सैद्धांतिक यांत्रिकी में गतिशीलता के बारे में सब कुछ। सिस्टम गतिशीलता के सामान्य प्रमेय। गतिज ऊर्जा के परिवर्तन पर प्रमेय
आइए हम एक निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष भौतिक वस्तुओं की एक निश्चित प्रणाली की गति पर विचार करें, जब प्रणाली मुक्त नहीं होती है, तो इसे मुक्त माना जा सकता है यदि हम प्रणाली पर लगाए गए कनेक्शनों को त्याग दें और उनकी क्रिया को संबंधित प्रतिक्रियाओं से बदल दें।
आइए हम सिस्टम पर लागू सभी बलों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित करें; दोनों में त्याग की प्रतिक्रियाएँ शामिल हो सकती हैं
सम्बन्ध। चलो और बिंदु ए के सापेक्ष मुख्य वेक्टर और बाहरी बलों के मुख्य क्षण को निरूपित करें।
1. संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय.यदि सिस्टम की गति की मात्रा है, तो (देखें)
अर्थात्, प्रमेय मान्य है: प्रणाली के संवेग का समय व्युत्पन्न सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर है।
वेक्टर को उसकी अभिव्यक्ति के माध्यम से प्रतिस्थापित करके जहां सिस्टम का द्रव्यमान है, द्रव्यमान के केंद्र का वेग है, समीकरण (4.1) को एक अलग रूप दिया जा सकता है:
इस समानता का मतलब है कि सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु की तरह चलता है जिसका द्रव्यमान सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिस पर एक बल लगाया जाता है जो ज्यामितीय रूप से सिस्टम के सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर होता है। अंतिम कथन को निकाय के द्रव्यमान केंद्र (जड़त्व केंद्र) की गति पर प्रमेय कहा जाता है।
यदि तब (4.1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि संवेग वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर है। इसे समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपित करते हुए, हमें तीन अदिश प्रथम इंटीग्रल, सिस्टम के डबल कैप के अंतर समीकरण प्राप्त होते हैं:
इन समाकलनों को संवेग समाकलन कहा जाता है। जब द्रव्यमान के केंद्र की गति स्थिर होती है, अर्थात यह एक समान और सीधी गति से चलती है।
यदि किसी एक अक्ष पर बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर का प्रक्षेपण, उदाहरण के लिए एक अक्ष पर, शून्य के बराबर है, तो हमारे पास एक पहला अभिन्न अंग है, या यदि मुख्य वेक्टर के दो प्रक्षेपण शून्य के बराबर हैं, तो दो हैं गति के अभिन्न अंग.
2. कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय.मान लीजिए A अंतरिक्ष में कुछ मनमाना बिंदु है (गतिमान या स्थिर), जो आवश्यक रूप से गति के पूरे समय के दौरान सिस्टम के किसी विशिष्ट भौतिक बिंदु से मेल नहीं खाता है। हम बिंदु A के सापेक्ष किसी सामग्री प्रणाली के गतिज क्षण में परिवर्तन पर प्रमेय द्वारा एक निश्चित समन्वय प्रणाली में इसकी गति को निरूपित करते हैं।
यदि बिंदु A स्थिर है, तो समानता (4.3) सरल रूप धारण कर लेती है:
यह समानता एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष किसी प्रणाली के कोणीय गति की भिन्नता के बारे में प्रमेय को व्यक्त करती है: प्रणाली के कोणीय गति का समय व्युत्पन्न, कुछ निश्चित बिंदु के सापेक्ष गणना की जाती है, जो सापेक्ष सभी बाहरी बलों के प्रमुख क्षण के बराबर है इस बिंदु तक.
यदि तब (4.4) के अनुसार कोणीय संवेग वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर है। इसे निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करते हुए, हम दोहरे सिस्टम के विभेदक समीकरणों के अदिश प्रथम समाकलन प्राप्त करते हैं:
इन समाकलनों को संवेग समाकलन या क्षेत्र समाकलन कहा जाता है।
यदि बिंदु A प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो समानता के दाईं ओर का पहला पद (4.3) गायब हो जाता है और कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय को लिखने का वही रूप (4.4) मिलता है जैसा कि के मामले में होता है एक निश्चित बिंदु ए। ध्यान दें (देखें। पी। 4 § 3), कि विचाराधीन मामले में, समानता के बाईं ओर सिस्टम की पूर्ण कोणीय गति (4.4) को सिस्टम के समान कोणीय गति से प्रतिस्थापित किया जा सकता है द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष इसकी गति में।
मान लीजिए कि सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरने वाली कोई स्थिर दिशा या स्थिर दिशा की धुरी है, और इस अक्ष के सापेक्ष सिस्टम का गतिज क्षण है। (4.4) से यह इस प्रकार है
अक्ष के सापेक्ष बाह्य बलों का आघूर्ण कहाँ है? यदि पूरे आंदोलन के दौरान हमारे पास पहला अभिन्न अंग है
एस.ए. चैपलगिन के कार्यों में, गतिज गति में परिवर्तन पर प्रमेय के कई सामान्यीकरण प्राप्त किए गए, जिन्हें तब रोलिंग गेंदों पर कई समस्याओं को हल करने में लागू किया गया था। यांत्रिक क्षण में परिवर्तन और गतिशीलता की समस्याओं में उनके अनुप्रयोगों पर प्रमेय का और सामान्यीकरण ठोसकार्यों में निहित है। इन कार्यों के मुख्य परिणाम किसी गतिमान बिंदु A से लगातार गुजरने वाली गति के सापेक्ष गतिज गति में परिवर्तन पर प्रमेय से संबंधित हैं। मान लीजिए कि इस अक्ष के साथ निर्देशित एक इकाई वेक्टर है। समानता (4.3) के दोनों पक्षों से अदिश गुणन करने पर तथा इसके दोनों भागों में पद जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
जब गतिकीय स्थिति पूरी हो जाती है
समीकरण (4.5) (4.7) से अनुसरण करता है। और यदि शर्त (4.8) पूरे आंदोलन के दौरान संतुष्ट होती है, तो पहला अभिन्न अंग (4.6) मौजूद होता है।
यदि सिस्टम के कनेक्शन आदर्श हैं और आभासी विस्थापनों के बीच, सिस्टम को धुरी के चारों ओर एक कठोर शरीर के रूप में घूमने की अनुमति देते हैं, तो अक्ष के सापेक्ष प्रतिक्रियाओं का मुख्य क्षण शून्य के बराबर होता है, और फिर मूल्य पर समीकरण का दाहिना भाग (4.5) अक्ष के सापेक्ष सभी बाहरी सक्रिय बलों के मुख्य क्षण का प्रतिनिधित्व करता है। इस क्षण की शून्य की समानता और संबंध की वैधता (4.8) विचाराधीन मामले में अभिन्न (4.6) के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें होंगी।
यदि अक्ष की दिशा स्थिर है तो शर्त (4.8) रूप में लिखी जायेगी
इस समानता का मतलब है कि द्रव्यमान के केंद्र के वेग और धुरी पर बिंदु ए के वेग और इसके लंबवत विमान पर प्रक्षेपण समानांतर हैं। एस.ए. चैपलगिन के काम में, (4.9) के बजाय, एक कम सामान्य स्थिति की पूर्ति की आवश्यकता होती है जहां एक्स एक मनमाना स्थिर मूल्य है।
ध्यान दें कि स्थिति (4.8) बिंदु की पसंद पर निर्भर नहीं करती है। वास्तव में, मान लीजिए कि P अक्ष पर एक मनमाना बिंदु है। तब
और इसलिए
निष्कर्ष में, हम रेज़ल की समीकरणों (4.1) और (4.4) की ज्यामितीय व्याख्या पर ध्यान देते हैं: वैक्टर के सिरों के पूर्ण वेग वेक्टर और क्रमशः मुख्य वेक्टर और बिंदु ए के सापेक्ष सभी बाहरी बलों के मुख्य क्षण के बराबर होते हैं। .
संवेग प्रमेय (विभेदक रूप में).
1. एक बिंदु के लिए: समय के संबंध में बिंदु की गति का व्युत्पन्न बिंदु पर लागू बलों के परिणाम के बराबर है:
या समन्वित रूप में:
2. एक प्रणाली के लिए: समय के संबंध में प्रणाली की गति का व्युत्पन्न प्रणाली के बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर (सिस्टम पर लागू बाहरी बलों का वेक्टर योग) के बराबर है:
या समन्वित रूप में:
संवेग प्रमेय (अंतिम रूप में संवेग प्रमेय)।
1. एक बिंदु के लिए: समय की एक सीमित अवधि में बिंदु की गति में परिवर्तन बल बिंदु पर लागू आवेगों के योग के बराबर होता है (या बिंदु पर लागू बलों के परिणामी आवेग)
या समन्वित रूप में:
2. एक प्रणाली के लिए: समय की एक सीमित अवधि में प्रणाली की गति में परिवर्तन बाहरी बलों के आवेगों के योग के बराबर होता है:
या समन्वित रूप में:
परिणाम: बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में, सिस्टम की गति की मात्रा एक स्थिर मात्रा है; यदि सिस्टम की बाहरी ताकतें एक निश्चित अक्ष के लंबवत हैं, तो इस अक्ष पर संवेग का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।
संवेग प्रमेय
1. एक बिंदु के लिए: किसी केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष बिंदु के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष बिंदु पर लागू बलों के क्षणों के योग के बराबर होता है:
2. सिस्टम के लिए:
किसी केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष सिस्टम के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष सिस्टम के बाहरी बलों के क्षणों के योग के बराबर है:
परिणाम: यदि सिस्टम की बाहरी ताकतें किसी दिए गए केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष एक पल प्रदान नहीं करती हैं, तो इस केंद्र (अक्ष) के सापेक्ष सिस्टम का कोणीय संवेग एक स्थिर मान है।
यदि किसी बिंदु पर लगाए गए बल किसी दिए गए केंद्र के सापेक्ष एक क्षण उत्पन्न नहीं करते हैं, तो इस केंद्र के सापेक्ष बिंदु का कोणीय संवेग एक स्थिर मान होता है और बिंदु एक सपाट प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है।
गतिज ऊर्जा प्रमेय
1. एक बिंदु के लिए: किसी बिंदु की गतिज ऊर्जा में उसके अंतिम विस्थापन पर परिवर्तन उस पर लागू सक्रिय बलों के कार्य के बराबर होता है (गैर-आदर्श बांड की प्रतिक्रियाओं के स्पर्शरेखा घटकों को सक्रिय की संख्या में शामिल किया जाता है) ताकतों):
सापेक्ष गति के मामले के लिए: सापेक्ष गति के दौरान किसी बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर लागू सक्रिय बलों और जड़ता के स्थानांतरण बल के कार्य के बराबर होता है (देखें "एकीकरण के विशेष मामले"):
2. एक प्रणाली के लिए: अपने बिंदुओं के एक निश्चित विस्थापन पर प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर लागू बाहरी सक्रिय बलों और सिस्टम के बिंदुओं पर लागू आंतरिक बलों के कार्य के बराबर होता है, के बीच की दूरी जो बदलता है:
यदि सिस्टम अपरिवर्तनीय (ठोस शरीर) है, तो ΣA i =0 और गतिज ऊर्जा में परिवर्तन केवल बाहरी सक्रिय बलों के कार्य के बराबर है।
एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति के बारे में प्रमेय. एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु के रूप में चलता है जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है M=Σm i, जिस पर सिस्टम के सभी बाहरी बल लागू होते हैं:
या समन्वित रूप में:
द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण और कार्टेशियन समन्वय अक्षों पर इसका प्रक्षेपण कहां है; बाह्य बल और कार्तीय निर्देशांक अक्षों पर इसके प्रक्षेपण।
प्रणाली के लिए संवेग प्रमेय, द्रव्यमान के केंद्र की गति के माध्यम से व्यक्त किया गया।
समय की एक सीमित अवधि में सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की गति में परिवर्तन, उसी अवधि में सिस्टम के बाहरी बलों के आवेग के बराबर होता है, जो पूरे सिस्टम के द्रव्यमान से विभाजित होता है।
निकाय के द्रव्यमान केन्द्र की गति पर एक प्रमेय बनाइये।
एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान के साथ एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है, जिस पर सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बल लागू होते हैं।
किसी कठोर पिंड की किस गति को किसी दिए गए पिंड के द्रव्यमान वाले भौतिक बिंदु की गति माना जा सकता है और क्यों?
किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति पूरी तरह से उसके एक बिंदु की गति से निर्धारित होती है। नतीजतन, शरीर के द्रव्यमान के साथ एक भौतिक बिंदु के रूप में शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की गति की समस्या को हल करके, पूरे शरीर की अनुवादात्मक गति को निर्धारित करना संभव है।
किन परिस्थितियों में निकाय का द्रव्यमान केंद्र विराम अवस्था में होता है और किन परिस्थितियों में यह एकसमान और सीधी रेखा में गति करता है?
यदि बाह्य बलों का मुख्य वेक्टर हर समय शून्य के बराबर रहता है और द्रव्यमान के केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य है, तो द्रव्यमान का केंद्र आराम पर है।
यदि बाह्य बलों का मुख्य वेक्टर हर समय और प्रारंभिक गति शून्य के बराबर रहता है , तो द्रव्यमान का केंद्र समान रूप से और सीधा चलता है।
किन परिस्थितियों में निकाय का द्रव्यमान केंद्र एक निश्चित अक्ष पर गति नहीं करता है?
यदि किसी अक्ष पर बाह्य बलों के मुख्य वेक्टर का प्रक्षेपण हर समय शून्य के बराबर रहता है और इस अक्ष पर वेग का प्रक्षेपण शून्य के बराबर होता है, तो इस अक्ष के साथ द्रव्यमान के केंद्र का समन्वय स्थिर रहता है।
किसी मुक्त ठोस पिंड पर लगाए गए बलों के एक जोड़े का उस पर क्या प्रभाव पड़ता है?
यदि आप आराम की स्थिति में एक मुक्त कठोर शरीर पर बलों की एक जोड़ी लागू करते हैं, तो बलों की इस जोड़ी की कार्रवाई के तहत शरीर अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमना शुरू कर देगा।
संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय.
समय की एक सीमित अवधि में परिवर्तनशील बल का आवेग कैसे निर्धारित किया जाता है? बल आवेग की विशेषता क्या है?
परिवर्तनशील आवेग एक सीमित समय के लिए
के बराबर होती है
.
बल का आवेग किसी निश्चित समयावधि में उस पर कार्य करने वाले पिंडों से यांत्रिक गति के स्थानांतरण को दर्शाता है।
निर्देशांक अक्षों पर स्थिर और परिवर्तनशील बल आवेगों के प्रक्षेपण क्या हैं?
निर्देशांक अक्षों पर परिवर्तनशील बल आवेग के प्रक्षेपण बराबर होते हैं
,
,
.
समय की अवधि में समन्वय अक्षों पर निरंतर बल आवेग का प्रक्षेपण बराबर
,
,
.
परिणामी का आवेग क्या है?
एक निश्चित अवधि में कई बलों के परिणामी आवेग का आवेग उसी अवधि में घटक बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है
.
एक वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमने वाले बिंदु का संवेग कैसे बदलता है?
जब एक बिंदु एक वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमता है, तो गति की दिशा बदल जाती है , लेकिन इसका मॉड्यूल संरक्षित है
.
एक यांत्रिक प्रणाली की गति क्या है?
एक यांत्रिक प्रणाली की गति की मात्रा प्रणाली के सभी बिंदुओं की गति की मात्रा के ज्यामितीय योग (मुख्य वेक्टर) के बराबर एक वेक्टर है
.
गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी के चारों ओर घूमने वाले फ्लाईव्हील की गति क्या है?
गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी के चारों ओर घूमने वाले फ्लाईव्हील की गति की मात्रा शून्य है, क्योंकि .
एक भौतिक बिंदु और एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन पर अंतर और परिमित रूपों में प्रमेय तैयार करें। इनमें से प्रत्येक प्रमेय को एक सदिश समीकरण और निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों में तीन समीकरणों के साथ व्यक्त करें।
किसी भौतिक बिंदु का विभेदक संवेग उस बिंदु पर कार्य करने वाले बलों के प्रारंभिक आवेग के बराबर होता है
.
एक निश्चित अवधि में किसी बिंदु की गतियों की संख्या में परिवर्तन उसी अवधि में बिंदु पर लागू बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है
.
अनुमानों में, इन प्रमेयों का रूप होता है
,
,
,
,
.
एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग का समय व्युत्पन्न ज्यामितीय रूप से प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर होता है
.
किसी भी अक्ष पर एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष पर बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर है
,
,
.
एक निश्चित अवधि में सिस्टम की गति में परिवर्तन उसी अवधि में सिस्टम पर लागू बाहरी बलों के आवेगों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है
.
किसी भी अक्ष पर सिस्टम की गति के प्रक्षेपण में परिवर्तन सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के आवेगों के एक ही अक्ष पर प्रक्षेपण के योग के बराबर है
,
,
.
किसी यांत्रिक प्रणाली का संवेग किन परिस्थितियों में नहीं बदलता है? किन परिस्थितियों में एक निश्चित अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है?
यदि विचारित समयावधि के लिए बाहरी बलों का मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति की मात्रा स्थिर है।
यदि किसी अक्ष पर बाह्य बलों के मुख्य सदिश का प्रक्षेपण शून्य है, तो इस अक्ष पर संवेग का प्रक्षेपण स्थिर होता है।
गोली चलाने पर बंदूक पीछे क्यों घूम जाती है?
क्षैतिज दिशा में फायर करने पर बंदूक का रोलबैक इस तथ्य के कारण होता है कि क्षैतिज अक्ष पर संवेग का प्रक्षेपण क्षैतिज बलों की अनुपस्थिति में परिवर्तन नहीं होता है
,.
क्या आंतरिक बल किसी प्रणाली की गति या उसके किसी हिस्से की गति को बदल सकते हैं?
चूँकि आंतरिक बलों का मुख्य वेक्टर शून्य है, वे सिस्टम की गति की मात्रा को नहीं बदल सकते हैं।
समस्याओं के समाधान में स्वास्थ्य बीमा का उपयोग कुछ कठिनाइयों से जुड़ा है। इसलिए, आमतौर पर गति और बलों की विशेषताओं के बीच अतिरिक्त संबंध स्थापित होते हैं, जो अधिक सुविधाजनक होते हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग. ऐसे रिश्ते हैं गतिकी के सामान्य प्रमेय.वे, ओएमएस के परिणाम होने के नाते, आंदोलन के कुछ विशेष रूप से शुरू किए गए उपायों के परिवर्तन की गति और बाहरी ताकतों की विशेषताओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं।
संवेग परिवर्तन पर प्रमेय. आइए हम एक भौतिक बिंदु के संवेग वेक्टर (आर. डेसकार्टेस) की अवधारणा का परिचय दें (चित्र 3.4):
मैं मैं = टी वी जी (3.9)
चावल। 3.4.
सिस्टम के लिए हम अवधारणा का परिचय देते हैं सिस्टम की गति का प्रमुख वेक्टरएक ज्यामितीय योग के रूप में:
क्यू = वाई, एम " वी आर
OZMS के अनुसार: Xu, -^=i) , या X
दोबारा) ।
इसे ध्यान में रखते हुए /w, = const हमें मिलता है: -Ym,!" = दोबारा) ,
या अंतिम रूप में
डीओ/डी = ए (ई (3.11)
वे। सिस्टम के संवेग के मुख्य वेक्टर के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर है।
द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय. सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्रएक ज्यामितीय बिंदु कहा जाता है जिसकी स्थिति पर निर्भर करता है टी,वगैरह। सिस्टम में द्रव्यमान /g/ के वितरण से, और द्रव्यमान के केंद्र के त्रिज्या वेक्टर के लिए अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है (चित्र 3.5):
![](https://i1.wp.com/studref.com/im/33/5710/942814-254.jpg)
कहाँ जी एस -द्रव्यमान के केंद्र का त्रिज्या वेक्टर.
![](https://i1.wp.com/studref.com/im/33/5710/942814-255.jpg)
चावल। 3.5.
चलो कॉल करें = t सिस्टम के द्रव्यमान के साथ।अभिव्यक्ति को गुणा करने के बाद
हर पर (3.12) लगाना और परिणाम के दोनों पक्षों में अंतर करना
हमारे पास एक मूल्यवान समानता होगी: जी एस टी एस = ^टी.यू. = 0, या 0 = टी एस यू एस.
इस प्रकार, सिस्टम का मुख्य संवेग वेक्टर सिस्टम के द्रव्यमान और द्रव्यमान के केंद्र के वेग के उत्पाद के बराबर है। संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय (3.11) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
टी एस डीयू एस / डीई = ए (ई) ,या
सूत्र (3.13) द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय व्यक्त करता है: सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है जिसमें सिस्टम का द्रव्यमान होता है, जिस पर बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर द्वारा कार्य किया जाता है।
कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय. आइए हम किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग की अवधारणा को उसके त्रिज्या वेक्टर और संवेग के वेक्टर उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करें:
ओह को = नीलाएक्स वह, (3.14)
कहाँ OI को -किसी निश्चित बिंदु के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग के बारे में(चित्र 3.6)।
![](https://i0.wp.com/studref.com/im/33/5710/942814-256.jpg)
अब हम एक यांत्रिक प्रणाली के कोणीय संवेग को एक ज्यामितीय योग के रूप में परिभाषित करते हैं:
К() = एक्स को, = ШУ, ? ओ-15>
(3.15) को विभेदित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
Ґ सेकंड--- एक्स टी मैं यू. + जी यूएक्स टी मैं
ध्यान में रख कर = यू जी यू आईएक्स टी आई यू आई= 0, और सूत्र (3.2), हमें मिलता है:
сіК а /с1ї - ї 0 .
(3.6) में दूसरी अभिव्यक्ति के आधार पर, अंततः हमारे पास सिस्टम के कोणीय गति में परिवर्तन पर एक प्रमेय होगा:
एक निश्चित केंद्र O के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के क्षण का पहली बार व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष इस प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के मुख्य क्षण के बराबर होता है।
सम्बन्ध (3.16) निकालते समय यह मान लिया गया के बारे में- नियत बिन्दु। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि कई अन्य मामलों में संबंध का रूप (3.16) नहीं बदलेगा, विशेष रूप से, यदि सपाट गतिद्रव्यमान के केंद्र, वेग या त्वरण के तात्कालिक केंद्र पर क्षण बिंदु का चयन करें। इसके अलावा, अगर बात के बारे मेंएक गतिशील भौतिक बिंदु के साथ मेल खाता है, इस बिंदु के लिए लिखी गई समानता (3.16) पहचान 0 = 0 में बदल जाएगी।
गतिज ऊर्जा के परिवर्तन पर प्रमेय. जब एक यांत्रिक प्रणाली चलती है, तो प्रणाली की "बाहरी" और आंतरिक ऊर्जा दोनों बदल जाती है। यदि आंतरिक बलों की विशेषताएं, मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण, मुख्य वेक्टर और त्वरण की संख्या के मुख्य क्षण में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करते हैं, तो सिस्टम की ऊर्जा स्थिति की प्रक्रियाओं के आकलन में आंतरिक बलों को शामिल किया जा सकता है।इसलिए, किसी प्रणाली की ऊर्जा में परिवर्तन पर विचार करते समय, व्यक्तिगत बिंदुओं की गतिविधियों पर विचार करना आवश्यक है, जिन पर आंतरिक बल भी लागू होते हैं।
किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा को मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है
टी^टूटीएसजी. (3.17)
एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा प्रणाली के भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
नोटिस जो टी > 0.
आइए हम बल की शक्ति को बल वेक्टर और वेग वेक्टर के अदिश उत्पाद के रूप में परिभाषित करें:
![](https://i2.wp.com/studref.com/im/33/5710/942814-260.jpg)
रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय
उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान
"क्यूबन स्टेट टेक्नोलॉजिकल यूनिवर्सिटी"
सैद्धांतिक यांत्रिकी
भाग 2 गतिकी
संपादकीय एवं प्रकाशन समिति द्वारा अनुमोदित
विश्वविद्यालय परिषद के रूप में
शिक्षक का सहायक
क्रास्नोडार
यूडीसी 531.1/3 (075)
सैद्धांतिक यांत्रिकी. भाग 2. डायनेमिक्स: पाठ्यपुस्तक / एल.आई. क्यूबन. राज्य technol.un.t. क्रास्नोडार, 2011. 123 पी।
आईएसबीएन 5-230-06865-5
सैद्धांतिक सामग्री को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत किया जाता है, समस्या समाधान के उदाहरण दिए जाते हैं, जिनमें से अधिकांश वास्तविक तकनीकी मुद्दों को दर्शाते हैं, और समाधान की तर्कसंगत विधि की पसंद पर ध्यान दिया जाता है।
निर्माण, परिवहन और मैकेनिकल इंजीनियरिंग में पत्राचार और दूरस्थ शिक्षा के स्नातकों के लिए डिज़ाइन किया गया।
मेज़ 1 बीमार. 68 ग्रंथ सूची 20 शीर्षक
वैज्ञानिक संपादक तकनीकी विज्ञान के उम्मीदवार, एसोसिएट प्रोफेसर। वी.एफ.मेलनिकोव
समीक्षक: क्यूबन एग्रेरियन यूनिवर्सिटी के सैद्धांतिक यांत्रिकी और तंत्र और मशीनों के सिद्धांत विभाग के प्रमुख प्रोफेसर। एफ.एम. कनारेव; एसोसिएट प्रोफेसर, सैद्धांतिक यांत्रिकी विभाग, क्यूबन स्टेट टेक्नोलॉजिकल यूनिवर्सिटी एम.ई. मल्टीख
क्यूबन स्टेट टेक्नोलॉजिकल यूनिवर्सिटी के संपादकीय और प्रकाशन परिषद के निर्णय द्वारा प्रकाशित।
फिर से प्रकाशित करना
आईएसबीएन 5-230-06865-5 कुबएसटीयू 1998
प्रस्तावना
यह पाठ्यपुस्तक निर्माण, परिवहन और मैकेनिकल इंजीनियरिंग विशिष्टताओं के अंशकालिक छात्रों के लिए है, लेकिन इसका उपयोग अन्य विशिष्टताओं के अंशकालिक छात्रों के साथ-साथ पूर्णकालिक छात्रों द्वारा सैद्धांतिक यांत्रिकी पाठ्यक्रम के "डायनामिक्स" खंड का अध्ययन करते समय किया जा सकता है। स्वतंत्र रूप से काम करना.
मैनुअल सैद्धांतिक यांत्रिकी पाठ्यक्रम के वर्तमान पाठ्यक्रम के अनुसार संकलित किया गया है और पाठ्यक्रम के मुख्य भाग के सभी मुद्दों को शामिल करता है। प्रत्येक अनुभाग में समस्याओं को हल करने में इसके उपयोग के लिए चित्रों और पद्धति संबंधी सिफारिशों के साथ संक्षिप्त सैद्धांतिक सामग्री शामिल है। मैनुअल में 30 समस्याओं के समाधान शामिल हैं जो वास्तविक तकनीकी मुद्दों को दर्शाते हैं और परीक्षण कार्यों के अनुरूप हैं स्वतंत्र निर्णय. प्रत्येक समस्या के लिए, एक गणना आरेख प्रस्तुत किया जाता है जो समाधान को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। समाधान का प्रारूपण अंशकालिक छात्रों के लिए परीक्षण पत्रों के प्रारूपण की आवश्यकताओं को पूरा करता है।
लेखक पाठ्यपुस्तक की समीक्षा में उनके महान कार्य के लिए क्यूबन एग्रेरियन यूनिवर्सिटी के सैद्धांतिक यांत्रिकी और तंत्र और मशीनों के सिद्धांत विभाग के शिक्षकों के साथ-साथ क्यूबन राज्य प्रौद्योगिकी के सैद्धांतिक यांत्रिकी विभाग के शिक्षकों के प्रति गहरी कृतज्ञता व्यक्त करता है। प्रकाशन के लिए पाठ्यपुस्तक तैयार करने पर बहुमूल्य टिप्पणियों और सलाह के लिए विश्वविद्यालय।
भविष्य में लेखक द्वारा सभी आलोचनात्मक टिप्पणियों और सुझावों को कृतज्ञतापूर्वक स्वीकार किया जाएगा।
परिचय
गतिशीलता सैद्धांतिक यांत्रिकी का सबसे महत्वपूर्ण खंड है। इंजीनियरिंग अभ्यास में आने वाली अधिकांश विशिष्ट समस्याएं गतिशीलता से संबंधित हैं। स्टैटिक्स और किनेमेटिक्स के निष्कर्षों का उपयोग करते हुए, गतिशीलता लागू बलों की कार्रवाई के तहत भौतिक निकायों की गति के सामान्य नियम स्थापित करती है।
सबसे सरल भौतिक वस्तु एक भौतिक बिंदु है। किसी भी आकार के भौतिक शरीर को एक भौतिक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, जिसके आयामों को विचाराधीन समस्या में उपेक्षित किया जा सकता है। किसी परिमित आयाम वाले पिंड को एक भौतिक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है यदि उसके बिंदुओं की गति में अंतर किसी दी गई समस्या के लिए महत्वपूर्ण नहीं है। ऐसा तब होता है जब शरीर के बिंदुओं द्वारा तय की गई दूरी की तुलना में शरीर का आयाम छोटा होता है। ठोस पिंड के प्रत्येक कण को एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है।
किसी बिंदु या भौतिक शरीर पर लागू बलों का गतिशील रूप से उनके गतिशील प्रभाव से मूल्यांकन किया जाता है, यानी, वे भौतिक वस्तुओं की गति की विशेषताओं को कैसे बदलते हैं।
समय के साथ भौतिक वस्तुओं की गति संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष अंतरिक्ष में होती है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, न्यूटन के सिद्धांतों के आधार पर, अंतरिक्ष को त्रि-आयामी माना जाता है, इसके गुण इसमें घूम रहे भौतिक वस्तुओं पर निर्भर नहीं करते हैं। ऐसे स्थान में एक बिंदु की स्थिति तीन निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाती है। समय का संबंध अंतरिक्ष और भौतिक वस्तुओं की गति से नहीं है। इसे सभी संदर्भ प्रणालियों के लिए समान माना जाता है।
गतिशीलता के नियम पूर्ण समन्वय अक्षों के संबंध में भौतिक वस्तुओं की गति का वर्णन करते हैं, जिन्हें पारंपरिक रूप से स्थिर के रूप में स्वीकार किया जाता है। पूर्ण समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति सूर्य के केंद्र में मानी जाती है, और अक्ष दूर, सशर्त रूप से स्थिर सितारों की ओर निर्देशित होते हैं। कई तकनीकी समस्याओं को हल करते समय, पृथ्वी से जुड़े समन्वय अक्षों को सशर्त रूप से अचल माना जा सकता है।
विकल्प यांत्रिक गतिगतिकी में भौतिक वस्तुएं शास्त्रीय यांत्रिकी के बुनियादी नियमों से गणितीय व्युत्पत्तियों द्वारा स्थापित की जाती हैं।
प्रथम नियम (जड़त्व का नियम):
एक भौतिक बिंदु तब तक आराम या एक समान और रैखिक गति की स्थिति बनाए रखता है जब तक कि कुछ बलों की कार्रवाई उसे इस स्थिति से बाहर नहीं ले जाती।
किसी बिंदु की एकसमान और रैखिक गति को जड़त्व द्वारा गति कहा जाता है। विश्राम जड़ता द्वारा गति का एक विशेष मामला है, जब किसी बिंदु की गति शून्य होती है।
प्रत्येक भौतिक बिंदु में जड़ता होती है, अर्थात यह आराम की स्थिति या एकसमान रैखिक गति बनाए रखने का प्रयास करता है। वह संदर्भ प्रणाली जिसके संबंध में जड़ता का नियम लागू होता है, जड़त्व कहलाती है, और इस प्रणाली के संबंध में देखी गई गति को निरपेक्ष कहा जाता है। कोई भी संदर्भ प्रणाली जो एक जड़त्वीय प्रणाली के सापेक्ष ट्रांसलेशनल रेक्टिलिनियर और एकसमान गति करती है, वह भी एक जड़त्वीय प्रणाली होगी।
दूसरा नियम (गतिकी का मूल नियम):
संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष एक भौतिक बिंदु का त्वरण बिंदु पर लगाए गए बल के समानुपाती होता है और दिशा में बल के साथ मेल खाता है: .
गतिकी के मूल नियम से यह पता चलता है कि बल के साथ त्वरण
. किसी बिंदु का द्रव्यमान उसकी गति में परिवर्तन के प्रति बिंदु के प्रतिरोध की डिग्री को दर्शाता है, अर्थात यह किसी भौतिक बिंदु की जड़ता का माप है।
तीसरा नियम (क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम):
वे बल जिनके साथ दो पिंड एक-दूसरे पर कार्य करते हैं, परिमाण में समान होते हैं और विपरीत दिशाओं में एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित होते हैं।
क्रिया और प्रतिक्रिया नामक बल विभिन्न पिंडों पर लागू होते हैं और इसलिए एक संतुलित प्रणाली नहीं बनाते हैं।
चौथा नियम (बलों की स्वतंत्रता का नियम):
कई बलों की एक साथ कार्रवाई के साथ, एक भौतिक बिंदु का त्वरण उन त्वरणों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है जो बिंदु प्रत्येक बल की कार्रवाई के तहत अलग-अलग होगा:
, कहाँ
,
,…,
.
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