ความถี่ลูกตุ้มสปริง การสั่นสะเทือนฟรี ลูกตุ้มสปริง แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง
หากลูกบอลถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุลด้วยระยะห่าง x ดังนั้นการยืดตัวของสปริงจะเท่ากับ Δl 0 + x จากนั้นแรงที่เกิดขึ้นจะได้ค่า:
เมื่อคำนึงถึงสภาวะสมดุล (1.7.1) เราได้รับ:
เครื่องหมายลบแสดงว่าการกระจัดและแรงอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม
แรงยืดหยุ่น f มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- เป็นสัดส่วนกับการกระจัดของลูกบอลจากตำแหน่งสมดุล
- มันจะมุ่งสู่ตำแหน่งสมดุลเสมอ
เพื่อที่จะให้การกระจัด x แก่ระบบ จะต้องทำงานต้านแรงยืดหยุ่น:
งานนี้มุ่งสู่การสร้างพลังงานสำรองศักย์ของระบบ:
ภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น ลูกบอลจะเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุลด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นพลังงานศักย์ของระบบจะลดลง แต่พลังงานจลน์จะเพิ่มขึ้น (เราละเลยมวลของสปริง) เมื่อถึงตำแหน่งสมดุลแล้ว ลูกบอลจะเคลื่อนที่ต่อไปตามแรงเฉื่อย นี่คือการเคลื่อนไหวช้าและจะหยุดเมื่อพลังงานจลน์ถูกแปลงเป็นพลังงานศักย์โดยสมบูรณ์ จากนั้นกระบวนการเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม หากไม่มีแรงเสียดทานในระบบ ลูกบอลจะแกว่งไปเรื่อย ๆ
สมการของกฎข้อที่สองของนิวตันในกรณีนี้คือ:
ลองแปลงสมการดังนี้:
ด้วยการแนะนำสัญกรณ์ เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง:
ด้วยการทดแทนโดยตรง ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคำตอบทั่วไปของสมการ (1.7.8) มีรูปแบบดังนี้:
โดยที่ a - แอมพลิจูดและ φ - เฟสเริ่มต้นของการสั่น - ค่าคงที่ ดังนั้นการแกว่งของลูกตุ้มสปริงจึงเป็นฮาร์โมนิค (รูปที่ 1.7.2)
ข้าว. 1.7.2. การสั่นแบบฮาร์มอนิก
เนื่องจากความเป็นคาบของโคไซน์ สถานะต่างๆ ของระบบการสั่นจึงเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (ช่วงการสั่น) T ซึ่งในระหว่างนั้นระยะการสั่นจะเพิ่มขึ้น 2π คุณสามารถคำนวณระยะเวลาโดยใช้ความเท่าเทียมกัน:
จากนี้:
จำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความถี่:
หน่วยความถี่คือความถี่ของการสั่นซึ่งมีคาบ 1 วินาที หน่วยนี้เรียกว่า 1 Hz
จาก (1.7.11) เป็นไปตามนั้น:
ดังนั้น ω 0 คือจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นใน 2π วินาที ปริมาณ ω 0 เรียกว่าความถี่วงกลมหรือวงจร การใช้ (1.7.12) และ (1.7.13) เราเขียน:
เมื่อสร้างความแตกต่าง () ตามเวลา เราจะได้นิพจน์สำหรับความเร็วของลูกบอล:
จาก (1.7.15) ความเร็วจะเปลี่ยนไปตามกฎฮาร์มอนิกและทำให้การกระจัดของเฟสก้าวหน้าไป 1/2π การสร้างความแตกต่าง (1.7.15) เราได้รับการเร่งความเร็ว:
1.7.2. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์
ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เรียกระบบอุดมคติที่ประกอบด้วยด้ายไร้น้ำหนักที่ยืดไม่ได้ซึ่งร่างกายถูกแขวนไว้ มวลทั้งหมดมีความเข้มข้นอยู่ที่จุดเดียว
การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลนั้นมีลักษณะเป็นมุม φ ที่เกิดจากเกลียวในแนวตั้ง (รูปที่ 1.7.3)
ข้าว. 1.7.3. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์
เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล โมเมนต์การหมุนจะเกิดขึ้น ซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:
ให้เราเขียนสมการพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของลูกตุ้มโดยคำนึงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยของมันเท่ากับ มล. 2:
สมการนี้สามารถลดลงได้ในรูปแบบ:
จำกัดตัวเราไว้ในกรณีของการสั่นเล็กน้อย sinφ µ φ และแนะนำสัญกรณ์:
สมการ (1.7.19) สามารถแสดงได้ดังนี้:
ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับสมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริง ดังนั้นสารละลายของมันจะเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิก:
จาก (1.7.20) ตามมาว่าความถี่ของวัฏจักรของการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความยาวและความเร่งของแรงโน้มถ่วง การใช้สูตรสำหรับคาบการสั่น () และ (1.7.20) เราได้รับความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดี:
1.7.3. ลูกตุ้มทางกายภาพ
เรียกว่าลูกตุ้มทางกายภาพ แข็งซึ่งสามารถแกว่งไปรอบจุดคงที่ซึ่งไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยได้ ในตำแหน่งสมดุล จุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้ม C จะอยู่ใต้จุดแขวนลอย O ในแนวตั้งเดียวกัน (รูปที่ 1.7.4)
ข้าว. 1.7.4. ลูกตุ้มทางกายภาพ
เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุม φ โมเมนต์การหมุนจะเกิดขึ้น ซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:
โดยที่ m คือมวลของลูกตุ้ม l คือระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยและจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้ม
ให้เราเขียนสมการสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของลูกตุ้มโดยคำนึงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยของมันเท่ากับ I:
สำหรับการสั่นสะเทือนเล็กน้อย sinφ γ φ จากนั้นจึงแนะนำสัญกรณ์:
ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันในรูปแบบสมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริงด้วย จากสมการ (1.7.27) และ (1.7.26) ตามมาว่าสำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยของลูกตุ้มทางกายภาพจากตำแหน่งสมดุล มันจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิก ความถี่ซึ่งขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม โมเมนต์ความเฉื่อย และระยะห่างระหว่างแกนหมุนกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อย การใช้ (1.7.26) คุณสามารถคำนวณระยะเวลาการแกว่งได้:
เมื่อเปรียบเทียบสูตร (1.7.28) และ () เราจะได้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาว:
จะมีคาบการสั่นเท่ากับลูกตุ้มทางกายภาพที่พิจารณา เรียกว่าปริมาณ (1.7.29) ความยาวลดลงลูกตุ้มทางกายภาพ ดังนั้น ความยาวที่ลดลงของลูกตุ้มทางกายภาพคือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีคาบการสั่นเท่ากับคาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพที่กำหนด
เรียกว่าจุดบนเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดแขวนกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยซึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุนที่มีความยาวลดลง ศูนย์สวิงลูกตุ้มทางกายภาพ ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มทางกายภาพมีค่าเท่ากับ:
โดยที่ I 0 คือโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับศูนย์กลางของความเฉื่อย แทนที่ (1.7.30) ลงใน (1.7.29) เราจะได้:
ผลที่ตามมาคือ ความยาวที่ลดลงจะมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของลูกตุ้มเสมอ ดังนั้นจุดแขวนลอยและจุดศูนย์กลางวงสวิงจึงอยู่ที่ด้านตรงข้ามของจุดศูนย์กลางความเฉื่อย
1.7.4. พลังงานของการสั่นฮาร์มอนิก
เมื่อการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกจะเกิดการเปลี่ยนแปลงซึ่งกันและกันเป็นระยะ พลังงานจลน์ตัวสั่น E k และพลังงานศักย์ E p เนื่องจากการกระทำของแรงกึ่งยืดหยุ่น พลังงานเหล่านี้ประกอบเป็นพลังงานทั้งหมด E ของระบบออสซิลลาทอรี:
มาเขียนนิพจน์สุดท้ายกัน
แต่ k = mω 2 ดังนั้นเราจึงได้นิพจน์สำหรับพลังงานรวมของวัตถุที่แกว่งไปมา
ดังนั้น พลังงานรวมของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจึงคงที่และเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดและกำลังสองของความถี่วงกลมของการสั่นสะเทือน
1.7.5. การสั่นแบบหน่วง .
เมื่อศึกษาการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก แรงเสียดทานและความต้านทานที่มีอยู่ในระบบจริงจะไม่ถูกนำมาพิจารณาด้วย การกระทำของแรงเหล่านี้เปลี่ยนลักษณะของการเคลื่อนไหวอย่างมีนัยสำคัญ การสั่นจะกลายเป็น ซีดจาง.
หากในระบบนอกเหนือจากแรงกึ่งยืดหยุ่นแล้วยังมีแรงต้านทานต่อสิ่งแวดล้อม (แรงเสียดทาน) กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้:
โดยที่ r คือค่าสัมประสิทธิ์การเสียดสีที่แสดงคุณสมบัติของตัวกลางในการต้านทานการเคลื่อนไหว ลองแทน (1.7.34b) ลงใน (1.7.34a):
กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงในรูปที่ 1.7.5 โดยมีเส้นโค้งทึบ 1 และเส้นประ 2 แสดงการเปลี่ยนแปลงของแอมพลิจูด:
โดยมีแรงเสียดทานน้อยมาก คาบของการสั่นแบบหน่วงจะใกล้เคียงกับคาบของการแกว่งอิสระที่ไม่มีการหน่วง (1.7.35.b)
อัตราการลดลงของแอมพลิจูดของการแกว่งจะถูกกำหนด ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน: ยิ่งค่า β มากเท่าใด ผลการยับยั้งของตัวกลางก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น และแอมพลิจูดจะลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น ในทางปฏิบัติ ระดับของการลดทอนมักจะมีลักษณะเฉพาะ การลดลงของการหน่วงลอการิทึมซึ่งหมายความว่าค่านี้เท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนของแอมพลิจูดการแกว่งต่อเนื่องสองค่า คั่นด้วยช่วงเวลาเท่ากับคาบการสั่น:
;
ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงและการลดลงแบบลอการิทึมจึงมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ที่ค่อนข้างง่าย:
ด้วยการหน่วงที่รุนแรง สูตร (1.7.37) แสดงว่าคาบการสั่นเป็นปริมาณจินตภาพ การเคลื่อนไหวในกรณีนี้ได้ถูกเรียกไปแล้ว เป็นระยะๆ- กราฟของการเคลื่อนที่แบบเป็นระยะแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.7.6. เรียกว่าการสั่นแบบไม่แดมป์และการสั่นแบบแดมป์ เป็นเจ้าของ หรือ ฟรี- เกิดขึ้นจากการกระจัดเริ่มต้นหรือความเร็วเริ่มต้นและเกิดขึ้นในกรณีที่ไม่มีอยู่ อิทธิพลภายนอกเนื่องจากพลังงานสะสมเริ่มแรก
1.7.6. แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง .
บังคับ การสั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นในระบบโดยมีส่วนร่วมของแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงตามกฎเป็นระยะ
ให้เราสมมติว่าจุดวัสดุ นอกเหนือจากแรงกึ่งยืดหยุ่นและแรงเสียดทานแล้ว ยังถูกกระทำโดยแรงผลักดันภายนอก
,
โดยที่ F 0 - แอมพลิจูด; ω - ความถี่วงกลมของการแกว่งของแรงผลักดัน มาสร้างสมการเชิงอนุพันธ์กัน (กฎข้อที่สองของนิวตัน):
,
แอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนแบบบังคับ (1.7.39) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแอมพลิจูดของแรงขับเคลื่อน และมีการขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงของตัวกลางและความถี่วงกลมของการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติและการสั่นสะเทือนแบบบังคับอย่างซับซ้อน หากกำหนด ω 0 และ β สำหรับระบบ แอมพลิจูดของการแกว่งแบบบังคับจะมี ค่าสูงสุดที่ความถี่เฉพาะของแรงผลักดันที่เรียกว่า สะท้อน.
ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการบรรลุแอมพลิจูดสูงสุดสำหรับ ω 0 และ β ที่กำหนด เสียงก้อง.
ข้าว. 1.7.7. เสียงก้อง |
ในกรณีที่ไม่มีความต้านทาน แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับที่เสียงสะท้อนจะมีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้จาก ω res =ω 0 เช่น เสียงสะท้อนในระบบที่ไม่มีการหน่วงเกิดขึ้นเมื่อความถี่ของแรงขับเคลื่อนเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติ การพึ่งพาแบบกราฟิกของแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับกับความถี่วงกลมของแรงผลักดันที่ ความหมายที่แตกต่างกันค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนจะแสดงในรูป 5.
เสียงสะท้อนทางกลอาจเป็นได้ทั้งประโยชน์และโทษ ผลกระทบที่เป็นอันตรายของการสั่นพ้องส่วนใหญ่เกิดจากการทำลายที่อาจเกิดขึ้น ดังนั้นในเทคโนโลยีโดยคำนึงถึงการสั่นสะเทือนต่าง ๆ จำเป็นต้องจัดให้มีเงื่อนไขการเกิดเรโซแนนซ์ที่เป็นไปได้ไม่เช่นนั้นอาจเกิดการทำลายล้างและภัยพิบัติได้ ร่างกายมักจะมีความถี่การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติหลายความถี่ และด้วยเหตุนี้ จึงมีความถี่เรโซแนนซ์หลายความถี่ด้วย
หากค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของอวัยวะภายในของบุคคลไม่ดีนักปรากฏการณ์การสั่นพ้องที่เกิดขึ้นในอวัยวะเหล่านี้ภายใต้อิทธิพลของการสั่นสะเทือนภายนอกหรือคลื่นเสียงอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าเศร้า: การแตกของอวัยวะ, ความเสียหายต่อเอ็น ฯลฯ อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์ดังกล่าวไม่สามารถสังเกตได้จริงภายใต้อิทธิพลภายนอกในระดับปานกลาง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของระบบชีวภาพมีขนาดค่อนข้างใหญ่ อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ภายใต้การกระทำของการสั่นสะเทือนทางกลภายนอกเกิดขึ้น อวัยวะภายใน- เห็นได้ชัดว่านี่เป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เกิดผลกระทบด้านลบจากการสั่นสะเทือนและการสั่นสะเทือนแบบอินฟราเรดต่อร่างกายมนุษย์
1.7.7. การสั่นด้วยตนเอง
นอกจากนี้ยังมีระบบการสั่นที่ควบคุมการเติมพลังงานที่สูญเสียไปเป็นระยะและสามารถแกว่งได้เป็นเวลานาน
การแกว่งแบบไม่หน่วงที่มีอยู่ในระบบใด ๆ ในกรณีที่ไม่มีอิทธิพลภายนอกที่แปรผันจะถูกเรียกว่า การสั่นของตัวเองและระบบเอง - สั่นด้วยตนเอง
แอมพลิจูดและความถี่ของการสั่นในตัวเองนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระบบการสั่นในตัวเอง ซึ่งต่างจากการสั่นแบบบังคับตรงที่ไม่ได้ถูกกำหนดโดยอิทธิพลภายนอก
ในหลายกรณี ระบบการสั่นในตัวเองสามารถแสดงได้ด้วยองค์ประกอบหลักสามประการ (รูปที่ 1.7.8): 1) ระบบการสั่นเอง; 2) แหล่งพลังงาน 3) ตัวควบคุมการจ่ายพลังงานให้กับระบบออสซิลเลเตอร์เอง ระบบออสซิลเลเตอร์ทำหน้าที่กับตัวควบคุมผ่านช่องทางป้อนกลับ (รูปที่ 6) เพื่อแจ้งให้ตัวควบคุมทราบเกี่ยวกับสถานะของระบบนี้
ตัวอย่างคลาสสิกของระบบการสั่นในตัวเองทางกลคือนาฬิกาที่ลูกตุ้มหรือเครื่องชั่งเป็นระบบการสั่น สปริงหรือตุ้มน้ำหนักที่ยกขึ้นเป็นแหล่งพลังงาน และพุกเป็นตัวควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งกำเนิด เข้าสู่ระบบสั่น
มากมาย ระบบชีวภาพ(หัวใจ ปอด ฯลฯ) กำลังสั่นในตัวเอง ตัวอย่างทั่วไปของระบบการสั่นในตัวเองด้วยแม่เหล็กไฟฟ้าคือเครื่องกำเนิดการสั่นในตัวเอง
1.7.8. การเพิ่มการแกว่งของทิศทางเดียว
พิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวที่มีทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน:
x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2)
การแกว่งของฮาร์มอนิกสามารถระบุได้โดยใช้เวกเตอร์ ซึ่งมีความยาวเท่ากับความกว้างของการแกว่ง และทิศทางจะสร้างมุมที่มีแกนที่แน่นอนเท่ากับระยะเริ่มต้นของการแกว่ง หากเวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω 0 ดังนั้นการฉายภาพบนแกนที่เลือกจะเปลี่ยนตามกฎฮาร์มอนิก จากนี้ เราจะเลือกแกน X และแสดงการแกว่งโดยใช้เวกเตอร์ a 1 และ 2 (รูปที่ 1.7.9)
จากรูปที่ 1.7.6 เป็นไปตามนั้น
.
แบบแผนที่แสดงการแกว่งเป็นกราฟิกเป็นเวกเตอร์บนระนาบเรียกว่าแผนภาพเวกเตอร์
ตามมาจากสูตร 1.7.40 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าผลต่างเฟสของการออสซิลเลชันทั้งสองเป็นศูนย์ แอมพลิจูดของการออสซิลเลชันที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันที่เพิ่มเข้าไป ถ้าผลต่างเฟสของการแกว่งที่เพิ่มเท่ากัน แอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ หากความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มเข้ามาไม่เท่ากัน เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับการแกว่งเหล่านี้จะหมุนด้วย ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน- ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่ได้จะเต้นเป็นจังหวะตามขนาดและหมุนด้วยความเร็วตัวแปร ดังนั้น ผลลัพธ์ของการบวกจึงไม่ใช่การแกว่งของฮาร์มอนิก แต่เป็นกระบวนการแกว่งที่ซับซ้อน
1.7.9. เต้น
ลองพิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวในทิศทางเดียวกันซึ่งมีความถี่ต่างกันเล็กน้อย ให้ความถี่ของหนึ่งในนั้นเท่ากับ ω และความถี่ที่สอง ω+∆ω และ ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:
x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t
เมื่อบวกนิพจน์เหล่านี้และใช้สูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์ เราจะได้:
การสั่น (1.7.41) ถือได้ว่าเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω ซึ่งแอมพลิจูดจะแตกต่างกันไปตามกฎหมาย ฟังก์ชันนี้เป็นคาบโดยมีความถี่เป็นสองเท่าของความถี่ของนิพจน์ใต้เครื่องหมายมอดุลัส เช่น ด้วยความถี่ ∆ω ดังนั้น ความถี่ของการเต้นเป็นจังหวะของแอมพลิจูด เรียกว่าความถี่บีท จะเท่ากับค่าความแตกต่างในความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้าไป
1.7.10. การบวกของการแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกัน (ตัวเลข Lissajous)
หากจุดวัสดุแกว่งไปมาทั้งแกน x และแกน y มันจะเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้งที่แน่นอน ปล่อยให้ความถี่การสั่นเท่ากันและเฟสเริ่มต้นของการสั่นครั้งแรกเท่ากับศูนย์ จากนั้นเราจะเขียนสมการการสั่นในรูปแบบ:
สมการ (1.7.43) คือสมการของวงรี ซึ่งแกนของวงรีจะถูกวางทิศทางอย่างไม่มีกฎเกณฑ์สัมพันธ์กับแกนพิกัด x และ y การวางแนวของวงรีและขนาดของกึ่งแกนนั้นขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด a และ b และความแตกต่างของเฟส α ลองพิจารณากรณีพิเศษบางกรณี:
(ม=0, ±1, ±2, …) ในกรณีนี้สมการจะมีรูปแบบนี่คือสมการของวงรีซึ่งแกนตรงกับแกนพิกัดและแกนครึ่งของมันเท่ากับแอมพลิจูด (รูปที่ 1.7.12) ถ้าแอมพลิจูดเท่ากัน วงรีก็จะกลายเป็นวงกลม
รูปที่ 1.7.12 |
หากความถี่ของการแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกันแตกต่างกันเล็กน้อย ∆ω ก็ถือได้ว่าเป็นการแกว่งที่มีความถี่เท่ากัน แต่ด้วยความแตกต่างของเฟสที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ในกรณีนี้สามารถเขียนสมการการสั่นสะเทือนได้
x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]
และนิพจน์ ∆ωt+α ควรพิจารณาว่าเป็นผลต่างเฟสที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ตามเวลาตามกฎเชิงเส้น การเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เกิดขึ้นตามเส้นโค้งที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ซึ่งจะอยู่ในรูปแบบที่สอดคล้องกับค่าทั้งหมดของความแตกต่างของเฟสตั้งแต่ -π ถึง +π
หากความถี่ของการแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกันไม่เท่ากัน วิถีการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจะมีรูปแบบของเส้นโค้งที่ค่อนข้างซับซ้อนเรียกว่า ตัวเลขลิสซาจูส. ตัวอย่างเช่น สมมติว่าความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มมีความสัมพันธ์กันเป็น 1 : 2 และผลต่างเฟส π/2 จากนั้นสมการการสั่นสะเทือนจะมีรูปแบบ
x=a cos ωt, y=b cos
ในช่วงเวลาที่จุดสามารถเคลื่อนที่ไปตามแกน x จากตำแหน่งสุดขั้วหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งได้ ตามแนวแกน y เมื่อออกจากตำแหน่งศูนย์ จุดนั้นจะไปถึงตำแหน่งสุดขั้วหนึ่ง จากนั้นอีกตำแหน่งหนึ่งแล้วกลับมา รูปร่างของเส้นโค้งจะแสดงในรูป 1.7.13. เส้นโค้งที่มีอัตราส่วนความถี่เท่ากัน แต่ความแตกต่างของเฟสเท่ากับศูนย์จะแสดงในรูปที่ 1.7.14 อัตราส่วนของความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มจะผกผันกับอัตราส่วนของจำนวนจุดตัดของตัวเลข Lissajous ที่มีเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด ด้วยเหตุนี้ เมื่อปรากฏตัวเลข Lissajous เราจึงสามารถกำหนดอัตราส่วนของความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มหรือความถี่ที่ไม่ทราบได้ หากทราบความถี่ใดความถี่หนึ่ง
รูปที่ 1.7.13 |
รูปที่ 1.7.14 |
ยิ่งเศษส่วนที่เป็นตรรกยะแสดงอัตราส่วนของความถี่การแกว่งเข้าใกล้ความสามัคคีมากเท่าใด ตัวเลขลิสซาจูสที่ได้ก็จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น
1.7.11. การแพร่กระจายคลื่นในตัวกลางยืดหยุ่น
หากการสั่นสะเทือนของอนุภาคถูกกระตุ้นในสถานที่ใดๆ ในตัวกลางที่ยืดหยุ่น (ของเหลวแข็งหรือก๊าซ) ดังนั้น เนื่องจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาค การสั่นสะเทือนนี้จะแพร่กระจายในตัวกลางจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคด้วยความเร็วที่แน่นอน v กระบวนการแพร่กระจายของการสั่นสะเทือนในอวกาศเรียกว่า คลื่น.
อนุภาคของตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายไม่ได้ถูกดึงดูดเข้าสู่การเคลื่อนที่แบบแปลนโดยคลื่น พวกมันจะแกว่งไปรอบตำแหน่งสมดุลเท่านั้น
ขึ้นอยู่กับทิศทางของการแกว่งของอนุภาคที่สัมพันธ์กับทิศทางที่คลื่นแพร่กระจาย ตามยาวและ ขวางคลื่น ในคลื่นตามยาว อนุภาคของตัวกลางจะสั่นไปตามการแพร่กระจายของคลื่น ในคลื่นตามขวาง อนุภาคของตัวกลางจะแกว่งไปในทิศทางตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น คลื่นตามขวางแบบยืดหยุ่นสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในตัวกลางที่มีความต้านทานแรงเฉือนเท่านั้น ดังนั้นในตัวกลางของเหลวและก๊าซจึงเกิดได้เฉพาะคลื่นตามยาวเท่านั้น ในตัวกลางที่เป็นของแข็งสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งคลื่นตามยาวและตามขวาง
ในรูป รูปที่ 1.7.12 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อคลื่นตามขวางแพร่กระจายในตัวกลาง หมายเลข 1, 2 ฯลฯ บ่งชี้ว่าอนุภาคล้าหลังกันด้วยระยะห่างเท่ากับ (¼ υT) เช่น ระยะทางที่คลื่นเดินทางระหว่างหนึ่งในสี่ของคาบการแกว่งของอนุภาค ในขณะที่เป็นศูนย์ คลื่นที่แพร่กระจายไปตามแกนจากซ้ายไปขวาถึงอนุภาค 1 ซึ่งเป็นผลมาจากการที่อนุภาคเริ่มเลื่อนขึ้นจากตำแหน่งสมดุลโดยลากอนุภาคต่อไปนี้ด้วย หลังจากผ่านไปหนึ่งในสี่ของคาบ อนุภาค 1 จะเข้าสู่ตำแหน่งสมดุลบนสุด อนุภาค 2 หลังจากผ่านไปอีกสี่ส่วนของคาบ ส่วนแรกจะผ่านตำแหน่งสมดุลโดยเคลื่อนไปในทิศทางจากบนลงล่าง อนุภาคที่สองจะไปถึงตำแหน่งบนสุด และอนุภาคตัวที่ 3 จะเริ่มเคลื่อนตัวขึ้นจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลาเท่ากับ T อนุภาคแรกจะครบวงการสั่นและจะอยู่ในสถานะการเคลื่อนที่เหมือนกับโมเมนต์เริ่มต้น คลื่น ณ เวลา T เมื่อผ่านเส้นทาง (υT) จะไปถึงอนุภาค 5
ในรูป รูปที่ 1.7.13 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อคลื่นตามยาวแพร่กระจายในตัวกลาง ข้อโต้แย้งทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของอนุภาคในคลื่นตามขวางสามารถนำไปใช้กับกรณีนี้ได้ด้วยการแทนที่การกระจัดขึ้นและลงด้วยการกระจัดไปทางขวาและซ้าย
จะเห็นได้จากรูปที่เมื่อคลื่นตามยาวแพร่กระจายในตัวกลางจะเกิดการควบแน่นสลับกันและการเกิดอนุภาคที่หายากขึ้น (สถานที่ของการควบแน่นจะถูกระบุในรูปด้วยเส้นประ) ซึ่งเคลื่อนที่ไปในทิศทางของการแพร่กระจายของคลื่นด้วย ความเร็ว v.
ข้าว. 1.7.15 |
ข้าว. 1.7.16 |
ในรูป 1.7.15 และ 1.7.16 แสดงการสั่นสะเทือนของอนุภาคที่มีตำแหน่งและสมดุลอยู่บนแกน x.ในความเป็นจริง ไม่เพียงแต่อนุภาคที่อยู่ตามแนวแกนเท่านั้นที่สั่นสะเทือน เอ็กซ์,แต่เป็นการรวมตัวของอนุภาคที่บรรจุอยู่ในปริมาตรหนึ่ง การแพร่กระจายจากแหล่งที่มาของการสั่น กระบวนการของคลื่นครอบคลุมส่วนใหม่ๆ ของอวกาศมากขึ้นเรื่อยๆ ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่การสั่นไปถึง ณ เวลา t เรียกว่า หน้าคลื่น(หรือหน้าเวฟ) หน้าคลื่นเป็นพื้นผิวที่แยกส่วนของอวกาศที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการคลื่นออกจากบริเวณที่ยังไม่เกิดการสั่นไหว
ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่สั่นในเฟสเดียวกันเรียกว่า พื้นผิวคลื่น . พื้นผิวของคลื่นสามารถถูกดึงผ่านจุดใดก็ได้ในอวกาศที่กระบวนการของคลื่นครอบคลุม ด้วยเหตุนี้ พื้นผิวคลื่นจึงมีจำนวนอนันต์ ในขณะที่มีหน้าคลื่นเพียงหน้าเดียวในแต่ละช่วงเวลา พื้นผิวคลื่นยังคงไม่เคลื่อนที่ (ผ่านตำแหน่งสมดุลของอนุภาคที่สั่นในเฟสเดียวกัน ). คลื่นเคลื่อนตัวอยู่ตลอดเวลา
พื้นผิวคลื่นสามารถมีรูปร่างใดก็ได้ ในกรณีที่ง่ายที่สุด พวกมันจะมีรูปทรงของระนาบหรือทรงกลม ดังนั้นคลื่นในกรณีนี้จึงเรียกว่าระนาบหรือทรงกลม ในคลื่นระนาบ พื้นผิวของคลื่นคือชุดของระนาบที่ขนานกัน ในลักษณะคลื่นทรงกลม ซึ่งเป็นชุดของทรงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกัน
ข้าว. 1.7.17 |
ปล่อยให้คลื่นระนาบแผ่ไปตามแกน x- จากนั้นจุดทุกจุดของทรงกลมที่มีตำแหน่งและสมดุลมีพิกัดเดียวกัน x(แต่ต่างกันที่ค่าพิกัด ยและ ซ)แกว่งไปแกว่งมาในเฟสเดียวกัน
ในรูป 1.7.17 แสดงเส้นโค้งที่ให้การกระจัด ξ จากตำแหน่งสมดุลของจุดที่แตกต่างกัน xณ จุดใดจุดหนึ่ง ไม่ควรมองว่าภาพวาดนี้เป็นภาพคลื่นที่มองเห็นได้ รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน ξ (x,เสื้อ)สำหรับบางคนที่แก้ไขแล้ว ตรงเวลา ทีกราฟดังกล่าวสามารถสร้างได้ทั้งคลื่นตามยาวและตามขวาง
ระยะทาง แล ซึ่งคลื่นแพร่กระจายในช่วงเวลาสั้น ๆ เท่ากับระยะเวลาการสั่นของอนุภาคของตัวกลางเรียกว่า ความยาวคลื่น. เห็นได้ชัดว่า
โดยที่ υ คือความเร็วคลื่น T คือคาบการสั่น ความยาวคลื่นยังสามารถกำหนดเป็นระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดของตัวกลางที่สั่นโดยมีความต่างเฟสเท่ากับ 2π (ดูรูปที่ 1.7.14)
การแทนที่ T ที่สัมพันธ์กัน (1.7.45) ถึง 1/ν (ν คือความถี่การสั่น) เราได้รับ
สูตรนี้ยังได้มาจากการพิจารณาต่อไปนี้ ในหนึ่งวินาที แหล่งกำเนิดคลื่นจะทำการแกว่ง ν โดยสร้าง "ยอด" ของคลื่นหนึ่งอันและ "ราง" ของคลื่นหนึ่งตัวในตัวกลางที่มีการสั่นแต่ละครั้ง เมื่อถึงเวลาที่แหล่งกำเนิดเสร็จสิ้นการสั่นครั้งที่ ν "สันเขา" แรกจะมีเวลาเดินทางไกล υ ดังนั้น ν ของ "ยอด" และ "ร่องน้ำ" ของคลื่นจะต้องพอดีกับความยาว υ
1.7.12. สมการคลื่นระนาบ
สมการคลื่นคือนิพจน์ที่ให้การกระจัดของอนุภาคที่สั่นเป็นฟังก์ชันของพิกัด x, y, z และเวลา ที :
ξ = ξ (x, y, z; t)
(หมายถึงพิกัดตำแหน่งสมดุลของอนุภาค) ฟังก์ชันนี้จะต้องเป็นระยะตามเวลา ที และสัมพันธ์กับพิกัด x, y, z - ช่วงเวลาตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจุดที่อยู่ห่างจากกัน λ , สั่นในลักษณะเดียวกัน
มาดูประเภทของฟังก์ชันกัน ξ ในกรณีของคลื่นระนาบ โดยสมมติว่าการสั่นมีลักษณะฮาร์มอนิก เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้เรากำหนดทิศทางของแกนพิกัดเพื่อให้แกนนั้น x สอดคล้องกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น จากนั้นพื้นผิวของคลื่นจะตั้งฉากกับแกน x และเนื่องจากทุกจุดของพื้นผิวคลื่นสั่นสะเทือนเท่ากัน การกระจัดจึงเกิดขึ้น ξ จะขึ้นอยู่กับเท่านั้น x และ ที:
ξ = ξ (x, เสื้อ) .
รูปที่ 1.7.18 |
ปล่อยให้การสั่นสะเทือนของจุดต่างๆ นอนอยู่ในระนาบ x = 0 (รูปที่ 1.7.18) มีรูปแบบ
ให้เราค้นหาประเภทของการแกว่งของจุดในระนาบที่สอดคล้องกับค่าที่กำหนด x - เพื่อที่จะเดินทางจากเครื่องบิน x=0 กว่าจะถึงระนาบนี้คลื่นต้องใช้เวลา( υ - ความเร็วของการแพร่กระจายคลื่น) ส่งผลให้เกิดการสั่นสะเทือนของอนุภาคที่วางอยู่บนระนาบ x จะล่าช้าตามเวลาโดย τ จากการสั่นสะเทือนของอนุภาคในระนาบ x = 0 , เช่น. จะมีลักษณะเช่นนี้
ดังนั้น, สมการคลื่นระนาบ(ตามยาวและตามขวาง) ขยายไปในทิศทางของแกน x ดูเหมือนว่านี้:
นิพจน์นี้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างเวลา t และสถานที่นั้น x โดยที่เฟสมีค่าคงที่ ค่า dx/dt ที่เป็นผลลัพธ์จะให้ความเร็วที่ค่าเฟสที่กำหนดเคลื่อนที่ เราได้รับการแสดงออกที่แตกต่าง (1.7.48)
สมการของคลื่นที่แพร่กระจายในทิศทางลดลง x :
เมื่อได้สูตร (1.7.53) เราถือว่าแอมพลิจูดของการแกว่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับ x - สำหรับคลื่นระนาบ จะสังเกตได้ในกรณีที่พลังงานคลื่นไม่ถูกดูดซับโดยตัวกลาง เมื่อแพร่กระจายในตัวกลางดูดซับพลังงาน ความเข้มของคลื่นจะค่อยๆ ลดลงตามระยะห่างจากแหล่งกำเนิดของการสั่น - สังเกตการลดทอนของคลื่น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในสื่อที่เป็นเนื้อเดียวกันการลดทอนดังกล่าวเกิดขึ้นตามกฎเลขชี้กำลัง:
ตามลำดับ สมการคลื่นระนาบโดยคำนึงถึงการลดทอนมีรูปแบบดังนี้
(1.7.54) |
(a 0 - แอมพลิจูดที่จุดของระนาบ x = 0)
ลูกตุ้มสปริงเป็นระบบสั่นที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่มีมวล m และสปริง ลองพิจารณาลูกตุ้มสปริงแนวนอน (รูปที่ 1, a) ประกอบด้วยลำตัวขนาดใหญ่ เจาะตรงกลางและวางบนแกนแนวนอน ซึ่งสามารถเลื่อนได้โดยไม่มีแรงเสียดทาน (ระบบสั่นในอุดมคติ) ก้านได้รับการแก้ไขระหว่างส่วนรองรับแนวตั้งสองอัน
ปลายด้านหนึ่งมีสปริงไร้น้ำหนักติดอยู่กับตัวเครื่อง ปลายอีกด้านหนึ่งจับจ้องไปที่ส่วนรองรับ ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดคืออยู่นิ่งโดยสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ลูกตุ้มแกว่งไปมา ในตอนแรกสปริงจะไม่เสียรูปและร่างกายอยู่ในตำแหน่งสมดุล C หากโดยการยืดหรือบีบอัดสปริงร่างกายจะถูกดึงออกจากตำแหน่งสมดุลจากนั้นแรงยืดหยุ่นจะเริ่มกระทำต่อสปริงจาก ด้านข้างของสปริงที่เสียรูป ให้หันไปทางตำแหน่งสมดุลเสมอ
ให้เราอัดสปริง ขยับตัวไปที่ตำแหน่ง A แล้วปล่อย ภายใต้อิทธิพลของแรงยืดหยุ่น มันจะเคลื่อนที่เร็วขึ้น ในกรณีนี้ ในตำแหน่ง A แรงยืดหยุ่นสูงสุดจะกระทำต่อร่างกาย เนื่องจากที่นี่การยืดตัวสัมบูรณ์ x m ของสปริงจะยิ่งใหญ่ที่สุด ดังนั้นในตำแหน่งนี้ความเร่งจึงสูงสุด เมื่อร่างกายเคลื่อนเข้าสู่ตำแหน่งสมดุล การยืดตัวสัมบูรณ์ของสปริงจะลดลง และด้วยเหตุนี้ ความเร่งที่เกิดจากแรงยืดหยุ่นจึงลดลง แต่เนื่องจากการเร่งความเร็วระหว่างการเคลื่อนไหวที่กำหนดจะมีทิศทางร่วมกับความเร็ว ความเร็วของลูกตุ้มจะเพิ่มขึ้น และในตำแหน่งสมดุลจะเป็นค่าสูงสุด
เมื่อถึงตำแหน่งสมดุล C ร่างกายจะไม่หยุด (แม้ว่าในตำแหน่งนี้สปริงจะไม่เปลี่ยนรูปและแรงยืดหยุ่นเป็นศูนย์) แต่เมื่อความเร็วจะเคลื่อนที่ต่อไปตามความเฉื่อยโดยยืดสปริง แรงยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นตอนนี้มุ่งตรงต่อการเคลื่อนไหวของร่างกายและทำให้ร่างกายช้าลง ที่จุด D ความเร็วของร่างกายจะเท่ากับศูนย์ และความเร่งจะสูงสุด ร่างกายจะหยุดชั่วขณะ หลังจากนั้น มันจะเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามภายใต้อิทธิพลของแรงยืดหยุ่น สู่ตำแหน่งสมดุล เมื่อผ่านมันไปอีกครั้งด้วยความเฉื่อยร่างกายซึ่งบีบอัดสปริงและทำให้การเคลื่อนไหวช้าลงจะไปถึงจุด A (เนื่องจากไม่มีแรงเสียดทาน) เช่น จะทำให้วงสวิงสมบูรณ์ หลังจากนี้ การเคลื่อนไหวร่างกายจะทำซ้ำตามลำดับที่อธิบายไว้ ดังนั้นสาเหตุของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มสปริงคือการกระทำของแรงยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นเมื่อสปริงผิดรูปและความเฉื่อยของร่างกาย
ตามกฎของฮุค F x = -kx ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน F x = max x ดังนั้น ค่าสูงสุด x = -kx จากที่นี่
สมการการเคลื่อนที่แบบไดนามิกของลูกตุ้มสปริง
เราจะเห็นว่าความเร่งเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการผสมและพุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับส่วนผสมนั้น เปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก เราจะเห็นว่าลูกตุ้มสปริงทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่แบบไซคลิก
คาบการสั่นของลูกตุ้มสปริง
เมื่อใช้สูตรเดียวกัน คุณสามารถคำนวณระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มสปริงแนวตั้งได้ (รูปที่ 1. b) อันที่จริงในตำแหน่งสมดุลเนื่องจากการกระทำของแรงโน้มถ่วงสปริงจึงถูกยืดออกด้วยจำนวนที่แน่นอน x 0 ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์ mg = kx 0 เมื่อลูกตุ้มถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุล O บน x ซึ่งเป็นการฉายภาพของแรงยืดหยุ่น
ลูกตุ้มสปริงเป็นจุดวัสดุที่มีมวลติดอยู่กับสปริงไร้น้ำหนักที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งและมีความแข็ง - มีสองกรณีที่ง่ายที่สุด: แนวนอน (รูปที่ 15, ก) และแนวตั้ง (รูปที่ 15, ข) ลูกตุ้ม
ก)
ลูกตุ้มแนวนอน(รูปที่ 15 ก) เมื่อภาระเคลื่อนที่
จากตำแหน่งสมดุล ตามจำนวนเงิน กระทำต่อมันในแนวนอน คืนแรงยืดหยุ่น
(กฎของฮุค).
สันนิษฐานว่ารองรับแนวนอนตามที่โหลดเลื่อน
ระหว่างที่สั่นสะเทือนจะมีความราบรื่นอย่างแน่นอน (ไม่มีแรงเสียดทาน)
ข) ลูกตุ้มแนวตั้ง(รูปที่ 15, ข- ตำแหน่งสมดุลในกรณีนี้มีลักษณะเฉพาะตามเงื่อนไข:
ที่ไหน - ขนาดของแรงยืดหยุ่นที่กระทำต่อโหลด
เมื่อสปริงถูกยืดออกอย่างคงที่ ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของภาระ
.
ก |
มะเดื่อ 15. ลูกตุ้มสปริง: ก– แนวนอนและ ข- แนวตั้ง
หากคุณยืดสปริงและปล่อยโหลด สปริงจะเริ่มแกว่งในแนวตั้ง หากมีการกระจัด ณ จุดใดจุดหนึ่ง
,
จากนั้นแรงยืดหยุ่นจะถูกเขียนเป็น
.
ในการพิจารณาทั้งสองกรณี ลูกตุ้มสปริงจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยคาบ
(27)
และความถี่ไซคลิก
. (28)
จากตัวอย่างของลูกตุ้มสปริง เราสามารถสรุปได้ว่าการแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นการเคลื่อนที่ที่เกิดจากแรงที่เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของการกระจัด - ดังนั้น, ถ้าแรงฟื้นฟูนั้นคล้ายกับกฎของฮุค
(เธอได้ชื่อนี้แรงกึ่งยืดหยุ่น
) จากนั้นระบบจะต้องทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกในขณะที่ผ่านตำแหน่งสมดุล จะไม่มีแรงฟื้นฟูมากระทำต่อร่างกาย อย่างไรก็ตาม ตามความเฉื่อย ร่างกายจะผ่านตำแหน่งสมดุล และแรงฟื้นฟูจะเปลี่ยนทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้าม
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์
มะเดื่อ 16.
ซึ่งทำให้เกิดการสั่นเล็กน้อยภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง (รูปที่ 16)
การแกว่งของลูกตุ้มดังกล่าวในมุมโก่งตัวเล็กน้อย
, (29)
(ไม่เกิน 5 องศา) ถือได้ว่าเป็นฮาร์มอนิก และความถี่ไซคลิกของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์:
. (30)
และระยะเวลา:
พลังงานที่จ่ายให้กับระบบออสซิลลาทอรีในระหว่างการกดครั้งแรกจะถูกเปลี่ยนเป็นระยะ: พลังงานศักย์ของสปริงที่ผิดรูปจะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ของโหลดที่กำลังเคลื่อนที่และย้อนกลับ
ปล่อยให้ลูกตุ้มสปริงทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกกับเฟสเริ่มต้น
, เช่น.
(รูปที่ 17)
มะเดื่อ 17. กฎการอนุรักษ์พลังงานกล
เมื่อลูกตุ้มสปริงแกว่งไปมา
ที่ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของโหลดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานกลรวมของลูกตุ้ม (พลังงานของสปริงที่มีรูปร่างผิดปกติและมีความแข็ง ) เท่ากับ
- เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุล (
) พลังงานศักย์ของสปริงจะเท่ากับศูนย์ และพลังงานกลทั้งหมดของระบบออสซิลเลเตอร์จะถูกกำหนดเป็น
.
รูปที่ 18 แสดงกราฟของการขึ้นต่อกันของพลังงานจลน์ พลังงานศักย์ และพลังงานทั้งหมด ในกรณีที่การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอธิบายโดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์ (เส้นประ) หรือโคไซน์ (เส้นทึบ)
มะเดื่อ 18. กราฟของการพึ่งพาเวลาของจลน์ศาสตร์
และพลังงานศักย์ระหว่างการสั่นของฮาร์มอนิก
จากกราฟ (รูปที่ 18) พบว่าความถี่ของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์สูงเป็นสองเท่าของความถี่ธรรมชาติของการสั่นของฮาร์มอนิก
การทำงานของกลไกส่วนใหญ่เป็นไปตามกฎฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด แนวคิดเรื่องลูกตุ้มสปริงเริ่มแพร่หลายมากขึ้น กลไกดังกล่าวแพร่หลายมากเนื่องจากสปริงมีฟังก์ชันที่จำเป็นและสามารถเป็นองค์ประกอบของอุปกรณ์อัตโนมัติได้ เรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับอุปกรณ์ดังกล่าวหลักการทำงานและจุดอื่น ๆ อีกมากมาย
คำจำกัดความของลูกตุ้มสปริง
ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ลูกตุ้มสปริงแพร่หลายมาก ในบรรดาคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- อุปกรณ์นี้แสดงด้วยน้ำหนักและสปริงรวมกันซึ่งอาจไม่สามารถนำมาพิจารณาได้ วัตถุหลากหลายชนิดสามารถทำหน้าที่เป็นสินค้าได้ ขณะเดียวกันก็อาจได้รับอิทธิพลจากแรงภายนอก ตัวอย่างทั่วไปคือการสร้างวาล์วนิรภัยที่ติดตั้งในระบบท่อ โหลดที่ติดอยู่กับสปริงได้หลายวิธี ในกรณีนี้จะใช้เฉพาะรุ่นสกรูแบบคลาสสิกซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด คุณสมบัติหลักส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประเภทของวัสดุที่ใช้ในการผลิต เส้นผ่านศูนย์กลางของขดลวด การจัดตำแหน่งที่ถูกต้อง และจุดอื่นๆ อีกมากมาย การเลี้ยวด้านนอกมักทำในลักษณะที่สามารถรับน้ำหนักได้มากระหว่างการทำงาน
- ก่อนการเสียรูปจะเริ่มขึ้น ไม่มีพลังงานกลทั้งหมด ในกรณีนี้ ร่างกายจะไม่ได้รับผลกระทบจากแรงยืดหยุ่น สปริงแต่ละตัวมีตำแหน่งเริ่มต้น ซึ่งจะคงไว้เป็นระยะเวลานาน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความแข็งแกร่งบางอย่าง ร่างกายจึงได้รับการแก้ไขในตำแหน่งเริ่มต้น มันสำคัญว่าจะใช้แรงอย่างไร ตัวอย่างคือ ควรวางสปริงตามแนวแกนของสปริง เนื่องจากมิฉะนั้นอาจเกิดการเสียรูปและปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย สปริงแต่ละอันมีขีดจำกัดการบีบอัดและการขยายเฉพาะของตัวเอง ในกรณีนี้การบีบอัดสูงสุดจะแสดงโดยไม่มีช่องว่างระหว่างการหมุนแต่ละครั้ง ในระหว่างความตึงเครียดจะมีช่วงเวลาที่เกิดการเสียรูปของผลิตภัณฑ์อย่างถาวร หากลวดยาวเกินไป จะเกิดการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติพื้นฐาน หลังจากนั้นผลิตภัณฑ์จะไม่กลับสู่ตำแหน่งเดิม
- ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา การสั่นสะเทือนเกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำของแรงยืดหยุ่น มีคุณลักษณะค่อนข้างมากที่ต้องนำมาพิจารณา ผลกระทบของความยืดหยุ่นนั้นเกิดขึ้นได้เนื่องจากการจัดเรียงเทิร์นและประเภทของวัสดุที่ใช้ในระหว่างการผลิต ในกรณีนี้แรงยืดหยุ่นสามารถกระทำได้ทั้งสองทิศทาง บ่อยครั้งที่การบีบอัดเกิดขึ้น แต่สามารถยืดออกได้ - ทั้งหมดขึ้นอยู่กับลักษณะของกรณีเฉพาะ
- ความเร็วของการเคลื่อนไหวของร่างกายอาจแตกต่างกันไปในช่วงที่ค่อนข้างกว้าง ทุกอย่างขึ้นอยู่กับการกระแทก ตัวอย่างเช่น ลูกตุ้มสปริงสามารถเคลื่อนย้ายสิ่งของที่แขวนลอยในระนาบแนวนอนและแนวตั้งได้ ผลของแรงบังคับทิศทางส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการติดตั้งในแนวตั้งหรือแนวนอน
โดยทั่วไปเราสามารถพูดได้ว่าคำจำกัดความของลูกตุ้มสปริงนั้นค่อนข้างกว้าง ในกรณีนี้ ความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น ขนาดของแรงที่ใช้และช่วงเวลาอื่นๆ ก่อนการคำนวณจริง ไดอะแกรมจะถูกสร้างขึ้น:
- มีการระบุส่วนรองรับที่ติดตั้งสปริงไว้ บ่อยครั้งที่มีการวาดเส้นที่มีการฟักกลับเพื่อแสดง
- สปริงจะแสดงเป็นแผนผัง มักแสดงด้วยเส้นหยัก ในการแสดงแผนผัง ความยาวและตัวบ่งชี้เส้นทแยงมุมไม่สำคัญ
- มีการแสดงร่างกายด้วย ไม่จำเป็นต้องตรงกับขนาด แต่ตำแหน่งของการแนบโดยตรงเป็นสิ่งสำคัญ
จำเป็นต้องมีไดอะแกรมเพื่อแสดงแรงทั้งหมดที่ส่งผลต่ออุปกรณ์ตามแผนผัง เฉพาะในกรณีนี้เท่านั้นที่เราสามารถคำนึงถึงทุกสิ่งที่ส่งผลต่อความเร็วในการเคลื่อนที่ ความเฉื่อย และด้านอื่น ๆ อีกมากมาย
ลูกตุ้มสปริงไม่เพียงใช้ในการคำนวณหรือแก้ไขปัญหาต่าง ๆ เท่านั้น แต่ยังใช้ในทางปฏิบัติด้วย อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติบางอย่างของกลไกดังกล่าวอาจใช้ไม่ได้ทั้งหมด
ตัวอย่างคือกรณีที่ไม่จำเป็นต้องมีการเคลื่อนไหวแบบแกว่ง:
- การสร้างองค์ประกอบการล็อค
- กลไกสปริงที่เกี่ยวข้องกับการขนส่งวัสดุและวัตถุต่างๆ
การคำนวณลูกตุ้มสปริงทำให้คุณสามารถเลือกน้ำหนักตัวที่เหมาะสมที่สุดรวมถึงประเภทของสปริงได้ โดดเด่นด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- เส้นผ่านศูนย์กลางของรอบ มันอาจแตกต่างกันมาก เส้นผ่านศูนย์กลางส่วนใหญ่จะกำหนดจำนวนวัสดุที่จำเป็นสำหรับการผลิต เส้นผ่านศูนย์กลางของคอยล์ยังกำหนดว่าจะต้องใช้แรงเท่าใดเพื่อให้ได้การบีบอัดเต็มหรือขยายบางส่วน อย่างไรก็ตามการเพิ่มขนาดอาจสร้างปัญหาอย่างมากในการติดตั้งผลิตภัณฑ์
- เส้นผ่านศูนย์กลางลวด พารามิเตอร์ที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลวด อาจแตกต่างกันไปในช่วงกว้าง ขึ้นอยู่กับความแข็งแรงและระดับของความยืดหยุ่น
- ความยาวของผลิตภัณฑ์ ตัวบ่งชี้นี้จะกำหนดว่าต้องใช้แรงเท่าใดในการบีบอัดที่สมบูรณ์ รวมถึงความยืดหยุ่นของผลิตภัณฑ์ที่สามารถมีได้
- ประเภทของวัสดุที่ใช้ยังกำหนดคุณสมบัติพื้นฐานด้วย ส่วนใหญ่แล้วสปริงจะทำโดยใช้โลหะผสมพิเศษที่มีคุณสมบัติเหมาะสม
ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ หลายๆ จุดจะไม่ถูกนำมาพิจารณา แรงยืดหยุ่นและตัวบ่งชี้อื่น ๆ อีกมากมายถูกกำหนดโดยการคำนวณ
ประเภทของลูกตุ้มสปริง
ลูกตุ้มสปริงมีหลายประเภท ควรพิจารณาว่าการจำแนกประเภทสามารถดำเนินการได้ตามประเภทของสปริงที่ติดตั้ง ในบรรดาคุณสมบัติที่เราทราบ:
- การสั่นสะเทือนในแนวตั้งค่อนข้างแพร่หลาย เนื่องจากในกรณีนี้ไม่มีแรงเสียดทานหรืออิทธิพลอื่นใดต่อโหลด เมื่อวางสิ่งของในแนวตั้ง ระดับอิทธิพลของแรงโน้มถ่วงจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ตัวเลือกการดำเนินการนี้เป็นเรื่องปกติเมื่อทำการคำนวณที่หลากหลาย เนื่องจากแรงโน้มถ่วงจึงมีความเป็นไปได้ที่ร่างกายที่จุดเริ่มต้นจะทำการเคลื่อนไหวเฉื่อยจำนวนมาก นอกจากนี้ยังอำนวยความสะดวกด้วยความยืดหยุ่นและความเฉื่อยของร่างกายเมื่อสิ้นสุดจังหวะ
- นอกจากนี้ยังใช้ลูกตุ้มสปริงแนวนอนด้วย ในกรณีนี้โหลดอยู่บนพื้นผิวรองรับและแรงเสียดทานก็เกิดขึ้นในขณะที่เคลื่อนที่ด้วย เมื่อวางในแนวนอน แรงโน้มถ่วงจะทำงานแตกต่างออกไปบ้าง ตำแหน่งแนวนอนของร่างกายแพร่หลายไปในงานต่างๆ
การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่างๆ จำนวนมากพอสมควร ซึ่งจะต้องคำนึงถึงอิทธิพลของแรงทั้งหมดด้วย ในกรณีส่วนใหญ่จะติดตั้งสปริงแบบคลาสสิก ในบรรดาคุณสมบัติต่างๆ ที่เราสังเกตมีดังต่อไปนี้:
- สปริงอัดขดแบบคลาสสิกแพร่หลายมากในปัจจุบัน ในกรณีนี้ มีช่องว่างระหว่างเทิร์นซึ่งเรียกว่าระดับเสียง สปริงอัดสามารถยืดได้ แต่บ่อยครั้งที่ไม่ได้ติดตั้งไว้สำหรับสิ่งนี้ คุณลักษณะที่โดดเด่นคือการเลี้ยวครั้งสุดท้ายจะทำในรูปแบบของเครื่องบินซึ่งช่วยให้มีการกระจายแรงที่สม่ำเสมอ
- สามารถติดตั้งเวอร์ชันยืดได้ ออกแบบมาเพื่อติดตั้งในกรณีที่แรงกระทำทำให้ความยาวเพิ่มขึ้น สำหรับการยึดให้วางตะขอไว้
ผลลัพธ์ที่ได้คือการแกว่งที่สามารถคงอยู่ได้เป็นระยะเวลานาน สูตรข้างต้นช่วยให้คุณสามารถคำนวณโดยคำนึงถึงคะแนนทั้งหมด
สูตรสำหรับคาบและความถี่ของการแกว่งของลูกตุ้มสปริง
เมื่อออกแบบและคำนวณตัวบ่งชี้หลัก จะต้องให้ความสนใจเป็นอย่างมากกับความถี่และระยะเวลาของการแกว่ง โคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่ใช้ค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง ตัวบ่งชี้นี้เรียกว่าคาบการสั่นของลูกตุ้มสปริง ตัวอักษร T ใช้เพื่อแสดงถึงตัวบ่งชี้นี้ มักใช้แนวคิดที่แสดงถึงค่าผกผันกับระยะเวลาการสั่น (v) ในกรณีส่วนใหญ่ สูตร T=1/v จะใช้ในการคำนวณ
ระยะเวลาของการแกว่งคำนวณโดยใช้สูตรที่ค่อนข้างซับซ้อน เป็นดังนี้: T=2п√m/k. ในการหาความถี่ของการสั่น จะใช้สูตร: v=1/2п√k/m
ความถี่ของการแกว่งของลูกตุ้มสปริงที่พิจารณาจะขึ้นอยู่กับจุดต่อไปนี้:
- มวลของโหลดที่ยึดติดกับสปริง ตัวบ่งชี้นี้ถือว่ามีความสำคัญที่สุดเนื่องจากจะส่งผลต่อพารามิเตอร์ที่หลากหลาย แรงเฉื่อย ความเร็ว และตัวชี้วัดอื่นๆ อีกมากมายขึ้นอยู่กับมวล นอกจากนี้มวลของสินค้ายังเป็นปริมาณที่การวัดไม่ก่อให้เกิดปัญหาใด ๆ เนื่องจากมีอุปกรณ์ตรวจวัดพิเศษ
- ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น สำหรับแต่ละสปริง ตัวบ่งชี้นี้จะแตกต่างกันอย่างมาก ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นถูกระบุเพื่อกำหนดพารามิเตอร์หลักของสปริง พารามิเตอร์นี้ขึ้นอยู่กับจำนวนรอบ ความยาวของผลิตภัณฑ์ ระยะห่างระหว่างการหมุน เส้นผ่านศูนย์กลาง และอื่นๆ อีกมากมาย มีการกำหนดหลายวิธี มักใช้อุปกรณ์พิเศษ
อย่าลืมว่าเมื่อสปริงยืดออกมาก กฎของฮุคก็จะสิ้นสุดลง ในกรณีนี้ คาบของการสั่นของสปริงจะเริ่มขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด
หน่วยเวลาสากลโดยส่วนใหญ่แล้วจะใช้หน่วยวินาทีเพื่อวัดคาบ ในกรณีส่วนใหญ่ แอมพลิจูดของการแกว่งจะถูกคำนวณเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ เพื่อให้กระบวนการง่ายขึ้น จึงมีการสร้างแผนภาพแบบง่ายเพื่อแสดงแรงหลัก
สูตรสำหรับแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของลูกตุ้มสปริง
เมื่อตัดสินใจเกี่ยวกับคุณสมบัติของกระบวนการที่เกี่ยวข้องและทราบสมการการแกว่งของลูกตุ้มสปริงตลอดจนค่าเริ่มต้นแล้ว คุณสามารถคำนวณแอมพลิจูดและระยะเริ่มต้นของลูกตุ้มสปริงได้ ค่าของ f ใช้เพื่อกำหนดเฟสเริ่มต้น และแอมพลิจูดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ A
ในการกำหนดแอมพลิจูด สามารถใช้สูตรได้: A = √x 2 +v 2 /w 2 ระยะเริ่มต้นคำนวณโดยใช้สูตร: tgf=-v/xw
เมื่อใช้สูตรเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดพารามิเตอร์หลักที่ใช้ในการคำนวณได้
พลังงานการสั่นสะเทือนของลูกตุ้มสปริง
เมื่อพิจารณาการแกว่งของโหลดบนสปริง เราต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสามารถอธิบายได้สองจุด นั่นคือ มันเป็นเส้นตรงในธรรมชาติ ขณะนี้จะเป็นตัวกำหนดการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับกำลังที่เป็นปัญหา เราสามารถพูดได้ว่าพลังงานทั้งหมดนั้นมีศักยภาพ
สามารถคำนวณพลังงานการสั่นของลูกตุ้มสปริงได้โดยคำนึงถึงคุณสมบัติทั้งหมด ประเด็นหลักมีดังต่อไปนี้:
- การสั่นอาจเกิดขึ้นในระนาบแนวนอนและแนวตั้ง
- พลังงานศักย์เป็นศูนย์จะถูกเลือกให้เป็นตำแหน่งสมดุล สถานที่แห่งนี้เป็นจุดกำเนิดของพิกัด ตามกฎแล้ว ในตำแหน่งนี้ สปริงจะคงรูปร่างไว้หากไม่มีแรงเปลี่ยนรูป
- ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา พลังงานที่คำนวณได้ของลูกตุ้มสปริงจะไม่คำนึงถึงแรงเสียดทาน เมื่อโหลดอยู่ในแนวตั้ง แรงเสียดทานไม่มีนัยสำคัญ เมื่อโหลดอยู่ในแนวนอน ร่างกายจะอยู่บนพื้นผิวและอาจเกิดแรงเสียดทานระหว่างการเคลื่อนไหว
- ในการคำนวณพลังงานการสั่นสะเทือน จะใช้สูตรต่อไปนี้: E=-dF/dx
ข้อมูลข้างต้นบ่งชี้ว่ากฎการอนุรักษ์พลังงานเป็นดังนี้ mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const สูตรที่ใช้บอกว่าต่อไปนี้:
เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ จะสามารถระบุพลังงานการสั่นของลูกตุ้มสปริงได้
การแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มสปริง
เมื่อพิจารณาว่าอะไรทำให้เกิดการสั่นสะเทือนอย่างอิสระของลูกตุ้มสปริง ควรให้ความสนใจกับการกระทำของแรงภายใน พวกมันเริ่มก่อตัวเกือบจะในทันทีหลังจากย้ายการเคลื่อนไหวไปยังร่างกายแล้ว คุณลักษณะของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกมีจุดต่อไปนี้:
- กองกำลังประเภทอื่นที่มีลักษณะมีอิทธิพลก็อาจเกิดขึ้นได้เช่นกัน ซึ่งเป็นไปตามบรรทัดฐานของกฎหมายทั้งหมดที่เรียกว่ากึ่งยืดหยุ่น
- สาเหตุหลักสำหรับการดำเนินการตามกฎหมายอาจเป็นแรงภายในที่เกิดขึ้นทันทีในขณะที่มีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของร่างกายในอวกาศ ในกรณีนี้โหลดมีมวลจำนวนหนึ่ง แรงจะถูกสร้างขึ้นโดยการยึดปลายด้านหนึ่งไว้กับวัตถุที่อยู่นิ่งซึ่งมีความแข็งแรงเพียงพอ ส่วนปลายด้านที่สองคือแรงนั้นเอง หากไม่มีการเสียดสี ร่างกายก็สามารถเคลื่อนไหวแบบแกว่งไปมาได้ ในกรณีนี้ โหลดคงที่เรียกว่าเชิงเส้น
เราไม่ควรลืมว่ามีระบบประเภทต่างๆ จำนวนมากที่เกิดการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลเตอร์ การเสียรูปแบบยืดหยุ่นก็เกิดขึ้นในตัวพวกเขาด้วยซึ่งกลายเป็นเหตุผลในการใช้งานใด ๆ
คำจำกัดความ 1
การสั่นสะเทือนอิสระสามารถเกิดขึ้นได้ภายใต้อิทธิพลของแรงภายในหลังจากที่ระบบทั้งหมดถูกนำออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วเท่านั้น
เพื่อให้การแกว่งเกิดขึ้นตามกฎฮาร์มอนิก แรงที่ส่งร่างกายกลับสู่ตำแหน่งสมดุลจำเป็นจะต้องเป็นสัดส่วนกับการเคลื่อนตัวของร่างกายจากตำแหน่งสมดุลและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด
F (t) = ม (t) = - ม ω 2 x (t) .
ความสัมพันธ์บอกว่า ω คือความถี่ของการสั่นของฮาร์มอนิก คุณสมบัตินี้เป็นลักษณะของแรงยืดหยุ่นภายในขอบเขตของการบังคับใช้กฎของฮุค:
F ปี ร = - k x .
คำจำกัดความ 2
พลังแห่งธรรมชาติใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเรียกว่าพลัง กึ่งยืดหยุ่น.
นั่นคือโหลดที่มีมวล m ติดอยู่กับสปริงที่มีความแข็ง k โดยมีปลายคงที่ ดังแสดงในรูปที่ 2 2. 1 เป็นระบบที่สามารถทำการสั่นสะเทือนแบบอิสระฮาร์มอนิกได้ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน
คำจำกัดความ 3
ตุ้มน้ำหนักที่วางอยู่บนสปริงเรียกว่าออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้น
การวาดภาพ 2 . 2 . 1 . การแกว่งของโหลดบนสปริง ไม่มีแรงเสียดทาน
ความถี่แบบวงกลม
ความถี่วงกลม ω 0 หาได้จากการใช้สูตรกฎข้อที่สองของนิวตัน:
ม ก = - k x = ม ω 0 2 x .
ดังนั้นเราจึงได้:
คำจำกัดความที่ 4
ความถี่ ω 0 เรียกว่า ความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลลาทอรี.
ระยะเวลาของการแกว่งฮาร์มอนิกของโหลดบนสปริง T ถูกกำหนดจากสูตร:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
การจัดเรียงแนวนอนของระบบสปริงโหลด แรงโน้มถ่วงจะได้รับการชดเชยด้วยแรงปฏิกิริยารองรับ เมื่อแขวนสิ่งของไว้บนสปริง ทิศทางของแรงโน้มถ่วงจะเป็นไปตามแนวการเคลื่อนที่ของสิ่งของ ตำแหน่งสมดุลของสปริงที่ยืดออกเท่ากับ:
x 0 = m g k ในขณะที่การแกว่งเกิดขึ้นรอบสถานะสมดุลใหม่ สูตรสำหรับความถี่ธรรมชาติ ω 0 และคาบการสั่น T ในนิพจน์ข้างต้นใช้ได้
คำจำกัดความที่ 5
เมื่อพิจารณาถึงความเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ระหว่างความเร่งของร่างกาย a และพิกัด x พฤติกรรมของระบบการแกว่งจึงมีคำอธิบายที่เข้มงวด: ความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดของร่างกาย x เทียบกับเวลา t:
คำอธิบายของกฎข้อที่สองของนิวตันที่มีภาระบนสปริงจะถูกเขียนเป็น:
m a - m x = - k x หรือ x ¨ + ω 0 2 x = 0 โดยที่ความถี่อิสระ ω 0 2 = k m
หากระบบทางกายภาพขึ้นอยู่กับสูตร x ¨ + ω 0 2 x = 0 แสดงว่าระบบเหล่านั้นสามารถทำการเคลื่อนที่ฮาร์โมนิกแบบสั่นอิสระด้วยแอมพลิจูดที่แตกต่างกัน สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากใช้ x = x m cos (ω t + φ 0)
คำนิยาม 6สมการของรูปแบบ x ¨ + ω 0 2 x = 0 เรียกว่า สมการของการสั่นสะเทือนอิสระ- คุณสมบัติทางกายภาพของพวกมันสามารถกำหนดความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง ω 0 หรือคาบ T เท่านั้น
พบแอมพลิจูด x m และเฟสเริ่มต้น φ 0 โดยใช้วิธีการที่นำพวกมันออกจากสภาวะสมดุลของช่วงเวลาเริ่มต้น
ตัวอย่างที่ 1
ในกรณีที่มีโหลดที่ถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุลไปยังระยะทาง ∆ l และช่วงเวลาเท่ากับ t = 0 มันจะลดลงโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น จากนั้น x m = ∆ l, φ 0 = 0 หากโหลดอยู่ในตำแหน่งสมดุล ความเร็วเริ่มต้น ± υ 0 จะถูกส่งระหว่างการกด ดังนั้น x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2
แอมพลิจูด x m ที่มีเฟสเริ่มต้น φ 0 ถูกกำหนดโดยการมีอยู่ของเงื่อนไขเริ่มต้น
รูปที่ 2. 2. 2. แบบจำลองการแกว่งอย่างอิสระของโหลดบนสปริง
ระบบออสซิลโลสโคปแบบเครื่องกลมีความโดดเด่นด้วยการมีแรงเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่นในแต่ละระบบ รูปที่ 2. 2. 2 แสดงอะนาล็อกเชิงมุมของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่ทำการออสซิลเลเตอร์แบบบิด จานวางในแนวนอนและแขวนไว้บนด้ายยางยืดที่ติดอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล หากมันถูกหมุนผ่านมุม θ ช่วงเวลาแห่งแรงของการบิดตัวแบบยืดหยุ่น M y p p จะเกิดขึ้น:
M y พี r = - x θ .
สำนวนนี้ไม่สอดคล้องกับกฎของฮุคในเรื่องการเปลี่ยนรูปเชิงบิด ค่า x คล้ายกับความแข็งของสปริง k การบันทึกกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของดิสก์มีรูปแบบเกิดขึ้น
I ε = M y p p = - x θ หรือ I θ ¨ = - x θ โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยแสดงด้วย I = IC และ ε คือความเร่งเชิงมุม
ในทำนองเดียวกันกับสูตรของลูกตุ้มสปริง:
ω 0 = x ผม , T = 2 π ผม x .
การใช้ลูกตุ้มบิดมีให้เห็นในนาฬิการะบบกลไก มันถูกเรียกว่าบาลานเซอร์ ซึ่งสร้างโมเมนต์ของแรงยืดหยุ่นโดยใช้สปริงเกลียว
รูปที่ 2. 2. 3. ลูกตุ้มแรงบิด
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter