Pētnieciskais darbs "fraktāļu modeļu pazīmju izpēte." Fraktāļu daudzveidīgā pasaule Astrofizika: galaktiku kopu veidošanās procesu apraksts Visumā
Martynovs Daniils
Projektu menedžeris:
Martīnova Ludmila Jurievna
Iestāde:
Pašvaldības izglītības iestāde "Krišinskas vidusskola"
Notiek pētnieciskais darbs matemātikā "Fraktāļi mums apkārt" 8. klases skolēns izvirzīja mērķi parādīt, ka matemātika nav bezdvēselisks priekšmets, tā spēj izteikt cilvēka un sabiedrības garīgo pasauli, veidojot savu ģeometrisko fraktāli. Zvaigzne».
Matemātikas pētnieciskajā darbā “Fraktāļi ap mums” autore projekta ietvaros konstruē ģeometrisko fraktāli “Zvaigzne” un sniedz ieteikumus izveidotā fraktāļa praktiskai pielietošanai, mēģina rast saikni starp fraktāliem un Paskāla trijstūriem. matemātiskās izpētes process.
Ierosinātajā matemātikas projekts "Fraktāļi ap mums" autors secina, ka jaunas fraktāļu ģeometrijas idejas palīdzēs izpētīt daudzas noslēpumainas apkārtējās dabas parādības. Attēlu apstrādes un modeļu atpazīšanas metodes, kurās tiek izmantoti jauni jēdzieni, ļauj pētniekiem izmantot šo matemātisko aparātu, lai kvantitatīvi aprakstītu milzīgu skaitu dabas objektu un struktūru.
Ievads
1. Ģeometriskā fraktāļa "Zvaigzne" pamatojums un uzbūve.
2. Fraktāļu un Paskāla trijstūru savienojuma atrašana.
3. Ieteikumi izveidotā fraktāļa praktiskai pielietošanai.
Secinājums
Ievads
Daudzi mani klasesbiedri uzskata, ka matemātika ir precīza un garlaicīga zinātne, problēmas, vienādojumi, grafiki, formulas... Kas te varētu būt interesants? 21. gadsimta ģeometrija. Auksti, grūti, neinteresanti...
"Kāpēc to tā sauc? Viens no iemesliem ir tas, ka tas nevar aprakstīt mākoņa, kalna, koka vai jūras krasta formu. Mākoņi nav sfēras, kalni nav konusi, krasta līnijas nav apļi, un miza nav gludi, un zibens nestiepjas taisnā līnijā. Daba mums parāda ne tikai augstāku pakāpi, bet arī pavisam citu sarežģītības līmeni.
Ar savu pētniecisko darbu mēģināju atspēkot iepriekš minēto. Tas kļuva iespējams pēc fraktāļu atklāšanas - sev līdzīgas figūras, kurām ir vairākas interesantas īpašības, kas ļāva salīdzināt fraktāļus ar dabas objektiem.
Hipotēze – « Viss, kas pastāv reālajā pasaulē, ir fraktālis».
Mērķis - parādīt, ka matemātika nav bezdvēselisks priekšmets, tā var izteikt cilvēka un sabiedrības garīgo pasauli, izveidojot savu ģeometrisko fraktāli. Zvaigzne».
Pētījuma objekts - fraktāļi matemātikā un reālajā pasaulē.
- Analizēt un pārskatīt literatūru par pētījuma tēmu.
- Apsveriet un izpētiet dažādus fraktāļu veidus.
- Izveidojiet attiecības starp Paskāla trīsstūri un literārajiem darbiem.
- Izgudrojiet un izveidojiet savu fraktāli, izveidojiet programmu ģeometriskā fraktāļa grafiskā attēla izveidošanai " Zvaigzne».
- Apsveriet izveidotā fraktāļa praktiskās pielietošanas iespējas.
Atbilstība izvirzītā tēma ir noteikta, pirmkārt, priekšmets pētniecība, kas ir fraktāļu ģeometrija.
Pētnieciskā darba struktūra ietver ievadu, divas nodaļas, noslēgumu, literatūras sarakstu un pielikumus.
Ievadā tiek pamatota pētījuma tēmas aktualitāte un novitāte, definēta problēma, priekšmets, mērķis, uzdevumi, darba posmi, darba teorētiskā un praktiskā nozīme.
Pirmajā nodaļā Tiek atklāts jautājums par fraktāļu jēdziena rašanās vēsturi, fraktāļu klasifikāciju un fraktāļu izmantošanu.
Otrajā nodaļā ir izpētīts un pierādīts, ka mūsu izveidotā ģeometriskā figūra " Zvaigzne"ir fraktāls, mainot izveidotā fraktāļa parametrus, saņēmām veselu galeriju skaistu ornamentu, ko var izmantot praktiskiem pielietojumiem: audumu ražošanā, apdares materiālos, un vērtēšanā.
Jau rakstījām par to, kā abstraktā matemātiskā haosa teorija ir atradusi pielietojumu visdažādākajās zinātnēs – no fizikas līdz ekonomikai un politoloģijai. Tagad mēs sniegsim vēl vienu līdzīgu piemēru - fraktāļu teoriju. Pat matemātikā jēdzienam “fraktālis” nav stingras definīcijas. Viņi kaut ko tādu saka, protams. Bet “parastais cilvēks” to nevar saprast. Kā būtu ar šo frāzi, piemēram: "Fraktāls ir kopa, kurai ir daļēja Hausdorfa dimensija, kas ir lielāka par topoloģisko." Tomēr viņi, fraktāļi, mūs ieskauj un palīdz izprast daudzas parādības no dažādām dzīves sfērām.
Kur tas viss sākās
Ilgu laiku neviens, izņemot profesionālus matemātiķus, neinteresējās par fraktāļiem. Pirms datoru un ar to saistītās programmatūras parādīšanās. Viss mainījās 1982. gadā, kad tika izdota Benuā Mandelbrota grāmata “Dabas fraktāļu ģeometrija”. Šī grāmata kļuva par bestselleru ne tik daudz vienkāršā un saprotamā materiāla izklāsta dēļ (lai gan šis apgalvojums ir ļoti relatīvs - cilvēks, kuram nav profesionālas matemātiskās izglītības, tajā neko nesapratīs), bet gan datora dēļ. fraktāļu ilustrācijas, kas ir patiesi valdzinošas. Apskatīsim šos attēlus. Viņi tiešām ir tā vērti.
Un tādu attēlu ir daudz. Bet kāds visam šim krāšņumam sakars ar mūsu reālo dzīvi un to, kas mūs ieskauj dabā un ikdienā? Izrādās, ka tas ir vistiešākais.
Bet vispirms teiksim dažus vārdus par pašiem fraktāļiem kā ģeometriskiem objektiem.
Kas ir fraktālis vienkāršā izteiksmē?
Pirmkārt. Kā viņi, fraktāļi, tiek būvēti. Šī ir diezgan sarežģīta procedūra, kas sarežģītajā plaknē izmanto īpašas transformācijas (jums nav jāzina, kas tas ir). Svarīgi ir tikai tas, ka šīs transformācijas tiek atkārtotas (tās notiek, kā saka matemātikā, iterācijas). Šīs atkārtošanās rezultātā rodas fraktāļi (tie, kurus redzējāt iepriekš).
Otrkārt. Fraktāls ir sev līdzīga (precīzi vai aptuveni) struktūra. Tas nozīmē sekojošo. Ja kādam no prezentētajiem attēliem pievienosiet mikroskopu, palielinot attēlu, piemēram, 100 reizes, un aplūkosiet okulārā iekļuvušā fraktāļa gabala fragmentu, jūs atklāsiet, ka tas ir identisks oriģinālajam attēlam. Ja paņemat spēcīgāku mikroskopu, kas palielina attēlu 1000 reižu, jūs atklāsiet, ka iepriekšējā attēla fragmentam, kas iekļuva okulārā, ir tāda pati vai ļoti līdzīga struktūra.
Tas noved pie secinājuma, kas ir ārkārtīgi svarīgs turpmākajam. Fraktālim ir ārkārtīgi sarežģīta struktūra, kas atkārtojas dažādos mērogos. Bet jo vairāk mēs iedziļināmies tās struktūrā, jo sarežģītāka tā kļūst kopumā. Un sākotnējā attēla īpašību kvantitatīvās aplēses var sākt mainīties.
Tagad atstāsim abstrakto matemātiku un pāriesim pie mums apkārt esošajām lietām – tik šķietami vienkāršām un saprotamām.
Fraktāļu objekti dabā
Piekrastes līnija
Iedomājieties, ka no Zemes orbītas fotografējat salu, piemēram, Lielbritāniju. Jūs iegūsit tādu pašu attēlu kā ģeogrāfiskajā kartē. Gludas krasta līnijas kontūras ar jūru no visām pusēm.
Uzzināt krasta līnijas garumu ir ļoti vienkārši. Paņemiet parastu pavedienu un uzmanīgi nolieciet to gar salas robežām. Pēc tam izmēra tā garumu centimetros un iegūto skaitli reiziniet ar kartes mērogu - vienā centimetrā ir daudz kilometru. Lūk, rezultāts.
Un tagad nākamais eksperiments. Jūs lidojat lidmašīnā no putna lidojuma un fotografējat piekrasti. Rezultāts ir satelīta fotogrāfijām līdzīgs attēls. Bet šī krasta līnija izrādās iedobta. Jūsu fotogrāfijās parādās nelieli līči, līči un zemes fragmenti, kas izvirzīti jūrā. Tas viss ir taisnība, taču to nevarēja redzēt no satelīta. Piekrastes struktūra kļūst sarežģītāka.
Pieņemsim, ka, pārnākot mājās, jūs, pamatojoties uz savām fotogrāfijām, izveidojāt detalizētu piekrastes karti. Un jūs nolēmāt izmērīt tā garumu, izmantojot to pašu pavedienu, izkārtojot to stingri saskaņā ar jaunajiem saņemtajiem datiem. Jaunā krasta līnijas garums pārsniegs veco. Un ievērojami. Tas ir intuitīvi skaidrs. Galu galā tagad jūsu pavedienam vajadzētu iet apkārt visu līču un līču krastiem, nevis tikai iet gar krastu.
Lūdzu, ņemiet vērā. Mēs attālinājām, un viss kļuva daudz sarežģītāks un mulsinošāks. Tāpat kā fraktāļi.
Un tagad vēl viena iterācija. Tu ej pa to pašu krastu. Un pierakstiet krasta līnijas reljefu. Izrādās, ka līču un līču krasti, kurus jūs fotografējāt no lidmašīnas, nemaz nav tik gludi un vienkārši, kā jūs domājāt savās fotogrāfijās. Viņiem ir sarežģīta struktūra. Un tādējādi, kartējot šo “gājēju” piekrasti, tās garums palielināsies vēl vairāk.
Jā, dabā nav bezgalības. Bet ir pilnīgi skaidrs, ka piekrastes līnija ir tipisks fraktālis. Tas paliek līdzīgs pats sev, bet tā struktūra kļūst arvien sarežģītāka, rūpīgāk izpētot (atcerieties piemēru ar mikroskopu).
Šī patiešām ir pārsteidzoša parādība. Mēs esam pieraduši pie tā, ka jebkuram ģeometriskam objektam plaknē ar ierobežotu izmēru (kvadrāts, trīsstūris, aplis) ir fiksēts un ierobežots tā robežu garums. Bet šeit viss ir savādāk. Piekrastes līnijas garums limitā izrādās bezgalīgs.
Koks
Bet iedomāsimies koku. Parasts koks. Dažas izplatās liepas. Apskatīsim viņas bagāžnieku. Netālu no saknes. Tas izskatās kā nedaudz deformēts cilindrs. Tie. ir ļoti vienkārša forma.
Pacelsim acis augstāk. No stumbra sāk parādīties zari. Katram zaram tā sākumā ir tāda pati struktūra kā stumbram - cilindrisks, no ģeometrijas viedokļa. Bet visa koka struktūra ir mainījusies. Tas ir kļuvis daudz sarežģītāks.
Tagad apskatīsim šīs filiāles. No tiem stiepjas mazāki zari. To pamatnē tiem ir tāda pati nedaudz deformēta cilindriska forma. Kā tas pats bagāžnieks. Un tad no tiem atzarojas daudz mazāki zari. Un tā tālāk.
Koks atražo sevi katrā līmenī. Tajā pašā laikā tā struktūra pastāvīgi kļūst sarežģītāka, bet paliek līdzīga pati sev. Vai tas nav fraktālis?
Aprite
Un šeit ir cilvēka asinsrites sistēma. Tam ir arī fraktāļu struktūra. Ir artērijas un vēnas. Caur dažām no tām asinis nonāk sirdī (vēnās), caur citām – no tās (artērijām). Un tad asinsrites sistēma sāk līdzināties tam kokam, par kuru mēs runājām iepriekš. Kuģi, saglabājot savu struktūru, kļūst arvien plānāki un sazaroti. Tie iekļūst visattālākajos mūsu ķermeņa apgabalos, piegādājot skābekli un citas svarīgas sastāvdaļas katrai šūnai. Šī ir tipiska fraktāļu struktūra, kas atkārtojas mazākos un mazākos mērogos.
Upes drenāža
"Volgas upe plūst no tālienes ilgu laiku." Ģeogrāfiskajā kartē tā ir zila līkumota līnija. Nu lielās pietekas ir iezīmētas. Labi, Kama. Ko darīt, ja mēs tālinām? Izrādās, ka šo pieteku ir daudz vairāk. Ne tikai pie pašas Volgas, bet arī pie Okas un Kamas. Un viņiem ir arī savas pietekas, tikai mazākas. Un tiem ir savs. Parādās struktūra, kas ir ļoti līdzīga cilvēka asinsrites sistēmai. Un atkal rodas jautājums. Cik gara ir visa šī ūdensapgādes sistēma? Ja mēra tikai galvenā kanāla garumu, viss ir skaidrs. To var izlasīt jebkurā mācību grāmatā. Kā būtu, ja visu izmērītu? Atkal robežās izrādās bezgalība.
Mūsu Visums
Protams, miljardu gaismas gadu mērogā Visums ir strukturēts viendabīgi. Bet apskatīsim to tuvāk. Un tad mēs redzēsim, ka tajā nav viendabīguma. Kaut kur ir galaktikas (zvaigžņu kopas), kaut kur ir tukšums. Kāpēc? Kāpēc matērijas sadalījums pakļaujas neregulāriem hierarhijas likumiem? Un kas notiek galaktiku iekšienē (vēl viena tālummaiņa). Kaut kur ir vairāk zvaigžņu, kaut kur mazāk. Kaut kur ir planētu sistēmas, piemēram, mūsu Saules sistēmā, un kaut kur ne.
Vai šeit neizpaužas pasaules fraktāļu būtība? Tagad, protams, pastāv milzīga plaisa starp vispārējo relativitātes teoriju, kas izskaidro mūsu Visuma izcelsmi un tā uzbūvi, un fraktāļu matemātiku. Bet kas zina? Varbūt tas viss kādreiz tiks novests pie “kopsaucēja”, un mēs uz apkārtējo kosmosu skatīsimies ar pavisam citām acīm.
Uz praktiskām lietām
Var sniegt daudz līdzīgu piemēru. Bet atgriezīsimies pie prozaiskākām lietām. Piemēram, ekonomika. Šķiet, ka fraktāļiem ir kāds sakars ar to. Izrādās, ka tam ir daudz sakara. Piemērs tam ir akciju tirgi.
Prakse rāda, ka ekonomiskie procesi bieži vien ir haotiski un neparedzami. Līdz mūsdienām pastāvošajos matemātiskajos modeļos, kas mēģināja aprakstīt šos procesus, netika ņemts vērā viens ļoti svarīgs faktors - tirgus pašorganizēšanās spēja.
Šeit palīgā nāk fraktāļu teorija, kam piemīt “pašorganizēšanās” īpašības, atražojot sevi dažādu mērogu līmenī. Protams, fraktālis ir tīri matemātisks objekts. Gan dabā, gan ekonomikā tādu nav. Bet ir fraktāļu parādību jēdziens. Tie ir fraktāļi tikai statistiskā nozīmē. Tomēr fraktāļu matemātikas un statistikas simbioze ļauj iegūt diezgan precīzas un adekvātas prognozes. Šī pieeja ir īpaši efektīva, analizējot akciju tirgus. Un tie nav matemātiķu “izgudrojumi”. Ekspertu dati liecina, ka daudzi akciju tirgus dalībnieki tērē daudz naudas, lai samaksātu fraktāļu matemātikas jomas speciālistiem.
Ko dod fraktāļu teorija? Tas postulē vispārēju, globālu cenu noteikšanas atkarību no pagātnes. Protams, lokāli cenu noteikšanas process ir nejaušs. Taču nejaušiem cenu lēcieniem un kritumiem, kas var notikt īslaicīgi, ir iespēja pulcēties klasteros. Kas tiek reproducēti lielos laika mērogos. Tāpēc, analizējot to, kas kādreiz bija, mēs varam paredzēt, cik ilgi šī vai cita tirgus attīstības tendence (pieaugums vai kritums) turpināsies.
Tādējādi globālā mērogā tas vai cits tirgus pats sevi “atražo”. Pieļaujot nejaušas svārstības, ko izraisa virkne ārēju faktoru jebkurā konkrētā laika brīdī. Taču globālās tendences saglabājas.
Secinājums
Kāpēc pasaule ir sakārtota pēc fraktāļu principa? Atbilde var būt tāda, ka fraktāļiem kā matemātiskajam modelim piemīt pašorganizācijas un pašlīdzības īpašība. Turklāt katra to forma (skat. raksta sākumā dotos attēlus) ir vienalga, cik sarežģīta, bet dzīvo savu dzīvi, attīstot līdzīgas formas. Vai tā nedarbojas mūsu pasaule?
Un šeit ir sabiedrība. Parādās ideja. Sākumā diezgan abstrakti. Un tad tas "iekļūst masās". Jā, tas kaut kā transformējas. Bet kopumā tas paliek tas pats. Un vairuma cilvēku līmenī tas pārvēršas par dzīves ceļa mērķa uzstādījumu. Šeit ir tā pati PSRS. Nākamajā PSKP kongresā tika pieņemti nākamie laikmeta lēmumi, un viss gāja lejup. Arvien mazākā mērogā. Pilsētu komitejas, partijas komitejas. Un tā tālāk katram cilvēkam. Atkārtota struktūra.
Protams, fraktāļu teorija neļauj mums paredzēt nākotnes notikumus. Un tas diez vai ir iespējams. Taču liela daļa no tā, kas mūs ieskauj un kas notiek mūsu ikdienā, ļauj paskatīties uz to pavisam citām acīm. Apzināts.
Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna darba versija ir pieejama cilnē "Darba faili" PDF formātā
Ievads…………………………………………………………………………………… 3-4
Galvenā daļa
1.1. Fraktāļa jēdziens……………………………………………………………5
1.2. Termina “fraktalitāte” rašanās vēsture…………..5-6
1.3.Fraktāļu klasifikācija………………………………………………………….6
1.4. Fraktāļu izmantošana……………………………………………… 6-7
1.5.Fraktāļu konstruēšana Dzīvās matemātikas programmā......7-8
1.6. Ķīmisko savienojumu fraktalitāte………………………8-12
1.6.1.Teorētiskā daļa…………………………………………….8-9
1.7.2.Praktiskā daļa………………………………………………..9-12
Secinājums…………………………………………………………13
Atsauces………………………………………………………13
Lietojumprogrammas
Ievads
Jūs, protams, esat dzirdējuši par fraktāļiem. Jūs, protams, esat redzējuši šīs elpu aizraujošās bildes, kas ir reālākas par pašu realitāti. Kalni, mākoņi, koku miza - tas viss pārsniedz parasto Eiklīda ģeometriju. Mēs nevaram aprakstīt klinti vai salas robežas, izmantojot taisnas līnijas, apļus un trīsstūrus. Un šeit mums palīgā nāk fraktāļi. Kas ir šie pazīstamie svešinieki?
Kas kopīgs kokam, jūras krastam, mākonim vai mūsu rokas asinsvadiem? Ir viena struktūras īpašība, kas raksturīga visiem uzskaitītajiem objektiem: tie ir līdzīgi. No zara, tāpat kā no koka stumbra, stiepjas mazāki dzinumi, no tiem vēl mazāki utt., tas ir, zars ir līdzīgs visam kokam. Asinsrites sistēma ir strukturēta līdzīgi: no artērijām iziet arterioli, un no tiem mazākie kapilāri, caur kuriem skābeklis nonāk orgānos un audos. Apskatīsim jūras piekrastes satelītattēlus: redzēsim līčus un pussalas; Paskatīsimies uz to, bet no putna lidojuma: mēs redzēsim līčus un zemesragus - tie visi ir fraktāļi.
Projekta atbilstība
Mūsu dzīvē fraktāļi rodas gandrīz katrā solī. Mēs tos redzam dabā, fizikā, ķīmijā, medicīnā, ekonomikā un grafiskajā dizainā. Un skolā varam veidot fraktālīšus ķīmijas stundās, parādot eksperimentu skaistumu un izklaidi. Fraktāļu ģeometrija palīdzēs atspēkot uzskatu par matemātiku kā sausu un nepieejamu disciplīnu un kļūs par papildu stimulu studentiem apgūt šo interesanto un aizraujošo zinātni.
Fraktāļu tēma ir salīdzinoši jauna un vēl nav pietiekami izpētīta.
Hipotēze: Sāls dendritiem kā kristalizācijas produktam no šķīdumiem, kā arī praktiski jebkuriem sarežģītiem dabīgiem produktiem jābūt ar fraktāļu īpašībām.
Problēma: Ja izaudzētajiem dendritiem ir fraktāļu īpašības, tad ar programmu Living Mathematics var izveidot tiem atbilstošu fraktāļu modeli.
Darba mērķis: fraktāļu teorijas pamatu izpēte un apgūšana, dažādu metālu sāļu dendrītu audzēšana skolas laboratorijā
Pētījuma objekts: Dažādu metālu sāļu dendrīti.
Studiju priekšmets: Apstākļi, kas nepieciešami, lai notiktu dendrīta veidošanās reakcija.
Uzdevumi:
1. Literatūras analīze par pētāmo tēmu.
2. Iepazīties ar dažādiem fraktāļu veidiem.
3. Fraktāļu veidošana skolas laboratorijā.
4. Programmā “Dzīvā matemātika” izveido fraktāli “Pitagora koks”.
5. Runājiet par fraktāļu izmantošanu.
Pētījuma metodes:
Daļēja meklēšana
Pētījumi
Pētījuma posmi:
Plāna izstrāde
Instrumentu izstrāde
Eksperimentējiet
Eksperimentālo datu apstrāde un analīze
Secinājuma formulēšana
Darba reģistrācija
Mērķauditorijas atlase: Materiālus var izmantot vidējo un vecāko klašu skolēni ārpusskolas nodarbībās, kā arī skolas skolotāji un vecāki.
Galvenā daļa
Fraktāļa jēdziens.
Katru dienu mēs redzam visdažādākos modeļus un saprotam, ka kāds ir pielicis daudz pūļu, lai tos izdomātu. Ko mēs varam teikt par modeļiem, ko atrodam dabā? Ko viņi atklāj? Ņemsim, piemēram, sniegpārslas. Šie kristāli veidojas, kad ūdens tvaiki pārvēršas ledū. Kristāliem augot, parādās eleganti ažūra raksti. Apskatīsim vienu sniegpārsliņu. Tās stari atkal un atkal atzarojas, veidojot mazākus starus. Šo pašlīdzības īpašību matemātikā sauc par fraktāli, tā ir figūra, kurā viens un tas pats motīvs atkārtojas secīgi dilstošā mērogā. Kur vēl dabā ir fraktāļu struktūras piemēri? Koki demonstrē arī sevis līdzības īpašību. No stumbra stiepjas zari, no tiem mazāki zari utt. Papardes lapas pārstāv arī fraktāli. Cits fraktāļu konfigurācijas veids ir nautilusa apvalks, kas sadalīts kamerās. Pieaugot, nautilus būvē jaunas un lielākas kameras, atdalot tās no tām, kuras tam vairs nav vajadzīgas. Rezultātā veidojas fraktāļu spirāle, kas, palielinoties, saglabā tādu pašu formu. Šāda veida spirāles veido mākoņi viesuļvētras laikā, cirtas uz neliela čaumalas, zvaigznes galaktikā un sēklas saulespuķu grozā.
Fraktalitātes rašanās vēsture.
Fraktāļu un fraktāļu ģeometrijas jēdzieni, kas parādījās 70. gadu beigās, kopš 80. gadu vidus ir kļuvuši stingri nostiprinājušies matemātiķu un programmētāju vidū. Līdz 20. gadsimtam tika uzkrāti dati par šādiem dīvainiem objektiem, nemēģinot tos sistematizēt. Tas bija līdz brīdim, kad Benuā Mandelbrots, mūsdienu fraktāļu ģeometrijas un vārda fraktālis tēvs, tos pārņēma. Strādājot par matemātikas analītiķi uzņēmumā IBM, viņš pētīja troksni elektroniskajās shēmās, ko nevarēja aprakstīt, izmantojot statistiku. Pamazām salīdzinot faktus, viņš nonāca pie jauna matemātikas virziena – fraktāļu ģeometrijas – atklāšanas.
Fraktālgrafika mūsdienās ir viens no visstraujāk augošajiem daudzsološajiem datorgrafikas veidiem. Fraktāļu grafikas matemātiskais pamats ir fraktāļu ģeometrija. Fraktāļu galvenā īpašība: pašlīdzība vienkāršākajā gadījumā neliela fraktāļa daļa satur informāciju par visu fraktāli
Klasifikācija
Fraktāļi ir sadalīti grupās. Lielākās grupas ir: ģeometriskie fraktāļi, algebriskie fraktāļi, iterējamo funkciju sistēmas, stohastiskie fraktāļi.
Ģeometriskie fraktāļi. Tieši ar viņiem sākās fraktāļu vēsture. Šīs ir briesmoņu funkcijas, kuras tā sauca, jo tās nav atšķiramas katrā punktā. Ģeometriskie fraktāļi ir arī vizuālākie, jo pašlīdzība ir redzama uzreiz. Kopumā visiem ģeometriskajiem fraktāļiem ir līdzība, kas nemainās, mainoties mērogam.
Otra lielā fraktāļu grupa ir algebriskie. Viņi ieguva savu nosaukumu, jo tie ir veidoti, izmantojot vienkāršas algebriskas formulas. Tos iegūst, izmantojot nelineārus procesus n-dimensiju telpās.
Slavenākie no tiem ir Mandelbrota un Jūlijas komplekti, Ņūtona baseini utt.
Pieteikums.
Mūsdienās fraktāļu teorija tiek plaši izmantota dažādās cilvēka darbības jomās. Papildus fraktāļu glezniecībai informācijas teorijā fraktāļus izmanto grafisko datu saspiešanai (šeit galvenokārt tiek izmantota fraktāļu pašlīdzības īpašība - galu galā, lai atcerētos nelielu attēla fragmentu un transformācijas, ar kurām var iegūt atlikušās daļas, ir nepieciešams daudz mazāk atmiņas nekā visa faila saglabāšanai). Formulām, kas definē fraktāli, pievienojot nejaušus traucējumus, var iegūt stohastiskos fraktāļus, kas ļoti ticami nodod dažus reālus objektus - reljefa elementus, rezervuāru virsmu, dažus augus, ko veiksmīgi izmanto fizikā, ģeogrāfijā un datorgrafikā, lai sasniegtu lielāku. simulēto objektu līdzība ar reālu. Radioelektronikā pēdējā desmitgadē sāka ražot antenas ar fraktāļu formu. Aizņemot maz vietas, tie nodrošina augstas kvalitātes signāla uztveršanu. Un ekonomisti izmanto fraktāļus, lai aprakstītu valūtas kursa svārstību līknes (šo īpašību Mandelbrots atklāja pirms vairāk nekā 30 gadiem).
Fraktāļu konstruēšana Dzīvās matemātikas programmā.
Tagad ir izgudrots liels skaits fraktāļu zīmēšanas algoritmu. Internetā var atrast un lejupielādēt gatavas programmas. Es strādāju programmā Living Mathematics.
Dzīvā matemātika- šī ir unikāla programma, kas ļauj izveidot modernu datorzīmējumu, kas izskatās kā tradicionāls, tomēr reprezentē kvalitatīvi pilnīgi jaunu parādību. Zīmējums, kas veidots uz papīra ar zīmuli un lineālu, ir ļoti svarīgs, taču tam ir divi trūkumi: tas ir laikietilpīgs un gala produkts ir statisks. Programma Living Mathematics ļauj ievērojami ietaupīt laiku, bet pats galvenais: ar programmas palīdzību konstruētu zīmējumu var pavairot, deformēt, pārvietot un modificēt. Zīmējuma elementus var viegli izmērīt ar datorizētiem līdzekļiem, un šo mērījumu rezultāti ļauj tālāk apstrādāt datoru.
1.6. Ķīmisko savienojumu fraktalitāte.
Pirms termina “fraktāļi” parādīšanās mineraloģijā un pēc tam ķīmijā tika lietots termins “dendrīts” un “dendrīta formas”. Dendrīts ir sazarojošs un atšķirīgs veidojums, kas rodas paātrinātas vai ierobežotas kristalizācijas laikā nelīdzsvarotos apstākļos, kad kristāls sadalās saskaņā ar noteiktiem likumiem. Viņi zarojas un aug dažādos virzienos, piemēram, koks. Dendrīta veidošanās procesu parasti sauc par dendrītu augšanu. Objekta dendrīta attīstības procesā sākotnējā kristāla kristalogrāfiskais raksts tiek zaudēts, tam augot. Dendrīti var būt trīsdimensiju tilpuma (atvērtos tukšumos) vai plakani divdimensiju (ja tie aug plānās plaisās akmeņos). Dendrītu piemēri ir ledus raksti uz logu stikla, sniegpārslas un gleznainie mangāna oksīdi, kas izskatās kā koki ainavas halcedonā un plānās rozā rodonīta plaisās. Rūdas atradņu oksidācijas zonās vietējais varš, sudrabs un zelts ir sazarotas dendrīta formas, un vietējais bismuts un vairāki sulfīdi veido režģa dendrītus. Barītam, malahītam un daudziem citiem minerāliem, piemēram, aragonīta un kalcīta “alu ziedi” karsta alās ir zināmi nierveida vai koraļveida dendrīti. Dendritiem kā specifiskam kristalizācijas produktam no šķīdumiem neapšaubāmi piemīt fraktāļu īpašības, lai gan šīs īpašības piemīt praktiski jebkuram kompleksam dabas un cilvēka darbības produktam.
Ķīmijā ir daudz interesantu eksperimentu metāla dendrītu iegūšanai, piemēram, “Saturna koks”, “Jupitera koks” un “Dorfmana koks”.
. "Saturna koku" dažreiz sauc par Paracelza, ārsta-alķīmiķa un farmaceitiskās ķīmijas pamatlicēja koku. Gatavojot vienu no savām zālēm, lai iegūtu zāles, izšķīdinot svina metālu etiķskābē, viņš nolēma pievienot dzīvsudrabu un tāpēc pievienoja traukā cinka gabalus. Nebūdams laika turpināt eksperimentu, Paracelzs atstāja trauku uz vairākām dienām un cik ļoti viņš bija pārsteigts, redzot spīdīgus nezināmas dabas zarus uz cinka gabaliņiem! Zinātnieks uzskatīja, ka dzīvsudrabs, sacietējis, iznāca no cinka gabaliņiem. Vēlāk skaisto “koku” nosauca par “Saturnu” pēc svina alķīmiskā nosaukuma.
Zn + Pb(CH3COO)2 = Pb + Zn(CH3COO)2.
Paracelsam tiek piedēvēts arī alvas kristālu iegūšana uz cinka gabaliņiem - “Jupitera kokam”. Lai izaudzētu šādu “koku”, augstā stikla traukā ielej 30–40 g alvas hlorīda SnCl2 ūdens šķīdumu 100 ml ūdens un iegremdē cinka plāksni.
Zn + SnCl2 = Sn+ ZnCl2.
Sudraba “Dorfmana koku” iegūst, stikla vārglāzē ar dzīvsudraba pilienu apakšā ielejot sudraba nitrāta AgNO3 10% ūdens šķīdumu. Pirmkārt, dzīvsudrabs tiek pārklāts ar pelēku sudraba amalgamas plēvi (dzīvsudraba un sudraba sakausējums), un pēc 5 - 10 sekundēm uz tā ātri sāk augt spīdīgi adatveida sudraba kristāli. Pēc dažām minūtēm skujas sāk zaroties, un pēc stundas traukā izaug dzirkstošs sudraba koks. Šeit ļoti svarīgi ir stingri ievērot ieteicamo sudraba nitrāta koncentrāciju: pie mazāka AgNO3 satura metāliskā sudraba kristālu augšana netiek novērota, un pie lielāka satura sudraba kristalizācija notiek bez sazarotu kristālu veidošanās.
Hg + 2AgNO3= 2Ag + Hg(NO3)2
Praktiskā daļa
Pieredze Nr.1. Koloidālais dārzs jeb "ķīmiskās aļģes".
Vārglāzēs ielej silikāta līmi, atšķaida ar ūdeni proporcijā 1:1. Katrā glāzē pievienojiet šķipsniņu hlorīdu: varu, dzelzi, mangānu un alumīniju. Laika gaitā stiklā var novērot “ķīmisko aļģu” augšanu, kas sastāv no nešķīstošiem metālu silikātiem un atgādina īstas pavedienveida aļģes. Aļģu krāsa ir atkarīga no metāla. Vara sāļi dod zilaļģes, dzelzs (III) - brūnu, alumīniju - baltu, mangānu - bēšu.
CuCl 2 + Na 2 SiO 3 2NaCl + CuSiO 3
2FeCl 3 + 3Na 2 SiO 3 Fe 2 (SiO 3) 3 + 6 NaCl
MnCl 2 + Na 2 SiO 3 MnSiO 3 + 2NaCl
2AlCl3 + 3Na2SiO3Al(SiO3)3 + 6NaCl
Pieredze Nr.2. Lomonosova cianoferāta aļģes.
Apbrīnojami “augi”, kas līdzīgi pavedienu aļģēm, aug traukos, kad tie mijiedarbojas kālija heksacianoferātu ūdens šķīdumā ar vara (II) sulfātu. Lai to izdarītu, samaziniet sarkano asins sāls - kālija heksacianoferāta K3 - kristālus ūdens šķīdumā, kurā ir 100-150 g vara(II) sulfāta CuSO4 1 litrā ūdens. Ūdens “augu” parādīšanās ir saistīta ar reakcijām, kurās nogulsnējas slikti šķīstošais kompleksais sāls KCu. Šis savienojums pārklāj ievadītos kristālus ar daļēji caurlaidīgu plēvi. Ūdens no šķīduma sūcas cauri plēvei. Spiediens zem plēves palielinās, vietām tā izlaužas cauri, un tur sāk augt garas izliektas caurules – aļģes. Augšana turpinās, līdz tiek izlietots viss pievienotā sāls kristāls.
K 3 + CuSO 4 KCu + K 2 SO 4
Pieredze Nr.3. Ainavas uz stikla
Lai attēlotu sarežģītus mazu krāsainu sāls kristālu rakstus, ir šāda metode. Jums jāsagatavo silts 2-3 g želatīna šķīdums 100 ml ūdens un 10-15% krāsainu sāļu ūdens šķīdumi (vara(II) sulfāts CuSO4, kālija dihromāts K2Cr2O7, kobalta hlorīds CoCl2). Šie šķīdumi satur 10-15 g katra sāls 100 g ūdens. Pēc tam želatīna šķīdums jāsajauc ar desmitkārtīgu sāls šķīduma tilpumu un maisījumu jālej uz beztauku stikla plāksnes, lai izveidotu 2-3 mm biezu slāni. Atstājiet plāksni horizontālā stāvoklī, lai ūdens varētu iztvaikot. Pēc 1-2 dienām plāns želatīna šķīduma slānis ar sāls piemaisījumiem izžūst, un uz stikla parādās grezni zilu, oranžu, zaļu un rozā krāsainu kristālu raksti.
Pieredze Nr.5. koraļļu rifs
Ja nātrija hlorīda kristāli aug, šķīdumam iztvaikojot no porainas keramikas virsmas, tie bieži iegūst šķiedru formu. Sāls šķīduma iztvaicēšanas gadījumā no papīra virsmas bija iespējams iegūt kristālu savstarpējus izaugumus zaru veidā - dendrītus. Šāda eksperimenta veikšana ir ļoti vienkārša. Jums jāievieto filtrpapīra gabals cilindrā, kura diametrs ir 2-3 cm un augstums 15-25 cm, un vertikāli jānovieto cilindrs Petri trauciņā un jānostiprina virsū. Ielejiet krūzē nātrija hlorīdu gandrīz līdz augšai, pievienojot nedaudz dzeltenā asins sāls K4 (ceturtdaļu tējkarotes), pēc tam samaisiet un pievienojiet ūdeni, lai tas labi samitrinātu sāli un šķīdums sāktu celties augšup pa filtrpapīru. Šķīdums pakāpeniski iztvaikos no papīra virsmas, un tā vietā no krūzes pacelsies svaigas porcijas (kapilārā efekta dēļ). Šķīdumam iztvaikojot, krūzē jāpievieno ūdens un jāpievieno sāls. Pamazām uz papīra virsmas sāks augt sāls kristāli, kas dažu dienu laikā iegūs zariņu formu. Pats papīra cilindrs izskatīsies pēc balta koraļļa. Dzeltenā asins sāls pievienošana veicina šķiedru nātrija hlorīda kristālu veidošanos. Bez tā galda sāls vienkārši veido garoza uz papīra virsmas. Šai reakcijai ir praktiska nozīme, jo dzeltenais asins sāls - kālija heksacianoferāts K4 ir pārtikas piedeva E563, ko izmanto pārtikas rūpniecībā kā pretsalipes vielas, kā arī apgaismotājus.
Sīkāk izpētot augošos nātrija hlorīda dendritus ar palielināmo ierīču palīdzību, nonācu pie secinājuma, ka tas atgādina Pitagora koku un tāpēc, izmantojot programmu Live Mathematics, mēģināju izveidot tā modeli.
Pitagora koks to sauc tā, jo katrs trīs pāri pieskaroties kvadrātiem ierobežo taisnleņķa trīsstūri, un rezultāts ir attēls, ko bieži izmanto, lai ilustrētu Pitagora teorēmu "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos"
Ir skaidri redzams, ka viss koks ir ierobežots. Ja lielākais kvadrāts ir vienība, tad koks ietilps 6 × 4 taisnstūrī Tas nozīmē, ka tā laukums nepārsniedz 24. Bet, no otras puses, katru reizi tiek pievienots divreiz vairāk kvadrātu trīskāršu nekā iepriekšējā. , un to lineārie izmēri ir √2 reizes mazāki. Tāpēc katrā solī tiek pievienots viens un tas pats laukums, kas ir vienāds ar sākotnējās konfigurācijas laukumu, tas ir, 2.
Secinājums
Nobeigumā vēlos teikt, ka fraktāļi strauji iebrūk daudzās fizikas, ķīmijas, bioloģijas, medicīnas, socioloģijas un ekonomikas jomās. Ķīmijā ir daudz interesantu eksperimentu. Fraktāļu audzēšana ir ļoti interesanta nodarbe. Paskaties, šķiet, ka nekā nav, un pēc dažām minūtēm parādās adatas, tad tās sāk zaroties, un pēc 1 stundas traukā aug koki. Es gribu radīt visu jaunu un jaunu. Izveidotās formas ir pievilcīgas no estētiskā viedokļa. Dzīvās matemātikas programma ir ļoti elastīgs rīks, kas ļauj īstenot daudzas manas fantāzijas. Es veidoju pārsteidzošus ģeometriskus objektus - fraktāļus, veidojot vienkāršu struktūru, kas veido arvien mazākas figūras daļas. Fraktāļu ģeometrija piedāvā labu iespēju popularizēt matemātikas zināšanas. Tāpēc fraktāļu ģeometrija un fraktāļi ķīmijā kļūs par papildu stimulu studentiem apgūt šīs interesantās un aizraujošās zinātnes. Galu galā matemātika, ķīmija, bioloģija un fizika ir cieši saistītas viena ar otru, tāpat kā viss uz Zemes, Visumā.
Bibliogrāfija
1. Vitolīns D. Fraktāļu pielietojums datorgrafikā.
2. Zabarjanskis S.F., Fraktāļu attēlu saspiešana. - Datori + programmas.
3. Dmitrijevs A. Haoss, fraktāļi un informācija.
4. Gevorgs Simonjans Ķīmisko savienojumu fraktalitāte.
5. Shabat G.B. (zinātniskais vadītājs) Dzīvā matemātika: Mācību materiālu krājums
PIELIKUMS Nr.1
“Saturna koks vai Paracelsa koks” “Dorfmana sudraba koks”
"Jupitera koks"
PIELIKUMS Nr.2
Pieredze #1: Silikāta aļģes"
PIELIKUMS Nr.3.
Pieredze Nr. 2: Cianoferāta aļģes
Pieredze Nr. 3: Ainavas uz stikla
CoSO 4 CuSO 4 K 2 Kr 2 O 7
PIELIKUMS Nr.4
Pieredze Nr.4. koraļļu rifs
Kā tika atklāts fraktāls
Matemātiskās formas, kas pazīstamas kā fraktāļi, ir radušās no izcilā zinātnieka Benuā Mandelbrota ģēnija. Lielāko dzīves daļu viņš mācīja matemātiku Jēlas universitātē ASV. 1977. - 1982. gadā Mandelbrots publicēja zinātniskus darbus, kas bija veltīti “fraktāļu ģeometrijas” vai “dabas ģeometrijas” izpētei, kuros viņš šķietami nejaušas matemātiskās formas sadalīja komponentos, kas, rūpīgāk izpētot, izrādījās atkārtojas – kas pierādīja konkrēta modeļa esamību kopēšanai . Mandelbrota atklājumam bija nozīmīgas sekas fizikas, astronomijas un bioloģijas attīstībā.
Fraktāļi dabā
Dabā daudziem objektiem piemīt fraktāļu īpašības, piemēram: koku vainagi, ziedkāposti, mākoņi, cilvēku un dzīvnieku asinsrites un alveolārā sistēma, kristāli, sniegpārslas, kuru elementi ir sakārtoti vienā sarežģītā struktūrā, krasta līnijas (fraktāļu koncepcija ir atļauta zinātniekiem, lai izmērītu Britu salu krasta līniju un citus iepriekš neizmērāmus objektus).
Apskatīsim ziedkāpostu struktūru. Ja nogriež kādu no ziediem, redzams, ka rokās paliek tas pats puķkāposti, tikai mazākā izmērā. Mēs varam turpināt griezt atkal un atkal, pat zem mikroskopa, taču mēs iegūstam tikai sīkas ziedkāpostu kopijas. Šajā vienkāršākajā gadījumā pat neliela fraktāļa daļa satur informāciju par visu galīgo struktūru.
Fraktāļi digitālajā tehnoloģijā
Fraktāļu ģeometrija ir devusi nenovērtējamu ieguldījumu jaunu tehnoloģiju attīstībā digitālās mūzikas jomā, kā arī padarījusi iespējamu digitālo attēlu saspiešanu. Esošie fraktāļu attēlu saspiešanas algoritmi ir balstīti uz saspiesta attēla glabāšanas principu, nevis pašu digitālo attēlu. Saspiestam attēlam galvenais attēls paliek fiksēts punkts. Microsoft, publicējot savu enciklopēdiju, izmantoja vienu no šī algoritma variantiem, taču tā vai cita iemesla dēļ šī ideja netika plaši izmantota.
Fraktāļu grafikas matemātiskais pamats ir fraktāļu ģeometrija, kur mantojuma princips no sākotnējiem “vecākiem objektiem” ir “mantinieku attēlu” konstruēšanas metožu pamatā. Pati fraktāļu ģeometrijas un fraktāļu grafikas jēdzieni parādījās tikai pirms aptuveni 30 gadiem, bet jau ir stingri nostiprinājušies datoru dizaineru un matemātiķu ikdienas dzīvē.
Fraktāļu datorgrafikas pamatjēdzieni ir:
- Fraktāļu trīsstūris - fraktāļu figūra - fraktāļu objekts (hierarhija dilstošā secībā)
- Fraktāļu līnija
- Fraktāļu sastāvs
- “Vecāks objekts” un “Pēcteces objekts”
Tāpat kā vektoru un trīsdimensiju grafikā, arī fraktāļu attēlu izveide tiek matemātiski aprēķināta. Galvenā atšķirība no pirmajiem diviem grafikas veidiem ir tāda, ka fraktāļu attēls tiek veidots pēc vienādojuma vai vienādojumu sistēmas – lai veiktu visus aprēķinus, datora atmiņā nav nepieciešams saglabāt neko citu kā formulu – un šī matemātiskā aparāta kompaktums ļāva šo ideju izmantot datorgrafikā. Vienkārši mainot vienādojuma koeficientus, var viegli iegūt pavisam citu fraktāļu attēlu – izmantojot vairākus matemātiskos koeficientus, tiek norādītas ļoti sarežģītu formu virsmas un līnijas, kas ļauj realizēt tādas kompozīcijas tehnikas kā horizontāles un vertikāles, simetriju un asimetriju. , diagonālie virzieni un daudz kas cits.
Kā izveidot fraktāli?
Fraktāļu radītājs vienlaikus pilda mākslinieka, fotogrāfa, tēlnieka un zinātnieka-izgudrotāja lomu. Kādi ir gaidāmie posmi, veidojot zīmējumu no nulles?
- iestatiet zīmējuma formu, izmantojot matemātisko formulu
- izpētīt procesa konverģenci un mainīt tā parametrus
- izvēlieties attēla veidu
- izvēlēties krāsu paleti
Starp fraktāļu grafiskajiem redaktoriem un citām grafikas programmām mēs varam izcelt:
- "Mākslas dabbler"
- "Gleznotājs" (bez datora neviens mākslinieks nekad nesasniegs programmētāju noteiktās iespējas tikai ar zīmuli un otas pildspalvu)
- “Adobe Photoshop” (bet šeit attēls netiek izveidots “no nulles”, bet, kā likums, tikai apstrādāts)
Apskatīsim patvaļīgas fraktāļu ģeometriskās figūras struktūru. Tās centrā ir visvienkāršākais elements - vienādmalu trīsstūris, kas saņēma tādu pašu nosaukumu: “fraktālis”. Malu vidējā segmentā mēs izveidosim vienādmalu trīsstūrus, kuru mala ir vienāda ar vienu trešdaļu no sākotnējā fraktāļu trīsstūra malas. Izmantojot to pašu principu, tiek veidoti vēl mazāki otrās paaudzes trīsstūri un tā tālāk bezgalīgi. Iegūto objektu sauc par “fraktāļu figūru”, no kuras secībām iegūstam “fraktāļu kompozīciju”.
Avots: http://www.iknowit.ru/
Fraktāļi un senās mandalas
Principā mandala ir sarežģītas struktūras ģeometrisks simbols, kas tiek interpretēts kā Visuma modelis, "kosmosa karte". Šī ir pirmā fraktalitātes pazīme!
Tie ir izšūti uz auduma, krāsoti uz smiltīm, izgatavoti ar krāsainiem pulveriem un izgatavoti no metāla, akmens, koka. Tā spilgtais un burvīgais izskats padara to par skaistu Indijas tempļu grīdas, sienu un griestu rotājumu. Senindiešu valodā “mandala” nozīmē Visuma garīgās un materiālās enerģijas attiecību mistisku loku jeb, citiem vārdiem sakot, dzīvības ziedu.
Es gribēju uzrakstīt ļoti īsu fraktāļu mandalu apskatu ar minimālu rindkopu skaitu, parādot, ka attiecības nepārprotami pastāv. Tomēr, mēģinot izprast un savienot informāciju par fraktāļiem un mandalām vienotā veselumā, man radās kvantu lēciena sajūta man nezināmā telpā.
Šīs tēmas vērienīgumu demonstrēju ar citātu: “Šādas fraktāļu kompozīcijas vai mandalas var izmantot gleznu veidā, dizaina elementi dzīvojamām un darba telpām, valkājami amuleti, videokasetes, datorprogrammas...” Kopumā fraktāļu izpētes tēma ir vienkārši milzīga.
Viena lieta, ko varu droši teikt, ir tāda, ka pasaule ir daudz daudzveidīgāka un bagātāka nekā mūsu prāta vājie priekšstati par to.
Fraktāļu jūras dzīvnieki
Mani minējumi par fraktāļu jūras dzīvniekiem nebija nepamatoti. Šeit ir pirmie pārstāvji. Astoņkājis ir grunts jūras dzīvnieks no galvkāju kārtas.
Aplūkojot šo fotoattēlu, man kļuva acīmredzama tā ķermeņa fraktāliskā struktūra un piesūcekņi uz visiem astoņiem šī dzīvnieka taustekļiem. Piesūcekņu skaits uz pieauguša astoņkāja taustekļiem sasniedz līdz 2000.
Interesants fakts ir tas, ka astoņkājiem ir trīs sirdis: viena (galvenā) dzen zilas asinis pa visu ķermeni, bet pārējās divas - žaunas - izspiež asinis caur žaunām. Daži šo dziļjūras fraktāļu veidi ir indīgi.
Pielāgojoties un maskējoties savai videi, astoņkājiem ir ļoti noderīga spēja mainīt krāsu.
Astoņkāji tiek uzskatīti par “gudrākajiem” no visiem bezmugurkaulniekiem. Viņi iepazīst cilvēkus un pierod pie tiem, kas viņus baro. Būtu interesanti paskatīties uz astoņkājiem, kuri ir viegli trenējami, kuriem ir laba atmiņa un pat atpazīst ģeometriskas formas. Bet šo fraktāļu dzīvnieku dzīves ilgums ir īss - maksimums 4 gadi.
Cilvēks izmanto šo dzīvo fraktāļu un citu galvkāju tinti. Mākslinieki tos meklē noturības un skaistā brūnā toņa dēļ. Vidusjūras virtuvē astoņkājis ir vitamīnu B3, B12, kālija, fosfora un selēna avots. Bet es domāju, ka jums ir jāzina, kā pagatavot šos jūras fraktāļus, lai ar prieku tos ēst kā pārtiku.
Starp citu, jāatzīmē, ka astoņkāji ir plēsēji. Ar saviem fraktāļu taustekļiem viņi tur laupījumu gliemju, vēžveidīgo un zivju formā. Žēl, ja tik skaists molusks kļūst par šo jūras fraktāļu barību. Manuprāt, viņš ir arī tipisks jūras karaļvalsts fraktāļu pārstāvis.
Tas ir gliemežu radinieks, gliemežnīcas gliemežnīca Glaucus, pazīstams arī kā Glaucus, zināms arī kā Glaucus atlanticus, zināms arī kā Glaucilla marginata. Šis fraktālis ir neparasts arī ar to, ka tas dzīvo un pārvietojas zem ūdens virsmas, to notur virsmas spraigums. Jo molusks ir hermafrodīts, tad pēc pārošanās abi “partneri” dēj olas. Šis fraktālis ir atrodams visos tropiskās zonas okeānos.
Jūras valstības fraktāļi
Katrs no mums kaut reizi dzīvē turēja rokās jūras gliemežvāku un ar neviltotu bērnišķīgu interesi to apskatīja.
Parasti gliemežvāki ir skaists suvenīrs, kas atgādina ceļojumu uz jūru. Aplūkojot šo bezmugurkaulnieku mīkstmiešu spirālveida veidojumu, nav šaubu par tā fraktālo raksturu.
Mēs, cilvēki, esam zināmā mērā līdzīgi šiem mīkstajiem mīkstmiešiem, dzīvojam labi iekārtotās betona fraktāļu mājās, ievietojam un pārvietojam savus ķermeņus ātrās automašīnās.
Vēl viens tipisks fraktāļu zemūdens pasaules pārstāvis ir koraļļi.
Dabā ir zināmas vairāk nekā 3500 koraļļu šķirnes, kuru paletē ir līdz 350 krāsu toņos.
Koraļļi ir koraļļu polipu kolonijas skeleta materiāls, arī no bezmugurkaulnieku dzimtas. To milzīgie uzkrājumi veido veselus koraļļu rifus, kuru veidošanās fraktāļu metode ir acīmredzama.
Koraļļus ar pilnu pārliecību var saukt par fraktāli no jūras valstības.
Cilvēki to izmanto arī kā suvenīru vai izejmateriālu rotaslietām un rotājumiem. Bet ir ļoti grūti atkārtot fraktāļu dabas skaistumu un pilnību.
Kārtējo reizi veicot rituālu virtuvē ar nazi un griešanas dēli, un tad, iemērcot nazi aukstā ūdenī, es raudājos un kārtējo reizi izdomāju, kā tikt galā ar asaru fraktāli, kas man parādās acu priekšā teju katru dienu. .
Fraktalitātes princips ir tāds pats kā slavenajai ligzdošanas lellei - ligzdošana. Tāpēc fraktalitāte netiek uzreiz pamanīta. Turklāt gaišā, viendabīgā krāsa un tās dabiskā spēja radīt nepatīkamas sajūtas neveicina visuma ciešu novērošanu un fraktāļu matemātisko modeļu noteikšanu.
Bet ceriņu krāsas salātu sīpols savas krāsas un asaras izraisošo fitoncīdu trūkuma dēļ lika aizdomāties par šī dārzeņa dabisko fraktalitāti. Protams, tas ir vienkāršs fraktālis, parastie dažāda diametra apļi, varētu pat teikt, primitīvākais fraktālis. Bet nenāktu par ļaunu atcerēties, ka bumba tiek uzskatīta par ideālu ģeometrisku figūru mūsu Visumā.
Internetā ir publicēti daudzi raksti par sīpolu labvēlīgajām īpašībām, bet kaut kā neviens nav mēģinājis pētīt šo dabisko eksemplāru no fraktalitātes viedokļa. Varu tikai norādīt, cik lietderīgi manā virtuvē ir izmantot fraktāli sīpola formā.
P.S. Esmu jau iegādājies dārzeņu griezēju fraktāļu smalcināšanai. Tagad jādomā, cik fraktāls ir tāds veselīgs dārzenis kā parastie baltie kāposti. Tas pats ligzdošanas princips.
Fraktāļi tautas mākslā
Manu uzmanību piesaistīja stāsts par pasaulslaveno rotaļlietu Matryoshka. Aplūkojot tuvāk, varam ar pārliecību teikt, ka šī suvenīru rotaļlieta ir tipisks fraktālis.
Fraktalitātes princips ir acīmredzams, ja visas koka rotaļlietas figūras ir sakārtotas rindā un nav ievietotas viena otrai.
Mans nelielais pētījums par šī rotaļlietu fraktāļa parādīšanās vēsturi pasaules tirgū parādīja, ka šī skaistuma saknes ir japāņu valodā. Matrjoška vienmēr ir uzskatīta par oriģinālu krievu suvenīru. Bet izrādījās, ka viņa bija vecā gudrā Fukuruma japāņu figūriņas prototips, kas savulaik tika atvesta uz Maskavu no Japānas.
Bet tieši Krievijas rotaļlietu industrija atnesa šai japāņu figūriņai pasaules slavu. Man personīgi paliek noslēpums, no kurienes radās ideja par rotaļlietas fraktāļu ligzdošanu. Visticamāk, šīs rotaļlietas autors izmantoja principu, ka figūriņas ligzdotas viena otrai. Un vienkāršākais veids, kā ieguldīt, ir līdzīgas dažāda izmēra figūras, un tas jau ir fraktālis.
Tikpat interesants izpētes objekts ir fraktāļu rotaļlietas gleznošana. Šī ir dekoratīva glezna - Khokhloma. Tradicionālie Khokhloma elementi ir ziedu, ogu un zaru augu raksti.
Atkal visas fraktalitātes pazīmes. Galu galā vienu un to pašu elementu var atkārtot vairākas reizes dažādās versijās un proporcijās. Rezultātā tapusi tautas fraktāļu glezna.
Un, ja nevienu nepārsteigsi ar jaunmodīgo datorpeļu, klēpjdatoru vāciņu un tālruņu apgleznošanu, tad automobiļa fraktāļu tūnings tautas stilā ir kas jauns auto dizainā. Var tikai brīnīties par fraktāļu pasaules izpausmēm mūsu dzīvē tik neparastā veidā mums tik ierastās lietās.
Fraktāļi virtuvē
Uz mana virtuves galda atradās tipisks augu pasaules fraktāļu pārstāvis.
Ar visu savu mīlestību pret ziedkāpostiem es vienmēr saskāros ar eksemplāriem ar viendabīgu virsmu bez redzamām fraktalitātes pazīmēm, un pat liels skaits ziedkopu, kas ligzdotas viena otrā, nedeva iemeslu šajā noderīgajā dārzenī redzēt fraktāli.
Bet šī konkrētā parauga virsma ar skaidri definēto fraktāļu ģeometriju neatstāja ne mazākās šaubas par šāda veida kāpostu fraktāļu izcelsmi.
Kārtējais brauciens uz hipermārketu tikai apstiprināja kāpostu fraktāļu statusu. Starp milzīgo eksotisko dārzeņu skaitu bija vesela kaste ar fraktāliem. Tas bija Romanescu jeb romānikas brokoļi, ziedkāposti.
Izrādās, ka dizaineri un 3D mākslinieki apbrīno tās eksotiskās fraktāļu formas.
Kāpostu pumpuri aug logaritmiskā spirālē. Pirmā Romanescu kāpostu pieminēšana nāca no Itālijas 16. gadsimtā.
Un brokoļu kāposti manā uzturā nav biežs viesis, lai gan uzturvielu un mikroelementu satura ziņā daudzkārt pārspēj puķkāpostu. Bet tā virsma un forma ir tik vienveidīga, ka man pat prātā neienāca tajā ieraudzīt dārzeņu fraktāli.
Fraktāļi kvilingā
Redzot ažūru amatus, izmantojot quilling tehniku, nezaudēju sajūtu, ka tie man kaut ko atgādina. Vienu un to pašu elementu atkārtošana dažādos izmēros, protams, ir fraktalitātes princips.
Pēc kārtējās kvilinga meistarklases noskatīšanās vairs nebija nekādu šaubu par kvilinga fraktāļu dabu. Galu galā, lai izgatavotu dažādus elementus quilling amatniecībai, tiek izmantots īpašs lineāls ar dažāda diametra apļiem. Neskatoties uz visu produktu skaistumu un unikalitāti, šī ir neticami vienkārša tehnika.
Gandrīz visi galvenie elementi quilling amatniecībai ir izgatavoti no papīra. Lai uzkrātu bezmaksas quilling papīru, apskatiet savus grāmatu plauktus mājās. Noteikti tur atradīsit pāris košus glancētus žurnālus.
Quilling rīki ir vienkārši un lēti. Viss, kas nepieciešams, lai veiktu amatieru quilling darbu, ir atrodams starp jūsu mājas rakstāmpiederumiem.
Un quilling vēsture sākas 18. gadsimtā Eiropā. Renesanses laikā franču un itāļu klosteru mūki grāmatu vāku dekorēšanai izmantoja quillingu un pat neapzinājās viņu izgudrotās papīra velmēšanas tehnikas fraktāļu raksturu. Augstākās sabiedrības meitenes pat apmeklēja kvilinga kursus speciālajās skolās. Tā šī tehnika sāka izplatīties pa valstīm un kontinentiem.
Šo video quilling meistarklasi par greznu apspalvojumu veidošanu var saukt pat par "dari pats" fraktāļiem. Ar papīra fraktāļu palīdzību tiek iegūtas brīnišķīgas ekskluzīvas Valentīna kartiņas un daudzas citas interesantas lietas. Galu galā, fantāzija, tāpat kā daba, ir neizsmeļama.
Nav noslēpums, ka japāņiem dzīvē ir ļoti ierobežota telpa, un tāpēc viņiem ir jācenšas visu iespējamo, lai to izmantotu efektīvi. Takeshi Miyakawa parāda, kā to var izdarīt gan efektīvi, gan estētiski. Viņa fraktāļu kabinets apliecina, ka fraktāļu izmantošana dizainā ir ne tikai veltījums modei, bet arī harmonisks dizaina risinājums ierobežotas telpas apstākļos.
Šis fraktāļu izmantošanas piemērs reālajā dzīvē saistībā ar mēbeļu dizainu man parādīja, ka fraktāļi ir īsti ne tikai uz papīra matemātiskās formulās un datorprogrammās.
Un šķiet, ka daba visur izmanto fraktalitātes principu. Vajag tikai to aplūkot tuvāk, un tas izpaudīsies visā savā lieliskajā esības pārpilnībā un bezgalībā.