สนามไฟฟ้าสถิตสม่ำเสมอถูกสร้างขึ้นโดยเซลล์ที่มีประจุสม่ำเสมอ ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ ความแรงของสนามของทรงกลมที่มีประจุ

Zhidkevich V.I. สนามไฟฟ้าของเครื่องบิน // ฟิสิกส์: ปัญหาการคำนวณ - 2552. - ฉบับที่ 6. - หน้า 19-23.

ปัญหาเกี่ยวกับไฟฟ้าสถิตสามารถแบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม: ปัญหาเกี่ยวกับประจุแบบจุดและปัญหาเกี่ยวกับวัตถุที่มีประจุ ซึ่งขนาดที่ไม่สามารถละเลยได้

การแก้ปัญหาในการคำนวณสนามไฟฟ้าและอันตรกิริยาของประจุแบบจุดจะขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้กฎของคูลอมบ์และไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ เป็นพิเศษ ที่ยากกว่านั้นคือการกำหนดความแรงของสนามและปฏิสัมพันธ์ของวัตถุที่มีประจุในขนาดจำกัด: ทรงกลม, ทรงกระบอก, ระนาบ เมื่อคำนวณความแข็งแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของการกำหนดค่าต่างๆ ควรเน้นย้ำถึงความสำคัญของหลักการซ้อนทับเมื่อพิจารณาสนามที่สร้างขึ้นไม่เฉพาะจากประจุแบบจุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงประจุที่กระจายไปทั่วพื้นผิวและปริมาตรด้วย เมื่อพิจารณาถึงผลกระทบของสนามต่อประจุตามสูตรฉ=คิวอี ในกรณีทั่วไป จะใช้ได้กับวัตถุที่มีประจุแบบจุด และเฉพาะในสนามที่สม่ำเสมอเท่านั้นที่จะใช้ได้กับวัตถุทุกขนาดและรูปร่างที่มีประจุถาม

สนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุเป็นผลมาจากการซ้อนทับของสองสนามที่สร้างขึ้นโดยแต่ละแผ่น

ในตัวเก็บประจุแบบแบนหนึ่งแผ่นถือได้ว่าเป็นตัวถังที่มีประจุคำถามที่ 1วางอยู่ในสนามไฟฟ้าที่มีความเข้มอี 2 สร้างขึ้นโดยจานอื่น

ลองพิจารณาปัญหาหลายประการ

1. ระนาบอนันต์ถูกประจุด้วยความหนาแน่นของพื้นผิว σ >0. ค้นหาความแรงของสนาม อีและมีศักยภาพ ϕ ทั้งสองด้านของเครื่องบินโดยคำนึงถึงศักยภาพของเครื่องบินเท่ากับศูนย์ สร้างกราฟการพึ่งพาอดีต), ϕ (เอ็กซ์) แกน x ตั้งฉากกับระนาบ โดยจุด x=0 อยู่บนระนาบ

สารละลาย. สนามไฟฟ้าของระนาบอนันต์มีความสม่ำเสมอและสมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบ ของเขาความตึงเครียดระหว่าง สูตรแสดงความเข้มและความต่างศักย์ระหว่างจุดสองจุดของสนามไฟฟ้าสถิตสม่ำเสมอที่ไหน x - ระยะห่างระหว่างจุดวัดตามแนวสนามแล้ว ϕ 2 = ϕ 1 -อดีต- ที่เอ็กซ์<0 при х>0 การพึ่งพา E(x) และ ϕ (x) แสดงไว้ในรูปที่ 1

2. แผ่นเพลทบางระนาบขนานกัน 2 แผ่นซึ่งตั้งอยู่ในระยะทางสั้นๆง จากกันโดยมีประจุสม่ำเสมอด้วยประจุความหนาแน่นของพื้นผิวσ 1 และ σ 2. ค้นหาจุดแข็งของสนามที่จุดที่อยู่ระหว่างแผ่นเปลือกโลกและด้านนอก เขียนกราฟความตึงเครียด E(x) และศักยภาพ ϕ (x) การนับ ϕ (0)=0. พิจารณากรณีที่: ก)σ 1 = -σ 2 ;

สารละลาย.ข) σ 1 = σ 2; ค) σ 1 =3 σ 2 -

เนื่องจากระยะห่างระหว่างแผ่นเปลือกโลกมีขนาดเล็ก จึงถือได้ว่าเป็นระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดความแรงของสนามของระนาบที่มีประจุบวกเท่ากับ และกำกับ

จากเธอ; ความแรงของสนามแม่เหล็กของระนาบที่มีประจุลบนั้นพุ่งเข้าหาระนาบนั้น

ตามหลักการของการซ้อน สนาม ณ จุดใด ๆ ที่กำลังพิจารณาจะถูกสร้างขึ้นโดยแต่ละประจุแยกกันก) สนามของระนาบสองระนาบที่มีประจุของเครื่องหมายเท่ากันและตรงกันข้าม (ตัวเก็บประจุแบบแบน) รวมกันในพื้นที่ระหว่างระนาบและตัดกันในพื้นที่ด้านนอก (รูปที่ 2,

ก) ที่<0 อี= 0, ϕ เอ็กซ์ =0; เวลา 0 วัน E= 0, กราฟการพึ่งพาความตึงเครียดและศักยภาพในระยะทาง เอ็กซ์แสดงในรูปที่ 2

ข, ค.

ถ้าระนาบมีมิติจำกัด สนามระหว่างระนาบจะไม่สม่ำเสมอกัน และสนามด้านนอกระนาบจะไม่เป็นศูนย์อย่างแน่นอน b) สนามของระนาบที่มีประจุซึ่งมีขนาดและเครื่องหมายเท่ากัน ( σ 1 = σ 2) ชดเชยซึ่งกันและกันในช่องว่างระหว่างระนาบและเพิ่มในพื้นที่ด้านนอก (รูปที่ 3,<0 при 0ก) ที่เอ็กซ์

งการใช้กราฟ อดีต) ϕ (รูปที่ 3, b) มาสร้างกราฟเชิงคุณภาพของการพึ่งพากัน

(x) (รูปที่ 3, ค) c) ถ้า σ 1 = σ

2 จากนั้นเมื่อคำนึงถึงทิศทางของทุ่งนาและเลือกทิศทางไปทางขวาเป็นบวกเราจะพบว่า:

3. การพึ่งพาแรงดึง E กับระยะทางแสดงในรูปที่ 4บนแผ่นหนึ่งของตัวเก็บประจุแบบแบนที่มีความจุ กับคำถามที่ 1=+3มีค่าใช้จ่ายถาม และอีกอัน =+ คำถามที่ 2 ถาม

สารละลาย.กำหนดความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุ วิธีที่ 1.ให้พื้นที่แผ่นคาปาซิเตอร์ ส,และระยะห่างระหว่างพวกเขา ง.สนามภายในตัวเก็บประจุมีความสม่ำเสมอ ดังนั้นสูตรจึงสามารถกำหนดความต่างศักย์ (แรงดันไฟฟ้า) คร่อมตัวเก็บประจุได้ U=E*d โดยที่ E

- ความแรงของสนามไฟฟ้าภายในตัวเก็บประจุ โดยที่ E 1, E 2

- ความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแผ่นตัวเก็บประจุ

แล้ว วิธีที่ 2.เพิ่มค่าใช้จ่ายในแต่ละจาน จากนั้นแผ่นเปลือกโลกจะควบแน่น + มีค่าใช้จ่ายซาโตราจะมีค่าใช้จ่าย และ -qสนามประจุที่เหมือนกันของเพลตภายในตัวเก็บประจุจะหักล้างกัน ประจุที่เพิ่มเข้ามาไม่ได้เปลี่ยนสนามระหว่างแผ่นเปลือกโลก ดังนั้นความต่างศักย์จึงเกิดขึ้นด้วย ตัวเก็บประจุ .

4. ยู= มีค่าใช้จ่าย- กำหนดความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุ

สารละลาย.เนื่องจากตัวเก็บประจุไม่มีประจุ สนามไฟฟ้าจึงถูกสร้างขึ้นโดยแผ่นที่มีประจุเท่านั้นถาม (รูปที่ 5) สนามนี้มีความสม่ำเสมอ สมมาตรสัมพันธ์กับแผ่นเปลือกโลก และความเข้มของมันให้ศักยภาพของแผ่นโลหะเป็น ϕ - แล้วศักยภาพของแผ่นเปลือกโลก กและใน ตัวเก็บประจุจะเท่ากัน ϕ- ϕ เอ = ϕ เอล 1; ϕ เอ = ϕ-เอล 1 ; ϕ- ϕ บี = ϕ-เอล 2 ; ϕ บี = ϕ-เอล 2 .

ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุหากแผ่นอยู่ห่างจากแผ่นตัวเก็บประจุเท่ากัน ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นจะเป็นศูนย์

5. ในสนามไฟฟ้าความเข้มสม่ำเสมออี 0 แผ่นโลหะที่มีประจุวางตั้งฉากกับเส้นแรงโดยมีความหนาแน่นประจุบนพื้นผิวแต่ละด้านของแผ่น σ (รูปที่ 6) กำหนดความแรงของสนาม อี"ภายในและภายนอกแผ่นและความหนาแน่นประจุของพื้นผิวσ 1 และ σ 2 ซึ่งจะปรากฏที่ด้านซ้ายและด้านขวาของจาน

สารละลาย.สนามภายในเพลตเป็นศูนย์และเป็นการซ้อนทับของสามฟิลด์: สนามภายนอกอี 0, สนามที่สร้างขึ้นโดยประจุที่อยู่ด้านซ้ายของแผ่นเปลือกโลก และสนามที่สร้างขึ้นโดยประจุที่อยู่ทางด้านขวาของแผ่นเปลือกโลก เพราะฉะนั้น,โดยที่ σ 1 และ σ 2 - ความหนาแน่นประจุพื้นผิวที่ด้านซ้ายและด้านขวาของแผ่นซึ่งปรากฏขึ้นหลังจากนำแผ่นเข้าสู่สนามอี 0 ประจุรวมบนจานจะไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นσ 1 + σ 2 =2 σ จากที่ σ 1 = σ- ε 0 จ 0 , σ 2 = σ + ε 0 จ 0 - สนามที่อยู่นอกจานคือการซ้อนทับของสนามอี 0 และช่องแผ่นชาร์จ อี- ไปทางซ้ายของจาน ด้านขวาของจาน

6. ในตัวเก็บประจุแบบอากาศเรียบ ความแรงของสนามคือ E = 10 4 V/m ระยะห่างระหว่างแผ่นง= 2 ซม. ความต่างศักย์จะเท่ากับเท่าใดหากวางแผ่นโลหะที่มีความหนาระหว่างแผ่นขนานกับแผ่นเหล่านั้นวัน 0=0.5 ซม. (รูปที่ 7)?

สารละลาย.เนื่องจากสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นเปลือกโลกมีความสม่ำเสมออยู่แล้ว U=เอ็ด, U=200 โวลต์.

หากคุณทำเครื่องหมายแผ่นโลหะระหว่างแผ่นคุณจะได้ระบบตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมสองตัวโดยมีระยะห่างระหว่างแผ่นวัน 1และ d2 ความจุของตัวเก็บประจุเหล่านี้ความจุทั้งหมดของพวกเขา

เนื่องจากตัวเก็บประจุถูกตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งกำเนิดกระแสไฟฟ้า ประจุของตัวเก็บประจุจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเพิ่มแผ่นโลหะ: q"=CU=С"U 1 ; ความจุคอนเดนเซอร์อยู่ที่ไหน sator ก่อนที่จะเพิ่มแผ่นโลหะเข้าไป เราได้รับ:

คุณ 1= 150 โวลต์

7. บนจานก และ C ซึ่งอยู่ขนานกันในระยะไกลง= ห่างกัน 8 ซม. คงศักยภาพไว้ ϕ 1= 60 โวลต์ และ ϕ 2 =- 60 โวลต์ตามลำดับ มีการวางแผ่นดินไว้ระหว่างพวกเขา D ที่ระยะห่าง d 1 = 2 ซม. จากแผ่น A ความแรงของสนามมีการเปลี่ยนแปลงเท่าใดในส่วน AD และซีดี? สร้างกราฟการพึ่งพา ϕ (x) และ E(x)

8. สนามไฟฟ้าสถิตถูกสร้างขึ้นโดยระนาบอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอ แสดงว่าสนามนี้เป็นเนื้อเดียวกัน

ปล่อยให้ความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวเป็น s เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ E สามารถตั้งฉากกับระนาบที่มีประจุเท่านั้น นอกจากนี้ เห็นได้ชัดว่า ณ จุดสมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบนี้ เวกเตอร์ E จะมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม การกำหนดค่าฟิลด์นี้แสดงให้เห็นว่าควรเลือกทรงกระบอกตรงเป็นพื้นผิวปิด โดยถือว่า s มากกว่าศูนย์ การไหลผ่านพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นการไหลรวมผ่านพื้นผิวทั้งหมดของทรงกระบอกจะเท่ากับ 2*E*DS โดยที่ DS คือพื้นที่ของปลายแต่ละด้าน ตามทฤษฎีบทของเกาส์

โดยที่ s*DS คือประจุที่อยู่ภายในกระบอกสูบ

แม่นยำยิ่งขึ้นควรเขียนนิพจน์นี้ดังนี้:

โดยที่ En คือเส้นโครงของเวกเตอร์ E ลงบนระนาบปกติ n ไปยังระนาบที่มีประจุ และเวกเตอร์ n ถูกส่งไปจากระนาบนี้

ความจริงที่ว่า E ไม่ขึ้นอยู่กับระยะห่างจากระนาบหมายความว่าสนามไฟฟ้าที่สอดคล้องกันมีความสม่ำเสมอ

9. วงกลมหนึ่งในสี่ที่มีรัศมี 56 ซม. ทำด้วยลวดทองแดง มีประจุที่มีความหนาแน่นเชิงเส้น 0.36 nC/m กระจายอย่างสม่ำเสมอไปตามเส้นลวด ค้นหาศักยภาพที่ศูนย์กลางของวงกลม

เนื่องจากประจุมีการกระจายเชิงเส้นตรงไปตามเส้นลวด เพื่อหาศักย์ไฟฟ้าที่จุดศูนย์กลาง เราจึงใช้สูตร:

โดยที่ s คือความหนาแน่นประจุเชิงเส้น dL คือองค์ประกอบลวด

10. ในสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยจุดประจุ Q ประจุลบ -q เคลื่อนที่ไปตามเส้นแรงจากจุดที่อยู่ห่างจากประจุ r 1 จากประจุ Q ไปยังจุดที่อยู่ห่างจากจุด r 2 . จงหาการเพิ่มขึ้นของพลังงานศักย์ของประจุ -q จากการกระจัดนี้

ตามคำนิยาม ศักย์ไฟฟ้าคือปริมาณที่เป็นตัวเลขเท่ากับพลังงานศักย์ของประจุบวกหนึ่งหน่วยที่จุดที่กำหนดในสนาม ดังนั้นพลังงานศักย์ของประจุ q 2:

11. สององค์ประกอบที่เหมือนกันกับแรงเคลื่อนไฟฟ้า เชื่อมต่อ 1.2 V และความต้านทานภายใน 0.5 โอห์มแบบขนาน แบตเตอรี่ที่ได้จะถูกปิดไว้ที่ความต้านทานภายนอก 3.5 โอห์ม ค้นหากระแสในวงจรภายนอก

ตามกฎของโอห์มสำหรับวงจรทั้งหมด ความแรงของกระแสในวงจรภายนอกคือ:

โดยที่ E` คือแรงเคลื่อนไฟฟ้าของแบตเตอรี่ขององค์ประกอบ

r` คือความต้านทานภายในของแบตเตอรี่ซึ่งเท่ากับ:

แรงเคลื่อนไฟฟ้าของแบตเตอรี่เท่ากับผลรวมของแรงเคลื่อนไฟฟ้าขององค์ประกอบสามชุดที่เชื่อมต่อกัน:

เพราะฉะนั้น:

12 วงจรไฟฟ้าประกอบด้วยลวดทองแดงและลวดเหล็กที่มีความยาวและเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันเป็นอนุกรม ค้นหาอัตราส่วนของปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาในสายไฟเหล่านี้

พิจารณาลวดที่มีความยาว L และเส้นผ่านศูนย์กลาง d ซึ่งทำจากวัสดุที่มีความต้านทาน p ความต้านทานของสายไฟ R สามารถพบได้โดยใช้สูตร

โดยที่ s= คือพื้นที่หน้าตัดของเส้นลวด ที่ความแรงปัจจุบัน I ในช่วงเวลา t ปริมาณความร้อน Q จะถูกปล่อยออกมาในตัวนำ:

ในกรณีนี้ แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมเส้นลวดจะเท่ากับ:

ความต้านทานของทองแดง:

p1=0.017 ไมโครโอห์ม*ม.=1.7*10 -8 โอห์ม*ม

ความต้านทานของเหล็ก:

p2=10 -7 โอห์ม*ม

เนื่องจากสายไฟเชื่อมต่อเป็นอนุกรมความแรงของกระแสในสายไฟจึงเท่ากันและในช่วงเวลา t ปริมาณความร้อน Q1 และ Q2 จะถูกปล่อยออกมา:

12. มีขดลวดกลมซึ่งมีกระแสอยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ ระนาบของขดลวดตั้งฉากกับเส้นสนาม พิสูจน์ว่าแรงผลลัพธ์ที่กระทำต่อวงจรจากสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์

เนื่องจากขดลวดทรงกลมที่มีกระแสอยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ จึงถูกกระทำโดยแรงแอมแปร์ ตามสูตร dF=I ผลลัพธ์ของแรงแอมแปร์ที่กระทำต่อขดลวดที่มีกระแสไฟฟ้าจะถูกกำหนดโดย:

เมื่อทำการอินทิกรัลตามวงจรที่กำหนดกับกระแส I เนื่องจากสนามแม่เหล็กมีความสม่ำเสมอ เวกเตอร์ B จึงสามารถถูกนำออกจากใต้อินทิกรัลได้ และงานจะลดลงเหลือแค่การคำนวณอินทิกรัลเวกเตอร์เท่านั้น อินทิกรัลนี้แสดงถึงสายโซ่ปิดของเวกเตอร์พื้นฐาน dL ดังนั้นมันจึงเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่า F=0 นั่นคือ แรงแอมแปร์ที่ได้จะเป็นศูนย์ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ

13. ขดลวดสั้นที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3 ซม. มี 90 รอบ มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน ความแรงของสนามแม่เหล็กที่สร้างขึ้นโดยกระแสบนแกนของขดลวดที่ระยะ 3 ซม. จากขดลวดคือ 40 A/m กำหนดกระแสในขดลวด

เมื่อพิจารณาว่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กที่จุด A เป็นการซ้อนทับของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กที่สร้างขึ้นโดยแต่ละรอบของขดลวดแยกจากกัน:

ในการหาเทิร์น B เราใช้กฎ Biot-Savart-Laplace

โดยที่ dBturn คือการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของสนามที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบปัจจุบัน IDL ที่จุดที่กำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี r ให้เราเลือกองค์ประกอบ dL ที่ส่วนท้ายแล้ววาดรัศมีเวกเตอร์ r จากนั้นไปยังจุด A เราจะกำหนดทิศทางเวกเตอร์ dBturn ตามกฎของสว่าน

ตามหลักการซ้อนทับ:

โดยที่จะมีการบูรณาการกับองค์ประกอบทั้งหมดของ dLturn ให้เราแยก dBเทิร์นออกเป็นสององค์ประกอบ dBเทิร์น(II) - ขนานกับระนาบของวงแหวน และ dBเทิร์น(I) - ตั้งฉากกับระนาบของวงแหวน. แล้ว

สังเกตเห็นว่า ด้วยเหตุผลของความสมมาตรและเวกเตอร์ dBturn(I) นั้นมีทิศทางร่วม เราจึงแทนที่การรวมเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์:

โดยที่ dBturn(I) =dBturn*cosb และ

เนื่องจาก dl ตั้งฉากกับ r

ลองลดลง 2p และแทนที่ cosb ด้วย R/r1

ขอแสดง I จากตรงนี้ โดยรู้ว่า R=D/2

ตามสูตรการเชื่อมต่อการเหนี่ยวนำแม่เหล็กและความแรงของสนามแม่เหล็ก:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากภาพวาด:

14. อิเล็กตรอนบินเข้าไปในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอในทิศทางตั้งฉากกับเส้นแรงด้วยความเร็ว 10۰10 6 m/s และเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งวงกลมที่มีรัศมี 2.1 ซม. จงหาการเหนี่ยวนำของสนามแม่เหล็ก

อิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอจะถูกกระทำโดยแรงลอเรนซ์ที่ตั้งฉากกับความเร็วของอิเล็กตรอน และพุ่งเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม:

เนื่องจากมุมระหว่าง v และฉันคือ 90 0:

เนื่องจากแรง Fl มุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลม และอิเล็กตรอนเคลื่อนที่รอบวงกลมภายใต้อิทธิพลของแรงนี้ ดังนั้น

ให้เราแสดงการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก:

15. วางกรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 12 ซม. ทำด้วยลวดทองแดงในสนามแม่เหล็ก การเหนี่ยวนำแม่เหล็กจะแปรผันไปตามกฎ B = B 0 · Sin (ωt) โดยที่ B 0 = 0.01 T , ω = 2 · π/ T และ T=0.02 วิ ระนาบของเฟรมตั้งฉากกับทิศทางของสนามแม่เหล็ก ค้นหาค่าแรงเคลื่อนไฟฟ้าสูงสุด การเหนี่ยวนำเกิดขึ้นในเฟรม

พื้นที่ของกรอบสี่เหลี่ยม S=a 2 การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็ก dj เมื่อระนาบของเฟรมตั้งฉาก dj=SdB

แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำถูกกำหนด

E จะมีค่าสูงสุดที่ cos(wt)=1

ในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ แรงที่กระทำต่ออนุภาคมีประจุจะคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง ดังนั้นการเคลื่อนที่ของอนุภาคดังกล่าวจึงคล้ายคลึงกับการเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงของโลกโดยสิ้นเชิงโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคในกรณีนี้แบนราบและอยู่ในระนาบที่มีเวกเตอร์ของความเร็วเริ่มต้นของอนุภาคและความแรงของสนามไฟฟ้า

ศักย์สนามไฟฟ้าสถิต สำนวนทั่วไปเกี่ยวกับศักยภาพของความตึงเครียด

ศักย์ φ ณ จุดใดๆ ในสนามไฟฟ้าสถิตคือปริมาณทางกายภาพที่กำหนดโดยพลังงานศักย์ของประจุบวกหนึ่งหน่วยที่วาง ณ จุดนี้ ศักยภาพของสนามที่สร้างขึ้นโดยประจุจุด Q เท่ากับ

ศักย์ไฟฟ้าคือปริมาณทางกายภาพที่กำหนดโดยงานที่ทำเพื่อย้ายประจุไฟฟ้าบวกหนึ่งหน่วย เมื่อประจุไฟฟ้าลบออกจากจุดที่กำหนดในสนามไปยังจุดอนันต์ งานนี้มีค่าเท่ากับงานที่ทำโดยแรงภายนอก (ต่อแรงของสนามไฟฟ้าสถิต) เพื่อย้ายประจุบวกหนึ่งหน่วยจากอนันต์ไปยังจุดที่กำหนดในสนาม

หน่วยของศักย์ไฟฟ้าคือโวลต์ (V): 1 V เท่ากับศักย์ไฟฟ้าจุดหนึ่งในสนามซึ่งประจุ 1 C มีพลังงานศักย์ 1 J (1 V = 1 J/C) เมื่อคำนึงถึงมิติของโวลต์ จะเห็นได้ว่าหน่วยความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่แนะนำไปก่อนหน้านี้ย่อมเท่ากับ 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C ม.)=1 โวลต์/ม.

จากสูตร (3) และ (4) เป็นไปตามว่าหากสนามถูกสร้างขึ้นด้วยประจุหลายอัน ดังนั้นศักยภาพของสนามที่กำหนดของระบบประจุจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของศักยภาพของสนามของประจุเหล่านี้ทั้งหมด:

ความเข้มที่จุดใดๆ ของสนามไฟฟ้าจะเท่ากับความชันศักย์ ณ จุดนี้ โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เครื่องหมายลบแสดงว่าแรงดันไฟฟ้า E มุ่งไปในทิศทางที่ศักย์ไฟฟ้าลดลง

E = - ผู้สำเร็จการศึกษาพี = - N พี

เพื่อสร้างการเชื่อมโยงระหว่างลักษณะแรงของสนามไฟฟ้า - ความเข้มและลักษณะพลังงาน - ศักย์ ลองพิจารณางานเบื้องต้นของแรงสนามไฟฟ้าในการกระจัดที่น้อยที่สุดของจุดประจุ q: dA = q E dl งานเดียวกันคือ เท่ากับการลดลงของพลังงานศักย์ของประจุ q: dA = - dWп = - q dphi โดยที่ dphi คือการเปลี่ยนแปลงของศักย์สนามไฟฟ้าตลอดความยาวการกระจัด dl เมื่อเท่ากับด้านขวาของนิพจน์ เราได้รับ: E dl = -d phi หรือในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

เช่น dx + เอ๋ dy + Ez dz = -d fi

โดยที่ Ex, Ey, Ez คือเส้นโครงของเวกเตอร์แรงดึงบนแกนของระบบพิกัด เนื่องจากนิพจน์เป็นผลต่างรวม ดังนั้นสำหรับการประมาณการเวกเตอร์ความเข้มที่เรามี

การแสดงออกในวงเล็บคือการไล่ระดับสีของค่า phi ที่อาจเกิดขึ้น

หลักการของการซ้อนทับเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของเขตข้อมูล นิพจน์ทั่วไปสำหรับความแรงและศักย์ของสนามที่สร้างขึ้นที่จุดที่มีเวกเตอร์รัศมีโดยระบบประจุแบบจุดซึ่งอยู่ที่จุดที่มีพิกัด (ดูย่อหน้าที่ 4)

หากเราพิจารณาหลักการของการซ้อนทับในความหมายทั่วไปที่สุดแล้วผลรวมของอิทธิพลของแรงภายนอกที่กระทำต่ออนุภาคจะเป็นผลรวมของค่าแต่ละค่าของแต่ละค่า หลักการนี้ใช้กับระบบเชิงเส้นต่างๆ เช่น ระบบซึ่งพฤติกรรมสามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์เชิงเส้น ตัวอย่างจะเป็นสถานการณ์ง่ายๆ ที่คลื่นเชิงเส้นแพร่กระจายในตัวกลางเฉพาะ ซึ่งในกรณีนี้คุณสมบัติของคลื่นจะถูกรักษาไว้แม้จะอยู่ภายใต้อิทธิพลของการรบกวนที่เกิดจากตัวคลื่นเองก็ตาม คุณสมบัติเหล่านี้ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมเฉพาะของผลกระทบขององค์ประกอบที่กลมกลืนกันแต่ละส่วน

หลักการของการซ้อนทับสามารถใช้สูตรอื่นที่เทียบเท่ากับที่กล่าวมาข้างต้นโดยสิ้นเชิง:

· ปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคทั้งสองจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการนำอนุภาคที่สามเข้ามา ซึ่งจะโต้ตอบกับอนุภาคสองตัวแรกด้วย

· พลังงานอันตรกิริยาของอนุภาคทั้งหมดในระบบหลายอนุภาคเป็นเพียงผลรวมของพลังงานอันตรกิริยาคู่ระหว่างคู่อนุภาคที่เป็นไปได้ทั้งหมด ไม่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคในระบบมากนัก

· สมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบหลายอนุภาคมีลักษณะเป็นเส้นตรงในจำนวนอนุภาค

6 การไหลเวียนของเวกเตอร์แรงดันไฟฟ้าเป็นงานที่ทำโดยแรงไฟฟ้าเมื่อเคลื่อนที่ประจุบวกหนึ่งประจุไปตามเส้นทางปิด L

เนื่องจากการทำงานของแรงสนามไฟฟ้าสถิตในวงปิดเป็นศูนย์ (งานของแรงสนามไฟฟ้าศักย์) ดังนั้นการไหลเวียนของความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตในวงปิดจึงเป็นศูนย์

ศักยภาพของสนาม การทำงานของสนามไฟฟ้าสถิตใด ๆ เมื่อเคลื่อนย้ายวัตถุที่มีประจุจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของวิถีเช่นเดียวกับการทำงานของสนามที่สม่ำเสมอ บนวิถีปิด การทำงานของสนามไฟฟ้าสถิตจะเป็นศูนย์เสมอ ฟิลด์ที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าศักยภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สนามไฟฟ้าสถิตของประจุแบบจุดมีลักษณะที่เป็นไปได้
งานในสาขาที่มีศักยภาพสามารถแสดงออกได้ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ สูตรนี้ใช้ได้กับสนามไฟฟ้าสถิตใดๆ

7-11ถ้าเส้นสนามของสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอซึ่งมีความเข้มทะลุผ่านพื้นที่ S ใดพื้นที่หนึ่ง การไหลของเวกเตอร์ความเข้ม (ก่อนหน้านี้เราเรียกว่าจำนวนเส้นสนามผ่านพื้นที่) จะถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ En คือผลคูณของเวกเตอร์และค่าปกติของพื้นที่ที่กำหนด (รูปที่ 2.5)

ข้าว. 2.5

จำนวนเส้นแรงทั้งหมดที่ผ่านพื้นผิว S เรียกว่าฟลักซ์ของเวกเตอร์ความเข้ม FU ที่ผ่านพื้นผิวนี้

ในรูปแบบเวกเตอร์ เราสามารถเขียนผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว โดยที่ vector

ดังนั้น ฟลักซ์เวกเตอร์จึงเป็นสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของมุม α อาจเป็นได้ทั้งค่าบวกหรือลบ

ลองดูตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 2.6 และ 2.7

	ข้าว. 2.6	ข้าว. 2.7

สำหรับรูปที่ 2.6 พื้นผิว A1 ถูกล้อมรอบด้วยประจุบวก และการไหลตรงนี้มุ่งออกด้านนอก กล่าวคือ พื้นผิว A2– ถูกล้อมรอบด้วยประจุลบ โดยตรงนี้ประจุจะพุ่งเข้าด้านใน ฟลักซ์รวมที่ผ่านพื้นผิว A เป็นศูนย์

สำหรับรูปที่ 2.7 ฟลักซ์จะไม่เป็นศูนย์หากประจุทั้งหมดภายในพื้นผิวไม่เป็นศูนย์ สำหรับโครงร่างนี้ ฟลักซ์ที่ผ่านพื้นผิว A เป็นลบ (นับจำนวนเส้นสนาม)

ดังนั้นฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดันไฟฟ้าจึงขึ้นอยู่กับประจุ นี่คือความหมายของทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์

ทฤษฎีบทของเกาส์

กฎคูลอมบ์ที่สร้างขึ้นจากการทดลองและหลักการซ้อนทับทำให้สามารถอธิบายสนามไฟฟ้าสถิตของระบบประจุที่กำหนดในสุญญากาศได้อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติของสนามไฟฟ้าสถิตสามารถแสดงออกมาในรูปแบบอื่นที่กว้างกว่า โดยไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องสนามคูลอมบ์ที่มีประจุแบบจุด

ให้เราแนะนำปริมาณทางกายภาพใหม่ที่แสดงลักษณะของสนามไฟฟ้า – การไหล Φ ของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้า ปล่อยให้มีพื้นที่ค่อนข้างเล็ก ∆S ในพื้นที่ที่เกิดสนามไฟฟ้า ผลคูณของโมดูลัสเวกเตอร์โดยพื้นที่ ΔS และโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์และเส้นปกติของไซต์เรียกว่าฟลักซ์เบื้องต้นของเวกเตอร์ความเข้มผ่านไซต์ ΔS (รูปที่ 1.3.1):

ตอนนี้เราลองพิจารณาพื้นผิวปิด S ใดๆ ก็ได้ ถ้าเราแบ่งพื้นผิวนี้ออกเป็นส่วนเล็กๆ ΔSi ให้พิจารณากระแสเบื้องต้น ΔΦi ของสนามผ่านพื้นที่เล็กๆ เหล่านี้ แล้วสรุปผลเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือการไหล Φ ของ เวกเตอร์ผ่านพื้นผิวปิด S (รูปที่ 1.3.2 ):

ทฤษฎีบทของเกาส์กล่าวว่า:

การไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้ หารด้วยค่าคงที่ทางไฟฟ้า ε0

โดยที่ R คือรัศมีของทรงกลม ฟลักซ์ Φ ผ่านพื้นผิวทรงกลมจะเท่ากับผลคูณของ E และพื้นที่ของทรงกลม 4πR2 เพราะฉะนั้น,

ตอนนี้ให้เราล้อมรอบจุดประจุด้วยพื้นผิวปิด S ตามอำเภอใจ และพิจารณาทรงกลมเสริมที่มีรัศมี R0 (รูปที่ 1.3.3)

พิจารณากรวยที่มีมุมตันเล็กๆ ΔΩ ที่ส่วนปลาย กรวยนี้จะไฮไลท์พื้นที่เล็กๆ ΔS0 บนทรงกลม และพื้นที่ ΔS บนพื้นผิว S ฟลักซ์เบื้องต้น ΔΦ0 และ ΔΦ ผ่านพื้นที่เหล่านี้เหมือนกัน จริงหรือ,

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่าหากพื้นผิวปิด S ไม่ครอบคลุมประจุจุด q ดังนั้นการไหล Φ = 0 กรณีดังกล่าวแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.3.2. เส้นแรงทั้งหมดของสนามไฟฟ้าของประจุจุดทะลุพื้นผิวปิด S ทะลุผ่านได้ ไม่มีประจุภายในพื้นผิว S ดังนั้นในบริเวณนี้ เส้นสนามจะไม่ขาดหรือเกิดขึ้น

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทของเกาส์ในกรณีของการกระจายประจุตามอำเภอใจเป็นไปตามหลักการซ้อนทับ สนามไฟฟ้าของการกระจายประจุใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าของประจุจุดได้ การไหล Φ ของระบบประจุผ่านพื้นผิวปิดตามอำเภอใจ S จะเป็นผลรวมของการไหล Φi ของสนามไฟฟ้าของประจุแต่ละประจุ หากประจุฉีเกิดขึ้นภายในพื้นผิว S มันจะมีส่วนช่วยในการไหลเท่ากับถ้าประจุนี้อยู่นอกพื้นผิว ดังนั้นการมีส่วนร่วมของสนามไฟฟ้าต่อการไหลจะเท่ากับศูนย์

ดังนั้นทฤษฎีบทของเกาส์จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของเกาส์เป็นผลมาจากกฎของคูลอมบ์และหลักการของการซ้อนทับ แต่ถ้าเราถือว่าข้อความที่อยู่ในทฤษฎีบทนี้เป็นสัจพจน์ดั้งเดิม ผลที่ตามมาก็คือกฎของคูลอมบ์ ดังนั้น ทฤษฎีบทของเกาส์บางครั้งจึงถูกเรียกว่ารูปแบบทางเลือกของกฎของคูลอมบ์

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ ในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะคำนวณความแรงของสนามไฟฟ้ารอบๆ ตัวมีประจุได้อย่างง่ายดาย หากการกระจายประจุที่กำหนดมีความสมมาตรอยู่บ้าง และสามารถเดาโครงสร้างทั่วไปของสนามได้ล่วงหน้า

ตัวอย่างคือปัญหาในการคำนวณสนามของทรงกระบอกยาวที่มีผนังบาง กลวง และมีประจุสม่ำเสมอของรัศมี R ปัญหานี้มีความสมมาตรตามแนวแกน ด้วยเหตุผลของความสมมาตร สนามไฟฟ้าจะต้องมุ่งไปตามรัศมี ดังนั้น ในการใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ ขอแนะนำให้เลือกพื้นผิวปิด S ในรูปแบบของทรงกระบอกโคแอกเซียลที่มีรัศมี r และความยาว l ปิดที่ปลายทั้งสองข้าง (รูปที่ 1.3.4)

สำหรับ r ≥ R ฟลักซ์ทั้งหมดของเวกเตอร์ความเข้มจะผ่านพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 2πrl เนื่องจากฟลักซ์ผ่านฐานทั้งสองเป็นศูนย์ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ให้:

ผลลัพธ์นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรัศมี R ของกระบอกสูบที่มีประจุ ดังนั้นจึงใช้กับสนามของเส้นใยที่มีประจุสม่ำเสมอยาวด้วย

ในการหาความแรงของสนามไฟฟ้าภายในกระบอกสูบที่มีประจุ จำเป็นต้องสร้างพื้นผิวปิดสำหรับเคส r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของเกาส์เพื่อกำหนดสนามไฟฟ้าในบางกรณี เมื่อการกระจายตัวของประจุมีความสมมาตรบางประเภท เช่น สมมาตรรอบศูนย์กลาง ระนาบ หรือแกน ในแต่ละกรณีนี้ จำเป็นต้องเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนแบบปิดที่มีรูปร่างเหมาะสม ตัวอย่างเช่น ในกรณีของสมมาตรส่วนกลาง จะสะดวกในการเลือกพื้นผิวแบบเกาส์เซียนในรูปทรงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดสมมาตร ด้วยความสมมาตรตามแนวแกน ต้องเลือกพื้นผิวปิดในรูปแบบของทรงกระบอกโคแอกเชียลซึ่งปิดที่ปลายทั้งสองข้าง (ดังตัวอย่างที่กล่าวไว้ข้างต้น) หากการกระจายตัวของประจุไม่มีความสมมาตรใดๆ และไม่สามารถคาดเดาโครงสร้างทั่วไปของสนามไฟฟ้าได้ การใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ก็ไม่สามารถทำให้ปัญหาการกำหนดความแรงของสนามไฟฟ้าง่ายขึ้นได้

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของการกระจายประจุแบบสมมาตร - การกำหนดสนามของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอ (รูปที่ 1.3.5)

ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้เลือกพื้นผิวเกาส์เซียน S ในรูปทรงกระบอกที่มีความยาวพอสมควร ปิดที่ปลายทั้งสองข้าง แกนของกระบอกสูบตั้งฉากกับระนาบที่มีประจุและปลายของมันจะอยู่ห่างจากระนาบเดียวกัน เนื่องจากความสมมาตร สนามของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอจึงต้องมีทิศทางตามแนวปกติทุกที่ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ให้:

โดยที่ σ คือความหนาแน่นประจุของพื้นผิว เช่น ประจุต่อหน่วยพื้นที่

ผลลัพธ์ที่ได้สำหรับสนามไฟฟ้าของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอยังใช้ในกรณีของพื้นที่ประจุแบนที่มีขนาดจำกัดอีกด้วย ในกรณีนี้ ระยะทางจากจุดที่กำหนดความแรงของสนามไฟฟ้าไปยังพื้นที่ที่มีประจุควรน้อยกว่าขนาดของพื้นที่อย่างมาก

และตารางงานวันที่ 7 – 11

1. ความเข้มของสนามไฟฟ้าสถิตที่เกิดจากพื้นผิวทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ

ปล่อยให้พื้นผิวทรงกลมรัศมี R (รูปที่ 13.7) มีประจุกระจายสม่ำเสมอ q เช่น ความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว ณ จุดใดๆ บนทรงกลมจะเท่ากัน

ก. ให้เราล้อมพื้นผิวทรงกลมของเราไว้ในพื้นผิวสมมาตร S ด้วยรัศมี r>R ฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงที่ผ่านพื้นผิว S จะเท่ากับ

โดยทฤษฎีบทของเกาส์

เพราะฉะนั้น

ค. ให้เราวาดผ่านจุด B ซึ่งอยู่ภายในพื้นผิวทรงกลมที่มีประจุ ซึ่งเป็นทรงกลม S ที่มีรัศมี r

2. สนามไฟฟ้าสถิตของลูกบอล

ขอให้เรามีลูกบอลที่มีรัศมี R ซึ่งมีประจุสม่ำเสมอและมีความหนาแน่นของปริมาตร

ณ จุดใดก็ตามที่ A นอนอยู่นอกลูกบอลในระยะห่าง r จากศูนย์กลางของมัน (r>R) สนามของมันจะคล้ายกับสนามประจุจุดที่อยู่ตรงกลางของลูกบอล แล้วออกจากบอล

(13.10)

และบนพื้นผิว (r=R)

ที่จุด B ซึ่งนอนอยู่ในลูกบอลห่างจากศูนย์กลาง r (r>R) สนามจะถูกกำหนดโดยประจุที่อยู่ภายในทรงกลมที่มีรัศมี r เท่านั้น ฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงผ่านทรงกลมนี้เท่ากับ

ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทของเกาส์

โดยทฤษฎีบทของเกาส์

จากสองนิพจน์สุดท้าย เราจะกำหนดความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยเธรดที่มีประจุสม่ำเสมอ:

ปล่อยให้เครื่องบินมีขอบเขตอนันต์และมีประจุต่อหน่วยพื้นที่เท่ากับ σ จากกฎสมมาตร สนามจะพุ่งไปทุกที่ในแนวตั้งฉากกับระนาบ และหากไม่มีประจุภายนอกอื่น สนามทั้งสองด้านของระนาบจะต้องเท่ากัน ให้เราจำกัดส่วนหนึ่งของระนาบประจุไว้ที่กล่องทรงกระบอกจินตภาพ เพื่อให้กล่องถูกตัดครึ่งและส่วนประกอบของกล่องตั้งฉากกัน และฐานทั้งสองซึ่งแต่ละฐานมีพื้นที่ S จะขนานกับระนาบที่มีประจุ (รูปที่ 1.10)

12. สนามของทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ.

ปล่อยให้สนามไฟฟ้าถูกสร้างขึ้นโดยประจุ ถามกระจายสม่ำเสมอบนพื้นผิวทรงกลมที่มีรัศมี ร(รูปที่ 190) เพื่อคำนวณศักย์สนาม ณ จุดใดจุดหนึ่งซึ่งอยู่ในระยะไกล รจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมจำเป็นต้องคำนวณงานที่ทำโดยสนามเมื่อย้ายหน่วยประจุบวกจากจุดที่กำหนดไปยังอนันต์ ก่อนหน้านี้ เราได้พิสูจน์ว่าความแรงของสนามไฟฟ้าของทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอภายนอกนั้นเทียบเท่ากับสนามของประจุจุดที่อยู่ตรงกลางของทรงกลม ดังนั้น เมื่ออยู่นอกทรงกลม ศักย์สนามของทรงกลมจะตรงกับศักย์สนามของประจุแบบจุด

φ (ร)=ถาม 4πε 0ร . (1)

โดยเฉพาะบนพื้นผิวทรงกลมมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากับ φ 0=ถาม 4πε 0ร- ไม่มีสนามไฟฟ้าสถิตภายในทรงกลม ดังนั้นงานที่ทำเพื่อย้ายประจุจากจุดที่อยู่ภายในทรงกลมไปยังพื้นผิวจะเป็นศูนย์ ก= 0 ดังนั้นความต่างศักย์ระหว่างจุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ Δ ด้วย φ = -ก= 0 ดังนั้น ทุกจุดภายในทรงกลมจึงมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากันซึ่งสอดคล้องกับศักย์ของพื้นผิว φ 0=ถาม 4πε 0ร .

ดังนั้นการกระจายศักย์สนามของทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอจึงมีรูปแบบ (รูปที่ 191)

φ (ร)=⎧⎩⎨ถาม 4πε 0ร, npu ร<อาร์คิว 4πε 0ร, npu ร>ร . (2)

โปรดทราบว่าไม่มีสนามอยู่ภายในทรงกลม และศักยภาพนั้นไม่เป็นศูนย์! ตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนว่าศักยภาพถูกกำหนดโดยค่าของสนามจากจุดที่กำหนดไปจนถึงอนันต์

ตัวอย่างที่ 1 เกลียวที่บางและยาวเป็นอนันต์จะถูกชาร์จอย่างสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นประจุเชิงเส้น λ - ค้นหาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต อี(ร) ในระยะห่างที่กำหนด รจากด้าย

มาวาดรูปกันเถอะ:

การวิเคราะห์:

เพราะ เธรดไม่มีประจุแบบจุด แต่ใช้วิธี DI ได้ ให้เราเลือกองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของความยาวของตัวนำ ดลซึ่งจะมีการเรียกเก็บเงิน ดีคิว=ดลแล- ให้เราคำนวณความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแต่ละองค์ประกอบของตัวนำที่จุดใดก็ได้ A ซึ่งอยู่ห่างจากเกลียว ก- เวกเตอร์จะมุ่งไปตามเส้นตรงที่เชื่อมต่อประจุจุดกับจุดสังเกต เราได้รับฟิลด์ผลลัพธ์ตามเส้นปกติไปจนถึงเธรดตามแกน x มีความจำเป็นต้องค้นหาค่า เดเอ็กซ์: เดอี x =ดีอีโคซ่า .

ตามคำจำกัดความ:

.

ขนาด ดล, รเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องเมื่อตำแหน่งขององค์ประกอบเปลี่ยนแปลง ดล- ให้เราแสดงมันผ่านปริมาณ α:

ที่ไหน ดา– การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของมุม α อันเป็นผลมาจากการหมุนของเวกเตอร์รัศมีสัมพันธ์กับจุด A เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเกลียวโดย ดล- แล้ว ดล=ร 2 ดา/เอ- เมื่อขนย้าย ดลจากจุด O มุมจะเปลี่ยนจาก 0 0 เป็น π/2

เพราะฉะนั้น .

การตรวจสอบขนาด: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;

คำตอบ:.

วิธีที่ 2

เนื่องจากความสมมาตรตามแนวแกนของการกระจายประจุ จุดทั้งหมดที่อยู่ในระยะห่างเท่ากันจากเกลียวจึงเท่ากันและความแรงของสนามแม่เหล็กในจุดเหล่านั้นจะเท่ากันนั่นคือ อี(ร)=const โดยที่ ร- ระยะห่างจากจุดสังเกตถึงด้าย ทิศทาง อีที่จุดเหล่านี้จะเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเส้นปกติกับด้ายเสมอ โดยทฤษฎีบทของเกาส์ ที่ไหน ถาม-ประจุที่ปกคลุมไปด้วยพื้นผิว – S’ ซึ่งใช้คำนวณฟลักซ์ เราเลือกในรูปของทรงกระบอกที่มีรัศมี a และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่มีเกลียว โดยคำนึงถึงว่าเป็นเรื่องปกติที่พื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบ เราได้รับการไหล:

เพราะ อี=const.

สด้านข้าง - บน 2π .

อีกด้านหนึ่ง อี 2πаН=Q/ε 0 ,

ที่ไหน เอชเอช=คิว.

คำตอบ:อี=λ /4πε 0 ก.

ตัวอย่างที่ 2- คำนวณแรงดึงของระนาบอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว σ .

เส้นแรงดึงจะตั้งฉากและพุ่งไปทั้งสองทิศทางจากระนาบ ในฐานะที่เป็นพื้นผิวปิดเราเลือกพื้นผิวของทรงกระบอกซึ่งมีฐานขนานกับระนาบและแกนของทรงกระบอกตั้งฉากกับระนาบ เพราะ เครื่องกำเนิดของทรงกระบอกขนานกับเส้นแรงดึง (α=0, cos α=1 ), จากนั้นฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงที่ผ่านพื้นผิวด้านข้างจะเป็นศูนย์ และฟลักซ์รวมที่ผ่านพื้นผิวทรงกระบอกปิดจะเท่ากับผลรวมของฟลักซ์ที่ผ่านฐานของมัน ประจุที่อยู่ภายในพื้นผิวปิดเท่ากับ σ สขั้นพื้นฐาน , แล้ว:

เอฟ อี = 2 อีส main หรือ Ф E = = จากนั้น E = =

คำตอบ: E = ไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของทรงกระบอก และมีค่าเท่ากันที่ระยะห่างจากระนาบ สนามของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอนั้นมีความสม่ำเสมอ

ตัวอย่างที่ 3- คำนวณสนามของระนาบที่มีประจุอนันต์สองระนาบ โดยมีความหนาแน่นของพื้นผิว +σ และ –σ ตามลำดับ

อี = อี = 0 ; จ = อี + + อี - = .

คำตอบ:ความแรงของสนามที่เกิดขึ้นในพื้นที่ระหว่างระนาบเท่ากับ E = และนอกปริมาตรที่จำกัดโดยระนาบจะเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 4- คำนวณความแรงของสนามแม่เหล็กของพื้นผิวทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอซึ่งมีความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว +σ ร.

นั่นและ

ถ้าร< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

คำตอบ:.

ตัวอย่างที่ 5- คำนวณความเข้มประจุตามปริมาตรด้วยความหนาแน่นของปริมาตร ρ , รัศมีลูกบอล ร.

ลองใช้ทรงกลมเป็นพื้นผิวปิด

ถ้า ร ≥รแล้ว = 4πr 2 E; อี=

ถ้าร< R , то сфера радиусом รครอบคลุมประจุ q" เท่ากับ q"= (เนื่องจากประจุสัมพันธ์กันเป็นปริมาตร และปริมาตรเป็นลูกบาศก์รัศมี)

จากนั้นตามจุดของเกาส์

คำตอบ:- ภายในลูกบอลที่มีประจุสม่ำเสมอ แรงดันไฟฟ้าจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงกับระยะทาง รจากศูนย์กลางและด้านนอก - ลดลงในสัดส่วนผกผัน ร 2 .

ตัวอย่างหมายเลข 6- คำนวณความแรงของสนามแม่เหล็กของทรงกระบอกทรงกลมอนันต์ที่มีความหนาแน่นประจุเชิงเส้น λ , รัศมี ร.

ฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงผ่านปลายกระบอกสูบคือ 0 และผ่านพื้นผิวด้านข้าง:

เพราะ , หรือ ,

แล้ว (ถ้า r > R)

ถ้า แลม > 0, E > 0, เวกเตอร์ Ē หันออกจากทรงกระบอก

ถ้า แล< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

ถ้าร< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

คำตอบ:(ร > ร); อี = 0 (R>ร) ไม่มีสนามภายในกระบอกสูบทรงกลมอันไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีประจุสม่ำเสมอเหนือพื้นผิว

ตัวอย่างที่ 7- สนามไฟฟ้าถูกสร้างขึ้นโดยระนาบขนานกันที่ยาวไม่สิ้นสุดจำนวน 2 ระนาบ โดยมีระนาบประจุที่พื้นผิว 2 nC/m 2 และ 4 nC/m 2 กำหนดความแรงของสนามไฟฟ้าในภูมิภาค I, II, III สร้างกราฟการพึ่งพา Ē (ร) .

เครื่องบินแบ่งพื้นที่ออกเป็น 3 ส่วน

ทิศทาง Ē ของสนามผลลัพธ์นั้นหันไปทางสนามที่ใหญ่กว่า

ในการฉายภาพลงบน ร:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

กำหนดการ Ē (ร)

การเลือกขนาด: อี 2 =2 อี 1

จ 1 = 1; จ 2 =2

คำตอบ:อีผม = –345 โวลต์/เมตร; อีІ ฉัน = –172 V/m; อีฉัน II = 345 โวลต์/ม.

ตัวอย่างหมายเลข 8- ไม้มะเกลือแข็งลูกมีรัศมี ร= 5 ซม. มีประจุกระจายสม่ำเสมอโดยมีความหนาแน่นของปริมาตร ρ =10 นาโนซี/ลูกบาศก์เมตร กำหนดความแรงของสนามไฟฟ้าที่จุด: 1) ที่ระยะไกล ร 1 = 3 ซม. จากศูนย์กลางของทรงกลม 2) บนพื้นผิวของทรงกลม; 3) ในระยะไกล ร 2 = 10 ซม. จากศูนย์กลางของทรงกลม

ในการคำนวณสนามที่สร้างขึ้นโดยประจุซึ่งมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวทรงกลม ทรงกระบอก หรือแบน จะใช้ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี–เกาส์ (หัวข้อ 2.2)

วิธีการคำนวณฟิลด์โดยใช้ทฤษฎีบท

ออสโตรกราดสกี้ - เกาส์.

1) เลือกพื้นผิวปิดโดยพลการที่ล้อมรอบตัวเครื่องที่มีประจุ

2) เราคำนวณการไหลของเวกเตอร์แรงดึงผ่านพื้นผิวนี้

3) เราคำนวณค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวนี้

4) เราแทนที่ค่าที่คำนวณได้เป็นทฤษฎีบทของเกาส์และแสดงความแข็งแกร่งของสนามไฟฟ้าสถิต

ตัวอย่างการคำนวณบางช่อง

สนามของทรงกระบอกอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอ (เกลียว).

ปล่อยให้ทรงกระบอกอนันต์มีรัศมี ร มีประจุสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นประจุเชิงเส้น + τ (รูปที่ 16)

จากการพิจารณาความสมมาตร เส้นความแรงของสนาม ณ จุดใดๆ จะถูกกำกับไปตามเส้นตรงแนวรัศมีที่ตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอก

เนื่องจากเป็นพื้นผิวปิด เราเลือกโคแอกเซียลทรงกระบอกที่มีรัศมีที่กำหนด (ที่มีแกนสมมาตรร่วม) ร และความสูง ℓ .

ลองคำนวณฟลักซ์เวกเตอร์กัน ผ่านพื้นผิวนี้:

,

ที่ไหน ส ขั้นพื้นฐาน , ส ด้านข้าง– พื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

ดังนั้นฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงที่ผ่านพื้นที่ของฐานจึงเป็นศูนย์

ประจุรวมที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวที่เลือก:

.

การแทนที่ทุกอย่างลงในทฤษฎีบทเกาส์ โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนั้นด้วย ε = 1 เราได้รับ:

.

ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่สร้างขึ้นโดยกระบอกสูบที่มีประจุสม่ำเสมอยาวเป็นอนันต์หรือเกลียวที่มีประจุสม่ำเสมอยาวเป็นอนันต์ที่จุดที่อยู่ด้านนอก:

, (2.5)

ที่ไหน ร - ระยะทาง จากแกน ทรงกระบอกไปยังจุดที่กำหนด ( ร ≥ ร );

τ - ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น .

ถ้า ร < ร ดังนั้นพื้นผิวปิดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่มีประจุอยู่ภายในดังนั้นในภูมิภาคนี้ อี = 0 เช่น ภายในกระบอกสูบไม่มีสนาม .

สนามของระนาบอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอ

ป ปล่อยให้ระนาบอนันต์ถูกประจุด้วยความหนาแน่นของพื้นผิวคงที่ + σ .

ในฐานะที่เป็นพื้นผิวปิดเราเลือกทรงกระบอกซึ่งมีฐานขนานกับระนาบที่มีประจุและแกนตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 17) เนื่องจากเส้นที่สร้างพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกขนานกับเส้นแรงดึง ฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงที่ผ่านพื้นผิวด้านข้างจึงเป็นศูนย์ การไหลของเวกเตอร์แรงดึงผ่านบริเวณฐานทั้งสอง

.

ประจุรวมที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวที่เลือก:

.

เมื่อแทนทุกอย่างลงในทฤษฎีบทของเกาส์ เราจะได้:

ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอไม่สิ้นสุด

. (2.6)

จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามนั้น อี ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของกระบอกสูบ กล่าวคือ ความแรงของสนามเท่ากันทุกจุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง สนามของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอ เป็นเนื้อเดียวกัน

สนามของสองเส้นขนานอนันต์

เครื่องบินที่มีประจุตรงกันข้าม

ป เครื่องบินมีประจุสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นพื้นผิวที่มีขนาดเท่ากัน + σ และ - σ (รูปที่ 18)

ตามหลักการของการซ้อนทับ

.

จากรูปจะเห็นได้ว่าในพื้นที่ระหว่างระนาบนั้นเส้นแรงมีทิศทางร่วมกันจึงทำให้เกิดความตึงเครียด

. (2.7)

นอกเหนือจากปริมาตรที่เครื่องบินจำกัด สนามที่เพิ่มเข้าไปจะมีทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นความเข้มของผลลัพธ์จึงเป็นศูนย์

ดังนั้นสนามจึงกลายเป็นกระจุกตัวระหว่างระนาบ ผลลัพธ์ที่ได้จะใช้ได้กับระนาบที่มีขนาดจำกัด หากระยะห่างระหว่างระนาบน้อยกว่าพื้นที่ของมันมาก (ตัวเก็บประจุแบบแบน)

หากมีการกระจายประจุของเครื่องหมายเดียวกันที่มีความหนาแน่นพื้นผิวเท่ากันบนระนาบ สนามจะหายไประหว่างแผ่นเปลือกโลก และนอกแผ่นเปลือกโลกจะคำนวณโดยสูตร (2.7)

ความแรงของสนาม

ทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ

สนามที่สร้างขึ้นโดยพื้นผิวทรงกลมรัศมี ร มีประจุด้วยความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว σ , จะมีความสมมาตรจากส่วนกลาง ดังนั้นเส้นความตึงเครียดจึงพุ่งไปตามรัศมีของทรงกลม (รูปที่ 19, a)

เนื่องจากเป็นพื้นผิวปิด เราจึงเลือกทรงกลมที่มีรัศมี ร ซึ่งมีจุดศูนย์กลางร่วมกับทรงกลมมีประจุ

ถ้า ร > ร จากนั้นประจุทั้งหมดจะเข้าสู่พื้นผิว ถาม .

การไหลของเวกเตอร์แรงดึงผ่านพื้นผิวทรงกลม

เมื่อแทนนิพจน์นี้ลงในทฤษฎีบทของเกาส์ เราจะได้:

.

ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตภายนอกทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ:

, (2.8)

ที่ไหน ร - ระยะทาง จากศูนย์กลาง ทรงกลม

จากนี้เห็นได้ชัดว่าสนามนั้นเหมือนกันกับสนามของจุดประจุที่มีขนาดเท่ากันซึ่งวางอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม

ถ้า ร < ร ดังนั้นพื้นผิวปิดจึงไม่มีประจุอยู่ข้างใน ไม่มีสนามภายในทรงกลมที่มีประจุ (รูปที่ 19, ข).

ความแรงของสนามปริมาตร

ลูกบอลที่ชาร์จแล้ว

ป มีลูกบอลรัศมี ร ประจุด้วยความหนาแน่นประจุตามปริมาตรคงที่ ρ .

สนามในกรณีนี้มีความสมมาตรตรงกลาง สำหรับความแรงของสนามแม่เหล็กภายนอกลูกบอล จะได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับในกรณีของทรงกลมมีประจุที่พื้นผิว (2.8)

สำหรับจุดภายในลูกบอล ความตึงจะแตกต่างกัน (รูปที่ 20) พื้นผิวทรงกลมครอบคลุมประจุ

ดังนั้นตามทฤษฎีบทของเกาส์

เมื่อพิจารณาแล้วว่า
เราได้รับ:

ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตภายในลูกบอลที่มีประจุตามปริมาตร

(ร ≤ ร ). (2.9)

.

ปัญหา 2.3 - ในสนามของระนาบที่ยาวเป็นอนันต์ซึ่งมีความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว σ มีก้อนมวลเล็กๆ ห้อยอยู่บนเส้นด้าย ม โดยมีประจุเป็นเครื่องหมายเดียวกับเครื่องบิน ค้นหาประจุของลูกบอลหากด้ายทำมุมกับแนวตั้ง α

สารละลาย. กลับไปที่การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของปัญหา 1.4 ความแตกต่างก็คือในปัญหา 1.4 แรง
คำนวณตามกฎของคูลอมบ์ (1.2) และในปัญหา 2.3 - จากคำจำกัดความของความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต (2.1)
- ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอไม่จำกัดได้มาจากทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์ (2.4)

ป สนามของเครื่องบินมีความสม่ำเสมอและไม่ขึ้นอยู่กับระยะห่างจากเครื่องบิน จากรูป 21:

.

 โปรดทราบ จำเป็นต้องใช้สูตรเพื่อหาแรงที่กระทำต่อประจุที่อยู่ในสนามของประจุแบบกระจาย

,

และความแรงของสนามแม่เหล็กที่เกิดจากประจุแบบกระจายหลายประจุสามารถหาได้โดยใช้หลักการของการทับซ้อน ดังนั้นปัญหาที่ตามมาจึงมีไว้สำหรับการค้นหาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของประจุแบบกระจายโดยใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss

ปัญหา 2.4. คาดการณ์ความแรงของสนามแม่เหล็กภายในและภายนอกแผ่นความหนาที่มีประจุสม่ำเสมอ ง ความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรภายในแผ่น ρ - สร้างกราฟการพึ่งพา อี (ที่ ).

สารละลาย. เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่ระนาบกลางของแผ่นและแกน โอ้ให้เราตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 22, a) ขอให้เราใช้ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์ในการคำนวณความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของระนาบอนันต์ที่มีประจุ

.

จากคำนิยามความหนาแน่นประจุตามปริมาตร

,

แล้วสำหรับความตึงเครียดที่เราได้รับ

.

นี่แสดงว่าสนามภายในจานขึ้นอยู่กับ ที่ - สนามนอกแผ่นคำนวณในทำนองเดียวกัน:

แสดงว่าสนามด้านนอกจานมีความสม่ำเสมอ กราฟความตึงเครียด อี จาก ที่ ในรูป 22 บี.

ปัญหา 2.5. สนามแม่เหล็กนี้ถูกสร้างขึ้นโดยเส้นใยยาวอนันต์สองเส้นที่มีประจุความหนาแน่นประจุเชิงเส้น – τ 1 และ + τ 2 - เธรดนั้นตั้งฉากกัน (รูปที่ 23) ค้นหาความแรงของสนาม ณ จุดที่อยู่ห่างจากกัน ร 1 และ ร 2 จากกระทู้

ร การตัดสินใจ. ให้เราแสดงในรูปความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแต่ละเธรดแยกกัน เวกเตอร์ กำกับ ถึง เธรดแรกเนื่องจากมีประจุลบ เวกเตอร์ กำกับ จาก เธรดที่สองเนื่องจากมีประจุบวก เวกเตอร์ และ ตั้งฉากกัน ดังนั้นผลลัพธ์ของเวกเตอร์ จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก โมดูลเวกเตอร์ และ ถูกกำหนดโดยสูตร (2.5)

โดยอาศัยหลักการซ้อนทับ

.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัญหา 2.6 - สนามไฟฟ้านี้ถูกสร้างขึ้นโดยกระบอกสูบโคแอกเซียลกลวงที่มีประจุยาวไม่สิ้นสุดจำนวน 2 กระบอกและมีรัศมี ร 1 และ ร 2 > ร 1 - ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวเท่ากัน – σ 1 และ + σ 2 - ค้นหาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่จุดต่อไปนี้:

ก) จุด ก ตั้งอยู่ในระยะไกล ง 1 < ร 1 ;

ข) จุด ใน ตั้งอยู่ในระยะไกล ร 1 < ง 2 < ร 2 ;

ค) จุด กับ ตั้งอยู่ในระยะไกล ง 3 > ร 1 > ร 2 .

ระยะทางวัดจากแกนกระบอกสูบ

สารละลาย. กระบอกสูบโคแอกเชียลเป็นกระบอกสูบที่มีแกนสมมาตรร่วมกัน มาวาดภาพและแสดงจุดต่างๆ กัน (รูปที่ 24)

อี ก = 0.

จุด ใน ตั้งอยู่ภายในกระบอกที่ใหญ่กว่า ดังนั้น ณ จุดนี้สนามจะถูกสร้างขึ้นโดยกระบอกที่เล็กกว่าเท่านั้น:

.

ขอให้เราแสดงความหนาแน่นประจุเชิงเส้นในแง่ของความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว ในการทำเช่นนี้เราใช้สูตร (1.4) และ (1.5) ซึ่งเราแสดงค่าธรรมเนียม:

ลองเทียบด้านขวาแล้วรับ:

,

ที่ไหน ส 1 – พื้นที่ผิวของทรงกระบอกแรก

โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่า
ในที่สุดเราก็ได้:

จุด กับ ตั้งอยู่นอกกระบอกสูบทั้งสอง ดังนั้นสนามจึงถูกสร้างขึ้นโดยกระบอกสูบทั้งสอง

.

ตามหลักการซ้อนทับ:

.

โดยคำนึงถึงทิศทางและการคำนวณที่ได้รับข้างต้น เราได้รับ: ปัญหา 2.7 σ 1 และ σ 2 > σ 1 - สนามนี้ถูกสร้างขึ้นโดยระนาบขนานกันที่มีประจุยาวไม่สิ้นสุดจำนวน 2 ลำ ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวเท่ากัน

- ค้นหาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่จุดที่อยู่ระหว่างแผ่นเปลือกโลกและด้านนอกแผ่น แก้ไขปัญหาสำหรับสองกรณี:

ก) จานถูกชาร์จในลักษณะเดียวกัน

สารละลาย. b) แผ่นเปลือกโลกมีประจุตรงข้ามกัน

.

ในรูปแบบเวกเตอร์ ความแรงของสนามผลลัพธ์จะถูกเขียนในลักษณะเดียวกันในทุกกรณี ตามหลักการซ้อนทับ: และ โมดูลเวกเตอร์

คำนวณโดยใช้สูตร (2.6)

ก) หากเครื่องบินถูกชาร์จด้วยชื่อเดียวกัน ระหว่างระนาบความตึงเครียดจะถูกกำกับไปในทิศทางที่ต่างกัน (รูปที่ 26, ก) โมดูลัสของความตึงเครียดที่เกิดขึ้น และ เหนือระนาบแห่งความตึงเครียด

.

มุ่งไปในทิศทางเดียว เนื่องจากสนามของระนาบที่มีประจุอนันต์มีความสม่ำเสมอ กล่าวคือ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระยะห่างจากระนาบ ดังนั้น ณ จุดใดก็ตามทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวาของเครื่องบิน สนามจะเท่ากัน: