รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเพียงสองด้านเรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมู.

ด้านขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าด้านของมัน เหตุผลและด้านที่ไม่ขนานกันนั้นเรียกว่า ด้านข้าง- หากด้านข้างเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว ระยะห่างระหว่างฐานเรียกว่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูเส้นกลาง

เส้นกึ่งกลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

ทฤษฎีบท:

ถ้าเส้นตรงที่ตัดตรงกลางด้านหนึ่งขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะตัดด้านที่สองของสี่เหลี่ยมคางหมู

ทฤษฎีบท:

ความยาวของเส้นกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน

เส้นกึ่งกลาง MN, AB และ CD - ฐาน, AD และ BC - ด้านข้าง

MN = (AB + กระแสตรง)/2

ทฤษฎีบท:

ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน

ภารกิจหลัก: พิสูจน์ว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดส่วนที่ปลายอยู่ตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

ส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ขนานกับด้านที่สามและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านที่สาม
ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นที่ตัดจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขนานกับอีกด้านของรูปสามเหลี่ยม เส้นนั้นจะตัดด้านที่สาม

AM = MC และ BN = NC =>

การใช้คุณสมบัติเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู

การแบ่งส่วนออกเป็นจำนวนส่วนเท่า ๆ กัน
ภารกิจ: แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน
สารละลาย:
ให้ p เป็นรังสีสุ่มที่มีจุดกำเนิดคือจุด A และไม่อยู่บนเส้นตรง AB เราจัดเรียง 5 ส่วนเท่า ๆ กันตามลำดับบน p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
เราเชื่อมต่อ A 5 กับ B และลากเส้นดังกล่าวผ่าน A 4, A 3, A 2 และ A 1 ที่ขนานกับ A 5 B พวกเขาตัดกัน AB ตามลำดับที่จุด B 4, B 3, B 2 และ B 1 จุดเหล่านี้แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน อันที่จริง จากรูปสี่เหลี่ยมคางหมู BB 3 A 3 A 5 เราจะเห็นว่า BB 4 = B 4 B 3 ในทำนองเดียวกันจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 4 B 2 A 2 A 4 เราได้ B 4 B 3 = B 3 B 2

ในขณะที่มาจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1
จากนั้นจาก B 2 AA 2 จะตามมาว่า B 2 B 1 = B 1 A โดยสรุปเราได้:
เอบี 1 = บี 1 บี 2 = บี 2 บี 3 = บี 3 บี 4 = บี 4 บี
เห็นได้ชัดว่าในการแบ่งเซกเมนต์ AB ออกเป็นอีกจำนวนหนึ่งที่มีส่วนเท่าๆ กัน เราต้องฉายเซ็กเมนต์ที่เท่ากันในจำนวนเท่ากันลงบนรังสี p แล้วดำเนินการต่อในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น

\[(\Large(\text(ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)))\]

คำจำกัดความ

สามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกันถ้ามุมของพวกมันเท่ากันตามลำดับ และด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านที่คล้ายกันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
(ด้านจะเรียกว่าคล้ายกันหากอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน)

ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม (คล้ายกัน) คือตัวเลขที่เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่คล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้

คำนิยาม

เส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมคือผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด

ทฤษฎีบท

อัตราส่วนของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์

พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A_1B_1C_1\) ที่มีด้าน \(a,b,c\) และ \(a_1, b_1, c_1\) ตามลำดับ (ดูรูปด้านบน)

แล้ว \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

ทฤษฎีบท

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์

ให้สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A_1B_1C_1\) คล้ายกัน และ \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\)- ให้เราแสดงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ด้วยตัวอักษร \(S\) และ \(S_1\) ตามลำดับ

เนื่องจาก \(\angle A = \angle A_1\) ดังนั้น \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(โดยทฤษฎีบทเรื่องอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากัน)

เพราะ \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), ที่ \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\)ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

\[(\Large(\text(สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)))\]

ทฤษฎีบท (สัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)

หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวมีความคล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์

ให้ \(ABC\) และ \(A_1B_1C_1\) เป็นรูปสามเหลี่ยมในลักษณะที่ \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) จากนั้นตามทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม \(\มุม C = 180^\circ - \มุม A - \มุม B = 180^\circ - \มุม A_1 - \มุม B_1 = \มุม C_1\)นั่นคือมุมของสามเหลี่ยม \(ABC\) เท่ากับมุมของสามเหลี่ยม \(A_1B_1C_1\) ตามลำดับ

เนื่องจาก \(\angle A = \angle A_1\) และ \(\angle B = \angle B_1\) ดังนั้น \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)และ \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นไปตามนั้น \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(ใช้ความเท่าเทียมกัน \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) )

ผลที่ได้คือ ด้านของสามเหลี่ยม \(ABC\) จะเป็นสัดส่วนกับด้านที่คล้ายกันของสามเหลี่ยม \(A_1B_1C_1\) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่สองสำหรับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)

ถ้าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

การพิสูจน์

พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูป \(ABC\) และ \(A"B"C"\) เช่นนั้น \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) ลองพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A"B"C"\) คล้ายกัน เมื่อคำนึงถึงสัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะแสดงว่า \(\angle B = \angle B"\)

พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ABC""\) ด้วย \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) สามเหลี่ยม \(ABC""\) และ \(A"B"C"\) มีความคล้ายคลึงกันตามเกณฑ์แรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม จากนั้น \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

ในทางกลับกันตามเงื่อนไข \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\)- จากความเท่าเทียมกันสองตัวสุดท้ายจะตามมาว่า \(AC = AC""\)

สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(ABC""\) เท่ากันในสองด้านและมีมุมระหว่างสองด้าน ดังนั้น \(\มุม B = \มุม 2 = \มุม B"\).

ทฤษฎีบท (เครื่องหมายที่สามของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)

ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะคล้ายกัน

การพิสูจน์

ให้ด้านของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A"B"C"\) เป็นสัดส่วน: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)- ให้เราพิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(A"B"C"\) มีความคล้ายคลึงกัน

ในการทำเช่นนี้ โดยคำนึงถึงเกณฑ์ที่สองสำหรับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่า \(\angle BAC = \angle A"\)

พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ABC""\) ด้วย \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\)

สามเหลี่ยม \(ABC""\) และ \(A"B"C"\) มีความคล้ายคลึงกันตามเกณฑ์แรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

จากห่วงโซ่สุดท้ายของความเสมอภาคและเงื่อนไข \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)ตามนั้น \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\)

สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(ABC""\) เท่ากันทั้งสามด้าน ดังนั้น \(\มุม BAC = \มุม 1 = \มุม A"\).

\[(\Large(\text(ทฤษฎีบทของทาเลส)))\]

ทฤษฎีบท

หากคุณทำเครื่องหมายส่วนที่เท่ากันที่ด้านหนึ่งของมุมและลากเส้นตรงขนานผ่านปลายของมัน เส้นตรงเหล่านี้จะตัดส่วนที่เท่ากันในอีกด้านหนึ่งด้วย

การพิสูจน์

มาพิสูจน์กันก่อน บทแทรก:ถ้าใน \(\triangle OBB_1\) เส้นตรง \(a\parallel BB_1\) ถูกลากผ่านตรงกลาง \(A\) ของด้าน \(OB\) แล้วเส้นตรงก็จะตัดด้าน \(OB_1\) ในด้วย ตรงกลาง

ผ่านจุด \(B_1\) เราวาด \(l\parallel OB\) ให้ \(l\cap a=K\) . จากนั้น \(ABB_1K\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น \(B_1K=AB=OA\) และ \(\มุม A_1KB_1=\มุม ABB_1=\มุม OAA_1\); \(\มุม AA_1O=\มุม KA_1B_1\)เหมือนแนวตั้ง ดังนั้นตามสัญญาณที่สอง \(\สามเหลี่ยม OAA_1=\สามเหลี่ยม B_1KA_1 \ลูกศรขวา OA_1=A_1B_1\)- บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

เรามาดูการพิสูจน์ทฤษฎีบทกันดีกว่า ให้ \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) และเราต้องพิสูจน์ว่า \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

ดังนั้นตามบทแทรกนี้ \(OA_1=A_1B_1\) ลองพิสูจน์ว่า \(A_1B_1=B_1C_1\) . ให้เราลากเส้น \(d\parallel OC\) ผ่านจุด \(B_1\) และปล่อยให้ \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) ดังนั้น \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) ดังนั้น, \(\มุม A_1B_1D_1=\มุม C_1B_1D_2\)เหมือนแนวตั้ง \(\มุม A_1D_1B_1=\มุม C_1D_2B_1\)นอนเหมือนไม้กางเขนและตามสัญญาณที่สอง \(\สามเหลี่ยม A_1B_1D_1=\สามเหลี่ยม C_1B_1D_2 \ลูกศรขวา A_1B_1=B_1C_1\).

ทฤษฎีบทของทาเลส

เส้นขนานตัดส่วนของสัดส่วนที่ด้านข้างของมุมออก

การพิสูจน์

ให้เส้นขนาน \(p\ขนาน q\ขนาน r\ขนาน s\)แบ่งบรรทัดหนึ่งออกเป็นส่วน \(a, b, c, d\) จากนั้นเส้นตรงเส้นที่สองควรถูกแบ่งออกเป็นส่วน \(ka, kb, kc, kd\) ตามลำดับ โดยที่ \(k\) คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่เท่ากันของส่วนต่างๆ

ขอให้เราลากผ่านจุด \(A_1\) เส้นตรง \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น \(AB=A_1B_2\) ) แล้ว \(\สามเหลี่ยม OAA_1 \ซิม \สามเหลี่ยม A_1B_1B_2\)ตรงสองมุม เพราะฉะนั้น, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \ลูกศรขวา A_1B_1=kb\).

ในทำนองเดียวกัน เราลากเส้นตรงผ่าน \(B_1\) \(q\ขนาน OD \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม OBB_1\sim \สามเหลี่ยม B_1C_1C_2 \ลูกศรขวา B_1C_1=kc\)ฯลฯ

\[(\Large(\text(เส้นกลางของสามเหลี่ยม)))\]

คำนิยาม

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

การพิสูจน์

1) ความขนานของเส้นกึ่งกลางถึงฐานต่อจากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น บทแทรก.

2) ขอให้เราพิสูจน์ว่า \(MN=\dfrac12 AC\)

ผ่านจุด \(N\) เราวาดเส้นขนานกับ \(AB\) ให้เส้นนี้ตัดด้าน \(AC\) ที่จุด \(K\) จากนั้น \(AMNK\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ( \(AM\ขนาน NK, MN\AK ขนาน\)ตามข้อก่อนหน้า) ดังนั้น \(MN=AK\)

เพราะ \(NK\parallel AB\) และ \(N\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(BC\) จากนั้นตามทฤษฎีบทของทาเลส \(K\) คือจุดกึ่งกลางของ \(AC\) ดังนั้น \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\)

ผลที่ตามมา

เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับเส้นที่กำหนดโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ \(\frac12\) ออก

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านทั้ง 2 ด้าน ดังนั้น แต่ละสามเหลี่ยมจะมีเส้นกลาง 3 เส้น เมื่อทราบคุณภาพของเส้นกึ่งกลาง ตลอดจนความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมและมุมของสามเหลี่ยมแล้ว คุณก็สามารถกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลางได้

คุณจะต้อง

• ด้านของสามเหลี่ยม, มุมของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

1. ให้ในรูปสามเหลี่ยม ABC MN เป็นจุดกึ่งกลางที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้าน AB (จุด M) และ AC (จุด N) ตามคุณสมบัติ เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้าน 2 ด้านจะขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่งของ มัน. ซึ่งหมายความว่า เส้นกึ่งกลาง MN จะขนานกับด้าน BC และเท่ากับ BC/2 ดังนั้น เพื่อกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านของด้านที่สามนี้แล้ว

2. ให้เราทราบด้านต่างๆ โดยจุดกึ่งกลางที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นกลาง MN ซึ่งก็คือ AB และ AC รวมถึงมุม BAC ที่อยู่ระหว่างกัน เนื่องจาก MN คือเส้นกลาง ดังนั้น AM = AB/2 และ AN = AC/2 จากนั้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์ MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*คอส (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*คอส(BAC)/2 ดังนั้น MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2)

3. หากทราบด้าน AB และ AC เส้นกึ่งกลาง MN สามารถพบได้โดยการรู้มุม ABC หรือ ACB สมมุติว่ามุม ABC มีชื่อเสียง เนื่องจากตามคุณสมบัติของเส้นกึ่งกลาง MN นั้นขนานกับ BC แล้วมุม ABC และ AMN จะสอดคล้องกัน และด้วยเหตุนี้ ABC = AMN จากนั้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN) ดังนั้น สามารถหาด้าน MN ได้จากสมการกำลังสอง (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0

เคล็ดลับ 2: วิธีค้นหาด้านของสามเหลี่ยมจัตุรัส

สามเหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างถูกต้องมากกว่า ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้จะมีการพูดคุยกันโดยละเอียดในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ของวิชาตรีโกณมิติ

คุณจะต้อง

• – แผ่นกระดาษ
• - ปากกา;
• – โต๊ะแบรดิส;
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

1. ค้นพบ ด้านข้างสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมด้วยการสนับสนุนของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทนี้ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: c2 = a2+b2 โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยม, a และ b คือขาของมัน ในการใช้สมการนี้ คุณต้องรู้ความยาวของด้าน 2 ด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม .

2. ถ้าเงื่อนไขระบุขนาดของขา ให้หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ในการทำเช่นนี้โดยใช้เครื่องคิดเลขให้แยกรากที่สองของผลรวมของขาแล้วยกกำลังสองล่วงหน้า

3. คำนวณความยาวของขาข้างหนึ่งหากคุณทราบขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาอีกข้างหนึ่ง ใช้เครื่องคิดเลข แยกรากที่สองของผลต่างระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสองกับขานำยกกำลังสองด้วย

4. หากปัญหาระบุด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งที่อยู่ติดกัน ให้ใช้ตาราง Bradis พวกเขาให้ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมจำนวนมาก ใช้เครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ รวมถึงทฤษฎีบทตรีโกณมิติที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม .

5. ค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน: a = c*sin?, b = c*cos? โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม?, b คือขาที่อยู่ติดกับมุม? คำนวณขนาดของด้านข้างด้วยวิธีเดียวกัน สามเหลี่ยม, ถ้าให้ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมอีกมุมหนึ่ง: b = c*sin?, a = c*cos? โดยที่ b คือขาตรงข้ามกับมุม? และขาอยู่ติดกับมุมนั้นหรือไม่

6. ในกรณีที่เราหาขา a และมุมแหลมที่อยู่ติดกัน อย่าลืมว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของมุมแหลมจะเท่ากับ 90° เสมอ: ? - = 90°. จงหาค่าของมุมตรงข้ามขา a: ? = 90° – ?. หรือใช้สูตรลดตรีโกณมิติ: บาป? = บาป (90° – ?) = cos ?; ใช่ไหม? = tg (90° – ?) = กะรัต ? = 1/tg?.

7. หากเรามีขา a และมีมุมแหลมตรงข้ามกับมัน? โดยใช้ตารางแบรดิส เครื่องคิดเลขและฟังก์ชันตรีโกณมิติ คำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้สูตร: c=a*sin?, ขา: b=a*tg?

วิดีโอในหัวข้อ