Vienādsānu trijstūra formulas viduslīnija. Trijstūra vidējā līnija
Tiek saukts četrstūris, kurā tikai divas malas ir paralēlas trapecveida.
Trapeces paralēlās malas sauc par tās iemeslus, un tās malas, kas nav paralēlas, sauc puses. Ja malas ir vienādas, tad šāda trapece ir vienādsānu. Attālumu starp pamatnēm sauc par trapeces augstumu.
Vidējās līnijas trapecveida forma
Viduslīnija ir segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus. Trapeces viduslīnija ir paralēla tās pamatiem.
Teorēma:
Ja taisne, kas šķērso vienas malas vidu, ir paralēla trapeces pamatiem, tad tā sadala uz pusēm trapeces otro malu.
Teorēma:
Vidējās līnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko
MN || AB || DCAM = MD; BN=NC
MN viduslīnija, AB un CD - pamatnes, AD un BC - sānu malas
MN = (AB + DC)/2
Teorēma:
Trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko.
Galvenais uzdevums: Pierādīt, ka trapeces viduslīnija sadala uz pusēm segmentu, kura gali atrodas trapeces pamatu vidū.
Trīsstūra vidējā līnija
Nogriezni, kas savieno trijstūra divu malu viduspunktus, sauc par trijstūra viduslīniju. Tas ir paralēls trešajai malai, un tā garums ir vienāds ar pusi no trešās malas garuma.
Teorēma: Ja taisne, kas krusto trijstūra vienas malas viduspunktu, ir paralēla trijstūra otrai malai, tad tā sadala trešo malu uz pusēm.
AM = MC un BN = NC =>
Trijstūra un trapeces viduslīnijas īpašību pielietošana
Segmenta sadalīšana noteiktā skaitā vienādās daļās.
Uzdevums: Sadaliet segmentu AB 5 vienādās daļās.
Risinājums:
Lai p ir nejaušs stars, kura sākums ir punkts A un kas neatrodas uz taisnes AB. Mēs secīgi noliekam malā 5 vienādus segmentus uz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Savienojam A 5 ar B un caur A 4, A 3, A 2 un A 1 novelkam tādas līnijas, kas ir paralēlas A 5 B. Tās krustojas AB attiecīgi punktos B 4, B 3, B 2 un B 1. Šie punkti sadala segmentu AB 5 vienādās daļās. Patiešām, no trapeces BB 3 A 3 A 5 mēs redzam, ka BB 4 = B 4 B 3. Tādā pašā veidā no trapeces B 4 B 2 A 2 A 4 iegūstam B 4 B 3 = B 3 B 2
Kamēr no trapeces B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tad no B 2 AA 2 izriet, ka B 2 B 1 = B 1 A. Noslēgumā iegūstam:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ir skaidrs, ka, lai sadalītu segmentu AB citā vienādās daļās, mums ir jāprojicē vienāds skaits vienādu segmentu uz staru p. Un pēc tam turpiniet iepriekš aprakstītajā veidā.
\[(\Large(\text(Trīsstūru līdzība)))\]
Definīcijas
Divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem, ja to leņķi ir attiecīgi vienādi un viena trijstūra malas ir proporcionālas otra līdzīgajām malām
(malas sauc par līdzīgām, ja tās atrodas pretī vienādos leņķos).
(Līdzīgu) trīsstūru līdzības koeficients ir skaitlis, kas vienāds ar šo trīsstūru līdzīgo malu attiecību.
Definīcija
Trijstūra perimetrs ir visu tā malu garumu summa.
Teorēma
Divu līdzīgu trīsstūru perimetru attiecība ir vienāda ar līdzības koeficientu.
Pierādījums
Apsveriet trīsstūrus \(ABC\) un \(A_1B_1C_1\) ar malām attiecīgi \(a,b,c\) un \(a_1, b_1, c_1\) (skatiet attēlu iepriekš).
Tad \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cpunkts P_(A_1B_1C_1)\)
Teorēma
Divu līdzīgu trīsstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu.
Pierādījums
Lai trijstūri \(ABC\) un \(A_1B_1C_1\) ir līdzīgi, un \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Apzīmēsim ar burtiem \(S\) un \(S_1\) attiecīgi šo trīsstūru laukumus.
Tā kā \(\angle A = \angle A_1\) , tad \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(ar teorēmu par vienādu leņķu trīsstūru laukumu attiecību).
Jo \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Tas \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), kas bija tas, kas bija jāpierāda.
\[(\Large(\text(Trīsstūru līdzības pazīmes)))\]
Teorēma (pirmā trijstūra līdzības zīme)
Ja viena trijstūra divi leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra diviem leņķiem, tad šādi trīsstūri ir līdzīgi.
Pierādījums
Lai \(ABC\) un \(A_1B_1C_1\) būtu trijstūri, kuros \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Tad ar teorēmu par trijstūra leņķu summu \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), tas ir, trijstūra \(ABC\) leņķi ir attiecīgi vienādi ar trijstūra \(A_1B_1C_1\) leņķiem.
Tā kā \(\angle A = \angle A_1\) un \(\angle B = \angle B_1\) , tad \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) Un \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
No šīm vienādībām izriet, ka \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
Līdzīgi tiek pierādīts, ka \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(izmantojot vienādības \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).
Rezultātā trijstūra \(ABC\) malas ir proporcionālas trijstūra \(A_1B_1C_1\) līdzīgām malām, kas ir jāpierāda.
Teorēma (otrais trīsstūru līdzības kritērijs)
Ja viena trijstūra divas malas ir proporcionālas cita trijstūra divām malām un leņķi starp šīm malām ir vienādi, tad trijstūri ir līdzīgi.
Pierādījums
Apsveriet divus trīsstūrus \(ABC\) un \(A"B"C"\), lai \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Pierādīsim, ka trijstūri \(ABC\) un \(A"B"C"\) ir līdzīgi. Ņemot vērā pirmo trīsstūru līdzības zīmi, pietiek parādīt, ka \(\angle B = \angle B"\) .
Apsveriet trīsstūri \(ABC""\) ar \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Trijstūri \(ABC""\) un \(A"B"C"\) ir līdzīgi saskaņā ar pirmo trīsstūru līdzības kritēriju, tad \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
No otras puses, pēc nosacījuma \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). No pēdējām divām vienādībām izriet, ka \(AC = AC""\) .
Trijstūri \(ABC\) un \(ABC""\) ir vienādi divās malās un leņķis starp tiem, tāpēc \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).
Teorēma (trīsstūru līdzības trešā zīme)
Ja viena trijstūra trīs malas ir proporcionālas cita trijstūra trim malām, tad trīsstūri ir līdzīgi.
Pierādījums
Lai trīsstūru \(ABC\) un \(A"B"C\) malas ir proporcionālas: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Pierādīsim, ka trijstūri \(ABC\) un \(A"B"C"\) ir līdzīgi.
Lai to izdarītu, ņemot vērā otro trīsstūru līdzības kritēriju, pietiek pierādīt, ka \(\angle BAC = \angle A"\) .
Apsveriet trīsstūri \(ABC""\) ar \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .
Trijstūri \(ABC""\) un \(A"B"C"\) ir līdzīgi saskaņā ar pirmo trīsstūru līdzības kritēriju, tāpēc \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
No pēdējās vienlīdzību un nosacījumu ķēdes \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) no tā izriet, ka \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Trijstūri \(ABC\) un \(ABC""\) ir vienādi no trim malām, tāpēc \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).
\[(\Large(\teksts(Tāla teorēma)))\]
Teorēma
Ja vienā leņķa pusē atzīmējat vienādus segmentus un caur to galiem velk paralēlas taisnas līnijas, tad šīs taisnes nogriezīs vienādus segmentus arī otrā pusē.
Pierādījums
Vispirms pierādīsim lemma: Ja \(\trijstūrī OBB_1\) caur malas \(OB\) vidu \(A\) tiek novilkta taisne \(a\paralēla BB_1\), tad tā arī krustos malu \(OB_1\) vidus.
Caur punktu \(B_1\) novelkam \(l\paralēlais OB\) . Ļaujiet \(l\cap a=K\) . Tad \(ABB_1K\) ir paralelograms, tāpēc \(B_1K=AB=OA\) un \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) kā vertikāli. Tātad, saskaņā ar otro zīmi \(\trijstūris OAA_1=\trijstūris B_1KA_1 \Labā bultiņa OA_1=A_1B_1\). Lemma ir pierādīta.
Pāriesim pie teorēmas pierādīšanas. Pieņemsim \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\), un mums ir jāpierāda, ka \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Tādējādi saskaņā ar šo lemmu \(OA_1=A_1B_1\) . Pierādīsim, ka \(A_1B_1=B_1C_1\) . Novelkam taisnu līniju \(d\parallel OC\) caur punktu \(B_1\) un pieņemsim \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Tad \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) ir paralelogrami, tāpēc \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Tādējādi \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) kā vertikāli \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) guļ kā krusti, un tāpēc saskaņā ar otro zīmi \(\trijstūris A_1B_1D_1=\trijstūris C_1B_1D_2 \labā bultiņa A_1B_1=B_1C_1\).
Tāla teorēma
Paralēlas līnijas nogriež proporcionālus segmentus leņķa malās.
Pierādījums
Ļaujiet paralēlām līnijām \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) sadalīja vienu no rindām segmentos \(a, b, c, d\) . Tad otrā taisne jāsadala attiecīgi segmentos \(ka, kb, kc, kd\), kur \(k\) ir noteikts skaitlis, vienāds segmentu proporcionalitātes koeficients.
Novelkam caur punktu \(A_1\) taisni \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) ir paralelograms, tāpēc \(AB=A_1B_2\) ). Tad \(\trijstūris OAA_1 \sim \trijstūris A_1B_1B_2\) divos stūros. Tāpēc \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Pa labi A_1B_1=kb\).
Līdzīgi mēs novelkam taisnu līniju caur \(B_1\) \(q\parallel OD \Labā bultiņa \trijstūris OBB_1\sim \trijstūris B_1C_1C_2 \Labā bultiņa B_1C_1=kc\) utt.
\[(\Large(\text(trijstūra vidējā līnija)))\]
Definīcija
Trijstūra viduslīnija ir segments, kas savieno jebkuru divu trijstūra malu viduspunktus.
Teorēma
Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar pusi no tās.
Pierādījums
1) Vidējās līnijas paralēlisms pamatnei izriet no iepriekš pierādītā lemmas.
2) Pierādīsim, ka \(MN=\dfrac12 AC\) .
Caur punktu \(N\) novelkam līniju, kas ir paralēla \(AB\) . Ļaujiet šai taisnei krustot malu \(AC\) punktā \(K\) . Tad \(AMNK\) ir paralelograms ( \(AM\parallel NK, MN\parallel AK\) saskaņā ar iepriekšējo punktu). Tātad, \(MN=AK\) .
Jo \(NK\parallel AB\) un \(N\) ir \(BC\) viduspunkts, tad pēc Thales teorēmas \(K\) ir \(AC\) viduspunkts. Tāpēc \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Sekas
Trijstūra viduslīnija no tā nogriež trijstūri, kas ir līdzīgs dotajam ar koeficientu \(\frac12\) .
Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Trijstūra viduslīnija ir segments, kas savieno tā 2 malu viduspunktus. Attiecīgi katram trīsstūrim ir trīs viduslīnijas. Zinot viduslīnijas kvalitāti, kā arī trijstūra malu garumus un tā leņķus, var noteikt viduslīnijas garumu.
Jums būs nepieciešams
- Trijstūra malas, trijstūra leņķi
Instrukcijas
1. Pieņemsim, ka trijstūrī ABC MN ir viduslīnija, kas savieno malu AB (punkts M) un AC (punkts N) viduslīnija Pēc īpašības trijstūra viduslīnija, kas savieno 2 malu viduspunktus, ir paralēla trešajai malai un ir vienāda ar pusi to. Tas nozīmē, ka viduslīnija MN būs paralēla malai BC un vienāda ar BC/2. Līdz ar to, lai noteiktu trijstūra viduslīnijas garumu, pietiek zināt šīs konkrētās trešās malas malas garumu.
2. Lai tagad ir zināmas malas, kuru viduspunktus savieno viduslīnija MN, tas ir, AB un AC, kā arī leņķis BAC starp tām. Tā kā MN ir viduslīnija, tad AM = AB/2 un AN = AC/2 Tad, saskaņā ar kosinusa teorēmu, objektīvi: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Tādējādi MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Ja ir zināmas malas AB un AC, tad viduslīniju MN var atrast, zinot leņķi ABC vai ACB. Pieņemsim, ka stūra ABC ir slavens. Jo saskaņā ar viduslīnijas īpašību MN ir paralēla BC, tad leņķi ABC un AMN ir atbilstoši, un līdz ar to ABC = AMN. Tad saskaņā ar kosinusa teorēmu: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Līdz ar to MN pusi var atrast no kvadrātvienādojuma (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
2. padoms: kā atrast kvadrātveida trīsstūra malu
Kvadrātveida trīsstūri pareizāk sauc par taisnleņķa trīsstūri. Attiecības starp šīs ģeometriskās figūras malām un leņķiem ir detalizēti aplūkotas trigonometrijas matemātiskajā disciplīnā.
Jums būs nepieciešams
- - papīrs;
- - pildspalva;
- – Bradis galdi;
- - kalkulators.
Instrukcijas
1. Atklājiet pusē taisnstūrveida trīsstūris ar Pitagora teorēmas atbalstu. Saskaņā ar šo teorēmu hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu: c2 = a2+b2, kur c ir hipotenūza trīsstūris, a un b ir tās kājas. Lai piemērotu šo vienādojumu, jums jāzina taisnstūra jebkuru divu malu garums trīsstūris .
2. Ja nosacījumi norāda kāju izmērus, atrodiet hipotenūzas garumu. Lai to izdarītu, izmantojot kalkulatoru, izņemiet kvadrātsakni no kāju summas, katru no tām iepriekš kvadrātā.
3. Aprēķiniet vienas kājas garumu, ja zināt hipotenūzas un otras kājas izmērus. Izmantojot kalkulatoru, izņemiet kvadrātsakni no starpības starp hipotenūzu kvadrātā un vadošās kājas kvadrātā.
4. Ja problēma norāda hipotenūzu un vienu no tai blakus esošajiem asajiem leņķiem, izmantojiet Bradis tabulas. Tie nodrošina trigonometrisko funkciju vērtības lielam skaitam leņķu. Izmantojiet kalkulatoru ar sinusa un kosinusa funkcijām, kā arī trigonometrijas teorēmas, kas apraksta attiecības starp taisnstūra malām un leņķiem trīsstūris .
5. Atrodiet kājas, izmantojot trigonometriskās pamatfunkcijas: a = c*sin?, b = c*cos?, kur a ir stūrim pretējā kāja?, b ir stūrim blakus esošā kāja?. Tādā pašā veidā aprēķiniet malu izmērus trīsstūris, ja ir dota hipotenūza un cits akūts leņķis: b = c*sin?, a = c*cos?, kur b ir leņķim pretēja kāja? un vai kāja ir blakus leņķim?.
6. Gadījumā, ja ņemam kāju a un tai piegulošo akūto leņķi?, neaizmirstiet, ka taisnleņķa trijstūrī akūto leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 90°: ? + ? = 90°. Atrodiet leņķa vērtību, kas ir pretējs kājai a: ? = 90° – ?. Vai arī izmantojiet trigonometriskās samazināšanas formulas: grēks? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.
7. Ja mums ir kāja a un tai pretējs akūts leņķis?, izmantojot Bradis tabulas, kalkulatoru un trigonometriskās funkcijas, aprēķiniet hipotenūzu pēc formulas: c=a*sin?, kāja: b=a*tg?.
Video par tēmu