Nazywa się czworokąt, w którym tylko dwa boki są równoległe trapez.

Nazywa się je równoległymi bokami trapezu powodów, a te boki, które nie są równoległe, nazywane są strony. Jeśli boki są równe, to taki trapez jest równoramienny. Odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

Trapez linii środkowej

Linia środkowa to odcinek łączący środki boków trapezu. Linia środkowa trapezu jest równoległa do jego podstaw.

Twierdzenie:

Jeżeli prosta przechodząca przez środek jednego boku jest równoległa do podstaw trapezu, to przecina drugi bok trapezu na pół.

Twierdzenie:

Długość linii środkowej jest równa średniej arytmetycznej długości jej podstaw

Linia środkowa MN, AB i CD - podstawy, AD i BC - boki

MN = (AB + DC)/2

Twierdzenie:

Długość linii środkowej trapezu jest równa średniej arytmetycznej długości jego podstaw.

Główne zadanie: Udowodnić, że linia środkowa trapezu przecina odcinek, którego końce leżą pośrodku podstaw trapezu.

Środkowa linia trójkąta

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta nazywa się linią środkową trójkąta. Jest równoległy do ​​trzeciego boku i jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.
Twierdzenie: Jeśli linia przecinająca środek jednego boku trójkąta jest równoległa do drugiego boku trójkąta, to przecina trzeci bok na pół.

AM = MC i BN = NC =>

Stosowanie właściwości linii środkowej trójkąta i trapezu

Dzielenie odcinka na określoną liczbę równych części.
Zadanie: Podziel odcinek AB na 5 równych części.
Rozwiązanie:
Niech p będzie półprostą losową, której początek znajduje się w punkcie A i który nie leży na prostej AB. Kolejno odkładamy 5 równych segmentów na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Łączymy A 5 z B i rysujemy takie linie przez A 4, A 3, A 2 i A 1, które są równoległe do A 5 B. Przecinają one AB odpowiednio w punktach B 4, B 3, B 2 i B 1. Punkty te dzielą odcinek AB na 5 równych części. Rzeczywiście z trapezu BB 3 A 3 A 5 widzimy, że BB 4 = B 4 B 3. W ten sam sposób z trapezu B 4 B 2 A 2 A 4 otrzymujemy B 4 B 3 = B 3 B 2

Natomiast z trapezu B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Następnie z B 2 AA 2 wynika, że ​​B 2 B 1 = B 1 A. Podsumowując, otrzymujemy:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Oczywiste jest, że aby podzielić odcinek AB na inną liczbę równych części, musimy rzutować tę samą liczbę równych odcinków na półprostą p. A następnie kontynuuj w sposób opisany powyżej.

\[(\Large(\text(Podobieństwo trójkątów)))\]

Definicje

Dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeśli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego
(boki nazywane są podobnymi, jeśli leżą naprzeciwko równych kątów).

Współczynnik podobieństwa (podobnych) trójkątów to liczba równa stosunkowi podobnych boków tych trójkątów.

Definicja

Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków.

Twierdzenie

Stosunek obwodów dwóch podobnych trójkątów jest równy współczynnikowi podobieństwa.

Dowód

Rozważmy trójkąty \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) odpowiednio z bokami \(a,b,c\) i \(a_1, b_1, c_1\) (patrz rysunek powyżej).

Następnie \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Twierdzenie

Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

Dowód

Niech trójkąty \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) będą podobne i \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Oznaczmy odpowiednio literami \(S\) i \(S_1\) pola tych trójkątów.

Ponieważ \(\angle A = \angle A_1\) , zatem \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(na podstawie twierdzenia o stosunku pól trójkątów o równych kątach).

Ponieważ \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), To \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), co należało udowodnić.

\[(\Large(\text(Znaki podobieństwa trójkątów)))\]

Twierdzenie (pierwszy znak podobieństwa trójkątów)

Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.

Dowód

Niech \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) będą trójkątami takimi, że \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Następnie z twierdzenia o sumie kątów trójkąta \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), czyli kąty trójkąta \(ABC\) są odpowiednio równe kątom trójkąta \(A_1B_1C_1\) .

Ponieważ \(\angle A = \angle A_1\) i \(\angle B = \angle B_1\) , to \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) I \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Z tych równości wynika, że \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Podobnie zostało to udowodnione \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(używając równości \(\kąt B = \kąt B_1\) , \(\kąt C = \kąt C_1\) ).

W rezultacie boki trójkąta \(ABC\) są proporcjonalne do podobnych boków trójkąta \(A_1B_1C_1\), co należało udowodnić.

Twierdzenie (drugie kryterium podobieństwa trójkątów)

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków innego trójkąta i kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

Dowód

Rozważmy dwa trójkąty \(ABC\) i \(A"B"C"\) takie, że \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Udowodnijmy, że trójkąty \(ABC\) i \(A"B"C"\) są podobne. Biorąc pod uwagę pierwszy znak podobieństwa trójkątów, wystarczy pokazać, że \(\angle B = \angle B"\) .

Rozważmy trójkąt \(ABC""\) z \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Trójkąty \(ABC""\) i \(A"B"C"\) są podobne według pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów, to \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Z drugiej strony pod warunkiem \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Z dwóch ostatnich równości wynika, że ​​\(AC = AC""\) .

Trójkąty \(ABC\) i \(ABC""\) są równe w dwóch bokach i w związku z tym kąt między nimi \(\kąt B = \kąt 2 = \kąt B"\).

Twierdzenie (trzeci znak podobieństwa trójkątów)

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków innego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Dowód

Niech boki trójkątów \(ABC\) i \(A"B"C"\) będą proporcjonalne: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Udowodnimy, że trójkąty \(ABC\) i \(A"B"C"\) są podobne.

Aby to zrobić, biorąc pod uwagę drugie kryterium podobieństwa trójkątów, wystarczy udowodnić, że \(\angle BAC = \angle A"\) .

Rozważmy trójkąt \(ABC""\) z \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .

Trójkąty \(ABC""\) i \(A"B"C"\) są podobne według pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów, zatem \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Z ostatniego łańcucha równości i warunków \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) wynika z tego, że \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

Trójkąty \(ABC\) i \(ABC""\) są równe z trzech stron, zatem \(\kąt BAC = \kąt 1 = \kąt A"\).

\[(\Large(\text(Twierdzenie Talesa)))\]

Twierdzenie

Jeśli zaznaczysz równe odcinki po jednej stronie kąta i narysujesz równoległe linie proste przez ich końce, to te proste linie odetną również równe odcinki po drugiej stronie.

Dowód

Najpierw udowodnijmy lemat: Jeśli w \(\trójkącie OBB_1\) linia prosta \(a\równoległa BB_1\) zostanie poprowadzona przez środek \(A\) boku \(OB\), to przetnie ona również bok \(OB_1\) w środek.

Przez punkt \(B_1\) rysujemy \(l\równoległy OB\) . Niech \(l\cap a=K\) . Wtedy \(ABB_1K\) jest równoległobokiem, zatem \(B_1K=AB=OA\) i \(\kąt A_1KB_1=\kąt ABB_1=\kąt OAA_1\); \(\kąt AA_1O=\kąt KA_1B_1\) jak pionowo. Zatem zgodnie z drugim znakiem \(\trójkąt OAA_1=\trójkąt B_1KA_1 \Strzałka w prawo OA_1=A_1B_1\). Lemat został udowodniony.

Przejdźmy do dowodu twierdzenia. Niech \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) i musimy udowodnić, że \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Zatem zgodnie z tym lematem \(OA_1=A_1B_1\) . Udowodnimy, że \(A_1B_1=B_1C_1\) . Narysujmy prostą \(d\równoległą OC\) przechodzącą przez punkt \(B_1\) i niech \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Wtedy \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) są równoległobokami, zatem \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Zatem, \(\kąt A_1B_1D_1=\kąt C_1B_1D_2\) jak pionowo \(\kąt A_1D_1B_1=\kąt C_1D_2B_1\) leżą jak krzyże, a zatem zgodnie z drugim znakiem \(\trójkąt A_1B_1D_1=\trójkąt C_1B_1D_2 \Strzałka w prawo A_1B_1=B_1C_1\).

Twierdzenie Talesa

Linie równoległe odcinają proporcjonalne odcinki po bokach kąta.

Dowód

Niech linie równoległe \(p\równoległy q\równoległy r\równoległy s\) podzielił jedną z linii na odcinki \(a, b, c, d\) . Następnie drugą prostą należy podzielić na odcinki odpowiednio \(ka, kb, kc, kd\), gdzie \(k\) to pewna liczba, taki sam współczynnik proporcjonalności odcinków.

Przeprowadźmy przez punkt \(A_1\) prostą \(p\równoległą OD\) (\(ABB_2A_1\) jest równoległobokiem, zatem \(AB=A_1B_2\) ). Następnie \(\trójkąt OAA_1 \sim \trójkąt A_1B_1B_2\) w dwóch rogach. Stąd, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Strzałka w prawo A_1B_1=kb\).

Podobnie rysujemy linię prostą przez \(B_1\) \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) itp.

\[(\Large(\text(Środkowa linia trójkąta)))\]

Definicja

Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki dwóch dowolnych boków trójkąta.

Twierdzenie

Środkowa linia trójkąta jest równoległa do trzeciego boku i równa jego połowie.

Dowód

1) Równoległość linii środkowej do podstawy wynika z tego, co zostało udowodnione powyżej lematy.

2) Udowodnijmy, że \(MN=\dfrac12 AC\) .

Przez punkt \(N\) rysujemy linię równoległą do \(AB\) . Niech ta prosta przecina bok \(AC\) w punkcie \(K\) . Wtedy \(AMNK\) jest równoległobokiem ( \(AM\równolegle NK, MN\równolegle AK\) zgodnie z poprzednim punktem). Zatem \(MN=AK\) .

Ponieważ \(NK\parallel AB\) i \(N\) są środkami \(BC\), wówczas zgodnie z twierdzeniem Talesa \(K\) są środkiem \(AC\) . Dlatego \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Konsekwencja

Linia środkowa trójkąta odcina od niego trójkąt podobny do podanego o współczynniku \(\frac12\) .

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.

Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki jego 2 boków. Odpowiednio każdy trójkąt ma trzy środkowe linie. Znając jakość linii środkowej, a także długości boków trójkąta i jego kątów, możesz określić długość linii środkowej.

Będziesz potrzebować

• Boki trójkąta, kąty trójkąta

Instrukcje

1. Niech w trójkącie ABC MN będzie linią środkową łączącą środki boków AB (punkt M) i AC (punkt N). Zgodnie z właściwością linia środkowa trójkąta łącząca środki dwóch boków jest równoległa do trzeciego boku i równa połowie jego boku. To. Oznacza to, że linia środkowa MN będzie równoległa do boku BC i równa BC/2. W związku z tym, aby wyznaczyć długość linii środkowej trójkąta, wystarczy znać długość boku tego konkretnego trzeciego boku.

2. Niech teraz będą znane boki, których środki są połączone linią środkową MN, czyli AB i AC, a także kąt BAC między nimi. Ponieważ MN jest linią środkową, to AM = AB/2 i AN = AC/2 Zatem zgodnie z twierdzeniem o cosinusie obiektywnie: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Zatem MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Jeśli znane są boki AB i AC, wówczas linię środkową MN można znaleźć znając kąt ABC lub ACB. Powiedzmy, że róg ABC jest sławny. Ponieważ zgodnie z właściwością linii środkowej MN jest równoległa do BC, to kąty ABC i AMN są sobie równe, a zatem ABC = AMN. Następnie zgodnie z twierdzeniem cosinus: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). W związku z tym stronę MN można znaleźć z równania kwadratowego (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Wskazówka 2: Jak znaleźć bok kwadratowego trójkąta

Trójkąt kwadratowy jest bardziej poprawnie nazywany trójkątem prostokątnym. Zależności między bokami i kątami tej figury geometrycznej są szczegółowo omówione w matematycznej dyscyplinie trygonometrii.

Będziesz potrzebować

• – kartka papieru;
• - długopis;
• – stoły Bradisa;
• - kalkulator.

Instrukcje

1. Odkryć strona prostokątny trójkąt na poparcie twierdzenia Pitagorasa. Zgodnie z tym twierdzeniem kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: c2 = a2+b2, gdzie c jest przeciwprostokątną trójkąt, aib to jego nogi. Aby zastosować to równanie, musisz znać długość dowolnych 2 boków prostokąta trójkąt .

2. Jeśli warunki określają wymiary nóg, znajdź długość przeciwprostokątnej. Aby to zrobić, za pomocą kalkulatora wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z sumy nóg, z góry podnieś każdą z nich.

3. Oblicz długość jednej z nóg, jeśli znasz wymiary przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Za pomocą kalkulatora wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z różnicy między kwadratem przeciwprostokątnej i odnogą wiodącą również do kwadratu.

4. Jeśli w zadaniu określono przeciwprostokątną i jeden z przylegających do niej kątów ostrych, skorzystaj z tablic Bradisa. Podają wartości funkcji trygonometrycznych dla dużej liczby kątów. Użyj kalkulatora z funkcjami sinus i cosinus, a także twierdzeń trygonometrycznych opisujących zależności między bokami i kątami prostokąta trójkąt .

5. Znajdź nogi, korzystając z podstawowych funkcji trygonometrycznych: a = c*sin?, b = c*cos?, gdzie a to noga znajdująca się naprzeciwko narożnika?, b to noga przylegająca do narożnika?. W ten sam sposób oblicz wymiary boków trójkąt, jeśli podana jest przeciwprostokątna i inny kąt ostry: b = c*sin?, a = c*cos?, gdzie b jest nogą przeciwną do kąta?, a noga przylega do kąta?.

6. W przypadku gdy weźmiemy nogę a i przylegający do niej kąt ostry?, nie zapominajmy, że w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi niezmiennie 90°: ? +? = 90°. Znajdź wartość kąta leżącego naprzeciwko nogi a: ? = 90° – ?. Lub użyj wzorów redukcji trygonometrycznej: grzech? = grzech (90° –?) = cos?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Jeżeli mamy nogę a i przeciwległy do ​​niej kąt ostry?, korzystając z tablic Bradisa, kalkulatora i funkcji trygonometrycznych, obliczmy przeciwprostokątną ze wzoru: c=a*sin?, noga: b=a*tg?.

Wideo na ten temat