:

• भग्न त्रिभुज - भग्न आकृति - भग्न वस्तु (अवरोही क्रम में पदानुक्रम)
• भग्न रेखा
• भग्न रचना
• "मूल वस्तु" और "उत्तराधिकारी वस्तु"

वेक्टर और त्रि-आयामी ग्राफिक्स की तरह, फ्रैक्टल छवियों के निर्माण की गणना गणितीय रूप से की जाती है। पहले दो प्रकार के ग्राफ़िक्स से मुख्य अंतर यह है कि एक फ्रैक्टल छवि एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुसार बनाई जाती है - आपको सभी गणना करने के लिए कंप्यूटर की मेमोरी में सूत्र के अलावा कुछ भी संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है - और यह गणितीय उपकरण की सघनता ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस विचार के उपयोग की अनुमति दी। बस समीकरण के गुणांकों को बदलकर, आप आसानी से एक पूरी तरह से अलग फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं - कई गणितीय गुणांकों का उपयोग करके, बहुत जटिल आकृतियों की सतहों और रेखाओं को निर्दिष्ट किया जाता है, जो आपको क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, समरूपता और विषमता जैसी संरचना तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। , विकर्ण दिशाएँ और भी बहुत कुछ।

फ्रैक्टल का निर्माण कैसे करें?

फ्रैक्टल्स का निर्माता एक ही समय में एक कलाकार, फोटोग्राफर, मूर्तिकार और वैज्ञानिक-आविष्कारक की भूमिका निभाता है। स्क्रैच से चित्र बनाने के आगामी चरण क्या हैं?

• गणितीय सूत्र का उपयोग करके चित्र का आकार निर्धारित करें
• प्रक्रिया के अभिसरण की जांच करें और इसके मापदंडों में बदलाव करें
• छवि प्रकार चुनें
• एक रंग पैलेट चुनें

फ्रैक्टल ग्राफिक संपादकों और अन्य ग्राफिक कार्यक्रमों में हम निम्नलिखित पर प्रकाश डाल सकते हैं:

• "आर्ट डब्बलर"
• "पेंटर" (कंप्यूटर के बिना, कोई भी कलाकार केवल पेंसिल और ब्रश पेन के माध्यम से प्रोग्रामर द्वारा निर्धारित क्षमताओं को प्राप्त नहीं कर पाएगा)
• "एडोब फोटोशॉप" (लेकिन यहां छवि "स्क्रैच से" नहीं बनाई गई है, बल्कि, एक नियम के रूप में, केवल संसाधित की गई है)

आइए एक मनमाना भग्न ज्यामितीय आकृति की संरचना पर विचार करें। इसके केंद्र में सबसे सरल तत्व है - एक समबाहु त्रिभुज, जिसे एक ही नाम मिला: "फ्रैक्टल"। भुजाओं के मध्य खंड पर, हम समबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंगे जिसकी भुजा मूल भग्न त्रिभुज की भुजा के एक तिहाई के बराबर होगी। उसी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दूसरी पीढ़ी के और भी छोटे उत्तराधिकारी त्रिकोण बनाए जाते हैं - और इसी तरह अनंत काल तक। परिणामी वस्तु को "फ्रैक्टल फिगर" कहा जाता है, जिसके अनुक्रम से हमें "फ्रैक्टल संरचना" प्राप्त होती है।

स्रोत: http://www.iknowit.ru/

भग्न और प्राचीन मंडल

यह धन को आकर्षित करने वाला मंडल है। कहते हैं कि लाल रंग धन चुम्बक की तरह काम करता है। क्या अलंकृत पैटर्न आपको किसी चीज़ की याद नहीं दिलाते? वे मुझे बहुत परिचित लगे और मैंने एक भग्न के रूप में मंडलों पर शोध करना शुरू कर दिया।

सिद्धांत रूप में, मंडल एक जटिल संरचना का एक ज्यामितीय प्रतीक है, जिसकी व्याख्या ब्रह्मांड के एक मॉडल, "ब्रह्मांड के मानचित्र" के रूप में की जाती है। यह भंगुरता का पहला संकेत है!

वे कपड़े पर कढ़ाई की जाती हैं, रेत पर चित्रित की जाती हैं, रंगीन पाउडर से बनाई जाती हैं और धातु, पत्थर, लकड़ी से बनाई जाती हैं। इसका उज्ज्वल और मनमोहक स्वरूप इसे भारत में मंदिरों के फर्श, दीवारों और छत के लिए एक सुंदर सजावट बनाता है। प्राचीन भारतीय भाषा में, "मंडल" का अर्थ ब्रह्मांड की आध्यात्मिक और भौतिक ऊर्जा, या दूसरे शब्दों में, जीवन के फूल के बीच संबंधों का रहस्यमय चक्र है।

मैं फ्रैक्टल मंडलों की एक बहुत ही संक्षिप्त समीक्षा लिखना चाहता था, जिसमें न्यूनतम पैराग्राफ हों, जिससे पता चले कि संबंध स्पष्ट रूप से मौजूद है। हालाँकि, फ्रैक्टल्स और मंडलों के बारे में जानकारी को समझने और एक पूरे में जोड़ने की कोशिश करते हुए, मुझे अपने लिए अज्ञात स्थान में एक क्वांटम छलांग का एहसास हुआ।

मैं इस विषय की विशालता को एक उद्धरण के साथ प्रदर्शित करता हूं: "ऐसी भग्न रचनाओं या मंडलों का उपयोग चित्रों, रहने और काम करने की जगहों के लिए डिजाइन तत्वों, पहनने योग्य ताबीज, वीडियोटेप, कंप्यूटर प्रोग्राम के रूप में किया जा सकता है..." सामान्य तौर पर, फ्रैक्टल्स के अध्ययन का विषय बहुत बड़ा है।

एक बात मैं निश्चित रूप से कह सकता हूं कि दुनिया इसके बारे में हमारे मन में मौजूद खराब विचारों की तुलना में कहीं अधिक विविध और समृद्ध है।

भग्न समुद्री जानवर

फ्रैक्टल समुद्री जानवरों के बारे में मेरे अनुमान निराधार नहीं थे। यहां पहले प्रतिनिधि हैं. ऑक्टोपस सेफलोपोड्स के क्रम से नीचे रहने वाला एक समुद्री जानवर है।

इस फोटो को देखकर, इसके शरीर की भग्न संरचना और इस जानवर के सभी आठ स्पर्शकों पर चूसने वाले मेरे लिए स्पष्ट हो गए। एक वयस्क ऑक्टोपस के तम्बू पर चूसने वालों की संख्या 2000 तक पहुँच जाती है।

एक दिलचस्प तथ्य यह है कि ऑक्टोपस के तीन दिल होते हैं: एक (मुख्य) पूरे शरीर में नीला रक्त चलाता है, और अन्य दो - गलफड़े - रक्त को गलफड़ों के माध्यम से धकेलते हैं। गहरे समुद्र के इन भग्नों के कुछ प्रकार जहरीले होते हैं।

अपने आप को अपने वातावरण के अनुसार ढालकर और छिपाकर, ऑक्टोपस में रंग बदलने की बहुत उपयोगी क्षमता होती है।

ऑक्टोपस को सभी अकशेरुकी जीवों में सबसे "स्मार्ट" माना जाता है। वे लोगों को जानते हैं और उन लोगों के आदी हो जाते हैं जो उन्हें खाना खिलाते हैं। ऐसे ऑक्टोपस को देखना दिलचस्प होगा जिन्हें प्रशिक्षित करना आसान है, जिनकी याददाश्त अच्छी है और जो ज्यामितीय आकृतियों को भी पहचानते हैं। लेकिन इन भग्न जानवरों का जीवनकाल छोटा होता है - अधिकतम 4 वर्ष।

मनुष्य इस जीवित फ्रैक्टल और अन्य सेफलोपोड्स की स्याही का उपयोग करता है। उनके स्थायित्व और सुंदर भूरे रंग के कारण कलाकारों द्वारा उनकी मांग की जाती है। भूमध्यसागरीय व्यंजनों में, ऑक्टोपस विटामिन बी3, बी12, पोटेशियम, फास्फोरस और सेलेनियम का एक स्रोत है। लेकिन मुझे लगता है कि इन समुद्री फ्रैक्टल्स को भोजन के रूप में खाने का आनंद लेने के लिए आपको यह जानना होगा कि इन्हें कैसे पकाया जाए।

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऑक्टोपस शिकारी होते हैं। अपने भग्न जालों से वे मोलस्क, क्रस्टेशियंस और मछली के रूप में शिकार पकड़ते हैं। यह अफ़सोस की बात है कि इतना सुंदर मोलस्क इन समुद्री जीवों का भोजन बन जाता है। मेरी राय में, वह समुद्री साम्राज्य के भग्नों का एक विशिष्ट प्रतिनिधि भी है।

यह घोंघे का रिश्तेदार है, गैस्ट्रोपॉड न्यूडिब्रांच ग्लौकस, जिसे ग्लौकस के नाम से भी जाना जाता है, जिसे ग्लौकस एटलांटिकस के नाम से भी जाना जाता है, जिसे ग्लौसिला मार्जिनटा के नाम से भी जाना जाता है। यह फ्रैक्टल इस मायने में भी असामान्य है कि यह पानी की सतह के नीचे रहता है और सतह के तनाव के कारण अपनी जगह पर बना रहता है। क्योंकि मोलस्क एक उभयलिंगी है, फिर संभोग के बाद दोनों "साझेदार" अंडे देते हैं। यह भग्न उष्णकटिबंधीय क्षेत्र के सभी महासागरों में पाया जाता है।

समुद्री साम्राज्य के भग्न

हम में से प्रत्येक ने, अपने जीवन में कम से कम एक बार, अपने हाथों में एक समुद्री सीप पकड़ी और वास्तविक बचकानी रुचि के साथ उसकी जांच की।

आमतौर पर सीपियाँ समुद्र की यात्रा की याद दिलाने वाली एक खूबसूरत स्मारिका होती हैं। जब आप अकशेरुकी मोलस्क के इस सर्पिल गठन को देखते हैं, तो इसकी भग्न प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं है।

हम इंसान कुछ हद तक इन नरम शरीर वाले मोलस्क की तरह हैं, जो अच्छी तरह से बने कंक्रीट फ्रैक्टल घरों में रहते हैं, अपने शरीर को तेज कारों में रखते और ले जाते हैं।

भग्न पानी के नीचे की दुनिया का एक और विशिष्ट प्रतिनिधि मूंगा है।
प्रकृति में मूंगों की 3,500 से अधिक किस्में ज्ञात हैं, जिनमें 350 रंगों तक का पैलेट होता है।

मूंगा, मूंगा पॉलीप्स की एक कॉलोनी का कंकाल सामग्री है, जो अकशेरुकी परिवार से भी है। उनका विशाल संचय संपूर्ण प्रवाल भित्तियों का निर्माण करता है, जिसके निर्माण की भग्न विधि स्पष्ट है।

मूंगे को पूरे विश्वास के साथ समुद्री साम्राज्य का एक भग्न कहा जा सकता है।

इसका उपयोग मनुष्यों द्वारा स्मारिका या गहनों और आभूषणों के लिए कच्चे माल के रूप में भी किया जाता है। लेकिन भग्न प्रकृति की सुंदरता और पूर्णता को दोहराना बहुत मुश्किल है।

किसी कारण से, मुझे इसमें कोई संदेह नहीं है कि पानी के नीचे की दुनिया में आपको कई भग्न जानवर भी मिलेंगे।

एक बार फिर, रसोई में चाकू और कटिंग बोर्ड के साथ अनुष्ठान करते हुए, और फिर, चाकू को ठंडे पानी में डुबोते हुए, मेरी आँखों में आँसू आ गए और एक बार फिर मुझे पता चला कि लगभग हर दिन मेरी आँखों के सामने आने वाले आंसू फ्रैक्टल से कैसे निपटना है .

भग्नता का सिद्धांत प्रसिद्ध नेस्टिंग गुड़िया - नेस्टिंग के समान है। यही कारण है कि फ्रैक्चरिटी पर तुरंत ध्यान नहीं दिया जाता है। इसके अलावा, प्रकाश, समान रंग और अप्रिय संवेदना पैदा करने की इसकी प्राकृतिक क्षमता ब्रह्मांड के करीबी अवलोकन और फ्रैक्टल गणितीय पैटर्न की पहचान में योगदान नहीं देती है।

लेकिन बकाइन रंग के सलाद प्याज ने, अपने रंग और आंसू पैदा करने वाले फाइटोनसाइड्स की अनुपस्थिति के कारण, मुझे इस सब्जी की प्राकृतिक भंगुरता के बारे में सोचने पर मजबूर कर दिया। बेशक, यह एक साधारण फ्रैक्टल है, विभिन्न व्यासों के साधारण वृत्त, कोई सबसे आदिम फ्रैक्टल भी कह सकता है। लेकिन यह याद रखने में कोई हर्ज नहीं होगा कि गेंद को हमारे ब्रह्मांड में एक आदर्श ज्यामितीय आकृति माना जाता है।

प्याज के लाभकारी गुणों के बारे में इंटरनेट पर कई लेख प्रकाशित हुए हैं, लेकिन किसी ने भी इस प्राकृतिक नमूने का फ्रैक्चरलिटी के दृष्टिकोण से अध्ययन करने की कोशिश नहीं की है। मैं केवल अपनी रसोई में प्याज के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग करने की उपयोगिता बता सकता हूं।

पी.एस. मैंने फ्रैक्टल्स काटने के लिए पहले से ही एक सब्जी कटर खरीद लिया है। अब हमें यह सोचना होगा कि साधारण सफेद पत्तागोभी जैसी स्वास्थ्यवर्धक सब्जी कितनी फ्रैक्टल है। घोंसला बनाने का वही सिद्धांत।

लोक कला में भग्न

विश्व प्रसिद्ध मैत्रियोश्का खिलौने की कहानी ने मेरा ध्यान खींचा। करीब से देखने पर, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह स्मारिका खिलौना एक विशिष्ट फ्रैक्टल है।

भग्नता का सिद्धांत तब स्पष्ट होता है जब लकड़ी के खिलौने की सभी आकृतियाँ एक पंक्ति में पंक्तिबद्ध होती हैं और एक दूसरे के अंदर नहीं होती हैं।

विश्व बाज़ार में इस खिलौना फ्रैक्टल की उपस्थिति के इतिहास पर मेरे छोटे से शोध से पता चला कि इस सुंदरता की जड़ें जापानी हैं। मैत्रियोश्का गुड़िया को हमेशा एक मूल रूसी स्मारिका माना गया है। लेकिन यह पता चला कि वह पुराने ऋषि फुकुरुमा की जापानी मूर्ति का प्रोटोटाइप थी, जिसे एक बार जापान से मास्को लाया गया था।

लेकिन यह रूसी खिलौना उद्योग ही था जिसने इस जापानी मूर्ति को दुनिया भर में प्रसिद्धि दिलाई। खिलौने के फ्रैक्टल नेस्टिंग का विचार कहां से आया यह मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से एक रहस्य बना हुआ है। सबसे अधिक संभावना है, इस खिलौने के लेखक ने एक दूसरे के अंदर आकृतियों को घोंसला बनाने के सिद्धांत का उपयोग किया। और निवेश करने का सबसे आसान तरीका विभिन्न आकारों के समान आंकड़े हैं, और यह पहले से ही एक भग्न है।

अध्ययन का एक समान रूप से दिलचस्प उद्देश्य एक फ्रैक्टल खिलौने की पेंटिंग है। यह एक सजावटी पेंटिंग है - खोखलोमा। खोखलोमा के पारंपरिक तत्व फूलों, जामुनों और शाखाओं के हर्बल पैटर्न हैं।

फिर से भंगुरता के सभी लक्षण। आख़िरकार, एक ही तत्व को विभिन्न संस्करणों और अनुपातों में कई बार दोहराया जा सकता है। परिणाम एक लोक फ्रैक्टल पेंटिंग है।

और यदि आप कंप्यूटर चूहों, लैपटॉप कवर और फोन की नई पेंटिंग से किसी को आश्चर्यचकित नहीं करेंगे, तो लोक शैली में कार की फ्रैक्टल ट्यूनिंग ऑटो डिजाइन में कुछ नया है। हमारे जीवन में फ्रैक्टल्स की दुनिया की हमारे लिए ऐसी सामान्य चीज़ों में इतने असामान्य तरीके से प्रकट होने पर कोई भी आश्चर्यचकित हो सकता है।

रसोई में भग्न

हर बार जब मैंने फूलगोभी को उबलते पानी में ब्लांच करने के लिए छोटे-छोटे पुष्पक्रमों में विभाजित किया, तो मैंने कभी भी फ्रैक्चर के स्पष्ट संकेतों पर ध्यान नहीं दिया, जब तक कि यह नमूना मेरे हाथ में नहीं आ गया।

पौधे की दुनिया से फ्रैक्टल का एक विशिष्ट प्रतिनिधि मेरी रसोई की मेज पर था।

फूलगोभी के प्रति मेरे पूरे प्यार के साथ, मुझे हमेशा एक समान सतह वाले नमूने मिले, जिनमें भग्नता के कोई स्पष्ट लक्षण दिखाई नहीं देते थे, और यहां तक ​​कि एक-दूसरे के भीतर निहित बड़ी संख्या में पुष्पक्रमों ने भी मुझे इस उपयोगी सब्जी में भग्न देखने का कारण नहीं दिया।

लेकिन स्पष्ट रूप से परिभाषित फ्रैक्टल ज्यामिति के साथ इस विशेष नमूने की सतह ने इस प्रकार की गोभी की फ्रैक्टल उत्पत्ति के बारे में थोड़ा सा भी संदेह नहीं छोड़ा।

हाइपरमार्केट की एक और यात्रा ने केवल गोभी की भग्न स्थिति की पुष्टि की। विदेशी सब्जियों की भारी संख्या के बीच फ्रैक्टल्स का एक पूरा डिब्बा था। यह रोमनस्कु, या रोमनस्क्यू ब्रोकोली, फूलगोभी थी।

यह पता चला है कि डिजाइनर और 3डी कलाकार इसकी विदेशी फ्रैक्टल जैसी आकृतियों की प्रशंसा करते हैं।

पत्तागोभी की कलियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ती हैं। रोमनेस्कु गोभी का पहला उल्लेख 16वीं शताब्दी में इटली से आया था।

और ब्रोकोली गोभी मेरे आहार में बार-बार आने वाली मेहमान नहीं है, हालांकि पोषक तत्वों और सूक्ष्म तत्वों की सामग्री के मामले में यह फूलगोभी से कई गुना बेहतर है। लेकिन इसकी सतह और आकार इतना एक समान है कि मुझे कभी इसमें वनस्पति भग्न देखने का ख्याल ही नहीं आया।

क्विलिंग में फ्रैक्टल

क्विलिंग तकनीक का उपयोग करते हुए ओपनवर्क शिल्पों को देखने के बाद, मुझे कभी यह एहसास नहीं हुआ कि उन्होंने मुझे कुछ याद दिलाया है। विभिन्न आकारों में समान तत्वों की पुनरावृत्ति, निश्चित रूप से, भग्नता का सिद्धांत है।

क्विलिंग पर एक और मास्टर क्लास देखने के बाद, क्विलिंग की भग्न प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं रह गया था। आखिरकार, क्विलिंग शिल्प के लिए विभिन्न तत्वों को बनाने के लिए, विभिन्न व्यास के हलकों वाले एक विशेष शासक का उपयोग किया जाता है। उत्पादों की सारी सुंदरता और विशिष्टता के बावजूद, यह एक अविश्वसनीय रूप से सरल तकनीक है।

क्विलिंग शिल्प के लगभग सभी मुख्य तत्व कागज से बनाए जाते हैं। मुफ़्त क्विलिंग पेपर का स्टॉक रखने के लिए, घर पर अपनी किताबों की अलमारियों पर एक नज़र डालें। निश्चित रूप से, आपको वहाँ कुछ चमकदार चमकदार पत्रिकाएँ मिलेंगी।

क्विलिंग उपकरण सरल और सस्ते हैं। शौकिया क्विलिंग कार्य करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह आपके घरेलू स्टेशनरी आपूर्ति में पाया जा सकता है।

और क्विलिंग का इतिहास यूरोप में 18वीं शताब्दी में शुरू होता है। पुनर्जागरण के दौरान, फ्रांसीसी और इतालवी मठों के भिक्षुओं ने किताबों के कवर को सजाने के लिए क्विलिंग का उपयोग किया था और उन्हें पेपर-रोलिंग तकनीक की भग्न प्रकृति के बारे में भी पता नहीं था जिसका उन्होंने आविष्कार किया था। उच्च समाज की लड़कियों ने विशेष स्कूलों में क्विलिंग पाठ्यक्रम भी लिया। इस तरह यह तकनीक देशों और महाद्वीपों में फैलने लगी।

शानदार आलूबुखारा बनाने पर इस वीडियो क्विलिंग मास्टर क्लास को "इसे स्वयं करें फ्रैक्टल" भी कहा जा सकता है। पेपर फ्रैक्टल्स की मदद से, अद्भुत विशेष वेलेंटाइन कार्ड और कई अन्य दिलचस्प चीजें प्राप्त की जाती हैं। आख़िरकार, कल्पना, प्रकृति की तरह, अटूट है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि जापानियों के पास जीवन में स्थान बहुत सीमित है, और इसलिए उन्हें इसका प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए हर संभव प्रयास करना पड़ता है। ताकेशी मियाकावा दिखाता है कि यह कैसे प्रभावी ढंग से और सौंदर्यपूर्ण तरीके से किया जा सकता है। उनका फ्रैक्टल कैबिनेट इस बात का प्रमाण है कि डिज़ाइन में फ्रैक्टल का उपयोग न केवल फैशन के लिए एक श्रद्धांजलि है, बल्कि सीमित स्थान में एक सामंजस्यपूर्ण डिजाइन समाधान भी है।

फ़र्निचर डिज़ाइन के संबंध में वास्तविक जीवन में फ्रैक्टल का उपयोग करने के इस उदाहरण ने मुझे दिखाया कि फ्रैक्टल न केवल गणितीय सूत्रों और कंप्यूटर प्रोग्रामों में कागज पर वास्तविक हैं।

और ऐसा लगता है कि प्रकृति हर जगह भग्नता के सिद्धांत का उपयोग करती है। आपको बस इसे करीब से देखने की जरूरत है, और यह अपनी शानदार प्रचुरता और अस्तित्व की अनंतता में खुद को प्रकट करेगा।

ये अमूर्त गणितीय वस्तुएं हैं जिनमें गुण होते हैं सेल्फ़-सिमिलैरिटी. अर्थात् भग्न के भाग भग्न के ही समान होते हैं और इन भागों के भाग भी भग्न आदि के समान होते हैं। ये इस एनीमेशन में साफ नजर आ रहा है. ज़ूम बढ़ाने पर हमें फिर से वैसी ही संरचनाएँ दिखाई देती हैं।

हालाँकि, सवाल उठता है - वास्तविक दुनिया में लागू होने पर फ्रैक्टल गणितीय मॉडल कितने सार्वभौमिक हैं?कुछ मामलों में वे लागू होते हैं. उदाहरण के लिए, अत्यधिक दांतेदार समुद्री तटों का वर्णन करते समय, अंतरिक्ष से प्राप्त ऐसे तटों की छवियों को बार-बार बड़ा करने से, हमें बड़े तटों के समान छोटी संरचनाएं प्राप्त होंगी। लेकिन, क्या विश्व समग्र रूप से भग्न है?यानी, माइक्रोवर्ल्ड में गहराई से जाने और मेगावर्ल्ड के तेजी से बड़े पैमाने पर देखने पर, क्या हम समान संरचनाएं देखेंगे? बेशक, यह इस तरह से सरल होगा - कुछ भी नया खोजने या आविष्कार करने की कोई आवश्यकता नहीं है, सब कुछ उसी तरह से बनाया गया है: ग्रह तारों के चारों ओर घूमते हैं, उपग्रह ग्रहों के चारों ओर घूमते हैं, इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर घूमते हैं। आगे बढ़ते हुए, हम यह मान सकते हैं कि इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन भी ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें एक केंद्रीय पिंड और उसके चारों ओर घूमने वाले छोटे पिंड होते हैं।

हालाँकि, यह बहुत होगा उबाऊ- हर जगह एक ही चीज़ दिख रही है. कोई मौलिक नवीनता नहीं... यह संभावना नहीं है कि प्रकृति इतनी उबाऊ और नीरस है! हमारा सारा अनुभव बताता है कि न केवल समानताएं हैं, बल्कि सबसे संबंधित वस्तुओं के बीच भी अंतर हैं (उदाहरण के लिए, एक ही ड्रूस के क्रिस्टल के बीच, बर्फ के टुकड़ों के बीच, जुड़वां लोगों के बीच, आदि)। निःसंदेह, प्रकृति में है सार्वभौमिक कानून, जिसकी खोज के लिए जानने वाला मन प्रयास करता है (यह इसका मुख्य और सबसे बड़ा लक्ष्य है; यह सीधे खुद को निर्धारित करता है दर्शन, मानव संज्ञानात्मक गतिविधि के शिखर के रूप में)। इसलिए, पदार्थ के संगठन के सभी स्तरों पर कुछ सामान्य और समान है: प्राथमिक कणों से लेकर मानस, चेतना और समाज तक। तथापि, अभिव्यक्ति के रूपपदार्थ के संगठन के विभिन्न स्तरों पर और उसके विभिन्न भागों में सार्वभौमिक नियम अलग-अलग हैं। इसलिए हम नजर रख रहे हैं.' अलगदुनिया के विभिन्न हिस्सों में और इसके विभिन्न स्तरों पर संरचनाएं, हालांकि समान कानूनों के अधीन हैं (जो हमारे द्वारा पूरी तरह से खोजे जाने से बहुत दूर हैं)।

मैं इस दिलचस्प विषय पर चर्चा करने का प्रस्ताव करता हूं, खासकर जब से इसे हमारे सम्मानित सोलारिस ने अपनी विज्ञान कथा कहानियों की श्रृंखला में पहले ही उठाया है "द यूनिवर्स ऑफ़ इंगा औलेंग" . उनमें, लेखक यह विचार व्यक्त करता है कि ब्रह्मांड एक बहुकोशिकीय जीव की कोशिका की तरह है, और अन्य ब्रह्मांड इस जीव की अन्य कोशिकाएं हैं। सोलारिस का एक अन्य विचार यह है कि एक एकल प्रोटॉन पूरे ब्रह्मांड की तरह है। ये सब इससे ज्यादा कुछ नहीं है संसार की भंगुरता के बारे में विचार.

जिस वीडियो का मैंने ऊपर उल्लेख किया है (अच्छी तरह से चुने गए संगीत के साथ!) वह एक ही समय में "पदार्थ" की गहराई में प्रवेश करने, स्वयं की कमी की एक दिलचस्प भावना पैदा करता है। जैसा कि उत्कृष्ट भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने 1959 में नैनो टेक्नोलॉजी के विकास की आशा करते हुए कहा था, " वहाँ नीचे बहुत जगह है" और जब आप यह वीडियो देखते हैं तो आप इसे शारीरिक रूप से महसूस करते हैं।
लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आपको सोचने पर मजबूर करता है मैक्रो-, माइक्रो- और मेगा-वर्ल्ड के बीच संबंध के बारे में बुनियादी प्रश्न. यदि हम अचानक नाटकीय रूप से सिकुड़ जाएं तो क्या होगा? हम जिस मैक्रोवर्ल्ड के आदी हैं, वह अपनी समस्याओं और गैरबराबरी के साथ कहीं किनारे, मेगावर्ल्ड के क्षेत्र में चला जाता है। और साथ ही, इसकी प्रक्रियाएं, इसके आयाम, समय और ऊर्जाएं हमारे लिए अर्थ खो देती हैं। ऐसा लगता है जैसे वे अब हमारे लिए नहीं हैं। उस नए सूक्ष्म जगत में जहां हम "आगे बढ़ते हैं", स्थान, समय और ऊर्जा के हमारे अपने पैमाने उत्पन्न होते हैं। इसमें हमारा जीवन हमारे पूर्व मैक्रोवर्ल्ड में शेष प्राणियों के लिए केवल एक पल होगा, हमारा आकार सबसे शक्तिशाली सूक्ष्मदर्शी में भी उनके लिए दृश्यता की सीमा से परे होगा, और हमारी ऊर्जाएं होंगी... (कौन सी? अधिक? कम?)। इसलिए, उस दुनिया के लिए, हम और वह दोनों हमारे लिए बमुश्किल बोधगम्य रहस्य होंगे, जिनका एक-दूसरे पर बहुत कम प्रभाव पड़ेगा।
या शायद यह दूसरा तरीका है? और सूक्ष्म, स्थूल और मेगा-संसार किसी तरह एक-दूसरे से निकटता से जुड़े हुए हैं और पैमाने में आमूल-चूल अंतर के बावजूद एक-दूसरे को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं? कम से कम उन्हीं सार्वभौमिक कानूनों के माध्यम से जिनके बारे में मैंने ऊपर बात की थी।
ये दिलचस्प वीडियो आपको ये सब सोचने पर मजबूर कर देगा.