เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม บทเรียนทั่วไป “ทฤษฎีบทของเมเนลอสและชีวา” เส้นแบ่งครึ่ง aa1 และ bb1 ของสามเหลี่ยม abc ตัดกัน
“ประเภทของรูปสามเหลี่ยม” - ประเภทของรูปสามเหลี่ยม ขึ้นอยู่กับความยาวเปรียบเทียบของด้านข้าง ประเภทต่อไปนี้รูปสามเหลี่ยม ประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่นตามขนาดของมุม จุดต่างๆ เรียกว่าจุดยอด และส่วนต่างๆ เรียกว่าด้าน
“มุมของสามเหลี่ยม” - สามเหลี่ยมเฉียบพลัน สามเหลี่ยมมีมุมฉากสองมุมได้ไหม? สามเหลี่ยมด้านเท่า. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว. สามเหลี่ยมมุมฉาก. สามเหลี่ยมป้าน. สามเหลี่ยมมีมุมป้านสองมุมได้ไหม? ในสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมจะเท่ากับ 600 ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วขวา มุมแหลมจะเท่ากับ 450
“บทเรียนเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7” - การแก้ปัญหา” ขา BC และ SA ทำงานตามแบบที่เตรียมไว้ “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม วัสดุใหม่- สามเหลี่ยมมุมฉาก. ภารกิจที่ 1 การแก้ปัญหาโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป หมายเลข 232 (ปากเปล่า), หมายเลข 231 พิสูจน์: มุม ABC น้อยกว่ามุม ADC การทดสอบช่องปาก บทเรียนเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB
“สามเหลี่ยมมุมฉาก” - ข้อมูลเกี่ยวกับ Euclid นั้นหายากมาก สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) Euclid เป็นผู้เขียนผลงานเกี่ยวกับดาราศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ดนตรี ฯลฯ มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในที่ไม่อยู่ติดกับมุมนั้น Euclid เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกของโรงเรียนอเล็กซานเดรียน คำจำกัดความ การทดสอบการควบคุม
“สามเหลี่ยมหน้าจั่วและคุณสมบัติของมัน” - ตั้งชื่อฐานและด้านข้างของสามเหลี่ยมเหล่านี้ จงหาค่าของมุม 1 ถ้าค่าของมุม 2 คือ 40 องศา? A, C – มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยมเท่ากันหรือไม่? พวกเขาพบกันที่ไหนในชีวิต? สามเหลี่ยมหน้าจั่ว- AM – ค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทุกด้านเรียกว่า EQUILATERAL
"สามเหลี่ยมมุมฉากเรขาคณิต" - ตัวเลขอียิปต์: คำนวณพื้นที่ของแปลงรูปสามเหลี่ยมของชาวนาอียิปต์ นักสำรวจ. ชาวอียิปต์เรียกสามเหลี่ยมมุมฉากว่าอะไร? ผู้สร้างชาวอียิปต์: ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากในอียิปต์ พีทาโกรัส: ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากในเรขาคณิต คำถามจากผู้สำรวจที่ดิน: - ขาใหญ่กว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 60 องศา เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก
จากโรงเรียน เรารู้ว่าเส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้
ทฤษฎีบท 1เส้นแบ่งครึ่งมุม กสามเหลี่ยม เอบีซีจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งจะถูกแบ่งตามอัตราส่วน นับจากด้านไหน ก ข ค– ความยาวด้านข้าง พ.ศ. เอซี เอบีตามลำดับ
การพิสูจน์.อนุญาต เอเอ 1 และ BB 1 – เส้นแบ่งครึ่งมุม กและ ในตามลำดับในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี, แอล– จุดตัดของพวกเขา ก ข ค– ความยาวด้านข้าง พ.ศ. เอซี เอบีตามนั้น (รูปที่ 62) จากนั้นโดยทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งนำไปใช้กับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีเราจะมี
หรือ ข เวอร์จิเนีย 1 = ac – กับ VA 1 หรือ เวอร์จิเนีย 1 (ข + ค)= ไฟฟ้ากระแสสลับ, วิธี, เวอร์จิเนีย 1 = กับ.โดยใช้ทฤษฎีบทเดียวกันกับรูปสามเหลี่ยม เอวา 1 เราได้รับ ก 1 ล : แอลเอ = : กับหรือ = .
ทฤษฎีบท 2ถ้า ล เอบีซีวงกลมแล้ว
Ð ALB= 90° + อาร์ เอส.
การพิสูจน์.เมื่อผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° และจุดศูนย์กลาง ลวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมเราจะได้ (รูปที่ 62):
Ð ALB= 180° – ( Ð ABL + Ð วาล) = 180° – ( Ð ABC + Ð VAS) =
180° – (180° – อี ส) = 180° – 90° + อาร์ เอส= 90° + อาร์ เอส.
ทฤษฎีบท 3ถ้า ล– ชี้ไปที่เส้นแบ่งครึ่งของมุม กับสามเหลี่ยม เอบีซีเช่นนั้น Ð ALB= 90° + อาร์ เอส, ที่ ล– ศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ เอบีซีวงกลม.
การพิสูจน์.ให้เราพิสูจน์ว่าไม่มีประเด็น ล 1 ระหว่าง คและ ลไม่สามารถเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ได้ (รูปที่ 62a)
เรามี อัล 1 กับ 1 < Ð ALC 1 เนื่องจากมุมภายนอกของสามเหลี่ยม อัล 1 ลมากกว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่อยู่ติดกัน อีกด้วย บีบี 1 กับ < พีแอลซี 1 .
นั่นเป็นเหตุผล อัล 1 ใน < Ð ALB= 90° + อาร์ เอส- วิธี, ล 1 ไม่ใช่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ เนื่องจากเงื่อนไขของสัญลักษณ์ของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ไม่เป็นที่พอใจ (ดูทฤษฎีบทที่ 2)
ถ้าตรงประเด็น ล 2 บนเส้นแบ่งครึ่ง เอสเอส 1 ไม่อยู่ในกลุ่ม ซีแอล, ที่ อัล 2 ใน > Ð ALB= 90° + อาร์ เอสและไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของเครื่องหมายศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้อีกครั้ง ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือจุดนั้น ล.
ทฤษฎีบท 4ระยะห่างจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมถึงจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้โดยด้านที่ผ่านผ่านจุดยอดนี้จะเท่ากับครึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนี้ลดลงด้วยด้านตรงข้าม
การพิสูจน์.อนุญาต ก 1 , ใน 1 , กับ 1 – จุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้กับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี(รูปที่ 63) ก ข ค– ความยาวด้านข้าง พ.ศ. เอซี เอบีตามลำดับ
อนุญาต เครื่องปรับอากาศ 1 = เอ็กซ์, แล้ว เอบี 1 = เอ็กซ์, ซัน 1 = ค – เอ็กซ์ = เวอร์จิเนีย 1 , ใน 1 กับ = ข – x = แคลิฟอร์เนีย 1 ,
ก = BC = เวอร์จิเนีย 1 + SA 1 = (ค – x) + (ข – x) = ค + ข – 2 เอ็กซ์.
แล้ว ก + ก = ก + ข + ค – 2 เอ็กซ์หรือ 2 ก = 2 ร – 2 เอ็กซ์, หรือ x = พี – ก.
ทฤษฎีบท 5ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ เอบีซีผ่านจุด ลจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกสองมุมจะผ่านเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่สาม และจุดตัด ลอยู่ในระยะเท่ากันจากเส้นที่มีด้านของรูปสามเหลี่ยม
การพิสูจน์.อนุญาต ล– จุดตัดกันของมุมภายนอกสองมุม ในและ กับสามเหลี่ยม เอบีซี(รูปที่ 64) เนื่องจากแต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน ดังนั้นจุดจึงอยู่ห่างจากกัน ล เอบีและ ดวงอาทิตย์เนื่องจากมันเป็นของเส้นแบ่งครึ่ง บ.ล- ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงเท่ากัน ดวงอาทิตย์และ เครื่องปรับอากาศเนื่องจากมันเป็นของเส้นแบ่งครึ่ง ซีแอล- ดังนั้นชี้ ลอยู่ในระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากัน เอบี, อสและ ดวงอาทิตย์- ตั้งแต่จุด ลอยู่ในระยะห่างจากเส้นเท่ากัน เอบีและ เครื่องปรับอากาศ, ที่ เจเอสซี– เส้นแบ่งครึ่งมุม คุณ.
วงกลมที่แตะด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและส่วนขยายของอีกสองด้านเรียกว่า ส่วนนอกของสามเหลี่ยมนี้
ข้อพิสูจน์ 1.จุดศูนย์กลางของวงกลมที่อยู่ศูนย์กลางจากรูปสามเหลี่ยมจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งคู่ของมุมภายนอก
ทฤษฎีบท 6รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมนี้กับโคไซน์ของครึ่งหนึ่งของมุมตรงข้าม คูณด้วยไซน์ของครึ่งหนึ่งของอีกสองมุมที่เหลือ
- ทำซ้ำและสรุปทฤษฎีบทที่ศึกษา
- พิจารณาใช้ในการแก้ไขปัญหาหลายประการ
- การเตรียมความพร้อมนักเรียนเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัย
- ปลูกฝังการวาดภาพที่สวยงามสำหรับงานต่างๆ
อุปกรณ์ : เครื่องฉายมัลติมีเดีย ภาคผนวก 1
ความคืบหน้าของบทเรียน:
1. ช่วงเวลาขององค์กร
2. ตรวจการบ้าน:
- การพิสูจน์ทฤษฎีบท - นักเรียน 2 คน + นักเรียน 2 คน - ที่ปรึกษา (หมากฮอส);
- การแก้ปัญหาการบ้าน – นักเรียน 3 คน
- ทำงานร่วมกับชั้นเรียน - การแก้ปัญหาช่องปาก:
จุด C 1 หารด้าน AB ของสามเหลี่ยม ABC ในอัตราส่วน 2: 1 จุด B 1 อยู่บนความต่อเนื่องของด้าน AC เลยจุด C และ AC = CB 1 เส้นตรง B 1 C 1 หารด้าน BC ในอัตราส่วนเท่าใด (บนสไลด์ 2)
วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไข โดยใช้ทฤษฎีบทของเมเนลอส เราจะพบว่า:
ในสามเหลี่ยม ABC โดย AD คือค่ามัธยฐาน จุด O คือจุดกึ่งกลางของค่ามัธยฐาน เส้นตรง BO ตัดด้าน AC ที่จุด K
จุด K หาร AC นับจากจุด A ในอัตราส่วนเท่าใด (บนสไลด์ 3)
สารละลาย:ให้ ВD = DC = a, АО = ОD = m. เส้นตรง BK ตัดกันสองด้านและความต่อเนื่องของด้านที่สามของสามเหลี่ยม ADC ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส .
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ทางด้าน BC จุด N จะถูกแทนเพื่อให้ NC = 3ВN; ในด้านต่อเนื่องของด้าน AC จุด M ถือเป็นจุด A ดังนั้น MA = AC เส้น MN ตัดกับด้าน AB ที่จุด F จงหาอัตราส่วน (บนสไลด์ 4)
วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไขของปัญหา MA = AC, NC = 3 ВN ให้ MA = AC = b, BN = k, NC = 3k เส้นตรง MN ตัดกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยม ABC และด้านต่อเนื่องของสามเหลี่ยมที่สาม ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส
จุด N อยู่ที่ด้าน PQ ของสามเหลี่ยม PQR และจุด L อยู่ที่ด้าน PR โดยที่ NQ = LR จุดตัดของกลุ่ม QL และ NR แบ่ง QR ในอัตราส่วน m: n นับจากจุด Q ค้นหา PN: PR (บนสไลด์ 5)
วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไข NQ = LR, . ให้ NA = LR = a, QF =km, LF = kn เส้น NR ตัดกันสองด้านของสามเหลี่ยม PQL และความต่อเนื่องของสามเหลี่ยมที่สาม ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส
3. ฝึกทักษะการปฏิบัติ
1. การแก้ปัญหา:
พิสูจน์ทฤษฎีบท: ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดตัดจะแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด (รูปที่ 1 สไลด์ 6)
พิสูจน์: ให้ AM 1, VM 2, CM 3 เป็นค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC เพื่อพิสูจน์ว่าส่วนเหล่านี้ตัดกันที่จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็น จากนั้น ตามทฤษฎีบทของ Cheva ส่วน AM 1, VM 2 และ CM 3 ตัดกันที่จุดหนึ่ง เรามี:
ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง
ให้ O เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐาน เส้นตรง M 3 C ตัดกันสองด้านของสามเหลี่ยม ABM 2 และความต่อเนื่องของด้านที่สามของสามเหลี่ยมนี้ ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส
หรือ .
เมื่อพิจารณาทฤษฎีบทของเมเนลอสสำหรับสามเหลี่ยม AM 1 C และ AM 2 C เราก็ได้สิ่งนั้น
- ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
พิสูจน์ทฤษฎีบท: เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง(รูปที่ 2 สไลด์ 6)
หลักฐาน: ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า - จากนั้น ตามทฤษฎีบทของซีวา AL 1, BL 2, CL 3 ตัดกันที่จุดหนึ่ง ตามสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม:
- เมื่อคูณผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นทีละเทอม เราจะได้: - ดังนั้น สำหรับเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกันของชีวาจึงเป็นที่พอใจ ดังนั้น พวกมันจึงตัดกันที่จุดหนึ่ง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ปัญหาที่ 7
พิสูจน์ทฤษฎีบท: ความสูงของสามเหลี่ยมเฉียบพลันตัดกันที่จุดหนึ่ง(รูปที่ 3 สไลด์ 6)
พิสูจน์: ให้ AH 1, AH 2, AH 3 เป็นความสูงของสามเหลี่ยม ABC โดยมีด้าน a, b, c เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABN 2 และ BSN 2 เราจะแสดงกำลังสองของขาร่วม BN 2 ตามลำดับ โดยแทนค่า AH 2 = x, CH 2 = b – x
(VN 2) 2 = ค 2 – x 2 และ (VN 2) 2 = ก 2 – (b – x) 2 เมื่อปรับด้านขวามือของผลลัพธ์ที่เท่ากัน เราจะได้ c 2 – x 2 = a 2 – (b – x) 2 โดยที่ x =
จากนั้น b –x = b - = .
ดังนั้น AN 2 = , CH 2 = .
การใช้เหตุผลในทำนองเดียวกันสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ASN 2 และ VSN 3, VAN 1 และ SAN 1 เราได้รับ AN 3 =, VN 3 = และ VN 1 =,
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็น - จากนั้น ตามทฤษฎีบทของชีวา เซ็กเมนต์ AN 1, VN 2 และ CH 3 ตัดกันที่จุดหนึ่ง เมื่อแทนนิพจน์สำหรับความยาวของเซกเมนต์ AN 3, VN 3, VN 1, CH 1, CH 2 และ AN 2 ลงไปทางด้านซ้ายของค่าที่เท่ากัน จนถึง a, b, c เราเชื่อว่าค่าเท่ากันของชีวะสำหรับระดับความสูง สามเหลี่ยมก็พอใจ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ปัญหาที่ 5 – 7 การแก้ปัญหาอย่างอิสระโดยนักเรียน 3 คน (ภาพวาดบนหน้าจอ)
2. อื่นๆ:
พิสูจน์ทฤษฎีบท: ถ้าวงกลมถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดสัมผัสของด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 4 สไลด์ 6)
พิสูจน์: ให้ A 1, B 1 และ C 1 เป็นจุดสัมผัสของวงกลมที่เขียนไว้ของสามเหลี่ยม ABC เพื่อพิสูจน์ว่าส่วน AA 1, BB 1 และ CC 1 ตัดกันที่จุดหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันของ Cheva มีอยู่:
- การใช้คุณสมบัติของแทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดหนึ่ง เราแนะนำสัญกรณ์: BC 1 = BA 1 = x, CA 1 = CB 1 = y, AB 1 = AC 1 = z
- ความเท่าเทียมกันของ Cheva เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าส่วนที่ระบุ (เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม) ตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดเกอร์กอน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
3. การวิเคราะห์ปัญหา 5, 6, 7
ปัญหาที่ 9
ให้ AD เป็นค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC ที่ด้าน AD จุด K จะถูกแทนโดยที่ AK: KD = 3: 1 เส้นตรง BK จะแยกสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองส่วน ค้นหาอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ (รูปที่ 1 บนสไลด์ 7)
วิธีแก้: ให้ AD = DC = a, KD = m แล้ว AK = 3m ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง BK กับด้าน AC คุณต้องค้นหาความสัมพันธ์ เนื่องจากสามเหลี่ยม ABP และ RVS มีความสูงเท่ากันจากจุดยอด B ดังนั้น = ตามทฤษฎีบทของเมเนลอสสำหรับสามเหลี่ยม ADC และซีแคนต์ PB เรามี: - ดังนั้น = .
ปัญหาที่ 10
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งล้อมรอบวงกลม AB = 8, BC = 5, AC = 4 A 1 และ C 1 เป็นจุดสัมผัสของด้าน BC และ BA ตามลำดับ P – จุดตัดกันของส่วน AA 1 และ CC 1 จุด P อยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง BB 1
ค้นหา AR: RA 1
(บนสไลด์ 7 รูปที่ 2)
วิธีแก้ไข: จุดสัมผัสของวงกลมกับด้าน AC ไม่ตรงกับ B1 เนื่องจากสามเหลี่ยม ABC มีลักษณะไม่สมส่วน ให้ C 1 B = x จากนั้นใช้คุณสมบัติของแทนเจนต์ที่ลากไปยังวงกลมจากจุดหนึ่ง เราแนะนำสัญลักษณ์ (ดูรูป) 8 – x + 5 – x = 4, x =
ซึ่งหมายความว่า C 1 B = VA 1 = , A 1 C = 5 - = , AC 1 = 8 - = . .
ในรูปสามเหลี่ยม ABA 1 เส้น C 1 C ตัดกันทั้งสองด้านและความต่อเนื่องของด้านที่สาม ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส
คำตอบ: 70:9.
วิธีแก้: ให้ AB = 5, BC = 7, AC = 6 ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม BAC อยู่ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าในรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งหมายความว่ามุม BAC คือมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบไปกับสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง ให้ O เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องค้นหา AO: OD เนื่องจาก AD เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ BD = 5k, DC = 6k เนื่องจาก BF เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ AF = 5m, FC = 7m เส้น BF ตัดกันสองด้านและส่วนขยายของด้านที่สามของสามเหลี่ยม ADC ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส .
4. โซลูชันอิสระปัญหา 9, 10, 11.– นักเรียน 3 คน
ปัญหาที่ 12 (สำหรับนักเรียนที่เหลือทั้งหมดในชั้นเรียน):
เส้นแบ่งครึ่ง BE และ AD ของสามเหลี่ยม ABC ตัดกันที่จุด Q จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม BQD = 1, 2AC = 3 AB, 3BC = 4 AB (รูปที่ 4 บนสไลด์ที่ 7)
วิธีแก้ไข: ให้ AB = a แล้ว AC = , BC = AD คือเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC แล้ว นั่นคือ BD = 2p, DC = 3p BE เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC แล้ว , AE = 3 k, EC = 4 k ในรูปสามเหลี่ยม BEC เส้น AD ตัดกันด้านสองด้านและส่วนขยายของด้านที่สาม ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส . นั่นคือ EQ = 9m, QB = 14m. สามเหลี่ยม QBD และ EBC มีมุมร่วมซึ่งหมายถึง , ส อีบีซี = .
สามเหลี่ยม ABC และ BEC มีความสูงเท่ากันเมื่อลากจากจุดยอด B ซึ่งหมายความว่า แล้ว S ABC =
5. การวิเคราะห์ปัญหา 9, 10, 11
การแก้ปัญหา – การประชุมเชิงปฏิบัติการ:
A. ที่ด้านข้าง BC, CA, AB ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ที่มีฐาน AB, จุด A 1, B 1, C 1 ถูกนำมาใช้เพื่อให้เส้น AA 1, BB 1, CC 1 สามารถแข่งขันได้
พิสูจน์ว่า
การพิสูจน์:
ตามทฤษฎีบทของ Ceva เรามี: (1).
ตามกฎของไซน์: จากที่ CA 1 = CA.
จากที่ A 1 B = AB - ,
โดยที่ AB 1 = AB - จากที่ B 1 C = BC เนื่องจาก CA = BC ตามเงื่อนไข การแทนที่ผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันให้เป็นความเท่าเทียมกัน (1) ที่เราได้รับ:
Q.E.D.
B. ที่ด้าน AC ของสามเหลี่ยม ABC จุด M ถูกกำหนดโดย AM = ?AC และที่ต่อเนื่องของด้าน BC จะมีจุด N โดยที่ BN = CB จุด P ซึ่งเป็นจุดตัดระหว่างส่วน AB และ MN แบ่งแต่ละส่วนเหล่านี้ด้วยความสัมพันธ์ใด
ตามทฤษฎีบทของเมเนลอส สำหรับสามเหลี่ยม ABC และเส้นตัด MN เรามี:
- ตามเงื่อนไข เพราะฉะนั้น ,
ตั้งแต่ 0.5 (-2) . x = 1, - 2x = - 2, x = 1
สำหรับสามเหลี่ยม MNC และเส้นตัด AB ตามทฤษฎีบทของ Menelaus เรามี: ตามเงื่อนไข
หมายถึง - , จากที่ไหน .
8. การแก้ปัญหาโดยอิสระ: ตัวเลือกที่ 1:
1. ในด้านต่อเนื่องของด้าน AB, BC, AC ของสามเหลี่ยม ABC จะใช้จุด C 1, A 1, B 1 ตามลำดับ ดังนั้น AB = BC 1, BC = CA 1, CA = AB 1 ค้นหาอัตราส่วนที่เส้น AB 1 หารด้าน A 1 C 1 ของสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 (3 คะแนน)
2. บนค่ามัธยฐาน CC 1 ของสามเหลี่ยม ABC ให้หาจุด M พิสูจน์ว่าเส้น AB และ A 1 B 1 ขนานกัน (3 คะแนน)
3. ให้จุด C 1, A 1 และ B 1 อยู่บนเส้นตรงต่อเนื่องกันของด้าน AB, BC และ AC ของสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ว่าจุด A 1, B 1, C 1 อยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อ ความเท่าเทียมกันถืออยู่ - (4 คะแนน)
6. ให้จุด C 1, A 1 และ B 1 อยู่ด้าน AB, BC และ AC ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ เพื่อให้เส้น AA 1, BB 1, CC 1 ตัดกันที่จุด O จงพิสูจน์ว่ามีความเท่าเทียมกัน - (5 คะแนน)
7 - ให้จุด A 1, B 1, C 1, D 1 อยู่บนขอบ AB, BC, CD และ AD ของจัตุรมุข ABCD ตามลำดับ พิสูจน์ว่าจุด A 1, B 1, C 1, D 1 อยู่ในจุดเดียวกัน ระนาบก็ต่อเมื่อ เมื่อความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ (5 คะแนน)
ตัวเลือก 2:
1. จุด A 1 และ B 1 หารด้าน BC และ AC ของสามเหลี่ยม ABC ในอัตราส่วน 2: 1 และ 1: 2 เส้น AA 1 และ BB 1 ตัดกันที่จุด O พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 1 หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม OBC (3 คะแนน)
2. ส่วน MN ที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้าน AD และ BC ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD จะถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน พิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเป็นหนึ่งในฐาน AB หรือ CD ซึ่งมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของอีกฐานหนึ่ง (3 คะแนน)
3. ให้จุด C 1, A 1 และ B 1 อยู่บนด้าน AB และต่อด้าน BC และ AC ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ พิสูจน์ว่าเส้น AA 1, BB 1, СС 1 ตัดกันที่จุดหนึ่งหรือขนานกัน ถ้าและต่อเมื่อความเท่าเทียมกันยังคงอยู่ - (4 คะแนน)
4. ใช้ทฤษฎีบทของซีวา พิสูจน์ว่าความสูงของรูปสามเหลี่ยมหรือส่วนต่อขยายตัดกันที่จุดหนึ่ง (4 คะแนน)
5. พิสูจน์ว่าเส้นที่ลากผ่านจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมและจุดสัมผัสของวงกลมภายนอกตัดกันที่จุดหนึ่ง (จุดนาเจล) (วงกลมเรียกว่า excircle ในรูปสามเหลี่ยมหากสัมผัสกับด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมนี้และส่วนขยายของอีกสองด้าน) (5 คะแนน)
6. ให้จุด C 1, A 1, B 1 อยู่ด้าน AB, BC และ AC ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ เพื่อให้เส้น AA 1, BB 1 และ CC 1 ตัดกันที่จุด O จงพิสูจน์ว่ามีความเท่าเทียมกัน - (5 คะแนน)
7. ให้จุด A 1, B 1, C 1, D 1 อยู่บนขอบ AB, BC, CD และ AD ของจัตุรมุข ABCD ตามลำดับ ให้พิสูจน์ว่าจุด A 1, B 1, C 1, D 1 อยู่ในนั้น ระนาบเดียวกันนั้นและเมื่อความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจเท่านั้น (5 คะแนน)
9. การบ้าน: หนังสือเรียน§ 3 หมายเลข 855 หมายเลข 861 หมายเลข 859