คำนวณระยะห่างระหว่างจุดโดยใช้พิกัด ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง: สูตร ตัวอย่าง วิธีแก้ไข ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างจุด
การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มักมาพร้อมกับความยากลำบากมากมายสำหรับนักเรียน การช่วยให้นักเรียนรับมือกับความยากลำบากเหล่านี้รวมทั้งสอนให้พวกเขาใช้ความรู้ทางทฤษฎีที่มีอยู่เมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะในทุกส่วนของหลักสูตรในวิชา "คณิตศาสตร์" เป็นจุดประสงค์หลักของเว็บไซต์ของเรา
เมื่อเริ่มแก้ปัญหาในหัวข้อนี้ นักเรียนควรจะสามารถสร้างจุดบนระนาบโดยใช้พิกัดของมัน รวมทั้งค้นหาพิกัดของจุดที่กำหนดได้
การคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุด A(x A; y A) และ B(x B; y B) ที่ถ่ายบนเครื่องบินจะดำเนินการโดยใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)โดยที่ d คือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้บนระนาบ
หากปลายด้านใดด้านหนึ่งของส่วนตรงกับที่มาของพิกัดและอีกด้านมีพิกัด M(x M; y M) ดังนั้นสูตรในการคำนวณ d จะอยู่ในรูปแบบ OM = √(x M 2 + y M 2 ).
1. การคำนวณระยะทางระหว่างจุดสองจุดตามพิกัดที่กำหนดของจุดเหล่านี้
ตัวอย่างที่ 1.
ค้นหาความยาวของส่วนที่เชื่อมจุด A(2; -5) และ B(-4; 3) บนระนาบพิกัด (รูปที่ 1)
สารละลาย.
คำชี้แจงปัญหาระบุว่า: x A = 2; x ข = -4; y A = -5 และ y B = 3 หา d
ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราจะได้:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสามจุดเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพิกัดของจุด O 1 ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดสามจุด A(7; -1) และ B(-2; 2) และ C(-1; -5)
สารละลาย.
จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามนั้น O 1 A = O 1 B = O 1 C ให้จุดที่ต้องการ O 1 มีพิกัด (a; b) ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2)
มาสร้างระบบสมการสองสมการกัน:
(√((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2) = √((ก + 2) 2 + (ข – 2) 2),
(√((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2) = √((ก + 1) 2 + (ข + 5) 2)
หลังจากยกกำลังสองด้านซ้ายและขวาของสมการแล้ว เราก็เขียนว่า:
((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2 = (ก + 2) 2 + (ข – 2) 2,
((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2 = (ก + 1) 2 + (ข + 5) 2.
ลดความซับซ้อน มาเขียนกันดีกว่า
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – ข + 3 = 0
เมื่อแก้ไขระบบแล้วเราจะได้: a = 2; ข = -1.
จุด O 1 (2; -1) มีระยะห่างเท่ากันจากจุดสามจุดที่ระบุในเงื่อนไขที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด (รูปที่ 2).
3. การคำนวณค่า Abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน Abscissa (พิกัด) และอยู่ในระยะที่กำหนดจากจุดที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 3
ระยะห่างจากจุด B(-5; 6) ถึงจุด A ที่วางอยู่บนแกน Ox คือ 10 หาจุด A
สารละลาย.
จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหา ลำดับของจุด A เท่ากับศูนย์ และ AB = 10
แทนจุดขาดของจุด A ด้วย a เราเขียน A(a; 0)
AB = √((ก + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((ก + 5) 2 + 36)
เราได้สมการ √((a + 5) 2 + 36) = 10 ทำให้ง่ายขึ้น เราได้
2 + 10a – 39 = 0
รากของสมการนี้คือ 1 = -13; และ 2 = 3
เราได้สองคะแนน A 1 (-13; 0) และ A 2 (3; 0)
การตรวจสอบ:
ก 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10
คะแนนที่ได้รับทั้งสองมีความเหมาะสมตามเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 3)
4. การคำนวณค่า Abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน Abscissa (พิกัด) และอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสองจุดเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 4
หาจุดบนแกน Oy ที่อยู่ห่างจากจุด A (6, 12) และ B (-8, 10) เท่ากัน
สารละลาย.
ให้พิกัดของจุดที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาซึ่งอยู่บนแกน Oy เป็น O 1 (0; b) ( ณ จุดที่อยู่บนแกน Oy นั้น Abscissa เป็นศูนย์) เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า O 1 A = O 1 B
ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2)
เรามีสมการ √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) หรือ 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.
หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายขึ้น เราได้: b – 4 = 0, b = 4
จุด O 1 (0; 4) กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 4)
5. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ในระยะเดียวกันจากแกนพิกัดและจุดที่กำหนดบางจุด
ตัวอย่างที่ 5
หาจุด M ที่อยู่บนระนาบพิกัดที่ระยะเท่ากันจากแกนพิกัดและจากจุด A(-2; 1)
สารละลาย.
จุด M ที่ต้องการ เช่น จุด A(-2; 1) จะอยู่ในมุมพิกัดที่สอง เนื่องจากมีระยะห่างเท่ากันจากจุด A, P 1 และ P 2 (รูปที่ 5)- ระยะห่างของจุด M จากแกนพิกัดจะเท่ากัน ดังนั้นพิกัดของจุด M จะเป็น (-a; a) โดยที่ a > 0
จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามนั้น MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
เหล่านั้น. |-ก| = ก.
ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:
แมสซาชูเซต = √((-a + 2) 2 + (ก – 1) 2)
มาสร้างสมการกันดีกว่า:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
หลังจากยกกำลังสองและทำให้ง่ายขึ้น เราได้: a 2 – 6a + 5 = 0 แก้สมการ หา 1 = 1; และ 2 = 5
เราได้รับสองคะแนน M 1 (-1; 1) และ M 2 (-5; 5) ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา
6. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ในระยะทางที่กำหนดเดียวกันจากแกน abscissa (พิกัด) และจากจุดที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาจุด M โดยที่ระยะห่างจากแกนพิกัดและจากจุด A(8; 6) เท่ากับ 5
สารละลาย.
จากเงื่อนไขของปัญหา จะได้ว่า MA = 5 และค่าแอบซิสซาของจุด M เท่ากับ 5 ให้พิกัดของจุด M เท่ากับ b แล้ว M(5; b) (รูปที่ 6)
ตามสูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เรามี:
แมสซาชูเซตส์ = √((5 – 8) 2 + (ข – 6) 2)
มาสร้างสมการกันดีกว่า:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5 เมื่อจัดรูปให้ง่ายขึ้น เราจะได้: b 2 – 12b + 20 = 0 รากของสมการนี้คือ b 1 = 2; b 2 = 10 ดังนั้นจึงมีสองจุดที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: M 1 (5; 2) และ M 2 (5; 10)
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ามีนักศึกษามากมาย การตัดสินใจที่เป็นอิสระปัญหาต้องได้รับคำปรึกษาอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับเทคนิคและวิธีการแก้ไข บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหาได้หากไม่ได้รับความช่วยเหลือจากครู นักเรียนสามารถรับคำแนะนำที่จำเป็นในการแก้ปัญหาได้จากเว็บไซต์ของเรา
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้ว่าจะหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบินได้อย่างไร?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ทฤษฎีบท 1 สำหรับจุดสองจุดใดๆ และระนาบ ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะแสดงโดยสูตร:
ตัวอย่างเช่น หากให้คะแนน และ ได้รับ ระยะห่างระหว่างพวกเขาคือ:
2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 2 สำหรับจุดใดๆ
ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมแสดงตามสูตร:
ตัวอย่างเช่น ลองหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุด และ
ความคิดเห็นหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นศูนย์ แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนเส้นเดียวกัน
3. การแบ่งส่วนตามอัตราส่วนที่กำหนด
ให้กำหนดส่วนที่ต้องการบนเครื่องบินแล้วปล่อย
– จุดใดๆ ของส่วนนี้นอกเหนือจากจุดสิ้นสุด เรียกว่าหมายเลขที่กำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน ทัศนคติ,ที่จุดแบ่งส่วน
ปัญหาของการแบ่งส่วนในความสัมพันธ์ที่กำหนดคือ: สำหรับความสัมพันธ์ที่กำหนดและพิกัดของจุดที่กำหนด
และหาพิกัดของจุดนั้น
ทฤษฎีบท 3
หากมีจุดแบ่งส่วน
เกี่ยวกับ
, จากนั้นพิกัดของจุดนี้จะถูกกำหนดโดยสูตร: (1.3) อยู่ที่ไหน พิกัดของจุด และ คือ พิกัดของจุด
ผลที่ตามมา: ถ้า เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน
, ที่ไหน และ จากนั้น (1.4) (ตั้งแต่)
ตัวอย่างเช่น. คะแนนและได้รับ ค้นหาพิกัดของจุดที่ใกล้กับจุดนั้นมากกว่าถึงสองเท่า
วิธีแก้ไข: จุดที่ต้องการจะแบ่งส่วนต่างๆ
เกี่ยวข้องกับตั้งแต่ , แล้ว ,, ได้รับ
พิกัดเชิงขั้ว
สิ่งที่สำคัญที่สุดรองจากระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือระบบพิกัดเชิงขั้ว ประกอบด้วยจุดหนึ่งที่เรียกว่า เสาและรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากนั้น - แกนขั้วโลก- นอกจากนี้ ยังมีการตั้งค่าหน่วยมาตราส่วนสำหรับการวัดความยาวของส่วนต่างๆ
ปล่อยให้ระบบพิกัดเชิงขั้วถูกกำหนดและปล่อยให้เป็นจุดใดก็ได้บนระนาบ ให้เป็นระยะทางจากจุด
ไปยังจุด ; – มุมที่ต้องหมุนแกนเชิงขั้วเพื่อให้สอดคล้องกับลำแสง
พิกัดเชิงขั้วของจุดเรียกว่าตัวเลข ในกรณีนี้จะถือว่าหมายเลขเป็นพิกัดแรกและถูกเรียก รัศมีขั้วโลกตัวเลขคือพิกัดที่สองและเรียกว่า มุมขั้วโลก
แสดงโดย . รัศมีเชิงขั้วสามารถมีค่าใดๆ ที่ไม่เป็นลบได้: โดยปกติเชื่อกันว่ามุมเชิงขั้วจะแปรผันภายในขีดจำกัดต่อไปนี้: อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี จำเป็นต้องกำหนดมุมที่วัดจากแกนขั้วตามเข็มนาฬิกา
ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วของจุดและพิกัดสี่เหลี่ยม
เราจะถือว่าจุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอยู่ที่ขั้ว และครึ่งแกนบวกของแอบซิสซาเกิดขึ้นพร้อมกับแกนขั้วโลก
อนุญาต – ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม และ – ในระบบพิกัดเชิงขั้ว กำหนด – สามเหลี่ยมมุมฉาก c. จากนั้น(1.5) สูตรเหล่านี้แสดงพิกัดสี่เหลี่ยมในรูปของพิกัดเชิงขั้ว
ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส และ
(1.6) – สูตรเหล่านี้แสดงพิกัดเชิงขั้วผ่านรูปสี่เหลี่ยม
โปรดทราบว่าสูตรกำหนดค่าสองค่าของมุมเชิงขั้วเนื่องจาก จากค่ามุมทั้งสองนี้ ให้เลือกค่าที่ทำให้เกิดความเท่าเทียมกัน
ตัวอย่างเช่น ลองหาพิกัดเชิงขั้วของจุด ..หรือเพราะฉันเป็นสี่ส่วน
ตัวอย่างที่ 1:ค้นหาจุดที่สมมาตรกับจุดหนึ่ง
สัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัดแรก
สารละลาย:
มาวาดจุดกัน กโดยตรง ล 1 ตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่ง ลมุมพิกัดแรก อนุญาต . บนเส้นตรง ล 1 วางส่วนนั้นไว้ SA 1 , เท่ากับส่วน เครื่องปรับอากาศสามเหลี่ยมมุมฉาก อสและ ก 1 บจกเท่ากัน (ทั้งสองด้าน) ตามนั้น | โอเอ| = |โอเอ 1 |. สามเหลี่ยม ADOและ โออีเอ 1 ก็เท่ากัน (โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม) เราสรุปได้ว่า |ค.ศ| = |OE| = 4,|OD| = |อีเอ 1 | = 2 คือ จุดนั้นมีพิกัด x = 4, y = -2,เหล่านั้น. ก 1 (4;-2).
โปรดทราบว่ามีข้อความทั่วไป: point ก 1 สมมาตรจนถึงจุด สัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่หนึ่งและสาม มีพิกัด นั่นคือ .
ตัวอย่างที่ 2:ค้นหาจุดที่เส้นผ่านจุดและ , จะตัดแกน โอ้.
สารละลาย:
พิกัดของจุดที่ต้องการ กับมี ( x- 0) และเนื่องจากจุดนั้น ก,ในและ กับนอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้วจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (x 2 -x 1 )(ป 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 )(ป 2 -y 1 ) = 0 (สูตร (1.2) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีเท่ากับศูนย์!) โดยที่พิกัดของจุดอยู่ที่ไหน ก, – คะแนน ใน, – คะแนน กับ- เราได้รับนั่นคือ - เพราะฉะนั้นประเด็น กับมีพิกัด เช่น..
ตัวอย่างที่ 3:ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จะมีการให้คะแนน หา: ก)ระยะห่างระหว่างจุดและ ; b) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม โอม 1 ม 2 (เกี่ยวกับ– เสา)
สารละลาย:
ก) ให้เราใช้สูตร (1.1) และ (1.5):
นั่นคือ .
b) ใช้สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมมีด้าน กและ ขและมุมระหว่างพวกมัน () เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม โอม 1 ม 2 . .
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งคือความยาวของส่วนที่เชื่อมจุดเหล่านี้บนมาตราส่วนที่กำหนด ดังนั้น เมื่อเป็นการวัดระยะทาง คุณจำเป็นต้องทราบมาตราส่วน (หน่วยความยาว) ที่จะใช้ในการวัด ดังนั้น ปัญหาในการค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจึงมักพิจารณาอยู่บนเส้นพิกัดหรือในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบหรือในอวกาศสามมิติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง บ่อยครั้งที่คุณต้องคำนวณระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ โดยใช้พิกัดของจุดเหล่านั้น
ในบทความนี้ ก่อนอื่นเราจะนึกถึงวิธีการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนเส้นพิกัด ต่อไปเราจะได้สูตรสำหรับคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดของระนาบหรือพื้นที่ตามพิกัดที่กำหนด โดยสรุปเราจะพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างและปัญหาทั่วไป
การนำทางหน้า
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นพิกัด
ก่อนอื่นมากำหนดสัญกรณ์กันก่อน เราจะแสดงระยะทางจากจุด A ถึงจุด B เป็น
จากนี้เราก็สรุปได้ว่า ระยะทางจากจุด A ที่มีพิกัดถึงจุด B ที่มีพิกัดเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างในพิกัดนั่นคือ สำหรับตำแหน่งใดๆ บนเส้นพิกัด
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งบนระนาบ สูตร
เราได้รับสูตรสำหรับคำนวณระยะห่างระหว่างจุดและกำหนดไว้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ
ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด A และ B ตัวเลือกต่อไปนี้อาจเป็นไปได้
หากจุด A และ B ตรงกัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเป็นศูนย์
หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Abscissa จุดนั้นจะตรงกันและระยะทางจะเท่ากับระยะทาง . ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราพบว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นพิกัดเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัด ดังนั้น - เพราะฉะนั้น, .
ในทำนองเดียวกัน หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด ระยะทางจากจุด A ไปยังจุด B จะพบว่าเป็น
ในกรณีนี้ สามเหลี่ยมเอบีซี– เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการก่อสร้าง และ และ . โดย ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ ดังนั้น .
ให้เราสรุปผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับ: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนระนาบจะพบได้จากพิกัดของจุดต่างๆ โดยใช้สูตร .
สูตรผลลัพธ์สำหรับการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสามารถใช้ได้เมื่อจุด A และ B ตรงกันหรือนอนอยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง จริงๆ แล้วถ้า A และ B ตรงกันล่ะก็ ถ้าจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน Ox แล้ว ถ้า A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน Oy แล้ว
ระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศ สูตร
ให้เราแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในอวกาศ เรามาดูสูตรการหาระยะทางจากจุดหนึ่งกันดีกว่า ตรงประเด็น .
โดยทั่วไป จุด A และ B จะไม่อยู่ในระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง ให้เราวาดผ่านระนาบจุด A และ B ที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด Ox, Oy และ Oz จุดตัดของระนาบเหล่านี้กับแกนพิกัดจะทำให้เราคาดการณ์จุด A และ B ลงบนแกนเหล่านี้ เราแสดงถึงการคาดการณ์ .
ระยะห่างที่ต้องการระหว่างจุด A และ B คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แสดงในรูป จากการก่อสร้างขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเท่ากัน และ . ในหลักสูตรเรขาคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ากำลังสองของเส้นทแยงมุมของทรงลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติของมัน ดังนั้น จากข้อมูลในส่วนแรกของบทความนี้ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้ ดังนั้น
เราได้มันมาจากไหน สูตรการหาระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศ .
สูตรนี้ยังใช้ได้หากจุด A และ B
- จับคู่;
- อยู่ในแกนพิกัดอันใดอันหนึ่งหรือเส้นขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง
- อยู่ในระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่งหรือระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง
การหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ตัวอย่างและวิธีแก้ไข
ดังนั้นเราจึงได้สูตรในการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นพิกัด ระนาบ และพื้นที่สามมิติ ถึงเวลาดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปแล้ว
จำนวนปัญหาที่ขั้นตอนสุดท้ายคือการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดตามพิกัดนั้นมีจำนวนมหาศาลมาก รีวิวฉบับเต็มตัวอย่างดังกล่าวอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้ ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในตัวอย่างที่ทราบพิกัดของจุดสองจุดและจำเป็นต้องคำนวณระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้น
ในบทความนี้เราจะดูวิธีกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในทางทฤษฎีและใช้ตัวอย่างของงานเฉพาะ เริ่มต้นด้วยการแนะนำคำจำกัดความบางอย่าง
คำจำกัดความ 1
ระยะห่างระหว่างจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกันตามมาตราส่วนที่มีอยู่ จำเป็นต้องกำหนดมาตราส่วนจึงจะมีหน่วยวัดความยาวในการวัด ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้วปัญหาในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ได้รับการแก้ไขโดยใช้พิกัดบนเส้นพิกัด ในระนาบพิกัด หรืออวกาศสามมิติ
ข้อมูลเริ่มต้น: พิกัดเส้น O x และจุด A ใด ๆ ที่วางอยู่บนนั้น จำนวนจริง: ให้จุด A เป็นจำนวนที่แน่นอน x กยังเป็นพิกัดของจุด A อีกด้วย
โดยทั่วไป เราสามารถพูดได้ว่าความยาวของส่วนใดส่วนหนึ่งได้รับการประเมินโดยเปรียบเทียบกับส่วนที่ถือเป็นหน่วยของความยาวในระดับที่กำหนด
หากจุด A สอดคล้องกับจำนวนจริงจำนวนเต็ม โดยจัดเรียงตามลำดับจากจุด O ไปยังจุดตามแนวเส้นตรง O ส่วน A - หน่วยความยาว เราสามารถกำหนดความยาวของส่วน O A จากจำนวนรวมของส่วนของหน่วยที่แยกไว้
ตัวอย่างเช่น จุด A สอดคล้องกับหมายเลข 3 - หากต้องการไปจากจุด O คุณจะต้องเลิกจ้างสามส่วนของหน่วย หากจุด A มีพิกัด - 4 ส่วนของหน่วยจะถูกจัดวางในลักษณะเดียวกัน แต่อยู่ในทิศทางลบที่ต่างออกไป ดังนั้นในกรณีแรก ระยะทาง O A เท่ากับ 3; ในกรณีที่สอง O A = 4
หากจุด A มีเลขตรรกยะเป็นพิกัด จากนั้นจากจุดกำเนิด (จุด O) เราจะพล็อตจำนวนเต็มของส่วนของหน่วย และจากนั้นส่วนที่จำเป็น แต่ในทางเรขาคณิต การวัดไม่สามารถทำได้ตลอดเวลา ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่ายากที่จะพล็อตเศษส่วน 4 111 บนเส้นพิกัด
เมื่อใช้วิธีการข้างต้น เป็นไปไม่ได้เลยที่จะพล็อตจำนวนอตรรกยะบนเส้นตรง เช่น เมื่อพิกัดของจุด A คือ 11 ในกรณีนี้เป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนเป็นนามธรรม: หากพิกัดที่กำหนดของจุด A มากกว่าศูนย์ดังนั้น O A = x A (ตัวเลขจะถูกนำมาเป็นระยะทาง) หากพิกัดน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น O A = - x A โดยทั่วไป ข้อความเหล่านี้เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง x A ใดๆ
โดยสรุป: ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริงบนเส้นพิกัดเท่ากับ:
- 0 ถ้าจุดนั้นตรงกับจุดกำเนิด
- x A ถ้า x A > 0;
- - x A ถ้า x A< 0 .
ในกรณีนี้เห็นได้ชัดว่าความยาวของเซ็กเมนต์นั้นไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นเมื่อใช้เครื่องหมายโมดูลัสเราจึงเขียนระยะทางจากจุด O ถึงจุด A ด้วยพิกัด x ก: OA = xA
ข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจะเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างของพิกัดเหล่านั้น. สำหรับจุด A และ B ที่อยู่ในเส้นพิกัดเดียวกันของสถานที่ใดๆ และมีพิกัดที่สอดคล้องกัน x กและ x ข: เอ ข = x ข - x ก .
ข้อมูลเริ่มต้น: จุด A และ B นอนอยู่บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y โดยมีพิกัดที่กำหนด: A (x A, y A) และ B (x B, y B)
ให้เราวาดเส้นตั้งฉากผ่านจุด A และ B ไปยังแกนพิกัด O x และ O y และได้ผลลัพธ์ที่ได้คือจุดฉายภาพ: A x, A y, B x, B y ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด A และ B ตัวเลือกต่อไปนี้จะเป็นไปได้:
หากจุด A และ B ตรงกัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเป็นศูนย์
ถ้าจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน O x (แกนแอบซิสซา) จุดนั้นจะตรงกัน และ | เอ บี | - ก y ข y | - เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดนั้นเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างของพิกัด ดังนั้น A y B y = y B - y A และด้วยเหตุนี้ A B = A y B y = y B - y A
หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน O y (แกนพิกัด) - โดยการเปรียบเทียบกับย่อหน้าก่อนหน้า: A B = A x B x = x B - x A
หากจุด A และ B ไม่อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เราจะค้นหาระยะห่างระหว่างแกนทั้งสองโดยหาสูตรการคำนวณ:
เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม A B C เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการก่อสร้าง ในกรณีนี้ A C = A x B x และ B C = A y B y เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสร้างความเท่าเทียมกัน: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 แล้วแปลงมัน: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
ลองสรุปจากผลลัพธ์ที่ได้รับ: ระยะทางจากจุด A ถึงจุด B บนระนาบถูกกำหนดโดยการคำนวณโดยใช้สูตรโดยใช้พิกัดของจุดเหล่านี้
AB = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
สูตรที่ได้ยังยืนยันข้อความที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้สำหรับกรณีของความบังเอิญของจุดหรือสถานการณ์ที่จุดนั้นอยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน ดังนั้น หากจุด A และ B ตรงกัน ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
สำหรับสถานการณ์ที่จุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน x:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
ในกรณีที่จุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด:
AB = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z โดยมีจุดใดๆ วางอยู่บนระบบพิกัด A (x A, y A, z A) และ B (x B, y B, z B) จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้
ลองพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อจุด A และ B ไม่อยู่ในระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง ให้เราวาดระนาบตั้งฉากกับแกนพิกัดผ่านจุด A และ B และรับจุดฉายที่สอดคล้องกัน: A x , A y , A z , B x , B y , B z
ระยะห่างระหว่างจุด A และ B คือเส้นทแยงมุมของผลลัพธ์ที่เป็นรูปขนาน ตามการก่อสร้างการวัดของเส้นขนานนี้: A x B x , A y B y และ A z B z
จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้ว่ากำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน จากข้อความนี้ เราได้รับความเท่าเทียมกัน: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
โดยใช้ข้อสรุปที่ได้รับก่อนหน้านี้เราเขียนสิ่งต่อไปนี้:
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
มาแปลงนิพจน์กันเถอะ:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
สุดท้าย สูตรกำหนดระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศจะมีลักษณะเช่นนี้:
A B = x B - x A 2 + y B - y 2 + (z B - z A) 2
สูตรผลลัพธ์ยังใช้ได้สำหรับกรณีที่:
ประเด็นตรงกัน;
พวกมันอยู่บนแกนพิกัดเดียวหรือเป็นเส้นตรงขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างจุด
ตัวอย่างที่ 1ข้อมูลเริ่มต้น: เส้นพิกัดและจุดที่วางอยู่บนนั้นด้วยพิกัดที่กำหนด A (1 - 2) และ B (11 + 2) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุดกำเนิด O ถึงจุด A และระหว่างจุด A และ B
สารละลาย
- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงถึงจุดเท่ากับโมดูลัสของพิกัดของจุดนี้ ตามลำดับ O A = 1 - 2 = 2 - 1
- เรากำหนดระยะห่างระหว่างจุด A และ B เป็นโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดเหล่านี้: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
คำตอบ: O A = 2 - 1, AB = 10 + 2 2
ตัวอย่างที่ 2
ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและจุดสองจุดที่วางอยู่บนนั้น A (1, - 1) และ B (แล + 1, 3) จะได้รับ lah คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง จำเป็นต้องค้นหาค่าทั้งหมดของตัวเลขนี้ซึ่งระยะทาง A B จะเท่ากับ 5
สารละลาย
ในการหาระยะห่างระหว่างจุด A และ B คุณต้องใช้สูตร A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
แทนค่าพิกัดจริงเราจะได้: AB = (แลม + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = แลม 2 + 16
นอกจากนี้เรายังใช้เงื่อนไขที่มีอยู่ว่า A B = 5 แล้วความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
แล 2 + 16 = 5 แล 2 + 16 = 25 แล = ± 3
คำตอบ: AB = 5 ถ้า แล = ± 3
ตัวอย่างที่ 3
ข้อมูลเริ่มต้น: มีการระบุช่องว่างสามมิติในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z และจุด A (1, 2, 3) และ B - 7, - 2, 4 ที่อยู่ในนั้น
สารละลาย
ในการแก้ปัญหาเราใช้สูตร A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
แทนค่าจริงเราจะได้: AB = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
คำตอบ: | เอ บี | = 9
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
คณิตศาสตร์
§2 พิกัดของจุดบนเครื่องบิน
3. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
ตอนนี้คุณและฉันสามารถพูดคุยเกี่ยวกับจุดในภาษาของตัวเลขได้แล้ว ตัวอย่างเช่น เราไม่จำเป็นต้องอธิบายอีกต่อไป: หาจุดที่อยู่ห่างจากแกนขวาสามหน่วยและต่ำกว่าแกนอีกห้าหน่วย พูดง่ายๆ ก็คือ เข้าใจประเด็นนั้นซะ
เราได้กล่าวไปแล้วว่าสิ่งนี้สร้างข้อได้เปรียบบางประการ ดังนั้นเราจึงสามารถส่งภาพวาดที่ประกอบด้วยจุดทางโทรเลขและสื่อสารกับคอมพิวเตอร์ซึ่งไม่เข้าใจภาพวาดเลย แต่เข้าใจตัวเลขได้ดี
ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้กำหนดจุดบางจุดบนระนาบโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข ทีนี้ลองแปลแนวคิดและข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตอื่นๆ เป็นภาษาของตัวเลขอย่างสม่ำเสมอ
เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่เรียบง่ายและทั่วไป
ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน
สารละลาย:
เช่นเคย เราถือว่าจุดต่างๆ ถูกกำหนดโดยพิกัดของมัน จากนั้นงานของเราคือค้นหากฎที่ใช้คำนวณระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ โดยรู้พิกัดของจุดเหล่านั้น เมื่อได้รับกฎนี้แน่นอนว่าอนุญาตให้หันไปใช้รูปวาดได้ แต่กฎนั้นไม่ควรมีการอ้างอิงใด ๆ กับรูปวาด แต่ควรแสดงเฉพาะการกระทำใดและในลำดับใดที่ต้องทำกับตัวเลขที่กำหนด - พิกัด ของจุด - เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการ - ระยะห่างระหว่างจุด
บางทีผู้อ่านบางคนอาจพบว่าแนวทางในการแก้ปัญหานี้แปลกและลึกซึ้ง อะไรที่ง่ายกว่านั้นพวกเขาจะบอกว่าให้คะแนนแม้จะเป็นพิกัดก็ตาม วาดจุดเหล่านี้ ใช้ไม้บรรทัดแล้ววัดระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้น
วิธีการนี้บางครั้งก็ไม่ได้แย่นัก อย่างไรก็ตาม ลองจินตนาการอีกครั้งว่าคุณกำลังเผชิญอยู่ คอมพิวเตอร์- เธอไม่มีไม้บรรทัด และไม่วาดรูป แต่เธอสามารถนับได้เร็วมากจนไม่เป็นปัญหาสำหรับเธอเลย โปรดทราบว่าปัญหาของเราได้รับการกำหนดขึ้นเพื่อให้กฎสำหรับการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดประกอบด้วยคำสั่งที่เครื่องสามารถดำเนินการได้
เป็นการดีกว่าที่จะแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นสำหรับกรณีพิเศษก่อนเมื่อจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้อยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด เริ่มต้นด้วยตัวอย่างเชิงตัวเลข: ค้นหาระยะห่างจากจุดกำเนิดของจุด และ .
บันทึก. ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตอนนี้ให้เขียนสูตรทั่วไปเพื่อคำนวณระยะทางของจุดจากจุดกำเนิด
ระยะทางจากจุดกำเนิดถูกกำหนดโดยสูตร:
แน่นอนว่ากฎที่แสดงโดยสูตรนี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถใช้ในการคำนวณบนเครื่องที่สามารถคูณตัวเลข บวก และแยกรากที่สองได้
ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหาทั่วไปกัน
เมื่อพิจารณาจากจุดสองจุดบนเครื่องบิน จงหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง
สารละลาย:
ให้เราแสดงโดย , , , การฉายภาพจุดและบนแกนพิกัด
ให้เราแสดงจุดตัดของเส้นด้วยตัวอักษร . จากสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราได้:
แต่ความยาวของปล้องจะเท่ากับความยาวของปล้อง จุด และ , อยู่บนแกนและมีพิกัด และ ตามลำดับ ตามสูตรที่ได้รับในวรรค 3 ของวรรค 2 ระยะห่างระหว่างพวกเขาเท่ากับ .
เมื่อโต้แย้งในทำนองเดียวกัน เราพบว่าความยาวของเซ็กเมนต์เท่ากับ แทนที่ค่าที่พบและเป็นสูตรที่เราได้รับ