Возможная вероятность. Вероятность события. Определение вероятности события. Задачи и решения задач на вероятность
Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .
Экспериментальная и теоретическая вероятность
Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.
Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:
1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.
2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.
3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.
Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:
1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.
2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.
Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.
Вычисление экспериментальных вероятностей
Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.
Принцип P (экспериментальный)
Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.
Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.
a) Определите вероятность того, что человек - правша.
b) Определите вероятность того, что человек - левша.
c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.
d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?
Решение
a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.
b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.
c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.
d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.
Пример 2 Контроль качества
. Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.
a) Какова вероятность того, что семя прорастет?
b) Отвечают ли семена государственным стандартам?
Решение
a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.
b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.
Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?
Решениеn
Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.
Теоретическая вероятность
Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.
Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:
b) Пространство исходов
Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).
b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.
Пример 5 Бросание игральных костей.
Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.
Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов
Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.
Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.
Принцип P (Теоретический)
Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность
события, P(E) составляет
P(E) = m/n.
Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?
Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.
Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?
Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.
Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.
Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?
Решение
Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.
Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?
Решение
Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.
Следующие утверждения - это результаты из принципа P.
Свойства вероятности
a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.
Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?
Решение
Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?
Решение
Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?
Решение
На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)
Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.
Объединением
(логической суммой)
N событий называют событие,
которое наблюдается каждый раз, когда
наступаетхотя бы одно из
событий.
В частности, объединением
событий A и B
называют событие A
+
B
(у некоторых авторов
),
которое наблюдается, когданаступает
или
A,
или
B
или
оба этих события одновременно
(Рис. 7).
Признаком пересечения в текстовых
формулировках событий служит союз“или”
.
Рис. 7. Объединение событий A+B
Необходимо
учитывать, что вероятности события
P{A} соответствует
как левая часть заштрихованной на Рис. 7
фигуры, так и её центральная часть,
помеченная как
.
И исходы, соответствующие
событию B,
располагаются как в правой части
заштрихованной
фигуры, так и в помеченной
центральной части. Таким образом,
при сложениииплощадка
реально войдет в эту сумму дважды, а
точное выражение для площади заштрихованнойфигуры имеет
вид
.
Итак, вероятность объединения двух событий A и B равна
Для большего числа событий общее расчетное выражение становится крайне громоздким из-за необходимости учета многочисленных вариантов взаимного наложения областей. Однако, если объединяемые события являются несовместными (см. с. 33), то взаимное наложение областей оказывается невозможным, а благоприятная зона определяется непосредственно суммой областей, соответствующих отдельным событиям.
Вероятность объединения произвольного числанесовместных событийопределяется выражением
Следствие 1
:
Полная группа
событий состоит из событий
несовместных, одно из которых в опыте
обязательно реализуется. В результате,если события
…
,образуют
полную группу
,
то для них
Таким образом,
С
ледствие
3
Учтем,
что противоположным
утверждению «произойдет хотя бы
одно из событий
…
»
является утверждение «ни одно из событий…
не реализуется». Т.е., иначе говоря, «в
опыте будут наблюдаться события,
и,
и …, и»,
что представляет собой уже пересечение
событий, противоположных исходному
набору. Отсюда, с учетом (2 .0), для
объединения произвольного числа событий
получаем
Следствия
2, 3 показывают, что в тех случаях, когда
непосредственный расчет вероятности
какого-то события является проблематичным,
полезно оценить
трудоёмкость исследования события
ему противоположного. Ведь, зная значение
,
получить из (2 .0) нужную величину
никакого труда уже не представляет.
Примеры расчетов вероятностей сложных событий
Пример 1 : Двое студентов (Иванов и Петров) вместе я вились на защиту лабораторной работы, выучив первые 8 кон трольных вопросов к этой работе из 10 имеющихся. Проверяя подготовленность, п реподаватель задает каждому лишь оди н случайно выбираемый вопрос. Определить вероятность следующих событий:
A = “Иванов защитит лабораторную работу”;
B = “Петров защитит лабораторную работу”;
C = “оба защитят лабораторную работу”;
D = “хотя бы один из студентов защитит работу”;
E = “только один из студентов защитит работу”;
F = “никто из них не защитит работу”.
Решение. Отметим, что способность защитить работу как Иванова, т ак и Петрова в отдельности определяется лишь числом освоенных вопросов, поэтом у . (Примечание: в данном примере значения получаемых дробей сознательно не сокращались для упрощения сопоставления результатов расчетов.)
Событие C можно сформулировать иначе как «работу защитит и Иванов, и Петров», т.е. произойдут и событие A , и событие B . Таким образом, событие C является пересечением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)
где сомножитель “7/9” появляется из-за того, что наступление события A означает, что Иванову достался «удачный» вопрос, а значит на долю Петрова из оставшихся 9 вопросов приходится теперь лишь 7 «хороших» вопросов.
Событие D подразумевает, что «работу защитит или Иванов, или Петров, или они оба вместе», т.е. произойдёт хотя бы одно из событий A и B . Итак, событие D является объединением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)
что соответствует ожиданиям, т.к. даже для каждого из студентов в отдельности шансы на успех довольно велики.
С обытие Е означает, что «либо работу защитит Ивано в, а Петров «п ровалится», или Иванову попадется неудачный во прос, а Петров с защитой справится». Два альтернативных варианта являются взаимоисключающими (несовместными), поэтому
Наконец, утверждение F окажется справедливым лишь если « и Иванов, и Петров с защитой не справятся». Итак,
На этом решение задачи завершено, однако полезно отметить следующие моменты:
1. Каждая из
полученных вероятностей удовлетворяет
условию (1 .0), н
о
если для
и
получить
конфликт
ующие с
(1 .0) в
принципе невозможно, то для
попытка и
спользования
(2 .0) вместо (2 .0) привела бы к явно
некорр
ектному значению
.
Важно помнить, что подобное значение
вероятности принципиально невозможно,
и при получении столь парадоксального
результата незамедлительно приступать
к поиску ошибки.
2. Найденные вероятности удовлетворяют соотношения м
.
Э то вполне ожидаемо, т.к. события C , E и F образуют полн ую группу, а события D и F противоположны друг другу. Учет этих соотношений с одной стороны может быть использо ван для перепроверки расчетов, а в другой ситуации может послужить основой альтернативного способа решения задачи.
П римечание : Не пренебрегайте письменной фиксацией точной формулировки события, иначе по ходу решения задачи Вы можете непроизвольно перейти к иной трактовке смысла этого события, что повлечет ошибки в рассуждениях.
Пример 2 : В крупной партии микросхем, не прошедших выходной контроль качества, 30% изделий являются бракованными. Если из этой партии наугад выбрать какие-либо две микросхемы, то какова вероятность, что среди них:
A = “обе годные”;
B = “ровно 1 годная микросхема”;
C = “обе бракованные”.
Проанализируем следующий вариант рассуждений (осторожно, содержит ошибку):
Так как речь идет о крупной партии изделий, то изъятие из неё нескольких микросхем практически не влияет на соотношение числа годных и бракованных изделий, а значит, выбирая несколько раз подряд какие-то микросхемы из этой партии, можно считать, что в каждом из случаев остаются неизменными вероятности
= P { выбрано бракованное изделие } = 0,3 и
= P { выбрано годное изделие } = 0,7.
Для наступления события A необходимо, чтобы и в первый, и во второй раз было выбрано годное изделии, а потому (учитывая независимость друг от друга успешности выбора первой и второй микросхемы) для пересечения событий имеем
Аналогично, для наступления события С нужно, чтобы оба изделия оказались бракованными , а для получения B нужно один раз выбрать годное, а один – бракованное изделие.
Признак ошибки. Х отя все полученные выше вероятност и выглядят правдоподобными, при их совместном анализе легко з аметить, что .Однако случаи A , B и C образуют полную группу событий, для которой должно выполняться .Это противоречие указывает на наличие какой-то ошибки в рассуждениях.
С уть ошибки. Введем в рассмотрение два вспомогате льных события :
= “первая микросхема – годная, вторая - бракованная”;
= “первая микросхема – бракованная, вторая – годная”.
Очевидно, что
,
однако именно такой вариант расчета
был выше использован для получения
вероятности события
B
,
хотя события
B
и
не являются э
квивалентными
.
На самом деле,
,
т.к. формулировка
события
B
требует, чтобы среди микросхем ровно
одна
, но совсем
не
обязательно первая
была годной
(а другая – бракованной). Поэтому, хотя
событие
не является дублем события,
а должно учиты
ваться независимо.
Учитывая несовместность событий
и,
вероятность их логической суммы будет
равна
После указанного исправления расчетов имеем
что косвенно подтверждает корректность найденных вероятностей.
Примечание : Обращайте особое внимание на отличие в формулировках событий типа “только первый из перечисленных элементов должен…” и “только один из перечисленных элем ентов должен…”. Последнее событие явно шире и включае т в свой состав первое как один из (возможно многочисленны х) вариантов. Эти альтернативные варианты (даже при совпадении их вероятностей) следует учитывать независимо друг от друга.
П римечание : Слово “процент” произошло от “ per cent ”, т.е. “на сотню”. Представление частот и вероятностей в процентах позволяет оперировать более крупными значениями, что иногда упрощает восприятие значений “на слух”. Однако использовать в расчетах для правильной нормировки умножение или деление на “100 %” громоздко и неэффективно. В связи с этим, не з абывайте при использовании значений, упомя нутых в процентах, подставлять их в расчетные выражения у же в виде долей от единицы (например, 35% в расчете записываетс я как “0,35”), чтобы минимизировать риск ошибочной нормировки результатов.
Пример 3 : Набор резисторов содержит один резистор н оминалом 4 кОм, три резистора по 8 кОм и шесть резист оров с сопротивлением 15 кОм. Выбранные наугад три резистора соединяются друг с другом параллельно. Определить вероятность получения итогового сопротивления, не превышающего 4 кОм.
Реш ение. Сопротивление параллельного соединения рез исторов может быть рассчитано по формуле
.
Это позволяет ввести в рассмотрение события, такие как
A
= “выбраны три резистора по 15 кОм” =
“
”;
B
= “в
зяты два
резистора по 15 кОм и один с сопротивление
м
8 кОм” =“
”…
Полная группа событий, соответствующих условию задачи, включает ещё целый ряд вариантов, причем именно таких, к оторые соответствуют выдвинутому требованию о получении сопротивления не более чем 4 кОм. Однако, хотя “прямой” путь решения, предполагающий расчет (и последующее сумми рование) вероятностей, характеризующих все эти события, и является правильным, действовать таким образом нецелесообразно.
Отметим, что для получения итогового сопротивления менее 4 кОм д остаточно, чтобы в используемый набор вошел хотя бы один резистор с сопротивлени ем менее 15 кОм. Таким образом, лишь в случае A требование задачи не выполняется, т.е. событие A является противоположным исследуемому. Вместе с тем,
.
Таким образом, .
П
ри
мечание
:
Рассчитывая вероятность некоторого
события
A
,
не забывайте проанализировать трудоемкость
определени
я вероятности
события ему противоположного. Если
расс
читать
легко, то
именно с этого и надо начинать решен
ие
задачи
, завершая его применением
соотношения
(2 .0).
П ример 4 : В коробке имеются n белых, m черных и k красных шаров. Шары по одному наугад извлекаются из коробки и возвращаются обратно после каждого извлечения. Определить вероятность события A = “белый шар будет извлечен раньше, чем черный ” .
Реш ение. Рассмотрим следующую совокупность событий
= “белый шар извлекли при первой же попытке”;
= “сначала вынули красный шар, а затем - белый”;
= “дважды вынули красный шар, а на третий раз - белый ”…
Так к ак шарики возвращаются, то последовательность соб ытий может быть формально бесконечно протяженной.
Эти события являются несовместными и составляют в совокупности тот набор ситуаций, при которых происходит событие A . Таким образом,
Несложно заметить,
что входящие в сумму слагаемые образуют
геометрическую прогрессию
с начальным элементом
и знаменателем
.
Но сумм
а элементов бесконечной
геометрической прогрессии равна
. |
Таким образом, . Л юбопытно, что эта вероятность (как следует из полученно го выражения) не зависит от числа красных шаров в коробке.
С понятием вероятность любой человек сталкивается каждый день. Люди рассчитывают шанс успеть на автобус, вероятность того, что они получат сегодня зарплату, выводят различные комбинации для выигрыша в лотерею. Серьёзно затронута теория вероятности в компьютерных программах и искусственном интеллекте, также она тесно переплетена с финансовыми биржами и тому подобным. Существуют элементарные примеры того, как найти вероятность.
Классическим является случай с монеткой. Она подбрасывается, и возможны два различных варианта её приземления: падение на аверс и падение на реверс. Заранее исключается возможность падения ребром, то есть существуют два вероятных исхода. Так как их всего два, и случаются они с одинаковой частотой, то вероятность выпадения, например, орла равна 1/2. Это и является основным законом того, как находить вероятность в математике.
Откуда взялась эта 1/2 ? Принцип заключается в том, что вычисляется вероятность одного (1) события из двух (2) возможных. Соотношение их разрешается операцией деления, откуда и выходит 1/2. Аналогично можно рассчитать вероятность выпадения определённой цифры на игральной кости. Как известно, поверхность куба имеет 6 граней, следовательно может выпасть любое число от 1 до 6 - шесть разных вариантов. Как найти вероятность выпадения, например, четвёрки?
Четвёрка может выпасть единственным образом (1) из шести всячески возможных, следовательно, вероятность будет равна 1: 6 = 1/6. Одну шестую можно перевести в десятичную дробь, выполнив деление на калькуляторе: 1/6 = 0,6(6) . Умножив значение на 100 и приписав знак "%", можно получить оценку вероятности события в процентах. Крайне важно знать, что вероятность события оценивается цифрой от 0 до 1, что в процентов варьируется от 0% до 100%.
Все другие значения вероятности являются абсурдными. Следует рассмотреть конкретный пример: из классической колоды карт (36 карт) вытягивают случайную карту. Какова вероятность, что карта будет красной масти, и её номер будет нечётным? Красной нечётной картой может являться только семёрка или девятка бубн или червей. Всего таких карт выходит 4. Значит вероятность выпадения такой карты равна 4 / 36 = 1 / 9 = 0,1(1) . Следует вычислить вероятность в процентах, это равно 1,1%.
Очень часто в задачах следует применять формулу сложной вероятности. Например, в урне находятся 10 шаров, из низ 3 чёрных и 7 белых. Какова вероятность того, что два подряд наугад вытащенные шара окажутся чёрными? Данную задачу следует решать как две отдельные. Сначала стоит вычислить вероятность вытащить чёрный шар из всех. Таких шаров 3, а всего их 10, значит вероятность будет равна 3/10. Далее надо перейти ко второй части задачи, где теория вероятности позволяет согласовать результаты.
После извлечения "в урне" останется уже 9 шаров, из которых 2 будут чёрными. В этом случае шанс достать чёрный шар равен 2/9. Далее стоит перемножить полученные вероятности для окончательного результата: 3/10 * 2/9 = 6/90 = 1/15 = 0,6(6) , что примерно равно 6,7%. Это значит, что вероятность данного события довольно мала.
Знать, как оценить вероятность того или иного события на основе коэффициентов, крайне важно для выбора правильной ставки. Если вы не понимаете, как перевести букмекерский коэффициент в вероятность, то никогда не сможете определить, как соотносится букмекерский коэффициент с реальными шансами того, что событие состоится. Следует понимать, если вероятность события по версии букмекеров ниже, чем вероятность этого же события по вашей собственной версии, ставка на это событие будет ценной. Сравнить коэффициенты на разные события можно на сайте Odds.ru .
1.1. Типы коэффициентов
Букмекерские конторы, как правило, предлагают три типа коэффициентов – десятичный, дробный и американский. Разберем каждую из разновидностей.
1.2. Десятичные коэффициенты
Десятичные коэффициенты при умножении на размер ставки позволяют рассчитать всю сумму, которую вы получите на руки в случае выигрыша. К примеру, если вы поставили 1 доллар на коэффициент 1,80, в случае выигрыша вы получите 1 доллар 80 центов (1 доллар – возвращенная сумма ставки, 0,80 – выигрыш по ставке, он же ваша чистая прибыль).
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 55%.
1.3. Дробные коэффициенты
Дробные коэффициенты – наиболее традиционный вид коэффициентов. В числителе показана потенциальная сумма чистого выигрыша. В знаменателе – сумма ставки, которую нужно сделать, чтобы этот самый выигрыш получить. К примеру, коэффициент 7/2 означает, что для того, чтобы получить чистый выигрыш в размере 7 долларов, вам необходимо поставить 2 доллара.
Для того чтобы рассчитать вероятность события на основе десятичного коэффициента, следует провести простые вычисления – знаменатель разделить на сумму числителя и знаменателя. Для вышеобозначенного коэффициента 7/2 расчет будет таким:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 22%.
1.4. Американские коэффициенты
Данный вид коэффициентов популярен в Северной Америке. На первый взгляд, они кажутся довольно сложными и непонятными, но не стоит пугаться. Понимание американских коэффициентов может вам пригодиться, например, при игре в американских казино, для понимания котировок, демонстрируемых в североамериканских спортивных трансляциях. Разберем, как оценить вероятность исхода на основе американских коэффициентов.
В первую очередь надо понимать, что американские коэффициенты бывают положительными и отрицательными. Отрицательный американский коэффициент всегда идет в формате, к примеру, «-150». Это означает, что для того, чтобы получить 100 долларов чистой прибыли (выигрыш), необходимо поставить 150 долларов.
Положительный американский коэффициент рассчитывается наоборот. К примеру, у нас есть коэффициент «+120». Это означает, что для того, чтобы получить 120 долларов чистой прибыли (выигрыш), вам необходимо поставить 100 долларов.
Расчет вероятности на основе отрицательных американских коэффициентов делается по следующей формуле:
(-(отрицательный американский коэффициент)) / ((-(отрицательный американский коэффициент)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
То есть вероятность события, на которое дается отрицательный американский коэффициент «-150», составляет 60%.
Теперь рассмотрим аналогичные вычисления для положительного американского коэффициента. Вероятность в этом случае рассчитывается по следующей формуле:
100 / (положительный американский коэффициент + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
То есть вероятность события, на которое дается положительный американский коэффициент «+120», составляет 45%.
1.5. Как переводить коэффициенты из одного формата в другой?
Умение переводить коэффициенты из одного формата в другой может впоследствии сослужить вам хорошую службу. Как ни странно, до сих пор есть конторы, в которых коэффициенты не конвертируются и показаны лишь в одном, непривычном для нас формате. Рассмотрим на примерах, как это делать. Но для начала нам надо научиться вычислять вероятность исхода на основе данного нам коэффициента.
1.6. Как на основе вероятности рассчитать десятичный коэффициент?
Здесь все очень просто. Необходимо 100 разделить на вероятность события в процентном отношении. То есть, если предполагаемая вероятность события составляет 60%, вам надо:
При предполагаемой вероятности события в 60% десятичный коэффициент будет составлять 1,66.
1.7. Как на основе вероятности рассчитать дробный коэффициент?
В данном случае необходимо 100 разделить на вероятность события и от полученного результата отнять единицу. К примеру, вероятность события составляет 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
То есть мы получаем дробный коэффициент 1,5/1 или, для удобства счета, – 3/2.
1.8. Как на основе вероятного исхода рассчитать американский коэффициент?
Здесь многое будет зависеть от вероятности события – будет ли она более 50% или менее. Если вероятность события более 50%, то расчет будет производиться по такой формуле:
— ((вероятность) / (100 — вероятность)) * 100
Например, если вероятность события составляет 80%, то:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
При предполагаемой вероятности события в 80% мы получили отрицательный американский коэффициент «-400».
Если вероятность события менее 50 процентов, то формула будет следующей:
((100 — вероятность) / вероятность) * 100
Например, если вероятность события составляет 40%, то:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
При предполагаемой вероятности события в 40% мы получили положительный американский коэффициент «+150».
Эти вычисления помогут вам лучше понять концепцию ставок и коэффициентов, научиться оценивать истинную стоимость той или иной ставки.
Я вообще сильно слаб в таких задачках, по этому попытался найти ответ в интернете, но оказалось, что все в разных местах сообщаются разные ответы. Давайте мы с вами попробуем выяснить, какой правильны то. Вот собственно задачка:
Этот необычный вопрос придумал математик Рэймонд Джонсон:
Если вы выберете ответ случайным образом, какова вероятность, что он будет правильным?
а) 25%
b) 50%
c) 60%
d) 25%
Вот какие объяснения и варианты ответов есть в интернете:
Вариант ответа - 0%
Правильный ответ - 0%, т. е. он не предложен среди результатов.
Поясняем: возможное количество правильных ответов - от 0 до 4, значит, вероятность случайно выбрать правильный должна составлять 0, 25, 50, 75 или 100%. Это автоматически исключает вариант в) (вероятности 60% быть не может).
Далее, поскольку, а) и г) одинаковы, они либо оба верны, либо оба ошибочны.
Итак, у нас есть 4 взаимоисключающих варианта ответа:
1: а), б) и г) - верные ответы.
2: а) и г) - верные ответы.
3: б) - верный ответ.
4: верного ответа нет.
Первый вариант невозможен, поскольку вероятность не может одновременно составлять и 25%, и 50%.
Второй вариант невозможен, поскольку, если 2 ответа верны, то вероятность выбора должна составлять 50%, а не 25%.
То же самое с третьим вариантом: если только 1 вариант верен, то вероятность выбрать его составляет 25%, а не 50% (как сказано в ответе б)).
Итак, остаётся вариант 4: верного ответа нет. Следовательно, вероятность выбрать правильный ответ составляет 0%.
Вариант ответа 37,5%:
Возможны 3 случая при угадывании ответа. 1 - выбрал 25% и угадал. 2 - выбрал 50% и угадал. 3 - выбрал 60% и угадал.
1) Шанс что ты выберешь 25% = 1/2. При этом шанс, что ты угадаешь эти 25% тоже 1/2.
Итоговая вероятность случая 1/2 * 1/2 = 1/4.
2) Шанс что ты выберешь 50% = 1/4. При этом шанс, что ты угадаешь эти 50% тоже 1/4.
3) Шанс что ты выберешь 60% = 1/4. При этом шанс, что ты угадаешь эти 60% тоже 1/4.
Итоговая вероятность случая 1/4 * 1/4 = 1/16.
Суммируем итоговые вероятности для всех 3 случаев, получаем 3/8, или 37,5%.
Вариант ответа - 50%
Получится одна вторая
1) Сначала определим какова вероятность каждого ответа. Тут все просто - по логике вероятность того что мы выберем один из четырех вариантов ответа будет 1/4, то есть 0,25
2) Теперь посчитаем вероятность попадания на варианты ответа с числом 25%. Если учесть что события не совместны, то есть появление одного исключает появление другого, то можно воспользоваться суммой вероятностей (вероятность того, что мы ответим 1 или 4, т.к. он содержат нужное нам 25%), то есть 25% + 25% = 50% процентов.
В итоге правильный ответ b)
Вариант ответа - рекурсия
объясняю: из 4 вариантов 1 наугад,то-есть 25%,но таких вариантов 2,значит умножаем на 2,стало 50%,но такой вариант 1,значит делим на 2 и получаем 25%,но таких вариантов 2,значит умножаем на 2,стало 50%,но такой вариант 1,значит делим на 2 и получаем 25%,но таких вариантов 2,значит умножаем на 2,стало 50%,но такой вариант 1,значит делим на 2 и получаем 25%,но таких вариантов 2,значит умножаем на 2,стало 50%,но такой вариант 1,значит делим на 2 и получаем 25%,но таких вариантов 2,значит умножаем на 2,стало 50%,но такой вариант 1,значит делим на 2 и получаем 25%,но таких вариантов 2,значит умножаем на 2,стало 50%,но такой вариант 1,значит делим на 2 и получаем 25%...