Fractals in de echte wereld zijn een studieobject. Mysterieuze wanorde: de geschiedenis van fractals en hun toepassingsgebieden. ⇡ Benoit Mandelbrot: vader van fractale geometrie
GEMEENTELIJKE BEGROTINGSONDERWIJSINSTELLING SECUNDAIRE SCHOOL
Met. Mechetnoje
Wetenschappelijke en praktische conferentie “De wondere wereld van de wiskunde”
Onderzoekswerk “Reis naar de wereld van fractals”
Ingevuld door: leerling van groep 10
Allahverdieva Nailya
Hoofd: Davydova E.V.
Invoering.
Belangrijkste onderdeel:
b) Geschiedenis van het ontstaan van fractals;
c) Classificatie van fractals;
d) Toepassing van fractals;
e) Fractals in de natuur;
f) Kleuren van fractals.
3. Conclusie.
Invoering.
Wat gaat er schuil achter het mysterieuze concept van ‘fractal’? Waarschijnlijk wordt deze term voor velen geassocieerd met prachtige afbeeldingen, ingewikkelde patronen en heldere afbeeldingen gemaakt met behulp van computergraphics. Maar fractals zijn niet alleen maar mooie plaatjes. Dit zijn bijzondere structuren die ten grondslag liggen aan alles om ons heen. Nadat ze een paar decennia geleden de wetenschappelijke wereld waren binnengedrongen, slaagden fractals erin een echte revolutie teweeg te brengen in de perceptie van de omringende realiteit. Met behulp van fractals kan een persoon zeer nauwkeurige wiskundige modellen maken van natuurlijke objecten, systemen, processen en verschijnselen.
Hoofddeel
Het concept van een fractaal.
Fractaal(van lat. breuk- verpletterd, gebroken, gebroken) is een complexe geometrische figuur die de eigenschap heeft van gelijkenis met zichzelf, dat wil zeggen samengesteld uit verschillende delen, die elk vergelijkbaar zijn met de hele figuur. Veel objecten in de natuur hebben fractale eigenschappen, bijvoorbeeld kusten, wolken, boomkronen, de bloedsomloop en het alveolaire systeem van mensen of dieren.
Fractals, vooral in een vliegtuig, zijn populair vanwege de combinatie van schoonheid en het gemak van constructie met behulp van een computer.
Geschiedenis van de schepping.
De Franse wiskundige Benoit Mandelbrot, een wetenschapper die tegenwoordig wordt gezien als de vader van de fractale meetkunde, was in staat de wetenschap van fractals naar een nieuw niveau te tillen. Mandelbrot definieerde eerst de term ‘fractal’:
Citaat
"Een fractal is een structuur die bestaat uit delen die in zekere zin op het geheel lijken"
In de jaren zeventig werkte Benoit Mandelbrot als wiskundig analist bij IBM. De wetenschapper dacht eerst aan fractals toen hij ruis in elektronische netwerken bestudeerde. Op het eerste gezicht verliep de interferentie tijdens de gegevensoverdracht absoluut chaotisch. Mandelbrot bracht het optreden van fouten in kaart en ontdekte tot zijn verbazing dat alle fragmenten er op elke tijdschaal hetzelfde uitzagen. Op de schaal van een week verschenen de geluiden in dezelfde volgorde als op de schaal van een dag, uur of minuut. Mandelbrot realiseerde zich dat de frequentie van fouten bij datatransmissie in de loop van de tijd wordt verdeeld volgens het principe dat Cantor aan het einde van de 19e eeuw schetste. Toen raakte Benoit Mandelbrot serieus geïnteresseerd in het bestuderen van fractals.
In tegenstelling tot zijn voorgangers gebruikte Mandelbrot om fractals te creëren geen geometrische constructies, maar algebraïsche transformaties van verschillende complexiteit. De wiskundige gebruikte de omgekeerde iteratiemethode, waarbij dezelfde functie herhaaldelijk wordt berekend. Met behulp van de mogelijkheden van een computer voerde de wiskundige een groot aantal opeenvolgende berekeningen uit, waarvan hij de resultaten grafisch weergaf op het complexe vlak. Dit is hoe de Mandelbrot-set verscheen: een complexe algebraïsche fractal, die tegenwoordig wordt beschouwd als een klassieker in de wetenschap van fractals. In sommige gevallen kan hetzelfde object als zowel glad als fractaal worden beschouwd. Om uit te leggen waarom dit gebeurt, geeft Mandelbrot een interessant visueel voorbeeld. Een bolletje woldraden, op enige afstand verwijderd, ziet eruit als een punt met dimensie 1. Een nabijgelegen bolletje ziet eruit als een tweedimensionale schijf. Als je hem in je handen neemt, voel je duidelijk het volume van de bal - nu wordt hij als driedimensionaal waargenomen. Een bal van fractal kan alleen worden bekeken vanuit het standpunt van een waarnemer die een vergrootglas gebruikt, of een vlieg die landt op het oppervlak van een oneffen wollen draad. Daarom hangt de werkelijke fractaliteit van een object af van het gezichtspunt van de waarnemer en van de resolutie van het gebruikte apparaat.
Mandelbrot merkte een interessant patroon op: hoe dichter je naar het gemeten object kijkt, hoe uitgebreider de rand zal zijn. Deze eigenschap kan duidelijk worden aangetoond door de lengte van een van de natuurlijke fractals te meten: de kustlijn. Door metingen op een geografische kaart uit te voeren, kunt u een geschatte lengte verkrijgen, omdat er geen rekening wordt gehouden met alle onregelmatigheden en bochten. Als bij de meting rekening wordt gehouden met alle oneffenheden van het reliëf die zichtbaar zijn vanaf een hoogte van menselijke hoogte, zal het resultaat enigszins anders zijn: de lengte van de kustlijn zal aanzienlijk toenemen. En als we ons theoretisch voorstellen dat het meetapparaat rond de oneffenheden van elke kiezelsteen zal gaan, dan zal in dit geval de lengte van de kustlijn bijna oneindig zijn.
Classificatie van fractals.
Fractals zijn onderverdeeld in:
geometrisch: fractals van deze klasse zijn het meest visueel, de gelijkenis met zichzelf is er onmiddellijk zichtbaar in. De geschiedenis van fractals begon precies met geometrische fractals, die in de 19e eeuw door wiskundigen werden bestudeerd.
algebraïsch: deze groep fractals heeft deze naam gekregen omdat fractals worden gevormd met behulp van eenvoudige algebraïsche formules.
stochastisch: gevormd in het geval van een willekeurige verandering in het iteratieve proces van fractale parameters. Tweedimensionale stochastische fractals worden gebruikt bij het modelleren van terrein- en zeeoppervlakken.
Geometrische fractals
Dit is waar de geschiedenis van fractals begon. Dit type fractal wordt verkregen door middel van eenvoudige geometrische constructies. Meestal doen ze dit bij het construeren van deze fractals: ze nemen een "zaadje" - een axioma - een reeks segmenten op basis waarvan de fractal zal worden gebouwd. Vervolgens wordt op dit ‘zaadje’ een reeks regels toegepast, waardoor het in een soort geometrische figuur verandert. Vervolgens worden dezelfde regels opnieuw toegepast op elk deel van deze figuur. Met elke stap wordt de figuur steeds complexer, en als we (althans in onze geest) een oneindig aantal transformaties uitvoeren, krijgen we een geometrische fractal. Klassieke voorbeelden van geometrische fractals: Koch's Sneeuwvlok, Liszt, Sierpinski-driehoek, Drakon's gebroken lijn (Bijlage 1).
Algebraïsche fractals
De tweede grote groep fractals is algebraïsch (bijlage 2). Ze hebben hun naam gekregen omdat ze zijn gebouwd op basis van algebraïsche formules, soms heel eenvoudige. Er zijn verschillende methoden om algebraïsche fractals te verkrijgen.
Helaas zijn veel termen op niveau 10-11 gerelateerd aan complexe getallen die nodig zijn om de constructie van een fractal uit te leggen mij onbekend en nog steeds moeilijk te begrijpen, dus het is voor mij niet mogelijk om de constructie van dit soort fractals in detail te beschrijven .
Aanvankelijk is de fractale aard zwart en wit, maar als je een beetje fantasie en kleur toevoegt, kun je een echt kunstwerk krijgen.
Stochastische fractals
Een typische vertegenwoordiger van deze klasse fractals is “Plasma” (bijlage 3). Om het te construeren, neemt u een rechthoek en definieert u een kleur voor elk van de hoeken. Vervolgens vinden we het centrale punt van de rechthoek en schilderen deze met een kleur die gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van de kleuren op de hoeken van de rechthoek plus een willekeurig getal. Hoe groter het willekeurige getal, hoe ‘rafeliger’ de tekening zal zijn. Als we nu zeggen dat de kleur van een punt de hoogte boven zeeniveau is, krijgen we een bergketen in plaats van plasma. Het is op dit principe dat bergen in de meeste programma's worden gemodelleerd. Met behulp van een algoritme dat lijkt op plasma, wordt een hoogtekaart gebouwd, worden er verschillende filters op toegepast, wordt een textuur toegepast en, alsjeblieft, fotorealistische bergen zijn klaar!
Toepassing van fractals
Tegenwoordig worden fractals al veel gebruikt in een grote verscheidenheid aan velden. De richting van fractale archivering van grafische informatie ontwikkelt zich actief. In theorie kan fractal-archivering afbeeldingen comprimeren tot de grootte van een punt zonder kwaliteitsverlies. Wanneer je afbeeldingen vergroot die volgens het fractalprincipe zijn gecomprimeerd, worden de kleinste details duidelijk weergegeven en is het korrelige effect volledig afwezig.
De principes van de fractaaltheorie worden in de geneeskunde gebruikt om elektrocardiogrammen te analyseren, aangezien het hartritme ook een fractaal is. De richting van onderzoek naar de bloedsomloop en andere interne systemen van het menselijk lichaam ontwikkelt zich actief. In de biologie worden fractals gebruikt om processen te modelleren die plaatsvinden binnen populaties.
Meteorologen gebruiken fractale relaties om de intensiteit van de beweging van luchtmassa's te analyseren, waardoor het mogelijk wordt om weersveranderingen nauwkeuriger te voorspellen. De fysica van fractale media lost met groot succes de problemen op van het bestuderen van de dynamiek van complexe turbulente stromingen, adsorptie- en diffusieprocessen. In de petrochemische industrie worden fractals gebruikt om poreuze materialen te modelleren. De theorie van fractals wordt effectief gebruikt op de financiële markten. Fractale geometrie wordt gebruikt om krachtige antenne-apparaten te creëren.
Tegenwoordig is de theorie van fractals een onafhankelijk wetenschapsgebied, op basis waarvan steeds meer nieuwe richtingen op verschillende gebieden worden gecreëerd. Veel wetenschappelijke werken zijn gewijd aan de betekenis van fractals.
Maar deze bijzondere objecten zijn niet alleen buitengewoon nuttig, maar ook ongelooflijk mooi. Daarom vinden fractals stilaan hun plaats in de kunst. Hun verbazingwekkende esthetische aantrekkingskracht inspireert veel kunstenaars om fractal-schilderijen te maken. Moderne componisten creëren muziekwerken met behulp van elektronische instrumenten met verschillende fractale kenmerken. Schrijvers gebruiken fractale structuren om hun literaire werken vorm te geven, en ontwerpers creëren fractale meubelstukken en interieurontwerp.
Fractaliteit in de natuur
In 1977 werd Mandelbrot's boek "Fractals: Form, Randomness and Dimension" gepubliceerd, en in 1982 werd een andere monografie gepubliceerd - "Fractal Geometry of Nature", op de pagina's waarvan de auteur duidelijke voorbeelden van verschillende fractalsets demonstreerde en bewijs leverde van het bestaan van fractals in de natuur. Mandelbrot drukte het hoofdidee van de fractaaltheorie als volgt uit:
"Waarom wordt geometrie vaak koud en droog genoemd? Eén reden is dat het de vorm van een wolk, een berg, een boom of een kust niet nauwkeurig kan beschrijven. Wolken zijn geen bollen, kustlijnen zijn geen cirkels en de korst is niet glad ." , en bliksem beweegt zich niet in een rechte lijn. De natuur toont ons niet alleen een hogere graad, maar een heel ander niveau van complexiteit. Het aantal verschillende lengteschalen in structuren is altijd oneindig. Het bestaan van deze structuren daagt ons uit in de vorm van een moeilijke taak om die vormen te bestuderen die Euclides als vormloos verwierp - de taak van het bestuderen van de morfologie van het amorfe. Wiskundigen negeerden deze uitdaging echter en gaven er de voorkeur aan zich steeds verder van de natuur af te bewegen, door theorieën uit te vinden die dat niet doen. corresponderen met alles wat gezien of gevoeld kan worden."
Veel natuurlijke objecten hebben de eigenschappen van een fractale verzameling (bijlage 4).
Zijn fractals werkelijk universele structuren die als basis zijn genomen voor de creatie van absoluut alles wat in deze wereld bestaat? De vorm van veel natuurlijke objecten komt zo dicht mogelijk bij fractals. Maar niet alle fractals die in de wereld bestaan, hebben zo’n regelmatige en eindeloos herhalende structuur als de verzamelingen die door wiskundigen zijn gemaakt. Bergketens, metaalbreukoppervlakken, turbulente stromingen, wolken, schuim en vele, vele andere natuurlijke fractals ontberen een volkomen nauwkeurige zelfgelijkenis. En het zou absoluut verkeerd zijn om te geloven dat fractals de universele sleutel zijn tot alle geheimen van het universum. Ondanks al hun schijnbare complexiteit zijn fractals slechts een vereenvoudigd model van de werkelijkheid. Maar van alle theorieën die tegenwoordig beschikbaar zijn, zijn fractals de meest nauwkeurige manier om de wereld om ons heen te beschrijven.
Zijn fractals werkelijk universele structuren die als basis zijn genomen voor de creatie van absoluut alles wat in deze wereld bestaat? De vorm van veel natuurlijke objecten komt zo dicht mogelijk bij fractals. Maar niet alle fractals die in de wereld bestaan, hebben zo’n regelmatige en eindeloos herhalende structuur als de verzamelingen die door wiskundigen zijn gemaakt. Bergketens, metaalbreukoppervlakken, turbulente stromingen, wolken, schuim en vele, vele andere natuurlijke fractals ontberen een volkomen nauwkeurige zelfgelijkenis. En het zou absoluut verkeerd zijn om te geloven dat fractals de universele sleutel zijn tot alle geheimen van het universum. Ondanks al hun schijnbare complexiteit zijn fractals slechts een vereenvoudigd model van de werkelijkheid. Maar van alle theorieën die tegenwoordig beschikbaar zijn, zijn fractals de meest nauwkeurige manier om de wereld om ons heen te beschrijven.
Fractale kleuren
De schoonheid van fractals wordt toegevoegd door hun heldere en pakkende kleuren. Complexe kleurenschema's maken fractals mooi en gedenkwaardig. Vanuit wiskundig oogpunt zijn fractals zwart-witte objecten, waarvan elk punt tot de verzameling behoort of er niet toe behoort. Maar de mogelijkheden van moderne computers maken het mogelijk om fractals kleurrijk en helder te maken. En dit is geen eenvoudige kleuring van aangrenzende delen van de set in willekeurige volgorde.
Door de waarde van elk punt te analyseren, bepaalt het programma automatisch de tint van een bepaald fragment. Punten waarop de functie een constante waarde aanneemt, worden in het zwart weergegeven. Als de waarde van de functie naar oneindig neigt, wordt het punt in een andere kleur geschilderd. De intensiteit van de kleuring hangt af van de snelheid waarmee de oneindigheid nadert. Hoe meer herhalingen er nodig zijn om een punt dichter bij een stabiele waarde te brengen, hoe lichter de tint wordt. En omgekeerd: punten die snel naar het oneindige snellen, worden geschilderd in heldere en verzadigde kleuren.
Conclusie
Wanneer je voor het eerst over fractals hoort, vraag je je af wat ze zijn?
Enerzijds is het een complexe geometrische figuur die de eigenschap heeft van zelf-gelijkenis, dat wil zeggen samengesteld uit verschillende delen, die elk vergelijkbaar zijn met de hele figuur.
Dit concept fascineert door zijn schoonheid en mysterie en manifesteert zich op de meest onverwachte gebieden: meteorologie, filosofie, aardrijkskunde, biologie, mechanica en zelfs geschiedenis.
Het is bijna onmogelijk om een fractal in de natuur niet te zien, omdat bijna elk object (wolken, bergen, kustlijn, etc.) een fractalstructuur heeft. De meeste webontwerpers en programmeurs hebben hun eigen galerij met fractals (buitengewoon mooi).
In wezen openen fractals onze ogen en stellen ons in staat om vanuit een ander perspectief naar wiskunde te kijken. Het lijkt erop dat gewone berekeningen worden gemaakt met gewone ‘droge’ getallen, maar dit levert ons op onze eigen manier unieke resultaten op, waardoor we ons een schepper van de natuur kunnen voelen. Fractals maken duidelijk dat wiskunde ook de wetenschap van schoonheid is.
Met mijn projectwerk wilde ik het hebben over een vrij nieuw concept in de wiskunde: ‘fractal’. Wat is het, welke soorten bestaan er, waar worden ze verspreid. Ik hoop echt dat fractals je geïnteresseerd hebben. Het blijkt immers dat fractals behoorlijk interessant zijn en bij bijna elke stap voorkomen.
Referenties
http://ru.wikipedia.org/wiki
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
http://fractals.narod.ru/
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
Bondarenko V.A., Dolnikov V.L. Fractale beeldcompressie volgens Barnsley-Sloan. // Automatisering en telemechanica.-1994.-N5.-p.12-20.
Vatolin D. Toepassing van fractals in computergraphics. // Computerworld-Rusland.-1995.-N15.-p.11.
Feder E. Fractals. Per. uit Engels-M.: Mir, 1991.-254 p. (Jens Feder, Plenum Press, New York, 1988)
Toepassing van fractals en chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlijn.
Bijlage 1
Bijlage 2
Bijlage 3
Bijlage 4
Er is een zeer interessante site gewijd aan fractals, waarvan we een deel van de informatie hebben overgenomen: http://elementy.ru/posters/fractals/nature
Wat hebben een boom, een kust, een wolk of de bloedvaten in onze hand met elkaar gemeen? Er is één structuureigenschap die inherent is aan alle genoemde objecten: ze lijken op zichzelf. Van een tak, zoals van een boomstam, strekken zich kleinere scheuten uit, van hen nog kleinere, enz., Dat wil zeggen, een tak is vergelijkbaar met de hele boom. Hetzelfde gebeurt met
varen.
De bloedsomloop is op een vergelijkbare manier gestructureerd: arteriolen vertrekken van de slagaders en van daaruit de kleinste haarvaten waardoor zuurstof de organen en weefsels binnendringt.
Laten we eens kijken naar satellietbeelden van de zeekust: we zullen baaien en schiereilanden zien; Laten we ernaar kijken, maar vanuit vogelperspectief: we zullen baaien en kapen zien; Laten we ons nu eens voorstellen dat we op het strand staan en naar onze voeten kijken: er zullen altijd kiezelstenen zijn die verder in het water uitsteken dan de rest. Dat wil zeggen dat de kustlijn, wanneer ingezoomd, vergelijkbaar blijft met zichzelf
. Deze eigenschap van objecten werd door de Amerikaanse wiskundige (hoewel hij in Frankrijk opgroeide) Benoit Mandelbrot genoemd fractaliteit
, en dergelijke objecten zelf - fractals (van het Latijnse fractus - gebroken).
Er is een interessant verhaal verbonden aan de kustlijn, of beter gezegd, aan de poging om de lengte ervan te meten, dat de basis vormde van het wetenschappelijke artikel van Mandelbrot, en dat ook wordt beschreven in zijn boek “Fractal Geometry of Nature”. Dit is een experiment uitgevoerd door Lewis Richardson ( Lewis Fry Richardson ) is een zeer getalenteerde en excentrieke wiskundige, natuurkundige en meteoroloog.
Eén van de richtingen van zijn onderzoek was een poging om een wiskundige beschrijving te vinden van de oorzaken en waarschijnlijkheid van een gewapend conflict tussen twee landen. Een van de parameters waarmee hij rekening hield, was de lengte van de gemeenschappelijke grens van de twee strijdende landen. Toen hij gegevens verzamelde voor numerieke experimenten, ontdekte hij dat de gegevens over de gemeenschappelijke grens van Spanje en Portugal sterk verschilden van verschillende bronnen. Dit bracht hem tot de volgende ontdekking: de lengte van de grenzen van een land hangt af van de liniaal waarmee we ze meten. Hoe kleiner de schaal, hoe langer de grens. Dit komt door het feit dat het bij grotere vergroting mogelijk wordt om rekening te houden met steeds meer nieuwe bochten van de kust, die voorheen werden genegeerd vanwege de grofheid van de metingen. En als bij elke schaalvergroting voorheen onbekende lijnbuigingen aan het licht komen, dan blijkt dat de lengte van de grenzen oneindig is! Het is waar dat dit in werkelijkheid niet gebeurt; de nauwkeurigheid van onze metingen heeft een eindige limiet. Deze paradox wordt het Richardson-effect genoemd.
Tegenwoordig wordt de theorie van fractals veel gebruikt in verschillende gebieden van menselijke activiteit. Daarnaast fractaal schilderen
fractals worden gebruikt in informatietheorie voor grafische datacompressie
(hier wordt voornamelijk de eigenschap van zelfgelijkenis van fractals gebruikt - om een klein fragment van een patroon te onthouden en de transformaties waarmee je de resterende delen kunt verkrijgen, is er immers veel minder geheugen nodig dan om het hele bestand op te slaan). Door willekeurige verstoringen toe te voegen aan de formules die een fractal definiëren, kun je stochastische fractals verkrijgen die op zeer plausibele wijze enkele echte objecten overbrengen - reliëfelementen, het oppervlak van reservoirs, sommige planten, die met succes worden gebruikt in de natuurkunde, aardrijkskunde en computergraphics om grotere resultaten te bereiken. gelijkenis van gesimuleerde objecten met echte.
In de radio-elektronica zijn de afgelopen tien jaar antennes met een fractale vorm geproduceerd.
Ze nemen weinig ruimte in beslag en bieden signaalontvangst van hoge kwaliteit. En economen gebruiken fractals om de fluctuatiecurven van valutakoersen te beschrijven
(dit pand werd meer dan 30 jaar geleden ontdekt door Mandelbrot).
IN In de natuur hebben veel objecten fractale eigenschappen, bijvoorbeeld: boomkronen, bloemkool, wolken, de bloedsomloop en alveolaire systemen van mens en dier, kristallen, sneeuwvlokken,waarvan de elementen zijn gerangschikt in één complexe structuur, de kust (het fractale concept stelde wetenschappers in staat de kustlijn van de Britse eilanden en andere voorheen onmeetbare objecten te meten) http://www.liveinternet.ru/users/4293782/post163419491/)
.We hebben al geschreven over hoe de abstracte wiskundige theorie van chaos toepassingen heeft gevonden in een verscheidenheid aan wetenschappen - van natuurkunde tot economie en politieke wetenschappen. Nu zullen we nog een soortgelijk voorbeeld geven: de theorie van fractals. Er is geen strikte definitie van het concept ‘fractal’, zelfs niet in de wiskunde. Natuurlijk zeggen ze zoiets. Maar de ‘gewone man’ kan dit niet begrijpen. Wat dacht je bijvoorbeeld van deze zinsnede: “Een fractal is een verzameling met een fractionele Hausdorff-dimensie, die groter is dan de topologische.” Niettemin omringen ze ons, fractals, en helpen ze ons veel verschijnselen uit verschillende levenssferen te begrijpen.
Waar het allemaal begon
Lange tijd was niemand behalve professionele wiskundigen geïnteresseerd in fractals. Vóór de komst van computers en aanverwante software. Alles veranderde in 1982, toen Benoit Mandelbrots boek “The Fractal Geometry of Nature” werd gepubliceerd. Dit boek werd een bestseller, niet zozeer vanwege de eenvoudige en begrijpelijke presentatie van de stof (hoewel deze verklaring zeer relatief is - iemand die geen professionele wiskundige opleiding heeft gevolgd, zal er niets van begrijpen), maar vanwege de computer illustraties van fractals die werkelijk fascinerend zijn. Laten we naar deze foto's kijken. Ze zijn echt de moeite waard.
En er zijn veel van dergelijke foto's. Maar wat heeft al deze pracht te maken met ons echte leven en wat ons omringt in de natuur en de wereld van alledag? Het blijkt dat dit het meest direct is.
Maar laten we eerst een paar woorden zeggen over fractals zelf, als geometrische objecten.
Wat is een fractal, in eenvoudige bewoordingen?
Eerst. Hoe zij, fractals, zijn gebouwd. Dit is een nogal ingewikkelde procedure die speciale transformaties op het complexe vlak gebruikt (je hoeft niet te weten wat dit is). Het enige belangrijke is dat deze transformaties worden herhaald (ze komen, zoals ze in de wiskunde zeggen, iteraties voor). Het is als resultaat van deze herhaling dat fractals ontstaan (degene die je hierboven zag).
Seconde. Een fractal is een op zichzelf gelijkende structuur (precies of bij benadering). Dit betekent het volgende. Als u een microscoop naar een van de gepresenteerde afbeeldingen brengt, de afbeelding bijvoorbeeld 100 keer vergroot, en naar een fragment van een stukje fractal kijkt dat het oculair is binnengedrongen, zult u merken dat dit identiek is aan de originele afbeelding. Als je een sterkere microscoop neemt die het beeld 1000 keer vergroot, zul je merken dat een stukje van het fragment van het vorige beeld dat het oculair binnenkwam dezelfde of zeer vergelijkbare structuur heeft.
Dit leidt tot een conclusie die van groot belang is voor wat volgt. Een fractal heeft een uiterst complexe structuur die zichzelf op verschillende schalen herhaalt. Maar hoe dieper we in de structuur duiken, hoe complexer het geheel wordt. En kwantitatieve schattingen van de eigenschappen van het originele beeld kunnen beginnen te veranderen.
Nu laten we de abstracte wiskunde achter ons en gaan we verder met de dingen om ons heen - die zo ogenschijnlijk eenvoudig en begrijpelijk zijn.
Fractale objecten in de natuur
Kustlijn
Stel je voor dat je een eiland, zoals Groot-Brittannië, fotografeert vanuit een lage baan om de aarde. U krijgt hetzelfde beeld als op een geografische kaart. Gladde omtrek van de kustlijn, met aan alle kanten de zee.
Het is heel gemakkelijk om de lengte van de kustlijn te achterhalen. Neem een gewone draad en leg deze voorzichtig langs de randen van het eiland. Meet vervolgens de lengte in centimeters en vermenigvuldig het resulterende getal met de schaal van de kaart - er zitten veel kilometers in één centimeter. Hier is het resultaat.
En nu het volgende experiment. Je vliegt in vogelperspectief in een vliegtuig en fotografeert de kustlijn. Het resultaat is een beeld dat lijkt op satellietfoto's. Maar deze kustlijn blijkt ingesprongen te zijn. Op uw foto's verschijnen kleine baaien, baaien en landfragmenten die in de zee uitsteken. Dit is allemaal waar, maar kon niet vanaf een satelliet worden gezien. De structuur van de kustlijn wordt complexer.
Stel dat u thuisgekomen bent en op basis van uw foto's een gedetailleerde kaart van de kustlijn heeft gemaakt. En je besloot de lengte te meten met dezelfde draad, strikt volgens de nieuwe gegevens die je ontving. De nieuwe kustlijnlengte zal groter zijn dan de oude. En aanzienlijk. Dit is intuïtief duidelijk. Nu moet je draad immers langs de oevers van alle baaien en baaien gaan, en niet alleen langs de kust.
Let op. We zoomden uit en alles werd veel complexer en verwarrender. Zoals fractals.
En nu nog een iteratie. Je loopt langs dezelfde kust. En registreer het reliëf van de kustlijn. Het blijkt dat de oevers van de baaien en baaien die je vanuit het vliegtuig hebt gefotografeerd helemaal niet zo soepel en eenvoudig zijn als je op je foto's dacht. Ze hebben een complexe structuur. En dus, als je deze “voetgangers”-kustlijn in kaart brengt, zal de lengte ervan zelfs nog groter worden.
Ja, er bestaan geen oneindigheden in de natuur. Maar het is absoluut duidelijk dat de kustlijn een typische fractal is. Het blijft op zichzelf lijken, maar de structuur wordt bij nader onderzoek steeds complexer (denk aan het voorbeeld met een microscoop).
Dit is werkelijk een verbazingwekkend fenomeen. We zijn eraan gewend dat elk geometrisch object op een vlak met beperkte afmetingen (vierkant, driehoek, cirkel) een vaste en eindige lengte van zijn grenzen heeft. Maar hier is alles anders. De lengte van de kustlijn in de limiet blijkt oneindig te zijn.
Boom
Maar laten we ons een boom voorstellen. Een gewone boom. Sommige verspreidende lindeboom. Laten we naar haar kofferbak kijken. Dichtbij de wortel. Het lijkt op een licht vervormde cilinder. Die. heeft een zeer eenvoudige vorm.
Laten we onze ogen hoger richten. Er beginnen takken uit de stam te komen. Elke tak heeft aan het begin dezelfde structuur als de stam: cilindrisch, vanuit het oogpunt van geometrie. Maar de structuur van de hele boom is veranderd. Het is veel complexer geworden.
Laten we nu naar deze takken kijken. Kleinere takken strekken zich uit. Aan de basis hebben ze dezelfde licht vervormde cilindrische vorm. Zoals dezelfde kofferbak. En dan vertakken veel kleinere takken zich ervan. En zo verder.
De boom reproduceert zichzelf, op elk niveau. Tegelijkertijd wordt de structuur voortdurend complexer, maar blijft vergelijkbaar met zichzelf. Is dit niet een fractaal?
Circulatie
En hier is de menselijke bloedsomloop. Het heeft ook een fractale structuur. Er zijn slagaders en aders. Via sommigen komt het bloed naar het hart (aders), via anderen komt het eruit (slagaders). En dan begint de bloedsomloop op dezelfde boom te lijken waar we het hierboven over hadden. De vaten worden, terwijl ze hun structuur behouden, steeds dunner en vertakt. Ze dringen door tot in de meest afgelegen gebieden van ons lichaam en leveren zuurstof en andere vitale componenten aan elke cel. Dit is een typische fractale structuur die zichzelf op steeds kleinere schaal reproduceert.
Afwatering van de rivier
"De Wolga stroomt al heel lang van ver." Op een geografische kaart is dit een blauwe kronkelende lijn. Welnu, de grote zijrivieren zijn gemarkeerd. Oké, Kama. Wat als we uitzoomen? Het blijkt dat er nog veel meer van deze zijrivieren zijn. Niet alleen in de buurt van de Wolga zelf, maar ook in de buurt van de Oka en Kama. En ze hebben ook hun eigen zijrivieren, alleen kleinere. En die hebben hun eigen. Er ontstaat een structuur die opmerkelijk veel lijkt op de menselijke bloedsomloop. En opnieuw rijst de vraag. Hoe lang duurt dit hele watersysteem? Als je alleen de lengte van het hoofdkanaal meet, is alles duidelijk. Je kunt het in elk leerboek lezen. Wat als je alles meet? Nogmaals, in de limiet blijkt oneindigheid.
Ons universum
Natuurlijk is het heelal op de schaal van miljarden lichtjaren homogeen gestructureerd. Maar laten we het eens nader bekijken. En dan zullen we zien dat er geen homogeniteit in zit. Ergens zijn sterrenstelsels (sterrenhopen), ergens is er leegte. Waarom? Waarom gehoorzaamt de verdeling van materie aan onregelmatige hiërarchische wetten? En wat er gebeurt in sterrenstelsels (nog een keer uitzoomen). Ergens zijn er meer sterren, ergens minder. Ergens zijn er planetenstelsels, zoals in ons zonnestelsel, en ergens niet.
Wordt de fractale essentie van de wereld hier niet gemanifesteerd? Nu gaapt er natuurlijk een enorme kloof tussen de algemene relativiteitstheorie, die de oorsprong van ons heelal en zijn structuur verklaart, en de fractale wiskunde. Maar wie weet? Misschien zal dit alles ooit onder een ‘gemeenschappelijke noemer’ worden gebracht, en zullen we met totaal andere ogen naar de kosmos om ons heen kijken.
Op praktische zaken
Er zijn veel soortgelijke voorbeelden te geven. Maar laten we terugkeren naar meer prozaïsche zaken. Bijvoorbeeld economie. Het lijkt erop dat fractals er iets mee te maken hebben. Het blijkt dat het er veel mee te maken heeft. Een voorbeeld hiervan zijn de aandelenmarkten.
De praktijk leert dat economische processen vaak chaotisch en onvoorspelbaar zijn. De wiskundige modellen die tot op de dag van vandaag bestonden en die deze processen probeerden te beschrijven, hielden geen rekening met één zeer belangrijke factor: het vermogen van de markt om zichzelf te organiseren.
Dit is waar de theorie van fractals te hulp komt, die de eigenschappen hebben van "zelforganisatie", die zichzelf op verschillende schalen reproduceren. Natuurlijk is een fractal een puur wiskundig object. Zowel in de natuur als in de economie bestaan ze niet. Maar er is een concept van fractale verschijnselen. Het zijn alleen fractals in statistische zin. Niettemin stelt de symbiose van fractale wiskunde en statistiek ons in staat redelijk nauwkeurige en adequate voorspellingen te verkrijgen. Deze aanpak is vooral effectief bij het analyseren van aandelenmarkten. En dit zijn geen ‘uitvindingen’ van wiskundigen. Uit gegevens van deskundigen blijkt dat veel deelnemers aan de aandelenmarkt veel geld uitgeven aan het betalen van specialisten op het gebied van fractale wiskunde.
Wat geeft de theorie van fractals? Het veronderstelt een algemene, mondiale afhankelijkheid van de prijsstelling van wat er in het verleden is gebeurd. Lokaal is het prijsproces uiteraard willekeurig. Maar willekeurige sprongen en prijsdalingen, die van korte duur kunnen zijn, hebben de neiging clusters te vormen. Die op grote tijdschalen worden gereproduceerd. Door te analyseren wat er ooit was, kunnen we daarom voorspellen hoe lang deze of gene marktontwikkelingstrend (groei of achteruitgang) zal aanhouden.
Op wereldschaal ‘reproduceert’ deze of gene markt zichzelf dus. Er wordt rekening gehouden met willekeurige fluctuaties veroorzaakt door een groot aantal externe factoren op een bepaald moment. Maar de mondiale trends blijven bestaan.
Conclusie
Waarom is de wereld georganiseerd volgens het fractalprincipe? Het antwoord zou kunnen zijn dat fractals, als wiskundig model, de eigenschap hebben van zelforganisatie en zelfgelijkenis. Bovendien is elk van hun vormen (zie de afbeeldingen aan het begin van het artikel) hoe complex ook, maar leeft het zijn eigen leven en ontwikkelt soortgelijke vormen. Is dat niet hoe onze wereld werkt?
En hier is de samenleving. Er verschijnt een idee. In eerste instantie nogal abstract. En dan “penetreert het de massa.” Ja, het transformeert op de een of andere manier. Maar over het algemeen blijft het hetzelfde. En op het niveau van de meeste mensen verandert het in het stellen van doelen voor het levenspad. Hier is dezelfde USSR. Het volgende congres van de CPSU nam de volgende baanbrekende besluiten aan, en het ging allemaal bergafwaarts. Op steeds kleinere schaal. Stadscommissies, partijcommissies. En zo verder voor ieder mens. Herhalende structuur.
Natuurlijk staat de fractaaltheorie ons niet toe toekomstige gebeurtenissen te voorspellen. En dit is nauwelijks mogelijk. Maar veel van wat ons omringt en wat er in ons dagelijks leven gebeurt, stelt ons in staat er met totaal andere ogen naar te kijken. Bewust.
Hoe de fractal werd ontdekt
De wiskundige vormen die bekend staan als fractals zijn afkomstig van het genie van de eminente wetenschapper Benoit Mandelbrot. Het grootste deel van zijn leven doceerde hij wiskunde aan de Yale University in de VS. In 1977-1982 publiceerde Mandelbrot wetenschappelijke werken gewijd aan de studie van ‘fractale geometrie’ of ‘geometrie van de natuur’, waarin hij schijnbaar willekeurige wiskundige vormen opsplitste in samenstellende elementen die bij nader onderzoek zich bleken te herhalen – wat bewees de aanwezigheid van een bepaald kopieermodel. De ontdekking van Mandelbrot had aanzienlijke gevolgen voor de ontwikkeling van de natuurkunde, astronomie en biologie.
Fractalen in de natuur
In de natuur hebben veel objecten fractale eigenschappen, bijvoorbeeld: boomkronen, bloemkool, wolken, de bloedsomloop en het alveolaire systeem van mensen en dieren, kristallen, sneeuwvlokken, waarvan de elementen in één complexe structuur zijn gerangschikt, kustlijnen (het fractale concept toegestaan wetenschappers om de kustlijn van de Britse eilanden en andere voorheen onmeetbare objecten te meten).
Laten we eens kijken naar de structuur van bloemkool. Als je een van de bloemen afsnijdt, is het duidelijk dat dezelfde bloemkool in je handen blijft, alleen kleiner van formaat. We kunnen keer op keer blijven snijden, zelfs onder een microscoop, maar het enige dat we krijgen zijn kleine kopieën van de bloemkool. In dit eenvoudigste geval bevat zelfs een klein deel van de fractal informatie over de gehele uiteindelijke structuur.
Fractals in digitale technologie
Fractale geometrie heeft een onschatbare bijdrage geleverd aan de ontwikkeling van nieuwe technologieën op het gebied van digitale muziek, en heeft het ook mogelijk gemaakt om digitale beelden te comprimeren. Bestaande algoritmen voor fractal-beeldcompressie zijn gebaseerd op het principe van het opslaan van een gecomprimeerd beeld in plaats van het digitale beeld zelf. Bij een gecomprimeerde afbeelding blijft de hoofdafbeelding een vast punt. Microsoft gebruikte een van de varianten van dit algoritme bij het publiceren van zijn encyclopedie, maar om de een of andere reden werd dit idee niet algemeen gebruikt.
De wiskundige basis van fractale afbeeldingen is fractale geometrie, waarbij het principe van overerving van de oorspronkelijke ‘ouderobjecten’ de basis vormt voor de methoden voor het construeren van ‘erfgenaamafbeeldingen’. De concepten van fractale geometrie en fractale graphics verschenen pas ongeveer 30 jaar geleden, maar zijn al stevig verankerd in het dagelijks leven van computerontwerpers en wiskundigen.
De basisconcepten van fractal computergraphics zijn:
- Fractale driehoek - fractale figuur - fractaal object (hiërarchie in aflopende volgorde)
- Fractale lijn
- Fractale compositie
- “Ouderobject” en “Opvolgerobject”
Net als bij vector- en driedimensionale afbeeldingen wordt het maken van fractale afbeeldingen wiskundig berekend. Het belangrijkste verschil met de eerste twee soorten afbeeldingen is dat een fractalafbeelding is opgebouwd volgens een vergelijking of een systeem van vergelijkingen. Je hoeft niets anders dan de formule in het geheugen van de computer op te slaan om alle berekeningen uit te voeren. De compactheid van het wiskundige apparaat maakte het gebruik van dit idee in computergraphics mogelijk. Door simpelweg de coëfficiënten van de vergelijking te veranderen, kunt u eenvoudig een compleet ander fractalbeeld krijgen - met behulp van verschillende wiskundige coëfficiënten worden oppervlakken en lijnen met zeer complexe vormen gespecificeerd, waardoor u compositietechnieken kunt implementeren zoals horizontale en verticale lijnen, symmetrie en asymmetrie , diagonale richtingen en nog veel meer.
Hoe bouw je een fractaal?
De maker van fractals speelt tegelijkertijd de rol van kunstenaar, fotograaf, beeldhouwer en wetenschapper-uitvinder. Wat zijn de komende fasen van het helemaal opnieuw maken van een tekening?
- bepaal de vorm van de tekening met behulp van een wiskundige formule
- onderzoek de convergentie van het proces en verander de parameters ervan
- selecteer het afbeeldingstype
- kies een kleurenpalet
Onder fractal grafische editors en andere grafische programma's kunnen we het volgende benadrukken:
- "Kunstliefhebber"
- “Schilder” (zonder computer zal geen enkele kunstenaar ooit de mogelijkheden bereiken die programmeurs alleen met een potlood en een penseelpen hebben vastgelegd)
- "Adobe Photoshop" (maar hier wordt de afbeelding niet "helemaal opnieuw" gemaakt, maar in de regel alleen verwerkt)
Laten we eens kijken naar de structuur van een willekeurige fractale geometrische figuur. In het midden bevindt zich het eenvoudigste element: een gelijkzijdige driehoek, die dezelfde naam kreeg: "fractal". Op het middensegment van de zijden construeren we gelijkzijdige driehoeken met een zijde gelijk aan een derde van de zijde van de oorspronkelijke fractale driehoek. Volgens hetzelfde principe worden nog kleinere opvolgerdriehoeken van de tweede generatie gebouwd - enzovoort tot in het oneindige. Het resulterende object wordt een “fractale figuur” genoemd, uit de reeksen waarvan we een “fractale compositie” verkrijgen.
Bron: http://www.iknowit.ru/
Fractals en oude mandala's
Dit is een mandala voor het aantrekken van geld. Ze zeggen dat de kleur rood werkt als een geldmagneet. Doen de sierlijke patronen je nergens aan denken? Ze kwamen mij heel bekend voor en ik begon onderzoek te doen naar mandala's als fractal.In principe is een mandala een geometrisch symbool van een complexe structuur, dat wordt geïnterpreteerd als een model van het heelal, een ‘kaart van de kosmos’. Dit is het eerste teken van fractaliteit!
Ze zijn geborduurd op stof, geschilderd op zand, gemaakt met gekleurde poeders en gemaakt van metaal, steen, hout. Door zijn heldere en betoverende uiterlijk is het een prachtige decoratie voor de vloeren, muren en plafonds van tempels in India. In de oude Indiase taal betekent ‘mandala’ de mystieke cirkel van de relatie tussen de spirituele en materiële energieën van het universum, of met andere woorden, de bloem van het leven.
Ik wilde een heel korte bespreking van fractale mandala's schrijven, met een minimum aan alinea's, waaruit blijkt dat de relatie duidelijk bestaat. Toen ik echter informatie over fractals en mandala's probeerde te begrijpen en tot één geheel te verbinden, kreeg ik het gevoel van een kwantumsprong naar een voor mij onbekende ruimte.
Ik demonstreer de onmetelijkheid van dit onderwerp met een citaat: “Dergelijke fractale composities of mandala’s kunnen worden gebruikt in de vorm van schilderijen, ontwerpelementen voor woon- en werkruimtes, draagbare amuletten, in de vorm van videobanden, computerprogramma’s...” Over het algemeen is het onderwerp voor de studie van fractals eenvoudigweg enorm.
Eén ding kan ik zeker zeggen: de wereld is veel diverser en rijker dan de slechte ideeën die onze geest erover heeft.
Fractale zeedieren
Mijn gissingen over fractale zeedieren waren niet ongegrond. Hier zijn de eerste vertegenwoordigers. Een octopus is een op de bodem levend zeedier uit de orde van de koppotigen.
Toen ik naar deze foto keek, werd mij duidelijk de fractale structuur van zijn lichaam en de zuignappen op alle acht tentakels van dit dier. Het aantal zuignappen op de tentakels van een volwassen octopus reikt tot 2000.
Een interessant feit is dat de octopus drie harten heeft: één (de belangrijkste) drijft blauw bloed door het lichaam, en de andere twee - kieuwen - duwen het bloed door de kieuwen. Sommige soorten van deze diepzeefractalen zijn giftig.
Door zich aan te passen en te camoufleren aan zijn omgeving, heeft de octopus het zeer nuttige vermogen om van kleur te veranderen.
Octopussen worden beschouwd als de meest ‘slimme’ van alle ongewervelde dieren. Ze leren mensen kennen en wennen aan degenen die hen te eten geven. Het zou interessant zijn om te kijken naar octopussen die gemakkelijk te trainen zijn, een goed geheugen hebben en zelfs geometrische vormen herkennen. Maar de levensduur van deze fractale dieren is kort: maximaal 4 jaar.
De mens gebruikt de inkt van deze levende fractal en andere koppotigen. Ze zijn gewild bij kunstenaars vanwege hun duurzaamheid en mooie bruine tint. In de mediterrane keuken is octopus een bron van vitamine B3, B12, kalium, fosfor en selenium. Maar ik denk dat je moet weten hoe je deze zeefractalen moet koken om ze als voedsel te kunnen eten.
Overigens moet worden opgemerkt dat octopussen roofdieren zijn. Met hun fractale tentakels houden ze prooien vast in de vorm van weekdieren, schaaldieren en vissen. Het is jammer als zo’n mooi weekdier het voedsel wordt van deze zeefractalen. Naar mijn mening is hij ook een typische vertegenwoordiger van de fractals van het zeekoninkrijk.
Dit is een familielid van slakken, de buikpotige naaktslak Glaucus, ook bekend als Glaucus, ook bekend als Glaucus atlanticus, ook bekend als Glaucilla marginata. Deze fractal is ook ongebruikelijk omdat hij onder het wateroppervlak leeft en beweegt en op zijn plaats wordt gehouden door oppervlaktespanning. Omdat het weekdier is een hermafrodiet, en na het paren leggen beide "partners" eieren. Deze fractal wordt gevonden in alle oceanen van de tropische zone.
Fractals van het zeekoninkrijk
Ieder van ons heeft minstens één keer in ons leven een zeeschelp in onze handen gehouden en deze met oprechte kinderlijke belangstelling onderzocht.
Meestal zijn schelpen een mooi souvenir dat doet denken aan een uitstapje naar de zee. Als je naar deze spiraalvormige formatie van ongewervelde weekdieren kijkt, bestaat er geen twijfel over de fractale aard ervan.
Wij mensen lijken een beetje op deze weekdieren met een zacht lichaam, die in goed ingerichte betonnen fractal-huizen leven en onze lichamen in snelle auto's plaatsen en verplaatsen.
Een andere typische vertegenwoordiger van de fractale onderwaterwereld is koraal.
Er zijn in de natuur meer dan 3.500 soorten koralen bekend, met een palet van maximaal 350 kleurschakeringen.
Koraal is het skeletmateriaal van een kolonie koraalpoliepen, ook uit de familie van ongewervelde dieren. Hun enorme ophopingen vormen hele koraalriffen, waarvan de fractale vormingsmethode duidelijk is.
Koraal kan met het volste vertrouwen een fractal uit het zeekoninkrijk worden genoemd.
Het wordt ook door mensen gebruikt als souvenir of grondstof voor sieraden en ornamenten. Maar het is erg moeilijk om de schoonheid en perfectie van de fractale natuur te repliceren.
Om de een of andere reden twijfel ik er niet aan dat je in de onderwaterwereld ook veel fractale dieren zult vinden.Toen ik het ritueel in de keuken opnieuw uitvoerde met een mes en een snijplank, en vervolgens het mes in koud water doopte, was ik in tranen en ontdekte ik opnieuw hoe ik moest omgaan met de traanfractal die bijna elke dag voor mijn ogen verschijnt .
Het fractaliteitsprincipe is hetzelfde als dat van de beroemde nestpop: nesten. Dit is de reden waarom fractaliteit niet onmiddellijk wordt opgemerkt. Bovendien dragen het licht, de uniforme kleur en het natuurlijke vermogen om onaangename sensaties te veroorzaken niet bij aan nauwkeurige observatie van het universum en de identificatie van fractale wiskundige patronen.
Maar de lilakleurige sla-ui deed me vanwege zijn kleur en de afwezigheid van traanproducerende fytonciden nadenken over de natuurlijke fractaliteit van deze groente. Het is natuurlijk een simpele fractal, gewone cirkels met verschillende diameters, je zou zelfs kunnen zeggen de meest primitieve fractal. Maar het kan geen kwaad om te onthouden dat de bal wordt beschouwd als een ideale geometrische figuur binnen ons universum.
Er zijn veel artikelen op internet gepubliceerd over de gunstige eigenschappen van uien, maar op de een of andere manier heeft niemand geprobeerd dit natuurlijke exemplaar te bestuderen vanuit het oogpunt van fractaliteit. Ik kan alleen maar het nut benadrukken van het gebruik van een fractal in de vorm van een ui in mijn keuken.
P.S. Ik heb al een groentesnijder gekocht voor het hakken van fractals. Nu moeten we nadenken over hoe fractaal zo'n gezonde groente als gewone witte kool is. Hetzelfde principe van nesten.
Fractals in volkskunst
Het verhaal van het wereldberoemde Matryoshka-speelgoed trok mijn aandacht. Als we het van dichterbij bekijken, kunnen we met vertrouwen zeggen dat dit souvenirspeelgoed een typische fractal is.
Het fractaliteitsprincipe ligt voor de hand wanneer alle figuren van houten speelgoed op een rij staan en niet in elkaar zijn genest.
Mijn kleine onderzoek naar de geschiedenis van het verschijnen van deze speelgoedfractal op de wereldmarkt toonde aan dat de wortels van deze schoonheid Japans zijn. De matroesjkapop werd altijd beschouwd als een origineel Russisch souvenir. Maar het bleek dat zij het prototype was van het Japanse beeldje van de oude wijze Fukuruma, ooit vanuit Japan naar Moskou gebracht.
Maar het was de Russische speelgoedindustrie die dit Japanse beeldje wereldfaam bezorgde. Waar het idee van fractal nesten van speelgoed vandaan kwam, blijft voor mij persoonlijk een mysterie. Hoogstwaarschijnlijk gebruikte de auteur van dit speelgoed het principe van het nestelen van figuren in elkaar. En de gemakkelijkste manier om te investeren zijn vergelijkbare figuren van verschillende groottes, en dit is al een fractal.
Een even interessant studieobject is het schilderen van een fractaal speelgoed. Dit is een decoratief schilderij - Khokhloma. Traditionele elementen van Chochloma zijn kruidenpatronen van bloemen, bessen en takken.
Opnieuw allemaal tekenen van fractaliteit. Hetzelfde element kan immers meerdere keren worden herhaald in verschillende versies en verhoudingen. Het resultaat is een volksfractal schilderij.
En als je niemand verrast met het nieuwerwetse schilderij van computermuizen, laptophoezen en telefoons, dan is fractal tuning van een auto in volksstijl iets nieuws in auto-ontwerp. Je kunt alleen maar verbaasd zijn over de manifestatie van de wereld van fractals in ons leven op zo'n ongebruikelijke manier in zulke gewone dingen voor ons.
Fractalen in de keuken
Elke keer dat ik bloemkool demonteerde in kleine bloeiwijzen om in kokend water te blancheren, lette ik nooit op de duidelijke tekenen van fractaliteit totdat ik dit exemplaar in mijn handen had.Op mijn keukentafel stond een typische vertegenwoordiger van een fractal uit de plantenwereld.
Met al mijn liefde voor bloemkool kwam ik altijd exemplaren tegen met een uniform oppervlak zonder zichtbare tekenen van fractaliteit, en zelfs een groot aantal in elkaar genestelde bloeiwijzen gaf me geen reden om een fractal in deze nuttige groente te zien.
Maar het oppervlak van dit specifieke exemplaar met zijn duidelijk gedefinieerde fractale geometrie liet geen enkele twijfel bestaan over de fractale oorsprong van dit type kool.
Een ander bezoek aan de hypermarkt bevestigde alleen maar de fractale status van kool. Onder het enorme aantal exotische groenten bevond zich een hele doos fractals. Het was Romanescu, of Romaanse broccoli, bloemkool.
Het blijkt dat ontwerpers en 3D-kunstenaars de exotische fractaalachtige vormen bewonderen.
Koolknoppen groeien in een logaritmische spiraal. De eerste vermelding van Romanescu-kool kwam uit Italië in de 16e eeuw.
En brocollikool is geen frequente gast in mijn dieet, hoewel het qua gehalte aan voedingsstoffen en micro-elementen vele malen superieur is aan bloemkool. Maar het oppervlak en de vorm zijn zo uniform dat het nooit bij me opkwam er een plantaardige fractal in te zien.
Fractals in quilling
Nadat ik opengewerkte ambachten had gezien met behulp van de quilling-techniek, verloor ik nooit het gevoel dat ze me ergens aan deden denken. De herhaling van dezelfde elementen in verschillende maten is uiteraard het principe van fractaliteit.
Na het bekijken van een andere masterclass over quilling bestond er geen twijfel meer over het fractale karakter van quilling. Om verschillende elementen voor quilling-ambachten te maken, wordt immers een speciale liniaal met cirkels van verschillende diameters gebruikt. Ondanks alle schoonheid en uniciteit van de producten is dit een ongelooflijk eenvoudige techniek.
Bijna alle hoofdelementen voor quilling-ambachten zijn gemaakt van papier. Om gratis quillingpapier in te slaan, kijk eens naar je boekenplanken thuis. Zeker, je zult daar een paar heldere glossy magazines vinden.
Quilling-tools zijn eenvoudig en goedkoop. Alles wat u nodig heeft om amateur-quillingwerk uit te voeren, vindt u bij uw huisbenodigdheden.
En de geschiedenis van quilling begint in de 18e eeuw in Europa. Tijdens de Renaissance gebruikten monniken van Franse en Italiaanse kloosters quilling om boekomslagen te versieren en waren ze zich niet eens bewust van de fractale aard van de papierroltechniek die ze hadden uitgevonden. Meisjes uit de hogere kringen volgden zelfs quilling-cursussen op speciale scholen. Dit is hoe deze techniek zich over landen en continenten begon te verspreiden.
Deze video-quilling-masterclass over het maken van luxe veren kan zelfs 'doe-het-zelf-fractalen' worden genoemd. Met behulp van papieren fractals worden prachtige exclusieve Valentijnskaarten en vele andere interessante dingen verkregen. Fantasie is immers, net als de natuur, onuitputtelijk.
Het is geen geheim dat de Japanners zeer beperkt zijn in de ruimte in het leven, en daarom moeten ze hun best doen om deze effectief te gebruiken. Takeshi Miyakawa laat zien hoe dit zowel effectief als esthetisch kan worden gedaan. Zijn fractalkast is het bewijs dat het gebruik van fractals in design niet alleen een eerbetoon is aan de mode, maar ook een harmonieuze ontwerpoplossing in een beperkte ruimte.
Dit voorbeeld van het gebruik van fractals in het echte leven, in relatie tot meubelontwerp, liet me zien dat fractals niet alleen echt zijn op papier in wiskundige formules en computerprogramma's.
En het lijkt erop dat de natuur overal het fractaliteitsprincipe gebruikt. Je hoeft er alleen maar beter naar te kijken, en het zal zich manifesteren in al zijn prachtige overvloed en oneindigheid van zijn.
Dit zijn abstracte wiskundige objecten die de eigenschap hebben zelf-gelijkenis. Dat wil zeggen, de delen van de fractal zijn vergelijkbaar met de fractal zelf, en de delen van deze delen zijn vergelijkbaar met de delen, enz. Dit is duidelijk zichtbaar in deze animatie. Als we de zoom vergroten, zien we opnieuw vergelijkbare structuren.
De vraag rijst echter - Hoe universeel zijn fractale wiskundige modellen wanneer ze worden toegepast op de echte wereld? In sommige gevallen zijn ze van toepassing. Wanneer we bijvoorbeeld sterk ingedeukte zeekusten beschrijven, zullen we, door herhaaldelijk afbeeldingen van dergelijke kusten verkregen uit de ruimte te vergroten, kleinere structuren verkrijgen die vergelijkbaar zijn met grote. Maar, Is de wereld als geheel een fractal? Dat wil zeggen: zullen we, als we dieper de microwereld ingaan en naar de steeds grotere schaal van de megawereld kijken, vergelijkbare structuren zien? Op deze manier zou het natuurlijk eenvoudiger zijn: het is niet nodig om iets nieuws te ontdekken of uit te vinden, alles is op dezelfde manier gebouwd: planeten draaien om sterren, satellieten draaien om planeten, elektronen draaien om kernen. Als we verder gaan, kunnen we aannemen dat elektronen, protonen en neutronen ook systemen zijn waarin er een centraal lichaam is en kleinere lichamen die eromheen draaien.
Dit zou echter zeer zijn saai- overal hetzelfde zien. Geen fundamentele nieuwigheid... Het is onwaarschijnlijk dat de natuur zo saai en eentonig is! Al onze ervaringen suggereren dat er niet alleen overeenkomsten zijn, maar ook verschillen, zelfs tussen de meest verwante objecten (bijvoorbeeld tussen kristallen van dezelfde druse, tussen sneeuwvlokken, tussen tweelingmensen, enz.). Natuurlijk is dat in de natuur zo universele wetten, naar de ontdekking waar de wetende geest naar streeft (dit is zijn belangrijkste en grootste doel; hij stelt zichzelf direct filosofie, als het toppunt van menselijke cognitieve activiteit). Daarom is er iets gemeenschappelijks en soortgelijks op alle niveaus van de organisatie van materie: van elementaire deeltjes tot de psyche, het bewustzijn en de samenleving. Echter, vormen van manifestatie universele wetten op verschillende niveaus van organisatie van materie en in de verschillende delen ervan zijn verschillend. Daarom kijken wij verschillend structuren in verschillende delen van de wereld en op verschillende niveaus, hoewel onderworpen aan dezelfde wetten (die nog lang niet volledig door ons zijn ontdekt).
Ik stel voor om dit interessante onderwerp te bespreken, vooral omdat het al door onze gerespecteerde Solaris aan de orde is gesteld in zijn reeks sciencefictionverhalen "Het universum van Inga Auleng" . Daarin drukt de auteur het idee uit dat het universum als een cel van een meercellig organisme is, en dat andere universums andere cellen van dit organisme zijn. Een ander Solaris-idee is dat één enkel proton lijkt op het hele universum. Dit alles is niets meer dan ideeën over de fractaliteit van de wereld.
De video die ik hierboven noemde (met goedgekozen muziek!) roept een interessant gevoel op van het doordringen in de diepten van de ‘materie’ en tegelijkertijd van de eigen reductie. Zoals de eminente natuurkundige Richard Feynman in 1959 zei, vooruitlopend op de ontwikkeling van de nanotechnologie: “ er is veel ruimte daar beneden" En je voelt het fysiek als je deze video bekijkt.
Maar het belangrijkste is dat het je aan het denken zet fundamentele vragen over de verbinding tussen macro-, micro- en megawerelden. Wat gebeurt er als we plotseling dramatisch krimpen? De macrowereld waaraan we gewend zijn, met zijn problemen en absurditeiten, gaat ergens opzij, in de regio van de megawereld. En tegelijkertijd verliezen de processen, de dimensies, de tijden en de energieën ervan betekenis voor ons. Het is alsof ze er niet meer voor ons zijn. In die nieuwe microkosmos waar we ‘bewegen’ ontstaan onze eigen schalen van ruimte, tijd en energie. Ons leven daarin zal slechts een moment duren voor de wezens die in onze vroegere macrowereld achterblijven, onze omvang zal voor hen de grenzen van het zicht overschrijden, zelfs in de krachtigste microscopen, en onze energieën zullen... (welke? meer? minder?). Daarom zullen zowel wij als de wereld voor ons nauwelijks waarneembare mysteries zijn, die een verdwijnend kleine invloed op elkaar hebben.
Of misschien is het andersom? En zijn de micro-, macro- en megawerelden op de een of andere manier nauw met elkaar verbonden en beïnvloeden ze elkaar aanzienlijk, ondanks het radicale schaalverschil? In ieder geval door diezelfde universele wetten waar ik hierboven over sprak.
Deze interessante video laat je hierover nadenken.
- Onderzoek naar uitgestelde menstruatie Hormoonanalyse bij uitblijven van menstruatie
- Hoe femoston correct te drinken en de mogelijke bijwerkingen Hoe lang duurt het voordat femoston uit het lichaam wordt verwijderd?
- Chirurgie van de Bartholin-kliercyste Na verwijdering van de Bartholin-kliercyste
- HPV veroorzaakt cystitis Cystitis: symptomen, behandeling