การแสดงเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนจริง การดำเนินงานในชุด แถว. ชุดตัวเลข
จำนวนเชิงซ้อนรูปแบบต่อไปนี้มีอยู่: พีชคณิต(x+iy), ตรีโกณมิติ(r(cos+isin )), บ่งชี้(อีกครั้งฉัน ).
จำนวนเชิงซ้อนใดๆ z=x+iy สามารถแสดงบนระนาบ XOU เป็นจุด A(x,y)
ระนาบที่แสดงจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าระนาบของตัวแปรเชิงซ้อน z (เราใส่สัญลักษณ์ z ไว้บนระนาบ)
แกน OX คือแกนจริง เช่น มันมีตัวเลขจริง OU เป็นแกนจินตภาพที่มีจำนวนจินตภาพ
x+iy- รูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
ขอให้เราได้รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
เราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นรูปแบบเริ่มต้น: เช่น
r(คอส+ไอซิน) - รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนตามสูตรของออยเลอร์:
,แล้ว
ซ= อีกครั้ง ฉัน - รูปแบบการเขียนเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
1. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 - การลบ z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. การคูณ z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
- แผนก. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=
จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่แตกต่างกันเฉพาะสัญลักษณ์ของหน่วยจินตภาพเท่านั้น กล่าวคือ z=x+iy (z=x-iy) เรียกว่า คอนจูเกต
งาน.
z1=r(คอส +ไอซิน - z2=r(คอส +ไอซิน ).
พบผลิตภัณฑ์นั้น z1*z2 ของจำนวนเชิงซ้อน: เช่น โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูลัส และอาร์กิวเมนต์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของอาร์กิวเมนต์ของปัจจัย
;
;
ส่วนตัว.
ถ้าให้จำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปตรีโกณมิติ
ถ้าให้จำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปเลขชี้กำลัง
การยกกำลัง
1. จำนวนเชิงซ้อนที่ระบุใน พีชคณิต รูปร่าง.
z=x+iy แล้ว z n จะพบได้โดย สูตรทวินามของนิวตัน:
- จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n ของ m (จำนวนวิธีที่สามารถรับองค์ประกอบ n รายการจาก m)
- น!=1*2*…*n; 0!=1;
.
สมัครจำนวนเชิงซ้อน
ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องแทนที่กำลัง i ด้วยค่าของมัน:
i 0 =1 ดังนั้น ในกรณีทั่วไปเราจะได้: i 4k =1
ฉัน 1 = ฉัน ฉัน 4k+1 = ฉัน
ฉัน 2 =-1 ฉัน 4k+2 =-1
ฉัน 3 =-ฉัน ฉัน 4k+3 =-ฉัน
ตัวอย่าง.
ฉัน 31 = ฉัน 28 ฉัน 3 =-ฉัน
ฉัน 1,063 = ฉัน 1,062 ฉัน=ฉัน
2. ตรีโกณมิติ รูปร่าง.
z=r(คอส +ไอซิน ), ที่
- สูตรมูฟวร์.
ในที่นี้ n สามารถเป็นได้ทั้ง “+” หรือ “-” (จำนวนเต็ม)
3. ถ้าใส่จำนวนเชิงซ้อนเข้าไป บ่งชี้ รูปร่าง:
การสกัดราก
พิจารณาสมการ:
.
คำตอบของมันคือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z:
.
รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z มีคำตอบ (ค่า) n รายการพอดี รากที่ n ของจำนวนจริงมีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น ในสิ่งที่ซับซ้อนไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ถ้าใส่จำนวนเชิงซ้อนเข้าไป ตรีโกณมิติ รูปร่าง:
z=r(คอส +ไอซิน ) จากนั้นสูตรจะพบรากที่ n ของ z:
โดยที่ k=0.1…n-1
แถว. ชุดตัวเลข
ให้ตัวแปร a รับค่า a 1, 2, 3,…, n ตามลำดับ ชุดตัวเลขที่เรียงลำดับใหม่เช่นนี้เรียกว่าลำดับ มันไม่มีที่สิ้นสุด
ชุดตัวเลขคือนิพจน์ a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= - ตัวเลข a 1, a 2, a 3,..., และ n เป็นสมาชิกของชุดนี้
ตัวอย่างเช่น.
และ 1 เป็นเทอมแรกของอนุกรม
และ n เป็นคำที่ n หรือคำสามัญของอนุกรมนี้
ซีรีส์จะถือว่าได้รับหากทราบลำดับที่ n (คำทั่วไปของซีรีส์)
อนุกรมจำนวนมีจำนวนพจน์ไม่สิ้นสุด
ตัวนับ – ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (1,3,5,7…).
พจน์ที่ n พบได้จากสูตร a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .
ตัวส่วน – ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- ข n =ข 1 q n-1 ;
.
พิจารณาผลรวมของเทอม n แรกของอนุกรมแล้วเขียนว่า Sn
Sn=a1+a2+…+น.
Sn คือผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรม
พิจารณาขีดจำกัด:
S คือผลรวมของอนุกรม
แถว มาบรรจบกัน ถ้าขีดจำกัดนี้มีจำกัด (มีขีดจำกัดจำกัด S อยู่แล้ว)
แถว แตกต่าง ถ้าขีดจำกัดนี้เป็นอนันต์
ในอนาคตหน้าที่ของเราคือกำหนดว่าแถวไหน
ชุดข้อมูลที่เรียบง่ายที่สุดแต่พบได้บ่อยที่สุดชุดหนึ่งคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
, C=คอนสตรัค.
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือมาบรรจบกัน
ใกล้, ถ้า
และลู่ออกถ้า
.
ยังพบ ซีรีย์ฮาร์มอนิก(แถว
- แถวนี้ แตกต่าง
.
จำนวนจริงเชิงเรขาคณิต เช่น จำนวนตรรกยะ จะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรง
อนุญาต ล เป็นเส้นตรงโดยพลการและ O คือจุดบางจุด (รูปที่ 58) ทุกจำนวนจริงบวก α ให้เราเชื่อมโยงจุด A ซึ่งอยู่ทางขวาของ O ที่ระยะห่าง α หน่วยความยาว
ตัวอย่างเช่น หาก α = 2.1356...แล้ว
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
เป็นต้น แน่นอนว่าจุด A ในกรณีนี้จะต้องอยู่บนเส้นตรง ล ทางด้านขวาของจุดที่ตรงกับตัวเลข
2; 2,1; 2,13; ... ,
แต่ทางด้านซ้ายของจุดที่ตรงกับตัวเลข
3; 2,2; 2,14; ... .
แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขเหล่านี้กำหนดไว้ในบรรทัด ล จุดเดียว A ซึ่งเราถือว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริง α = 2,1356... .
ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนจริงลบทุกจำนวน β ให้เราเชื่อมโยงจุด B ที่อยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะห่าง | β | หน่วยความยาว ในที่สุด เราก็เชื่อมโยงตัวเลข “ศูนย์” กับจุด O
ดังนั้นเลข 1 จะแสดงเป็นเส้นตรง ล จุด A ตั้งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะหนึ่งหน่วยความยาว (รูปที่ 59) ตัวเลข - √2 - โดยจุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะ √2 หน่วยความยาว ฯลฯ .
มาแสดงวิธีการเป็นเส้นตรงกัน ล เมื่อใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด คุณจะพบจุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริง √2, √3, √4, √5 ฯลฯ ในการทำสิ่งนี้ ก่อนอื่น เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าคุณสามารถสร้างส่วนที่แสดงความยาวได้อย่างไร โดยตัวเลขเหล่านี้ ให้ AB เป็นส่วนที่เป็นหน่วยความยาว (รูปที่ 60)
ที่จุด A เราสร้างเส้นตั้งฉากกับส่วนนี้และพล็อตส่วน AC เท่ากับส่วน AB จากนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เราจะได้ ก่อนคริสต์ศักราช = √AB 2 + เอซี 2 = √1+1 = √2
ดังนั้น ส่วน BC จึงมีความยาว √2 ทีนี้ เรามาสร้างฉากตั้งฉากกับส่วน BC ที่จุด C และเลือกจุด D บนจุดนั้น เพื่อให้ CD ส่วนนั้นเท่ากับความยาว AB หนึ่งหน่วย จากนั้นจากสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD เราพบว่า:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3
ดังนั้น ส่วน BD จึงมีความยาว √3 ดำเนินกระบวนการที่อธิบายต่อไปต่อไป เราสามารถรับเซกเมนต์ BE, BF, ... ซึ่งความยาวแสดงด้วยตัวเลข √4, √5 เป็นต้น
ตอนนี้อยู่บนเส้นตรง ล มันง่ายที่จะหาจุดเหล่านั้นที่ใช้เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของตัวเลข √2, √3, √4, √5 ฯลฯ
ตัวอย่างเช่น โดยการวางแผนส่วน BC ทางด้านขวาของจุด O (รูปที่ 61) เราจะได้จุด C ซึ่งทำหน้าที่เป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √2 ในทำนองเดียวกัน เมื่อวางส่วน BD ทางด้านขวาของจุด O เราจะได้จุด D" ซึ่งเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √3 เป็นต้น
อย่างไรก็ตามเราไม่ควรคิดว่าการใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดบนเส้นจำนวน ล เราสามารถหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริงใดๆ ที่กำหนดได้ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า มีเพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนที่มีความยาวแสดงเป็นตัวเลข π = 3.14... . ดังนั้นบนเส้นจำนวน ล ด้วยความช่วยเหลือของการก่อสร้างดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุจุดที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้ อย่างไรก็ตาม จุดดังกล่าวก็มีอยู่
ดังนั้นสำหรับทุกจำนวนจริง α เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงจุดที่กำหนดไว้อย่างดีกับเส้นตรง ล - จุดนี้จะอยู่ที่ระยะ | α - หน่วยของความยาว และอยู่ทางขวาของ O if α > 0 และทางด้านซ้ายของ O ถ้า α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ล - ที่จริงแล้วให้หมายเลข α จุด A สอดคล้องและจำนวน β - จุด B แล้วถ้า α > β จากนั้น A จะอยู่ทางด้านขวาของ B (รูปที่ 62, a) ถ้า α < β จากนั้น A จะนอนทางด้านซ้ายของ B (รูปที่ 62, b)
เมื่อพูดถึงมาตรา 37 เกี่ยวกับภาพเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ เราตั้งคำถามว่า จุดใดๆ บนเส้นสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ มีเหตุผลตัวเลข? ตอนนั้นเราไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้ ตอนนี้เราสามารถตอบได้ค่อนข้างแน่นอน มีจุดบนเส้นตรงที่ใช้แทนเรขาคณิตของจำนวนอตรรกยะ (เช่น √2) ดังนั้น ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นที่จะแทนจำนวนตรรกยะได้ แต่ในกรณีนี้ มีคำถามอีกข้อเกิดขึ้น: จุดใดๆ บนเส้นจำนวนสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ ถูกต้องตัวเลข? ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วในเชิงบวก
ที่จริงแล้ว ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเส้นตรง ล นอนอยู่ทางขวาของ O (รูปที่ 63)
ความยาวของเซ็กเมนต์ OA แสดงด้วยจำนวนจริงบวก α (ดูมาตรา 41) ดังนั้น จุด A จึงเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข α - มีการกำหนดไว้เช่นเดียวกันว่าแต่ละจุด B ที่อยู่ทางด้านซ้ายของ O ถือได้ว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงลบ - β , ที่ไหน β - ความยาวของส่วน VO สุดท้าย จุด O ทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของเลขศูนย์ เห็นได้ชัดว่ามีจุดสองจุดที่แตกต่างกันในบรรทัด ล ไม่สามารถเป็นภาพเรขาคณิตที่มีจำนวนจริงเดียวกันได้
ด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น จึงเรียกเส้นตรงที่มีจุด O จุดหนึ่งเป็นจุด "เริ่มต้น" (สำหรับหน่วยความยาวที่กำหนด) เส้นจำนวน.
บทสรุป. เซตของจำนวนจริงทั้งหมดและเซตของจุดทั้งหมดบนเส้นจำนวนจะติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
ซึ่งหมายความว่าจำนวนจริงแต่ละตัวตรงกับจุดหนึ่งจุดที่กำหนดไว้อย่างดีบนเส้นจำนวน และในทางกลับกัน จุดแต่ละจุดบนเส้นจำนวนสัมพันธ์กัน จุดดังกล่าวจะมีจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจุดตรงกัน
การแสดงเรขาคณิตที่แสดงออกของระบบจำนวนตรรกยะสามารถหาได้ดังนี้
ข้าว. 8. แกนจำนวน
บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง "แกนตัวเลข" เราทำเครื่องหมายส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1 (รูปที่ 8) นี่เป็นการตั้งค่าความยาวของส่วนของหน่วย ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสามารถเลือกได้ตามใจชอบ จากนั้นแสดงจำนวนเต็มบวกและลบโดยชุดของจุดที่เว้นระยะเท่ากันบนแกนตัวเลข กล่าวคือ ตัวเลขบวกจะถูกทำเครื่องหมายทางด้านขวา และตัวเลขลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุด 0 ในการพรรณนาตัวเลขด้วยตัวส่วน เราจะหารแต่ละค่าของ ส่วนผลลัพธ์ของความยาวหน่วยเป็นส่วนเท่า ๆ กัน จุดหารจะแสดงเศษส่วนด้วยตัวส่วน หากเราทำสิ่งนี้กับค่าที่สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนจะแสดงด้วยจุดใดจุดหนึ่งบนแกนจำนวน เราจะตกลงที่จะเรียกประเด็นเหล่านี้ว่า "มีเหตุผล" โดยทั่วไป เราจะใช้คำว่า "จำนวนตรรกยะ" และ "จุดจำนวนตรรกยะ" เป็นคำพ้องความหมาย
ในบทที่ 1 § 1 มีการกำหนดความสัมพันธ์อสมการสำหรับจำนวนธรรมชาติ บนแกนตัวเลข ความสัมพันธ์นี้สะท้อนให้เห็นดังนี้: ถ้าจำนวนธรรมชาติ A น้อยกว่าจำนวนธรรมชาติ B แล้วจุด A จะอยู่ทางด้านซ้ายของจุด B เนื่องจากความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่ระบุถูกสร้างขึ้นสำหรับจุดตรรกยะคู่ใดๆ เป็นเรื่องปกติที่จะพยายามสรุปความสัมพันธ์ของอสมการทางคณิตศาสตร์ในลักษณะนี้ เพื่อรักษาลำดับทางเรขาคณิตสำหรับประเด็นที่เป็นปัญหา สิ่งนี้เป็นไปได้หากเรายอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้: เราบอกว่าจำนวนตรรกยะ A น้อยกว่าจำนวนตรรกยะ หรือจำนวน B มากกว่าตัวเลขหากผลต่างเป็นบวก ตาม (at) ว่าจุด (ตัวเลข) ระหว่างนั้นคือจุดนั้น
พร้อมกัน แต่ละคู่ของจุดดังกล่าวพร้อมกับจุดทั้งหมดระหว่างจุดเหล่านั้นเรียกว่าส่วน (หรือส่วน) และแสดงแทน (และชุดของจุดกึ่งกลางเพียงอย่างเดียวเรียกว่าช่วงเวลา (หรือช่วง) แสดงแทน
ระยะทางของจุดใดก็ได้ A จากจุดกำเนิด 0 ซึ่งถือเป็นจำนวนบวกเรียกว่าค่าสัมบูรณ์ของ A และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
แนวคิดเรื่อง “ค่าสัมบูรณ์” มีการกำหนดไว้ดังนี้ ถ้า แล้วถ้าเป็นเช่นนั้น เป็นที่แน่ชัดว่าหากตัวเลขมีเครื่องหมายเหมือนกัน ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงหากมี สัญญาณที่แตกต่างกัน, ที่ . เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งสองนี้มารวมกัน เราก็จะพบความไม่เท่าเทียมกันโดยทั่วไป
ซึ่งเป็นเรื่องจริงไม่ว่าจะมีสัญญาณอะไรก็ตาม
ข้อเท็จจริงที่มีความสำคัญพื้นฐานแสดงออกมาด้วยประโยคต่อไปนี้: จุดตรรกยะมีอยู่อย่างหนาแน่นทุกที่บนเส้นจำนวน ความหมายของข้อความนี้คือทุกช่วง ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหน ก็มีประเด็นที่เป็นเหตุเป็นผล ในการตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งที่ระบุ ก็เพียงพอที่จะใช้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่จนช่วงเวลา ( จะน้อยกว่าช่วงเวลาที่กำหนด จากนั้นอย่างน้อยหนึ่งจุดของแบบฟอร์มจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้น ไม่มีช่วงเวลาดังกล่าวบนแกนจำนวน (แม้แต่ช่วงที่เล็กที่สุดเท่าที่จะจินตนาการได้) ซึ่งภายในนั้นจะไม่มีจุดที่เป็นเหตุผลอีกต่อไป ข้อพิสูจน์เพิ่มเติมดังต่อไปนี้: ทุกช่วงมีจำนวนจุดเหตุผลเป็นอนันต์ แท้จริงแล้ว หากช่วงใดช่วงหนึ่งมีเพียง a จำนวนตรรกยะที่จำกัด จากนั้นภายในช่วงที่เกิดจากจุดดังกล่าวสองจุดที่อยู่ติดกัน จะไม่มีจุดตรรกยะอีกต่อไป และสิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์
ตั๋ว 1
มีเหตุผลตัวเลข – ตัวเลขที่เขียนในรูปแบบ p/q โดยที่ q คือจำนวนธรรมชาติ ตัวเลข และ p เป็นจำนวนเต็ม
ตัวเลขสองตัว a=p1/q1 และ b=p2/q2 เรียกว่าเท่ากันถ้า p1q2=p2q1 และ p2q1 และ a>b ถ้า p1q2
ตั๋ว 2
จำนวนเชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อน
สมการพีชคณิตคือสมการของรูปแบบ: P n ( x) = 0 โดยที่ P n ( x) - พหุนาม n- โอ้ปริญญา จำนวนจริงสองสามจำนวน xและ ที่ลองเรียกมันว่าเรียงลำดับหากมีการระบุว่าอันไหนถือเป็นอันแรกและอันไหนถือเป็นอันที่สอง สัญกรณ์คู่ลำดับ: ( x, ย- จำนวนเชิงซ้อนคือคู่ของจำนวนจริงที่เรียงลำดับตามอำเภอใจ z = (x, ย)-จำนวนเชิงซ้อน.
x- ส่วนจริง z, ย- ส่วนจินตภาพ z- ถ้า x= 0 และ ย= 0 แล้ว z= 0 พิจารณา z 1 = (x 1 , y 1) และ z 2 = (x 2 , y 2)
คำจำกัดความ 1. z 1 = z 2 ถ้า x 1 = x 2 และ y 1 = y 2
แนวคิด > และ< для комплексных чисел не вводятся.
การแสดงเรขาคณิตและรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
ม( x, ย) « z = x + ฉัน.
½ OM½ = ร =½ z½ = .(ภาพ)
r เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z.
j เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z- ถูกกำหนดด้วยความแม่นยำ ± 2p n.
เอ็กซ์= อาร์คอสเจ ย= อาร์ซิน
z= x+ ฉัน= r(cosj + ฉัน sinj) เป็นรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
คำชี้แจง 3
= (คอส + ฉันบาป),
= (คอส + ฉันบาป) แล้ว
= (คอส( + ) + ฉันบาป( + ))
= (คอส( - )+ ฉันบาป( - )) ที่ ¹0
คำชี้แจงที่ 4
ถ้า z=r(cosj+ ฉัน sinj) จากนั้น "เป็นธรรมชาติ n:
= (cos nj + ฉันบาป นิวเจอร์ซีย์),
ตั๋ว 3
อนุญาต เอ็กซ์- ชุดตัวเลขที่มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว (ชุดที่ไม่ว่างเปล่า)
xÎ เอ็กซ์- xบรรจุอยู่ใน เอ็กซ์. ; xÏ เอ็กซ์- xไม่ได้เป็นของ เอ็กซ์.
คำนิยาม: มากมาย เอ็กซ์เรียกว่ามีขอบเขตบน (ล่าง) ถ้ามีตัวเลข ม(ม) เช่นนั้นเพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่ง x Î เอ็กซ์ความไม่เท่าเทียมกันถือ x £ ม (x ³ ม) ในขณะที่ตัวเลข มเรียกว่าขอบเขตบน(ล่าง)ของเซต เอ็กซ์- มากมาย เอ็กซ์กล่าวกันว่ามีขอบเขตด้านบนถ้า $ ม, " x Î เอ็กซ์: x £ ม. คำนิยามไม่จำกัดชุดจากด้านบน มากมาย เอ็กซ์เรียกว่าไม่มีขอบเขตจากเบื้องบน ถ้า " ม $ x Î เอ็กซ์: x> ม. คำจำกัดความมากมาย เอ็กซ์เรียกว่ามีขอบเขตหากถูกผูกไว้ด้านบนและด้านล่างนั่นคือ $ ม, มเช่นนั้น " x Î เอ็กซ์: ม £ x £ ม.คำจำกัดความที่เทียบเท่าของ ogre mn-va: Set เอ็กซ์เรียกว่ามีขอบเขตถ้า $ ก > 0, " x Î เอ็กซ์: ½ x½£ ก- คำจำกัดความ: ขอบเขตบนที่เล็กที่สุดของเซตที่มีขอบเขตด้านบน เอ็กซ์เรียกว่า supremum และเขียนว่า Sup เอ็กซ์
(สูงสุด) =ซุป เอ็กซ์- ในทำนองเดียวกันเราสามารถกำหนดได้แน่ชัด
ขอบด้านล่าง เทียบเท่า คำนิยามขอบเขตบนที่แน่นอน:
ตัวเลขนี้เรียกว่าตัวบนของเซต เอ็กซ์, ถ้า: 1) " x Î เอ็กซ์: เอ็กซ์£ (เงื่อนไขนี้แสดงว่าเป็นหนึ่งในขอบเขตบน) 2) " < $ x Î เอ็กซ์: เอ็กซ์> (เงื่อนไขนี้แสดงว่า -
ใบหน้าด้านบนที่เล็กที่สุด)
จีบ เอ็กซ์= :
1. " xÎ เอ็กซ์: x £ .
2. " < $ xÎ เอ็กซ์: x> .
ข้อมูล เอ็กซ์(infimum) คือ infimum ที่แน่นอน ให้เราตั้งคำถาม: เซตที่มีขอบเขตทุกเซตมีขอบที่แน่นอนหรือไม่?
ตัวอย่าง: เอ็กซ์= {x: x>0) ไม่มีจำนวนที่น้อยที่สุด
ทฤษฎีบทการมีอยู่ของใบหน้าด้านบน (ล่าง) ที่แน่นอน- ขีดจำกัดบน (ล่าง) ที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ xÎR มีด้านบน (ล่าง) ที่แน่นอน
ทฤษฎีบทว่าด้วยการแยกส่วนของตัวเลข:▀▀▄
ตั๋ว 4
หากจำนวนธรรมชาติแต่ละตัว n (n=1,2,3..) ได้รับการกำหนดให้เป็นจำนวน Xn ที่สอดคล้องกัน แล้วพวกเขาก็บอกว่ามันถูกกำหนดและกำหนดให้ ลำดับต่อมา x1, x2..., เขียน (Xn), (Xn) ตัวอย่าง: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...ชื่อของขีดจำกัด จากด้านบน (จากด้านล่าง) ถ้าเซตของจุด x=x1,x2,…xn ที่วางอยู่บนแกนตัวเลขถูกจำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง) กล่าวคือ $С:Xn£C" ขีดจำกัดลำดับ:จำนวน a เรียกว่าลิมิตของลำดับ ถ้าสำหรับ ε>0 $ : N (N=N/(ε)) ใดๆ "n>N อสมการ |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
ที่ n>เอ็น.
เอกลักษณ์ของขีดจำกัดลำดับขอบเขตและบรรจบกัน
คุณสมบัติ 1: ลำดับมาบรรจบกันมีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น
พิสูจน์: โดยความขัดแย้งให้ กและ ขลิมิตของลำดับลู่เข้า (x n) และ a ไม่เท่ากับ b พิจารณาลำดับที่เล็กที่สุด (α n )=(x n -a) และ (β n )=(x n -b) เพราะ องค์ประกอบทั้งหมดข. ลำดับ (α n -β n ) มีค่าเท่ากัน b-a จากนั้นตามคุณสมบัติของ b.m ลำดับ b-a=0 เช่น b=a และเรามาถึงจุดขัดแย้งแล้ว
คุณสมบัติ 2: ลำดับมาบรรจบกันมีขอบเขต
พิสูจน์: ให้ a เป็นลิมิตของลำดับลู่เข้า (x n) ดังนั้น α n =x n -a จึงเป็นสมาชิกของ b.m ลำดับ ลองใช้ ε>0 ใดๆ แล้วใช้มันเพื่อค้นหา N ε: / x n -a/< ε при n>เอ็น ε . ให้เราแสดงด้วย b ค่าที่ใหญ่ที่สุดของจำนวน ε+/a/, /x1/, /x2/,…,/x N ε-1 /, x N ε เห็นได้ชัดว่า /xn/
หมายเหตุ: ลำดับขอบเขตอาจไม่มาบรรจบกัน
ตั๋ว 6
ลำดับ a n เรียกว่า infinitesimal ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของลำดับหลังนี้คือ 0
a n – น้อยมาก Û lim(n ® + ¥)a n =0 นั่นคือ สำหรับ ε>0 ใดๆ ก็มี N อยู่ โดยที่สำหรับ n>N |a n | ใดๆ<ε
ทฤษฎีบท.ผลรวมของค่าเล็กน้อยคือค่าน้อย
a n b n ®อนันต์ Þ a n +b n – อนันต์
การพิสูจน์.
n - น้อยที่สุด Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - น้อยที่สุด Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
ให้เราตั้งค่า N=max(N 1 ,N 2 ) จากนั้นสำหรับ n>N Þ ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองจะเป็นที่น่าพอใจพร้อมกัน:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>เอ็น
ให้เราตั้งค่า "ε 1 >0, ตั้ง ε=ε 1 /2 จากนั้นสำหรับ ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2 ใดๆ: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
คือ a + bn – น้อยมาก
ทฤษฎีบทผลคูณของสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ก็คือสิ่งเล็กๆ น้อยๆ
a n ,b n – น้อยมาก Þ a n b n – น้อยมาก
หลักฐาน:
ลองตั้งค่า "ε 1 >0 ใส่ ε=Öε 1 เนื่องจาก a n และ b n มีค่าน้อยมากสำหรับสิ่งนี้ ε>0 ดังนั้นจะมี N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
สมมติว่า N=max (N 1 ;N 2 ) จากนั้น "n>N = |a n |<ε
|a nb n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n bn – น้อยมาก ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ทฤษฎีบทผลคูณของลำดับขอบเขตและลำดับที่น้อยที่สุดคือลำดับที่น้อยที่สุด
และ n เป็นลำดับที่มีขอบเขต
a n – ลำดับที่เล็กที่สุด Þ a n a n – ลำดับที่เล็กที่สุด
พิสูจน์: เนื่องจาก n มีขอบเขต Û $С>0: "nО เอ็นÞ |a n |£C
มาตั้งค่า "ε 1 >0; ใส่ ε=ε 1 /C; เนื่องจาก a n มีค่าไม่สิ้นสุด ดังนั้น ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – น้อยมาก ลำดับที่เรียกว่า บีบีพี(ตามลำดับ) หากพวกเขาเขียน แน่นอนว่า BBP ไม่จำกัด ข้อความตรงกันข้ามมักเป็นเท็จ (ตัวอย่าง) ถ้าสำหรับคนตัวใหญ่ nสมาชิกแล้วเขียนข้อความนี้หมายความว่าทันทีที่ ความหมายของรายการถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ลำดับขนาดใหญ่อนันต์ n = 2 n ;
ข n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n คำนิยาม(ลำดับขนาดใหญ่อนันต์) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥ ถ้า "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε โดยที่ ε มีขนาดเล็กตามอำเภอใจ 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, ถ้า "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε ตั๋ว 7 ทฤษฎีบท “การบรรจบกันของเสียงเดียว ล่าสุด" ลำดับโมโนโทนิกใดๆ จะมาบรรจบกัน เช่น มีขีดจำกัด เอกสารปล่อยให้ลำดับ (xn) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ และถูกจำกัดจากด้านบน X คือชุดตัวเลขทั้งหมดที่ยอมรับองค์ประกอบของลำดับนี้ตามแบบแผน ทฤษฎีบทจึงมีจำนวนจำกัด ดังนั้นตาม ทฤษฎีบทมันมีขีดจำกัดบนที่แน่นอนที่แน่นอน face supX xn®supX (เราแทน supX ด้วย x*) เพราะ x* ด้านบนที่แน่นอน ใบหน้า จากนั้น xn£x* " n. " e >0 ออกจากเส้นประสาท $ xm (ให้ m เป็น n โดยมีฝาปิด): xm>x*-e ด้วย " n>m => จากอสมการ 2 ที่ระบุที่เราได้รับ อสมการที่สอง x*-e£xn£x*+e สำหรับ n>m เทียบเท่ากับ ½xn-x*1 ตั๋ว 8 เลขชี้กำลังหรือตัวเลข e R-เลขโรมัน ลำดับที่มีคำทั่วไป xn=(1+1/n)^n (ยกกำลัง n)(1) ปรากฎว่าลำดับ (1) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจมีขอบเขตจากด้านบนและมาบรรจบกัน ขีด จำกัด ของลำดับนี้เรียกว่าเลขชี้กำลังและแสดงด้วยสัญลักษณ์ e»2.7128... หมายเลขจ ตั๋ว 9 หลักการของส่วนที่ซ้อนกัน ให้เส้นจำนวนได้รับลำดับของส่วน ,,...,,... นอกจากนี้ กลุ่มเหล่านี้ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ เงื่อนไข: 1) แต่ละอันที่ตามมาจะซ้อนอยู่ในอันก่อนหน้านั่นคือ М, "n=1,2,…; 2) ความยาวของเซ็กเมนต์ ®0 เมื่อ n เพิ่มขึ้น เช่น ลิม(n®¥)(พันล้าน)=0. ลำดับที่มีนักบุญที่ระบุเรียกว่าซ้อนกัน ทฤษฎีบทลำดับใดๆ ของส่วนที่ซ้อนกันจะมีจุด c จุดเดียวที่เป็นของทุกส่วนของลำดับพร้อมๆ กัน โดยมีจุดร่วมของทุกส่วนที่มีการหดตัว เอกสาร(ก) - ลำดับของปลายด้านซ้ายของส่วนของปรากฏการณ์ ซ้ำซากไม่ลดลงและล้อมรอบด้วยหมายเลข b1 (bn) - ลำดับของปลายด้านขวาไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นลำดับของปรากฏการณ์เหล่านี้ มาบรรจบกันเช่น มีตัวเลข c1=lim(n®¥)an และ c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ของพวกเขา ความหมายทั่วไป- อันที่จริง มันมีขีดจำกัด lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) เนื่องจากเงื่อนไข 2) o= lim(n®¥) (บีเอ็น- อัน)=с2-с1=> с1=с2=с เห็นได้ชัดว่า t.c เป็นเรื่องปกติสำหรับทุกกลุ่ม เนื่องจาก "n an£c£bn ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่าเป็นหนึ่งเดียว สมมติว่า $ เป็นอีกหนึ่ง c' ซึ่งทุกเซ็กเมนต์ถูกย่อ หากเราหาส่วนที่ไม่ตัดกัน c และ c' แล้วด้านหนึ่ง "หาง" ทั้งหมดของลำดับ (an), (bn) ควรอยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับจุด c'' (เนื่องจาก an และ bn มาบรรจบกันที่ c และ c' พร้อมกัน) ความขัดแย้งเป็นจริง ตั๋ว 10 ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส
จากการตัดใดๆ หลังจากนั้นคุณสามารถเลือกการรวบรวมได้ ภาคต่อ 1. เนื่องจากลำดับมีจำกัด ดังนั้น $ m และ M ดังนั้น " m£xn£M, " n D1= – ส่วนที่มีลำดับ t-ki ทั้งหมดอยู่ แบ่งครึ่งกัน. อย่างน้อยครึ่งหนึ่งจะมีอนันต์ หมายเลข ต-เคหลังจาก. D2 คือครึ่งหนึ่งซึ่งมีลำดับ t-k อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราแบ่งมันออกเป็นสองส่วน อย่างน้อยก็ในครึ่งหนึ่งของครึ่งหนึ่ง D2 มีลำดับจำนวนอนันต์ ครึ่งนี้คือ D3 แบ่งส่วน D3... ฯลฯ เราได้รับลำดับของส่วนที่ซ้อนกัน ซึ่งมีความยาวมีแนวโน้มเป็น 0 ตามกฎเกี่ยวกับส่วนที่ซ้อนกัน หน่วย $ ที-ก้า เอส แมว เป็นของ ทุกเซกเมนต์ D1, t-tu Dn1 ใดๆ ในส่วน D2 ฉันเลือกจุด xn2 ดังนั้น n2>n1 ในส่วน D3... ฯลฯ ผลที่ได้คือคำสุดท้ายคือ xnkÎDk ตั๋ว 11 ตั๋ว 12 พื้นฐาน โดยสรุป เราจะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับเกณฑ์สำหรับการลู่เข้าของลำดับตัวเลข ให้เช่น: นอกจากจำนวนธรรมชาติแล้ว คุณสามารถแทนที่จำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งให้เป็นอสมการสุดท้ายได้ ,แล้ว เราได้รับข้อความต่อไปนี้: หากลำดับมาบรรจบกัน แสดงว่าเป็นไปตามเงื่อนไข คอชี่: ลำดับตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข Cauchy เรียกว่า พื้นฐาน- สามารถพิสูจน์ได้ว่าการสนทนานั้นเป็นจริงเช่นกัน ดังนั้นเราจึงมีเกณฑ์ (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) สำหรับการลู่เข้าของลำดับ เกณฑ์ Cauchy เพื่อให้ลำดับมีขีดจำกัด จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นพื้นฐาน ความหมายที่สองของเกณฑ์ Cauchyสมาชิกลำดับและที่ไหน nและ ม– การเข้าใกล้ใด ๆ โดยไม่มีขีดจำกัดที่ ตั๋ว 13 ข้อจำกัดด้านเดียว คำนิยาม 13.11ตัวเลข กเรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน y = ฉ(x) ที่ เอ็กซ์มุ่งมั่นเพื่อ x 0ซ้าย (ขวา) หากเป็นเช่นนั้น | เอฟ(x)-เอ|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). การกำหนด: ทฤษฎีบท 13.1 (คำจำกัดความที่สองของขีดจำกัด)การทำงาน y=ฉ(x)มีที่ เอ็กซ์,มุ่งมั่นเพื่อ เอ็กซ์ 0 ขีดจำกัดเท่ากับ กถ้าหากว่าขีดจำกัดด้านเดียวทั้งสองของมัน ณ จุดนี้มีอยู่และเท่ากัน ก. การพิสูจน์. 1) ถ้า แล้ว และ สำหรับ x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|เอฟ(x) - เอ|<ε, то есть 1) ถ้า แล้วจะมีδ 1: | เอฟ(x) - เอ| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |เอฟ(x) - เอ| < ε при x - x 0<
δ2. การเลือกอันที่เล็กกว่าจากตัวเลข δ 1 และ δ 2 แล้วใช้เป็น δ เราจะได้สิ่งนั้นสำหรับ | x - x 0| < δ |เอฟ(x) - เอ| < ε, то есть . Теорема доказана. ความคิดเห็น เนื่องจากความเท่าเทียมกันของข้อกำหนดที่มีอยู่ในคำจำกัดความของขีดจำกัด 13.7 และเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่และความเท่าเทียมกันของขีดจำกัดด้านเดียวได้รับการพิสูจน์แล้ว เงื่อนไขนี้จึงถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความที่สองของขีดจำกัด คำจำกัดความที่ 4 (ตาม Heine) ตัวเลข กเรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชันหาก BBP ของค่าอาร์กิวเมนต์ใด ๆ ลำดับของค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องมาบรรจบกัน ก. คำจำกัดความที่ 4 (ตาม Cauchy) ตัวเลข กเรียกว่าถ้า ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าคำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากัน ตั๋ว 14 และ 15 คุณสมบัติของขีดจำกัดฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง 1) หากมีขีดจำกัดก็แสดงว่ามีอันเดียวเท่านั้น 2) ถ้าในพื้นที่ x0 ขีดจำกัดของฟังก์ชัน f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> ดังนั้นในกรณีนี้ $ คือขีดจำกัดของผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ และผลหาร การแยก 2 ฟังก์ชันนี้ออกจากกัน ก) ลิม(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) ลิม(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) ลิม(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) ลิม(x®x0)C=C จ) ลิม(x®x0)C*f(x)=C*A ทฤษฎีบท 3 ถ้า ( ตอบกลับ A ) จากนั้น $ บริเวณใกล้เคียงที่มีความไม่เท่าเทียมกัน >B (อื่นๆ อนุญาต เอ>บีให้เราใส่ว่า เมื่อเลือกแล้ว อสมการทางซ้ายมือจะมีรูปแบบ >ตัวแทนบีทฤษฎีบทส่วนที่ 2 ได้รับการพิสูจน์แล้ว เฉพาะในกรณีนี้เท่านั้นที่เราใช้ ข้อพิสูจน์ (การอนุรักษ์สัญญาณการทำงานที่มีขีดจำกัด) สมมติในทฤษฎีบทที่ 3 บี=0เราได้รับ: ถ้า ( การตอบสนอง) จากนั้น $ ในทุกจุดซึ่งจะเป็น >0 (ทั่วไป<0),
เหล่านั้น. ฟังก์ชันจะรักษาเครื่องหมายของขีดจำกัดไว้ ทฤษฎีบท 4(เมื่อก้าวไปสู่ขีดจำกัดของความไม่เท่าเทียมกัน) หากในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดใดจุดหนึ่ง (ยกเว้นจุดนั้นเอง) เป็นไปตามเงื่อนไขและฟังก์ชันเหล่านี้มีขีดจำกัดที่จุด ดังนั้น ในภาษาและ. เรามาแนะนำฟังก์ชั่นกัน เป็นที่ชัดเจนว่าในบริเวณใกล้เคียงกับ จากนั้น ตามทฤษฎีบทว่าด้วยการอนุรักษ์ฟังก์ชัน เราจะได้ค่าลิมิตของมัน แต่ ทฤษฎีบท 5(บนขีดจำกัดของฟังก์ชันระดับกลาง) (1) ถ้า และในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด (ยกเว้นจุดนั้นเอง) เป็นไปตามเงื่อนไข (2) จากนั้นฟังก์ชันจะมีขีดจำกัดในจุดและขีดจำกัดนี้จะเท่ากับ ก.ตามเงื่อนไข (1) $ for (นี่คือย่านที่เล็กที่สุดของ point ) แต่แล้วโดยอาศัยเงื่อนไข (2) ค่าก็จะอยู่ใกล้จุดนั้นด้วย เอ,เหล่านั้น. - ตั๋ว 16 คำนิยาม 14.1การทำงาน y=α(x) เรียกว่า infinitesim ที่ x → x 0,ถ้า คุณสมบัติของสิ่งจิ๋ว 1. ผลรวมของสอง infinitesimals นั้นน้อยมาก การพิสูจน์. ถ้า α(x) และ β(x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0แล้วจะมี δ 1 และ δ 2 เช่นนั้น | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, นั่นคือ α(x)+β(x) – ไม่มีที่สิ้นสุด ความคิดเห็น ตามมาว่าผลรวมของจำนวนจำกัดใดๆ ของจำนวนที่จำกัดนั้นมีค่าน้อยมาก 2. ถ้า α( เอ็กซ์) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0, ก ฉ(x) – ฟังก์ชันที่ขอบเขตอยู่ในละแวกใกล้เคียงที่กำหนด x 0, ที่ α(x)ฉ(x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0. การพิสูจน์. มาเลือกเลขกัน มเช่นนั้น | ฉ(x)| ข้อพิสูจน์ 1. ผลคูณของค่าเล็กน้อยด้วยจำนวนจำกัดนั้นมีค่าน้อยมาก ข้อพิสูจน์ที่ 2 ผลคูณของสิ่งเล็กจิ๋วสองตัวขึ้นไปนั้นมีขนาดเล็กมาก ข้อพิสูจน์ที่ 3 ผลรวมเชิงเส้นของค่าเล็กน้อยนั้นมีค่าน้อยมาก 3. (คำจำกัดความที่สามของขีดจำกัด- ถ้า แล้วเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้ก็คือฟังก์ชัน ฉ(x) สามารถแสดงในรูปแบบได้ ฉ(x)=A+α(x), ที่ไหน α(x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0. การพิสูจน์. 1)
ให้แล้ว | เอฟ(x)-เอ|<ε при x → x 0นั่นคือ α(x)=ฉ(x)-A– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0 .เพราะฉะนั้น , ฉ(x)=A+α(x) 2) ให้ ฉ(x)=A+α(x- แล้ว หมายถึง | เอฟ(x)-เอ|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, . ความคิดเห็น ดังนั้นจึงได้รับคำจำกัดความอื่นของขีด จำกัด ซึ่งเทียบเท่ากับสองคำก่อนหน้า ฟังก์ชั่นขนาดใหญ่อนันต์ คำจำกัดความ 15.1 ฟังก์ชัน f(x) บอกว่ามีขนาดใหญ่เป็นอนันต์สำหรับ x x 0 ถ้า สำหรับขนาดใหญ่เป็นอนันต์ คุณสามารถนำระบบการจำแนกประเภทเดียวกันกับระบบการจำแนกขนาดเล็กเป็นอนันต์ กล่าวคือ: 1. f(x) และ g(x) ที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ถือเป็นปริมาณในลำดับเดียวกันถ้า 2. ถ้า แล้ว f(x) ถือเป็นลำดับที่สูงกว่า g(x) ที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ 3. f(x) ที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เรียกว่าปริมาณของลำดับ k เทียบกับปริมาณที่มากเป็นอนันต์ g(x) ถ้า ความคิดเห็น โปรดทราบว่า x มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ (สำหรับ a>1 และ x) ซึ่งมีลำดับที่สูงกว่า xk สำหรับ k ใดๆ และบันทึก a x มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ของลำดับที่ต่ำกว่ากำลังของ x k ใดๆ ทฤษฎีบท 15.1 ถ้า α(x) มีขนาดเล็กเป็นอนันต์เท่ากับ x→x 0 แล้ว 1/α(x) จะมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เป็น x→x 0 การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>เอ็ม ซึ่งหมายความว่า 1/α(x) มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เท่ากับ x→x 0 ตั๋ว 17 ทฤษฎีบท 14.7 (ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง) - การพิสูจน์. พิจารณาวงกลมที่มีหน่วยรัศมีโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และสมมติว่ามุม AOB เท่ากับ x (เรเดียน) ลองเปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOB, เซกเตอร์ AOB และสามเหลี่ยม AOC โดยที่ OS เส้นตรงสัมผัสกับวงกลมที่ผ่านจุด (1;0) เห็นได้ชัดว่า. จากการใช้สูตรทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกันสำหรับพื้นที่ของตัวเลข เราได้มาจากสิ่งนี้ หรือซิน ตัวเลขจริง II § 44 การแสดงเรขาคณิตของจำนวนจริง จำนวนจริงเชิงเรขาคณิต เช่น จำนวนตรรกยะ จะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรง อนุญาต ล
เป็นเส้นตรงโดยพลการและ O คือจุดบางจุด (รูปที่ 58) ทุกจำนวนจริงบวก α
ให้เราเชื่อมโยงจุด A ซึ่งอยู่ทางขวาของ O ที่ระยะห่าง α
หน่วยความยาว ตัวอย่างเช่น หาก α
= 2.1356...แล้ว 2 < α
< 3 เป็นต้น แน่นอนว่าจุด A ในกรณีนี้จะต้องอยู่บนเส้นตรง ล
ทางด้านขวาของจุดที่ตรงกับตัวเลข 2; 2,1; 2,13; ... , แต่ทางด้านซ้ายของจุดที่ตรงกับตัวเลข 3; 2,2; 2,14; ... . แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขเหล่านี้กำหนดไว้ในบรรทัด ล
จุดเดียว A ซึ่งเราถือว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริง α
= 2,1356... . ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนจริงลบทุกจำนวน β
ให้เราเชื่อมโยงจุด B ที่อยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะห่าง | β |
หน่วยความยาว ในที่สุด เราก็เชื่อมโยงตัวเลข “ศูนย์” กับจุด O ดังนั้นเลข 1 จะแสดงเป็นเส้นตรง ล
จุด A ตั้งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะหนึ่งหน่วยความยาว (รูปที่ 59) ตัวเลข - √2 - โดยจุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะ √2 หน่วยความยาว ฯลฯ . มาแสดงวิธีการเป็นเส้นตรงกัน ล
เมื่อใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด คุณจะพบจุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริง √2, √3, √4, √5 ฯลฯ ในการทำสิ่งนี้ ก่อนอื่น เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าคุณสามารถสร้างส่วนที่แสดงความยาวได้อย่างไร โดยตัวเลขเหล่านี้ ให้ AB เป็นส่วนที่เป็นหน่วยความยาว (รูปที่ 60) ที่จุด A เราสร้างเส้นตั้งฉากกับส่วนนี้และพล็อตส่วน AC เท่ากับส่วน AB จากนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เราจะได้ ก่อนคริสต์ศักราช = √AB 2 + เอซี 2 = √1+1 = √2 ดังนั้น ส่วน BC จึงมีความยาว √2 ทีนี้ เรามาสร้างฉากตั้งฉากกับส่วน BC ที่จุด C และเลือกจุด D บนจุดนั้น เพื่อให้ CD ส่วนนั้นเท่ากับความยาว AB หนึ่งหน่วย จากนั้นจากสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD เราพบว่า: ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3 ดังนั้น ส่วน BD จึงมีความยาว √3 ดำเนินกระบวนการที่อธิบายต่อไปต่อไป เราสามารถรับเซกเมนต์ BE, BF, ... ซึ่งความยาวแสดงด้วยตัวเลข √4, √5 เป็นต้น ตอนนี้อยู่บนเส้นตรง ล
มันง่ายที่จะหาจุดเหล่านั้นที่ใช้เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของตัวเลข √2, √3, √4, √5 ฯลฯ ตัวอย่างเช่น โดยการวางส่วน BC ทางด้านขวาของจุด O (รูปที่ 61) เราจะได้จุด C ซึ่งทำหน้าที่เป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √2 ในทำนองเดียวกัน เมื่อวางส่วน BD ทางด้านขวาของจุด O เราจะได้จุด D" ซึ่งเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √3 เป็นต้น อย่างไรก็ตามเราไม่ควรคิดว่าการใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดบนเส้นจำนวน ล
เราสามารถหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริงใดๆ ที่กำหนดได้ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า มีเพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนที่มีความยาวแสดงเป็นตัวเลข π
= 3.14... . ดังนั้นบนเส้นจำนวน ล
ด้วยความช่วยเหลือของการก่อสร้างดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุจุดที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้ อย่างไรก็ตาม จุดดังกล่าวก็มีอยู่ ดังนั้นสำหรับทุกจำนวนจริง α
เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงจุดที่กำหนดไว้อย่างดีกับเส้นตรง ล
- จุดนี้จะอยู่ที่ระยะ | α
- หน่วยของความยาว และอยู่ทางขวาของ O if α
> 0 และทางด้านซ้ายของ O ถ้า α
< 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ล
- ที่จริงแล้วให้หมายเลข α
จุด A สอดคล้องและจำนวน β
- จุด B แล้วถ้า α
> β
จากนั้น A จะอยู่ทางด้านขวาของ B (รูปที่ 62, a) ถ้า α
< β
จากนั้น A จะนอนทางด้านซ้ายของ B (รูปที่ 62, b) เมื่อพูดถึงมาตรา 37 เกี่ยวกับภาพเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ เราตั้งคำถามว่า จุดใดๆ บนเส้นสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ มีเหตุผลตัวเลข? ตอนนั้นเราไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้ ตอนนี้เราสามารถตอบได้ค่อนข้างแน่นอน มีจุดบนเส้นตรงที่ใช้แทนเรขาคณิตของจำนวนอตรรกยะ (เช่น √2) ดังนั้น ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นที่จะแทนจำนวนตรรกยะได้ แต่ในกรณีนี้ มีคำถามอีกข้อเกิดขึ้น: จุดใดๆ บนเส้นจำนวนสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ ถูกต้องตัวเลข? ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วในเชิงบวก ที่จริงแล้ว ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเส้นตรง ล
นอนอยู่ทางขวาของ O (รูปที่ 63) ความยาวของเซ็กเมนต์ OA แสดงด้วยจำนวนจริงบวก α
(ดูมาตรา 41) ดังนั้น จุด A จึงเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข α
- มีการกำหนดไว้เช่นเดียวกันว่าแต่ละจุด B ที่อยู่ทางด้านซ้ายของ O ถือได้ว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงลบ - β
, ที่ไหน β
- ความยาวของส่วน VO สุดท้าย จุด O ทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของเลขศูนย์ เห็นได้ชัดว่ามีจุดสองจุดที่แตกต่างกันในบรรทัด ล
ไม่สามารถเป็นภาพเรขาคณิตที่มีจำนวนจริงเดียวกันได้ ด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น จึงเรียกเส้นตรงที่มีจุด O จุดหนึ่งเป็นจุด "เริ่มต้น" (สำหรับหน่วยความยาวที่กำหนด) เส้นจำนวน. บทสรุป. เซตของจำนวนจริงทั้งหมดและเซตของจุดทั้งหมดบนเส้นจำนวนจะติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าจำนวนจริงแต่ละตัวตรงกับจุดหนึ่งจุดที่กำหนดไว้อย่างดีบนเส้นจำนวน และในทางกลับกัน จุดแต่ละจุดบนเส้นจำนวนสัมพันธ์กัน จุดดังกล่าวจะมีจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจุดตรงกัน แบบฝึกหัด
320. ค้นหาว่าจุดใดในสองจุดอยู่ทางซ้ายและจุดใดอยู่ทางขวาบนเส้นจำนวน หากจุดเหล่านี้ตรงกับตัวเลข: ก) 1.454545... และ 1.455454...; ค) 0 และ - 1.56673...; ข) - 12.0003... และ - 12.0002...; ง) 13.24... และ 13.00.... 321. ค้นหาว่าจุดใดในสองจุดนั้นอยู่บนเส้นจำนวนที่อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น O หากจุดเหล่านี้ตรงกับตัวเลข: ก) 5.2397... และ 4.4996...; .. ค) -0.3567... และ 0.3557... . ง) - 15.0001 และ - 15.1000...; 322. ในส่วนนี้แสดงให้เห็นว่าการสร้างส่วนที่มีความยาว √ n
โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด คุณสามารถดำเนินการได้ดังต่อไปนี้: สร้างส่วนที่มีความยาว √2 ก่อน จากนั้นจึงสร้างส่วนที่มีความยาว √3 เป็นต้น จนกระทั่งเราไปถึงส่วนที่มีความยาว √ n
- แต่สำหรับการแก้ไขทุกครั้ง n
> 3 กระบวนการนี้สามารถเร่งได้ ตัวอย่างเช่น คุณจะเริ่มสร้างส่วนที่มีความยาว √10 ได้อย่างไร? 323*. วิธีใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดหาจุดบนเส้นจำนวนตรงกับเลข 1 / α
ถ้าตำแหน่งของจุดตรงกับตัวเลข α
มันรู้จักเหรอ?
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
- สุภาษิตและคำพูดเกี่ยวกับทัศนคติที่เคารพของเด็กต่อผู้ปกครองสำหรับเด็กก่อนวัยเรียนและวัยเรียน, โรงเรียน, สถาบันการศึกษาก่อนวัยเรียน: ชุดสุภาษิตที่ดีที่สุดพร้อมคำอธิบายความหมาย
- นักบินอวกาศชาวรัสเซียของเราหรือเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติใครคือนักบินอวกาศชาวรัสเซียคนแรก
- เมื่อไหร่ที่คุณควรหมักกะหล่ำปลีในหนึ่งปี?
- กลุ่มดาวราศีสิงห์: สถานที่และดวงดาวที่สว่างไสว