वृत्त समीकरण। एक वृत्त और एक सीधी रेखा का समीकरण से गुजरने वाले वृत्त के समीकरणों की रचना कीजिए
पाठ का उद्देश्य:एक वृत्त के समीकरण का परिचय दें, छात्रों को एक तैयार चित्र के अनुसार एक वृत्त का समीकरण बनाना सिखाएँ, दिए गए समीकरण के अनुसार एक वृत्त बनाएँ।
उपकरण: इंटरेक्टिव बोर्ड।
शिक्षण योजना:
- संगठनात्मक क्षण - 3 मिनट।
- दोहराव। मानसिक गतिविधि का संगठन - 7 मिनट।
- नई सामग्री की व्याख्या। वृत्त समीकरण की व्युत्पत्ति - 10 मिनट।
- अध्ययन की गई सामग्री का समेकन - 20 मिनट।
- पाठ सारांश - 5 मि.
कक्षाओं के दौरान
2. दोहराव:
− (अनुलग्नक 1 स्लाइड 2) खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र लिखिए;
− (स्लाइड 3) Zबिंदुओं के बीच की दूरी (खंड की लंबाई) के लिए सूत्र लिखें।
3. नई सामग्री की व्याख्या।
(स्लाइड 4 - 6)वृत्त के समीकरण को परिभाषित कीजिए। एक बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के समीकरण व्युत्पन्न कीजिए ( एक;बी) और मूल पर केंद्रित।
(एक्स – एक ) 2 + (पर – बी ) 2 = आर 2 - केंद्र के साथ वृत्त समीकरण से (एक;बी) , RADIUS आर , एक्स तथा पर – वृत्त पर एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक .
एक्स 2 + y 2 = आर 2 मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त का समीकरण है।
(स्लाइड 7)
एक वृत्त का समीकरण लिखने के लिए, आपको चाहिए:
- केंद्र के निर्देशांकों को जान सकेंगे;
- त्रिज्या की लंबाई ज्ञात करें;
- केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या की लंबाई को वृत्त समीकरण में बदलें।
4. समस्या का समाधान।
कार्य संख्या 1 - संख्या 6 में, तैयार चित्र के अनुसार वृत्त के समीकरणों को तैयार करें।
(स्लाइड 14)
№ 7. तालिका में भरने।
(स्लाइड 15)
№ 8. समीकरणों द्वारा दी गई नोटबुक में वृत्तों की रचना कीजिए:
एक) ( एक्स – 5) 2 + (पर + 3) 2 = 36;
बी) (एक्स + 1) 2 + (पर– 7) 2 = 7 2 .
(स्लाइड 16)
№ 9. केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या की लंबाई पाएं यदि अबवृत्त का व्यास है।
दिया गया: | समाधान: | ||
आर | केंद्र निर्देशांक | ||
1 | लेकिन(0 ; -6) पर(0 ; 2) |
अब 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; अब 2 = 64; अब = 8 . |
लेकिन(0; -6) पर(0 ; 2) से(0 ; – 2) – केंद्र |
2 | लेकिन(-2 ; 0) पर(4 ; 0) |
अब 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; अब 2 = 36; अब = 6. |
लेकिन (-2;0) पर (4 ;0) से(1 ; 0) – केंद्र |
(स्लाइड 17)
№ 10. बिंदु से गुजरने वाले मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त का समीकरण लिखिए प्रति(-12;5).
समाधान।
R2 = ठीक 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
आर = 13;
वृत्त समीकरण: x 2 + y 2 = 169 .
(स्लाइड 18)
№ 11. मूल बिंदु से गुजरने वाले और बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए से(3; - 1).
समाधान।
आर 2 = ओएस 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
वृत्त समीकरण: ( एक्स - 3) 2 + (वाई + 1) 2 = 10.
(स्लाइड 19)
№ 12. केंद्र वाले वृत्त का समीकरण लिखिए लेकिन(3;2) गुजर रहा है पर(7;5).
समाधान।
1. वृत्त का केंद्र - लेकिन(3;2);
2.आर = अब;
अब 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; अब
= 5;
3. वृत्त समीकरण ( एक्स – 3) 2 + (पर − 2) 2
= 25.
(स्लाइड 20)
№ 13. जाँच करें कि क्या बिंदु झूठ बोलते हैं लेकिन(1; -1), पर(0;8), से(-3; -1) समीकरण द्वारा दिए गए वृत्त पर ( एक्स + 3) 2 + (पर − 4) 2 = 25.
समाधान।
मैं. बिंदु के निर्देशांक बदलें लेकिन(1; -1) सर्कल समीकरण में:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - समानता गलत है, जिसका अर्थ है लेकिन(1; -1) झूठ नहीं बोलतासमीकरण द्वारा दिए गए वृत्त पर ( एक्स + 3) 2 +
(पर −
4) 2 =
25.
द्वितीय. बिंदु के निर्देशांक बदलें पर(0;8) सर्कल समीकरण में:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
पर(0;8)झूठ एक्स + 3) 2 +
(पर − 4) 2
=
25.
III.बिंदु के निर्देशांक बदलें से(-3; -1) सर्कल समीकरण में:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - समानता सत्य है, इसलिए से(-3; -1) झूठसमीकरण द्वारा दिए गए वृत्त पर ( एक्स + 3) 2 +
(पर − 4) 2
=
25.
पाठ का सारांश।
- दोहराएँ: एक वृत्त का समीकरण, मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त का समीकरण।
- (स्लाइड 21)गृहकार्य।
परिभाषा 1। संख्यात्मक अक्ष ( संख्या रेखा, समन्वय रेखा) ऑक्स को एक सीधी रेखा कहा जाता है जिस पर बिंदु O चुना जाता है संदर्भ बिंदु (निर्देशांक की उत्पत्ति)(अंजीर। 1), दिशा
हे → एक्स
के रूप में सूचीबद्ध सकारात्मक दिशाऔर एक खंड को चिह्नित किया जाता है, जिसकी लंबाई के रूप में लिया जाता है लंबाई की इकाई.
परिभाषा 2. जिस खंड की लंबाई को लंबाई की इकाई के रूप में लिया जाता है, उसे पैमाना कहा जाता है।
संख्यात्मक अक्ष के प्रत्येक बिंदु का एक निर्देशांक होता है, जो एक वास्तविक संख्या होती है। बिंदु O का निर्देशांक शून्य के बराबर है। किरण ऑक्स पर स्थित एक मनमाना बिंदु A का निर्देशांक खंड OA की लंबाई के बराबर है। संख्यात्मक अक्ष के एक मनमाना बिंदु A का निर्देशांक, जो किरण ऑक्स पर नहीं है, ऋणात्मक है, और निरपेक्ष मान में यह खंड OA की लंबाई के बराबर है।
परिभाषा 3. विमान पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सीदोनों को परस्पर बुलाओ सीधासंख्यात्मक अक्षों के साथ ऑक्स और ओए एक ही पैमानातथा सामान्य उत्पत्तिइसके अलावा, बिंदु ओ पर, जैसे कि किरण ऑक्स से 90 डिग्री के कोण के माध्यम से किरण ओए तक घूर्णन दिशा में किया जाता है वामा व्रत(रेखा चित्र नम्बर 2)।
टिप्पणी । चित्र 2 में दर्शाए गए आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी को कहा जाता है सही समन्वय प्रणाली, विपरीत वाम समन्वय प्रणाली, जिसमें बीम ओए से 90 डिग्री के कोण पर बीम ऑक्स का घूर्णन दक्षिणावर्त दिशा में किया जाता है। इस गाइड में, हम केवल सही समन्वय प्रणाली पर विचार करेंविशेष रूप से इसका उल्लेख किए बिना।
यदि हम समतल पर आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक ऑक्सी की कुछ प्रणाली पेश करते हैं, तो विमान का प्रत्येक बिंदु प्राप्त करेगा दो निर्देशांक – सूच्याकार आकृति का भुजतथा तालमेल, जिनकी गणना निम्नानुसार की जाती है। मान लीजिए A समतल का एक मनमाना बिंदु है। आइए हम बिंदु A से लंबों को छोड़ते हैं आ 1 और आ 2 से क्रमशः ऑक्स और ओए की रेखाएँ, (चित्र 3)।
परिभाषा 4. बिंदु A का भुज बिंदु का निर्देशांक है ए 1 संख्यात्मक अक्ष ऑक्स पर, बिंदु A की कोटि बिंदु का निर्देशांक है ए 2 अंकीय अक्ष पर ओए।
पद । एक बिंदु के निर्देशांक (भुज और निर्देशांक) A आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में ऑक्सी (चित्र 4) को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ए(एक्स;आप) या ए = (एक्स; आप).
टिप्पणी । प्वाइंट ओ, कहा जाता है मूल, निर्देशांक हैं हे(0 ; 0) .
परिभाषा 5. आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में, ऑक्स संख्यात्मक अक्ष को भुज अक्ष कहा जाता है, और ओए संख्यात्मक अक्ष को समन्वय अक्ष (चित्र 5) कहा जाता है।
परिभाषा 6. प्रत्येक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली विमान को 4 तिमाहियों में विभाजित करती है ( चतुर्भुज), जिसकी संख्या चित्र 5 में दिखाई गई है।
परिभाषा 7. वह तल जिस पर एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई हो, कहलाती है कार्तिकये निर्देशांक.
टिप्पणी । भुज अक्ष को निर्देशांक तल पर समीकरण द्वारा दिया जाता है आप= 0, निर्देशांक तल पर y-अक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है एक्स = 0.
कथन 1। दो बिंदुओं के बीच की दूरीकार्तिकये निर्देशांक
ए 1 (एक्स 1 ;आप 1) तथा ए 2 (एक्स 2 ;आप 2)
गणना सूत्र के अनुसार
सबूत । चित्र 6 पर विचार करें।
माना वृत्त की त्रिज्या है , और इसका केंद्र बिंदु पर है
. दूरसंचार विभाग
वृत्त पर स्थित है यदि और केवल यदि वेक्टर का मापांक
बराबरी , वह है। अंतिम समानता धारण करती है यदि और केवल यदि
समीकरण (1) वांछित वृत्त समीकरण है।
किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत होता है
वेक्टर के लंबवत
.
दूरसंचार विभाग
तथा
लंबवत हैं। वैक्टर
तथा
लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है, अर्थात।
. उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को रूप में लिखते हैं
एक उदाहरण पर विचार करें।से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
खंड AB का मध्य इस खंड के लंबवत है यदि बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः A (1; 6), B (5; 4) के बराबर हैं।
हम निम्नानुसार बहस करेंगे। एक सीधी रेखा के समीकरण को खोजने के लिए, हमें उस बिंदु को जानना चाहिए जिसके माध्यम से यह सीधी रेखा गुजरती है, और वेक्टर इस सीधी रेखा के लंबवत है। इस रेखा के लंबवत सदिश सदिश होगा, क्योंकि समस्या की स्थिति के अनुसार, रेखा खंड AB पर लंबवत है। बिंदु
हम इस शर्त से निर्धारित करते हैं कि रेखा AB के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है। हमारे पास है । इस तरह
और समीकरण रूप लेगा।
आइए हम इस प्रश्न को स्पष्ट करें कि क्या यह रेखा बिंदु M(7;3) से होकर गुजरती है।
हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि यह रेखा निर्दिष्ट बिंदु से नहीं गुजरती है।
किसी दिए गए सदिश के समानांतर, किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण
रेखा को बिंदु से गुजरने दें
वेक्टर के समानांतर
.
दूरसंचार विभाग
एक रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि वैक्टर
तथा
समरेख। वैक्टर
तथा
संरेख हैं यदि और केवल यदि उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं, अर्थात।
(3)
परिणामी समीकरण वांछित सीधी रेखा का समीकरण है।
समीकरण (3) को के रूप में दर्शाया जा सकता है
, कहाँ पे कोई मूल्य लेता है
.
इसलिए, हम लिख सकते हैं
, कहाँ पे
(4)
समीकरणों की प्रणाली (4) को सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है।
एक उदाहरण पर विचार करें।बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। हम एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना कर सकते हैं यदि हम एक बिंदु और उसके समानांतर या लंबवत एक सदिश को जानते हैं। दो बिंदु उपलब्ध हैं। लेकिन यदि दो बिंदु एक रेखा पर स्थित हों, तो उन्हें जोड़ने वाला सदिश इस रेखा के समानांतर होगा। इसलिए, हम एक सदिश के रूप में समीकरण (3) का उपयोग करते हैं
वेक्टर
. हम पाते हैं
(5)
समीकरण (5) दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।
एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण
परिभाषा।समतल पर प्रथम-क्रम रेखा का सामान्य समीकरण रूप का एक समीकरण है
, कहाँ पे
.
प्रमेय।समतल में किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम रेखा समीकरण के रूप में दिया जा सकता है, और कोई भी प्रथम-क्रम रेखा समीकरण समतल में किसी सीधी रेखा का समीकरण होता है।
इस प्रमेय का पहला भाग सिद्ध करना आसान है। किसी भी रेखा पर, आप एक बिंदु निर्दिष्ट कर सकते हैं
इसके लंबवत वेक्टर
. फिर, (2) के अनुसार, ऐसी सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है निरूपित
. तब समीकरण का रूप ले लेगा
.
अब हम प्रमेय के दूसरे भाग की ओर बढ़ते हैं। एक समीकरण होने दें
, कहाँ पे
. निश्चितता के लिए, हम मानेंगे
.
आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें:
;
विमान पर एक बिंदु पर विचार करें
, कहाँ पे
. तब परिणामी समीकरण का रूप होता है, और बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण होता है
वेक्टर के लंबवत
. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय को सिद्ध करने की प्रक्रिया में, हमने रास्ते में सिद्ध किया
कथन।यदि एक सीधी रेखा समीकरण है
, फिर वेक्टर
इस रेखा के लंबवत।
समीकरण टाइप करें
समतल में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहलाता है।
एक लाइन होने दो
और डॉट
. निर्दिष्ट बिंदु से रेखा तक की दूरी निर्धारित करना आवश्यक है।
एक मनमाना बिंदु पर विचार करें
एक सीधी रेखा पर। हमारे पास है
. दूरी बिन्दु से
सीधी रेखा वेक्टर के प्रक्षेपण के मॉड्यूल के बराबर है
प्रति वेक्टर
इस रेखा के लंबवत। हमारे पास है
,
रूपांतरित करना, हमें सूत्र मिलता है:
मान लीजिए कि सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाएँ हैं
,
. फिर वैक्टर
क्रमशः पहली और दूसरी पंक्तियों के लंबवत। कोना
रेखाओं के बीच सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है
,
.
तब रेखाओं के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र है:
.
रेखाओं की लंबवतता की स्थिति का रूप है:
.
रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं यदि और केवल यदि वैक्टर
समरेख। जिसमें रेखाओं के संयोग की स्थिति का रूप होता है:
,
और कोई चौराहा नहीं होने की स्थिति इस प्रकार लिखी जाती है:
. अंतिम दो शर्तों को स्वयं सिद्ध करें।
आइए हम सरल रेखा के सामान्य समीकरण के अनुसार उसके व्यवहार की जाँच करें।
मान लीजिए कि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है
. यदि एक
, तो रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है।
उस मामले पर विचार करें जब कोई भी गुणांक शून्य के बराबर न हो
. हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं:
,
,
कहाँ पे
. मापदंडों का अर्थ पता करें
. निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। पर
अपने पास
, और जब
अपने पास
. वह है
- ये वे खंड हैं जो निर्देशांक अक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे जाते हैं। इसलिए, समीकरण
खण्डों में एक सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।
कब
अपने पास
. कब
अपने पास
. अर्थात् रेखा अक्ष के समांतर होगी .
याद करें कि एक सीधी रेखा का ढलान
इस रेखा के अक्ष के झुकाव कोण की स्पर्श रेखा कहलाती है
. अक्ष पर सीधी रेखा को काटने दें रेखा खंड और एक ढलान है . बात करने दो
इस पर झूठ
फिर
==. और एक सीधी रेखा का समीकरण रूप में लिखा जाएगा
.
रेखा को बिंदु से गुजरने दें
और एक ढलान है . बात करने दो
इस लाइन पर है।
फिर =
.
परिणामी समीकरण किसी दिए गए बिंदु से किसी ढलान के साथ गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।
दो पंक्तियाँ दी जाए
,
. निरूपित
उनके बीच का कोण है। होने देना ,संबंधित रेखाओं के X अक्ष पर झुकाव के कोण
फिर
=
,
.
तब समांतर रेखाओं की स्थिति का रूप होता है
, और लंबवत स्थिति
अंत में, हम दो समस्याओं पर विचार करते हैं।
एक कार्य . त्रिभुज ABC के शीर्षों में निर्देशांक हैं: A(4;2), B(10;10), C(20;14)।
खोजें: a) शीर्ष A से खींची गई माध्यिका का समीकरण और लंबाई;
बी) शीर्ष ए से खींची गई ऊंचाई का समीकरण और लंबाई;
ग) शीर्ष A से खींचे गए द्विभाजक का समीकरण;
आइए हम माध्यिका AM के समीकरण को परिभाषित करें।
बिंदु M () खंड BC का मध्य है।
फिर , . इसलिए, बिंदु M के निर्देशांक M(15;17) हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की भाषा में माध्यिका समीकरण बिंदु A (4; 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो सदिश के समानांतर = (11; 15) है। तब माध्यिका समीकरण है माध्य लंबाई AM= .
एएस ऊंचाई समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो सदिश =(10;4) के लंबवत बिंदु ए(4;2) से गुजरती है। फिर ऊंचाई समीकरण 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0 है।
ऊँचाई की लंबाई बिंदु A (4; 2) से सीधी रेखा BC तक की दूरी है। यह सीधी रेखा सदिश =(10;4) के समानांतर बिंदु B(10;10) से होकर गुजरती है। इसका समीकरण है , 2x-5y+30=0. बिंदु A(4;2) से सीधी रेखा BC तक दूरी AS, इसलिए AS= . के बराबर है .
द्विभाजक के समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हम इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक समचतुर्भुज के विकर्ण के गुणधर्म का उपयोग करते हैं। यदि इकाई सदिशों को बिंदु A से अलग रखा जाता है और सदिशों के साथ समान रूप से निर्देशित किया जाता है, तो उनके योग के बराबर एक सदिश समद्विभाजक के समानांतर होगा। तब हमारे पास =+ होता है।
={6;8}, , ={16,12}, .
तब = सदिश = (1; 1), दिए गए के संरेखीय, वांछित सीधी रेखा के दिशा सदिश के रूप में कार्य कर सकता है। तब वांछित रेखा के समीकरण में x-y-2=0 देखा गया है।
एक कार्य।नदी बिंदु A(4;3) और B(20;11) से होकर एक सीधी रेखा में बहती है। लिटिल रेड राइडिंग हूड बिंदु C(4;8) पर रहता है, और उसकी दादी बिंदु D(13;20) पर रहती है। रोज सुबह लिटिल रेड राइडिंग हूड घर से एक खाली बाल्टी लेता है, नदी में जाता है, पानी खींचता है और अपनी दादी के पास ले जाता है। लिटिल रेड राइडिंग हूड के लिए सबसे छोटा रास्ता खोजें।
आइए बिंदु E ज्ञात करें, जो नदी के सापेक्ष दादी के सममित है।
ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं जिसके साथ नदी बहती है। इस समीकरण को सदिश के समानांतर बिंदु A(4;3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण माना जा सकता है। तब रेखा AB के समीकरण का रूप होता है।
इसके बाद, हम बिंदु D से होकर AB पर जाने वाली रेखा DE का समीकरण ज्ञात करते हैं। इसे बिंदु D से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में माना जा सकता है, जो सदिश के लंबवत है
. हमारे पास है
अब आइए बिंदु S को खोजें - रेखा AB पर बिंदु D का प्रक्षेपण, AB और DE की रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में। हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है
.
इसलिए, बिंदु S के निर्देशांक S(18;10) हैं।
चूँकि S खंड DE का मध्यबिंदु है, तो .
वैसे ही।
इसलिए, बिंदु E के निर्देशांक E(23;0) हैं।
आइए इस रेखा के दो बिंदुओं के निर्देशांकों को जानकर, रेखा CE का समीकरण ज्ञात करें
हम बिंदु M को AB और CE रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में पाते हैं।
हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है
.
इसलिए, बिंदु M के निर्देशांक हैं
.
विषय 2अंतरिक्ष में सतह समीकरण की अवधारणा। गोले का समीकरण। किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण दिए गए सदिश के लंबवत होता है। समतल का सामान्य समीकरण और उसका अध्ययन दो तलों की समांतरता की स्थिति। एक बिंदु से एक विमान की दूरी। रेखा समीकरण की अवधारणा। अंतरिक्ष में सीधी रेखा। अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण। एक रेखा और एक तल की समांतरता और लंबवतता की शर्तें।
सबसे पहले, आइए अंतरिक्ष में सतह समीकरण की अवधारणा को परिभाषित करें।
अंतरिक्ष में चलो
कुछ सतह दी गई है . समीकरण
सतह समीकरण कहा जाता है यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:
1. किसी भी बिंदु के लिए
निर्देशांक के साथ
सतह पर पड़ा हुआ,
, अर्थात्, इसके निर्देशांक पृष्ठीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं;
2. कोई बिंदु
, जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं
, लाइन पर है।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक समान तरीके प्रदान करती है। ऐसा करने के लिए, सभी दिए गए और वांछित बिंदुओं और रेखाओं को एक ही समन्वय प्रणाली के लिए संदर्भित किया जाता है।
एक समन्वय प्रणाली में, प्रत्येक बिंदु को उसके निर्देशांक द्वारा और प्रत्येक पंक्ति को दो अज्ञात के साथ एक समीकरण द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसमें से यह रेखा एक ग्राफ है। इस प्रकार, ज्यामितीय समस्या को एक बीजीय समस्या में बदल दिया जाता है, जहां सभी गणना विधियां अच्छी तरह से विकसित होती हैं।
एक वृत्त एक विशिष्ट गुण वाले बिंदुओं का एक स्थान है (वृत्त का प्रत्येक बिंदु एक बिंदु से समान दूरी पर है, जिसे केंद्र कहा जाता है)। सर्कल समीकरण को इस संपत्ति को प्रतिबिंबित करना चाहिए, इस शर्त को पूरा करना चाहिए।
एक वृत्त के समीकरण की ज्यामितीय व्याख्या एक वृत्त की रेखा है।
यदि हम एक वृत्त को एक समन्वय प्रणाली में रखते हैं, तो वृत्त के सभी बिंदु एक शर्त को पूरा करते हैं - उनसे वृत्त के केंद्र तक की दूरी समान और वृत्त के बराबर होनी चाहिए।
एक बिंदु पर केंद्रित वृत्त लेकिन और त्रिज्या आर समन्वय विमान में रखा गया है।
यदि केंद्र के निर्देशांक (ए;बी) , और वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (एक्स; वाई) , तो वृत्त समीकरण का रूप है:
यदि किसी वृत्त की त्रिज्या का वर्ग वृत्त और उसके केंद्र पर किसी बिंदु के संगत निर्देशांकों के वर्ग अंतर के योग के बराबर है, तो यह समीकरण समतल निर्देशांक प्रणाली में एक वृत्त का समीकरण है।
यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु से मेल खाता है, तो वृत्त की त्रिज्या का वर्ग वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस मामले में, सर्कल समीकरण रूप लेता है:
इसलिए, किसी भी ज्यामितीय आकृति को बिंदुओं के स्थान के रूप में उसके बिंदुओं के निर्देशांक से संबंधित समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके विपरीत, निर्देशांक से संबंधित समीकरण एक्स तथा पर , एक रेखा को समतल में उन बिन्दुओं के बिन्दुपथ के रूप में परिभाषित करें जिनके निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
एक वृत्त के समीकरण के बारे में समस्याओं को हल करने के उदाहरण
एक कार्य। दिए गए वृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए
बिंदु O (2;-3) पर केन्द्रित और त्रिज्या 4 वाले वृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए।समाधान.
आइए हम वृत्त समीकरण के सूत्र की ओर मुड़ें:
आर 2 \u003d (एक्स-ए) 2 + (वाई-बी) 2
मानों को सूत्र में रखें।
वृत्त त्रिज्या R = 4
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (शर्त के अनुसार)
ए = 2
ख = -3
हम पाते हैं:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
या
(x - 2 ) 2 + (y + 3) 2 = 16।
एक कार्य। क्या कोई बिंदु वृत्त के समीकरण से संबंधित है
जांचें कि क्या बिंदु संबंधित है ए(2;3)वृत्त समीकरण (एक्स - 2) 2 + (वाई + 3) 2 = 16 .समाधान.
यदि कोई बिंदु वृत्त का है, तो उसके निर्देशांक वृत्त समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
यह जांचने के लिए कि दिए गए निर्देशांक वाला कोई बिंदु वृत्त से संबंधित है या नहीं, हम उस बिंदु के निर्देशांकों को दिए गए वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
समीकरण में ( एक्स - 2) 2 + (आप + 3) 2 = 16
हम स्थिति के अनुसार, बिंदु A (2; 3) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात्
एक्स = 2
वाई = 3
आइए प्राप्त समानता की सच्चाई की जाँच करें
(एक्स - 2) 2 + (आप + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 समानता गलत है
तो दिया गया बिंदु ताल्लुक नहींदिया गया वृत्त समीकरण।
पाठ विषय: वृत्त समीकरण
पाठ मकसद:
शैक्षिक: निर्देशांक विधि को लागू करने की संभावनाओं में से एक के रूप में इस समस्या के समाधान पर विचार करते हुए वृत्त समीकरण व्युत्पन्न करें।
करने में सक्षम हो:
– प्रस्तावित समीकरण के अनुसार एक वृत्त के समीकरण को पहचानें, छात्रों को तैयार चित्र के अनुसार एक वृत्त का समीकरण बनाना सिखाएँ, दिए गए समीकरण के अनुसार एक वृत्त बनाएँ।
शिक्षात्मक : आलोचनात्मक सोच का गठन।
शिक्षात्मक : एल्गोरिथम नुस्खे बनाने की क्षमता और प्रस्तावित एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करने की क्षमता का विकास।
करने में सक्षम हो:
– समस्या देखें और इसे हल करने के तरीकों की योजना बनाएं।
– अपने विचारों को मौखिक और लिखित रूप में सारांशित करें।
पाठ प्रकार: नए ज्ञान का आत्मसात।
उपकरण : पीसी, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन।
शिक्षण योजना:
1. उद्घाटन भाषण - 3 मिनट।
2. ज्ञान को अद्यतन करना - 2 मिनट।
3. समस्या का विवरण और उसका समाधान -10 मि.
4. नई सामग्री का ललाट बन्धन - 7 मिनट।
5. समूहों में स्वतंत्र कार्य - 15 मि.
6. कार्य की प्रस्तुति: चर्चा - 5 मिनट।
7. पाठ का परिणाम। गृहकार्य - 3 मि.
कक्षाओं के दौरान
इस चरण का उद्देश्य: छात्रों का मनोवैज्ञानिक मूड; सीखने की प्रक्रिया में सभी छात्रों की भागीदारी, सफलता की स्थिति बनाना।1. आयोजन का समय।
3 मिनट
लोग! आप मंडली से 5वीं और 8वीं कक्षा में मिले थे। तुम उसके बारे मे कया जानते हौं?
आप बहुत कुछ जानते हैं, और इस डेटा का उपयोग ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है। लेकिन उन समस्याओं को हल करने के लिए जिनमें समन्वय विधि का उपयोग किया जाता है, यह पर्याप्त नहीं है।क्यों?
बिल्कुल सही।
इसलिए, आज के पाठ का मुख्य लक्ष्य किसी रेखा के ज्यामितीय गुणों से एक वृत्त के समीकरण को प्राप्त करना और इसे ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए लागू करना है।
जाने दोपाठ का आदर्श वाक्य मध्य एशियाई वैज्ञानिक-विश्वकोषविद् अल-बिरूनी के शब्द बनेंगे: “ज्ञान संपत्ति में सबसे उत्कृष्ट है। हर कोई इसके लिए प्रयास करता है, लेकिन यह अपने आप नहीं आता है।"
पाठ के विषय को एक नोटबुक में लिखें।
वृत्त की परिभाषा.
त्रिज्या।
व्यास।
तार। आदि।
हम अभी तक वृत्त समीकरण के सामान्य रूप को नहीं जानते हैं।
छात्र सर्कल के बारे में जो कुछ भी जानते हैं उसे सूचीबद्ध करते हैं।
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मंच का उद्देश्य सामग्री के छात्रों द्वारा सीखने की गुणवत्ता का अंदाजा लगाना, बुनियादी ज्ञान का निर्धारण करना है।
2. ज्ञान अद्यतन।
दो मिनट
वृत्त समीकरण व्युत्पन्न करते समय आपको एक सर्कल की पहले से ही ज्ञात परिभाषा और एक सूत्र की आवश्यकता होगी जो आपको दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके निर्देशांक द्वारा खोजने की अनुमति देता है।आइए इन तथ्यों को याद रखें /पीसामग्री की पुनरावृत्ति पहले अध्ययन किया/:
– किसी खण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
– वेक्टर की लंबाई की गणना के लिए सूत्र लिखिए।
– बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र लिखिए (खंड की लंबाई)।
रिकॉर्ड संपादित कर रहा है...
ज्यामितीय कसरत।
दिए गए अंकए (-1; 7) तथामें (7; 1)।
खंड AB के मध्य बिंदु और उसकी लंबाई के निर्देशांक की गणना करें।
निष्पादन की शुद्धता की जाँच करता है, गणनाओं को ठीक करता है ...
ब्लैकबोर्ड पर एक छात्र, और बाकी नोटबुक में सूत्र लिखते हैं
एक वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर स्थित सभी बिंदु होते हैं।
| एबी | \u003d (एक्स - एक्स) ² + (वाई - वाई)
एम (एक्स; वाई), ए (एक्स; वाई)
गणना करें: सी (3; 4)
| एबी | = 10
से लेट 4
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3. नए ज्ञान का निर्माण।
12 मिनट
उद्देश्य: अवधारणा का गठन - वृत्त का समीकरण।
समस्या का समाधान:
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में केंद्र A(x; y) के साथ एक वृत्त का निर्माण किया जाता है। एम (एक्स; वाई) - सर्कल का मनमाना बिंदु. वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
क्या किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक इस समानता को संतुष्ट करेंगे? क्यों?
आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।परिणामस्वरूप, हमारे पास है:
r² \u003d (x - x) + (y - y) वृत्त का समीकरण है, जहाँ (x; y) वृत्त के केंद्र के निर्देशांक हैं, (x; y) एक मनमाना के निर्देशांक हैं वृत्त पर स्थित बिंदु, r वृत्त की त्रिज्या है।
समस्या का समाधान:
मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त का समीकरण क्या होगा?
तो, एक वृत्त का समीकरण लिखने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?
वृत्त समीकरण के संकलन के लिए एक एल्गोरिथम सुझाइए।
निष्कर्ष: ... एक नोटबुक में लिखें।
त्रिज्या एक वृत्त के केंद्र को वृत्त पर स्थित एक मनमाना बिंदु से जोड़ने वाला एक खंड है। इसलिए, r \u003d | AM | \u003d (x - x)² + (y - y)²
वृत्त का कोई भी बिंदु उस वृत्त पर स्थित होता है।
छात्र नोटबुक में लिखते हैं।
(0;0)-वृत्त के केंद्र के निर्देशांक।
x² + y² = r², जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, त्रिज्या, वृत्त पर कोई भी बिंदु...
वे एक एल्गोरिदम प्रस्तावित करते हैं ...
एल्गोरिथम को एक नोटबुक में लिखें।
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शिक्षक ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखता है।
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4. प्राथमिक बन्धन।
23 मिनट
लक्ष्य:सामग्री के छात्रों द्वारा पुनरुत्पादन जिसे अभी गठित विचारों और अवधारणाओं के नुकसान को रोकने के लिए माना गया है. उनके आधार पर नए ज्ञान, विचारों, अवधारणाओं का समेकनअनुप्रयोग।
ज़ून नियंत्रण
आइए अर्जित ज्ञान को निम्नलिखित समस्याओं को हल करने में लागू करें।
एक कार्य: प्रस्तावित समीकरणों में से उन संख्याओं के नाम लिखिए जो वृत्त के समीकरण हैं। और यदि समीकरण एक वृत्त का समीकरण है, तो केंद्र के निर्देशांकों को नाम दें और त्रिज्या को इंगित करें।
दो चरों वाली दूसरी डिग्री का प्रत्येक समीकरण एक वृत्त को परिभाषित नहीं करता है।
4x² + y² \u003d 4-अंडाकार समीकरण।
x²+y²=0-बिंदु
x² + y² \u003d -4-यह समीकरण किसी भी आकृति को परिभाषित नहीं करता है।
लोग! वृत्त के लिए समीकरण लिखने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?
समस्या का समाधान नंबर 966 पी। 245 (पाठ्यपुस्तक)।
शिक्षक छात्र को ब्लैकबोर्ड पर बुलाता है।
क्या समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट डेटा एक वृत्त के लिए एक समीकरण तैयार करने के लिए पर्याप्त है?
एक कार्य:
मूल बिंदु पर केन्द्रित और 8 व्यास वाले वृत्त के लिए समीकरण लिखिए।
एक कार्य : एक वृत्त खींचता है।
केंद्र के निर्देशांक हैं?
त्रिज्या निर्धारित करें ... और निर्माण करें
पृष्ठ 243 पर कार्य (पाठ्यपुस्तक) मौखिक रूप से समझा जाता है।
p.243 से समस्या समाधान योजना का उपयोग करके समस्या का समाधान करें:
यदि वृत्त बिंदु B(7;5) से होकर जाता है तो बिंदु A(3;2) पर केन्द्रित वृत्त का समीकरण लिखिए।
1) (x-5) + (y-3) \u003d 36 - वृत्त समीकरण; (5; 3), आर \u003d 6।
2) (x-1)² + y² \u003d 49 - वृत्त समीकरण; (1; 0), r \u003d 7।
3) x² + y² \u003d 7 - वृत्त समीकरण; (0; 0), r \u003d 7।
4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- सर्कल समीकरण; (-3;8), आर = √2।
5) 4x² + y² \u003d 4 एक वृत्त का समीकरण नहीं है।
6) x² + y² = 0- एक वृत्त का समीकरण नहीं है।
7) x² + y² = -4- एक वृत्त का समीकरण नहीं है।
वृत्त के केंद्र के निर्देशांकों को जानें।
त्रिज्या लंबाई।
केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या की लंबाई को एक वृत्त के सामान्य समीकरण में रखें।
समस्या संख्या 966 पी। 245 (पाठ्यपुस्तक) हल करें।
पर्याप्त डेटा।
वे समस्या का समाधान करते हैं।
चूँकि एक वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या का दोगुना है, तो r=8÷2=4. इसलिए, x² + y² = 16.
मंडलियों का निर्माण करें
पाठ्यपुस्तक का काम। पृष्ठ 243 पर कार्य।
दिया गया: A (3; 2) - वृत्त का केंद्र; (7;5)є(А;आर)
खोजें: वृत्त समीकरण
समाधान: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²
आर² \u003d (एक्स -3)² + (वाई -2)²
आर = एबी, आर² = एबी²
आर² =(7-3)²+(5-2)²
आर²=25
(एक्स -3)² + (वाई -2)² \u003d 25
उत्तर: (एक्स -3)² + (वाई -2)² \u003d 25
स्लाइड 10-13
ऊँचे स्वर में समाधान का उच्चारण करके विशिष्ट समस्याओं का समाधान करना।
शिक्षक एक छात्र को परिणामी समीकरण लिखने के लिए बुलाता है।
स्लाइड पर लौटें 9
इस समस्या के समाधान की योजना पर चर्चा।
फिसलना। पंद्रह। शिक्षक इस समस्या को हल करने के लिए एक छात्र को बोर्ड में बुलाता है।
स्लाइड 16.
स्लाइड 17.
5. पाठ का सारांश।
5 मिनट
कक्षा में गतिविधियों का प्रतिबिंब।
गृहकार्य: 3, आइटम 91, नियंत्रण प्रश्न संख्या 16,17।
समस्या संख्या 959 (बी, डी, ई), 967।
अतिरिक्त मूल्यांकन के लिए कार्य (समस्या कार्य): समीकरण द्वारा दिए गए एक वृत्त का निर्माण करें
x² + 2x + y² -4y = 4।
हमने कक्षा में किस बारे में बात की?
आप क्या प्राप्त करना चाहते थे?
पाठ का उद्देश्य क्या था?
हमारी "खोज" से कौन से कार्य हल हो सकते हैं?
आप में से कौन मानता है कि आपने पाठ में शिक्षक द्वारा निर्धारित लक्ष्य को 100%, 50% से प्राप्त कर लिया है; लक्ष्य तक नहीं पहुंचा...?
ग्रेडिंग।
होमवर्क लिख लें।
छात्र शिक्षक द्वारा पूछे गए सवालों के जवाब देते हैं। अपने स्वयं के प्रदर्शन का स्व-मूल्यांकन करें।
छात्रों को एक शब्द में परिणाम और इसे प्राप्त करने के तरीकों को व्यक्त करने की आवश्यकता है।