Circle equation. Equation ng isang bilog at isang tuwid na linya Bumuo ng mga equation ng isang bilog na dumadaan
Layunin ng aralin: ipakilala ang equation ng isang bilog, turuan ang mga mag-aaral na gumuhit ng isang equation ng isang bilog ayon sa natapos na pagguhit, bumuo ng isang bilog ayon sa isang ibinigay na equation.
Kagamitan: interactive na board.
Plano ng aralin:
- Pansamahang sandali - 3 min.
- Pag-uulit. Organisasyon ng aktibidad ng kaisipan - 7 min.
- Paliwanag ng bagong materyal. Derivation ng circle equation - 10 min.
- Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal - 20 min.
- Buod ng aralin - 5 min.
Sa panahon ng mga klase
2. Pag-uulit:
− (Appendix 1 slide 2) isulat ang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment;
− (Slide 3) Z isulat ang formula para sa distansya sa pagitan ng mga punto (ang haba ng segment).
3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.
(Mga slide 4 - 6) Tukuyin ang equation ng isang bilog. Kunin ang mga equation ng isang bilog na nakasentro sa isang punto ( a;b) at nakasentro sa pinanggalingan.
(X – a ) 2 + (sa – b ) 2 = R 2 − bilog na equation na may sentro Sa (a;b) , radius R , X at sa – mga coordinate ng isang arbitrary na punto sa bilog .
X 2 + y 2 = R Ang 2 ay ang equation ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan.
(Slide 7)
Upang maisulat ang equation ng isang bilog, kailangan mo:
- alamin ang mga coordinate ng sentro;
- alamin ang haba ng radius;
- palitan ang mga coordinate ng sentro at ang haba ng radius sa equation ng bilog.
4. Paglutas ng problema.
Sa mga gawain No. 1 - No. 6, iguhit ang mga equation ng bilog ayon sa natapos na mga guhit.
(Slide 14)
№ 7. Punan ang talahanayan.
(Slide 15)
№ 8. Bumuo ng mga bilog sa kuwaderno na ibinigay ng mga equation:
a) ( X – 5) 2 + (sa + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (sa– 7) 2 = 7 2 .
(Slide 16)
№ 9. Hanapin ang mga coordinate ng sentro at ang haba ng radius kung AB ay ang diameter ng bilog.
Ibinigay: | Desisyon: | ||
R | Mga coordinate sa gitna | ||
1 | PERO(0 ; -6) AT(0 ; 2) |
AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 . |
PERO(0; -6) AT(0 ; 2) Sa(0 ; – 2) – Gitna |
2 | PERO(-2 ; 0) AT(4 ; 0) |
AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6. |
PERO (-2;0) AT (4 ;0) Sa(1 ; 0) – Gitna |
(Slide 17)
№ 10. Isulat ang equation ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan na dumadaan sa punto Upang(-12;5).
Desisyon.
R2 = OK 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;
Circle equation: x 2 + y 2 = 169 .
(Slide 18)
№ 11. Sumulat ng isang equation para sa isang bilog na dumadaan sa pinanggalingan at nakasentro sa punto Sa(3; - 1).
Desisyon.
R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Circle equation: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
(Slide 19)
№ 12. Isulat ang equation ng isang bilog na may sentro PERO(3;2) dumaraan AT(7;5).
Desisyon.
1. Ang gitna ng bilog - PERO(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB
= 5;
3. Circle equation ( X – 3) 2 + (sa − 2) 2
= 25.
(Slide 20)
№ 13. Suriin kung ang mga puntos ay kasinungalingan PERO(1; -1), AT(0;8), Sa(-3; -1) sa bilog na ibinigay ng equation ( X + 3) 2 + (sa − 4) 2 = 25.
Desisyon.
ako. Palitan ang mga coordinate ng punto PERO(1; -1) sa equation ng bilog:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - ang pagkakapantay-pantay ay hindi tama, ibig sabihin PERO(1; -1) hindi nagsisinungaling sa bilog na ibinigay ng equation ( X + 3) 2 +
(sa −
4) 2 =
25.
II. Palitan ang mga coordinate ng punto AT(0;8) sa equation ng bilog:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)kasinungalingan X + 3) 2 +
(sa − 4) 2
=
25.
III. Palitan ang mga coordinate ng punto Sa(-3; -1) sa equation ng bilog:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - ang pagkakapantay-pantay ay totoo, kaya Sa(-3; -1) kasinungalingan sa bilog na ibinigay ng equation ( X + 3) 2 +
(sa − 4) 2
=
25.
Buod ng aralin.
- Ulitin: equation ng isang bilog, equation ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan.
- (Slide 21) Takdang aralin.
Kahulugan 1 . Numeric axis ( linya ng numero, linya ng coordinate) Ang Ox ay tinatawag na isang tuwid na linya kung saan ang punto O ay pinili reference point (pinagmulan ng mga coordinate)(fig.1), direksyon
O → x
nakalista bilang positibong direksyon at ang isang segment ay minarkahan, ang haba nito ay kinuha bilang yunit ng haba.
Kahulugan 2 . Ang segment, na ang haba ay kinuha bilang isang yunit ng haba, ay tinatawag na sukat.
Ang bawat punto ng numerical axis ay may coordinate , na isang tunay na numero. Ang coordinate ng point O ay katumbas ng zero. Ang coordinate ng isang arbitrary point A na nakahiga sa ray Ox ay katumbas ng haba ng segment na OA . Ang coordinate ng isang arbitrary point A ng numerical axis, hindi nakahiga sa ray Ox , ay negatibo, at sa ganap na halaga ito ay katumbas ng haba ng segment na OA .
Kahulugan 3 . Rectangular Cartesian coordinate system Oxy sa eroplano tawag sa dalawa patayo numerical axes Ox at Oy na may ang parehong sukat at karaniwang pinagmulan sa puntong O, at tulad na ang pag-ikot mula sa ray Ox sa isang anggulo ng 90 ° hanggang sa ray Oy ay isinasagawa sa direksyon anti-clockwise(Larawan 2).
Puna . Ang rectangular Cartesian coordinate system na Oxy na ipinapakita sa Figure 2 ay tinatawag tamang coordinate system, Hindi tulad ng kaliwang coordinate system, kung saan ang pag-ikot ng beam Ox sa isang anggulo na 90° sa beam Oy ay isinasagawa sa direksyong pakanan. Sa gabay na ito, kami isaalang-alang lamang ang tamang coordinate system nang hindi binanggit ito sa partikular.
Kung ang ilang sistema ng hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian ay ipinakilala sa eroplanong Oxy, kung gayon ang bawat punto ng eroplano ay makakakuha dalawang coordinate – abscissa at ordinate, na kinakalkula bilang mga sumusunod. Hayaan ang A na maging isang arbitrary na punto ng eroplano. I-drop natin ang mga perpendicular mula sa punto A AA 1 at AA 2 sa mga linyang Ox at Oy, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 3).
Kahulugan 4 . Ang abscissa ng punto A ay ang coordinate ng punto A 1 sa numerical axis Ox, ang ordinate ng point A ay ang coordinate ng point A 2 sa numeric axis Oy .
Pagtatalaga . Coordinates (abscissa at ordinate) ng isang punto A sa rectangular Cartesian coordinate system Oxy (Fig. 4) ay karaniwang tinutukoy A(x;y) o A = (x; y).
Puna . Point O, tinatawag pinagmulan, ay may mga coordinate O(0 ; 0) .
Kahulugan 5 . Sa hugis-parihaba na Cartesian coordinate system na Oxy, ang Ox numerical axis ay tinatawag na abscissa axis, at ang Oy numerical axis ay tinatawag na ordinate axis (Fig. 5).
Kahulugan 6 . Ang bawat hugis-parihaba na Cartesian coordinate system ay naghahati sa eroplano sa 4 na quarters ( quadrants), ang pagnunumero nito ay ipinapakita sa Figure 5.
Kahulugan 7 . Ang isang eroplano kung saan ibinigay ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system ay tinatawag coordinate na eroplano.
Puna . Ang abscissa axis ay ibinibigay sa coordinate plane ng equation y= 0 , ang y-axis ay ibinibigay sa coordinate plane ng equation x = 0.
Pahayag 1. Distansya sa pagitan ng dalawang puntos coordinate na eroplano
A 1 (x 1 ;y 1) at A 2 (x 2 ;y 2)
kalkulado ayon sa pormula
Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 6.
Hayaang may radius ang bilog , at ang sentro nito ay nasa punto
. Dot
namamalagi sa bilog kung at lamang kung ang modulus ng vector
katumbas , ibig sabihin. Ang huling pagkakapantay-pantay ay humahawak kung at kung lamang
Ang equation (1) ay ang gustong circle equation.
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na vector
patayo sa vector
.
Dot
at
ay patayo. Mga vector
at
ay patayo kung at kung ang kanilang produkto ng tuldok ay zero, ibig sabihin.
. Gamit ang formula para sa pagkalkula ng scalar product ng mga vectors na ibinigay ng kanilang mga coordinate, isinusulat namin ang equation ng nais na tuwid na linya sa form.
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan
ang gitna ng segment AB ay patayo sa segment na ito kung ang mga coordinate ng mga puntos ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng A (1; 6), B (5; 4).
Magtatalo tayo bilang mga sumusunod. Upang mahanap ang equation ng isang tuwid na linya, dapat nating malaman ang punto kung saan dumadaan ang linyang ito, at ang vector na patayo sa linyang ito. Ang vector na patayo sa linyang ito ay magiging vector, dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang linya ay patayo sa segment na AB. punto
tinutukoy namin mula sa kondisyon na ang linya ay dumadaan sa midpoint ng AB. Meron kami . Sa gayon
at ang equation ay kukuha ng anyo.
Linawin natin ang tanong kung ang linyang ito ay dumadaan sa puntong M(7;3).
Mayroon kaming , na nangangahulugan na ang linyang ito ay hindi dumadaan sa tinukoy na punto.
Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto, parallel sa isang ibinigay na vector
Hayaang dumaan ang linya sa punto
parallel sa vector
.
Dot
namamalagi sa isang linya kung at kung ang mga vectors lamang
at
collinear. Mga vector
at
ay collinear kung at kung ang kanilang mga coordinate ay proporsyonal, i.e.
(3)
Ang resultang equation ay ang equation ng nais na tuwid na linya.
Ang equation (3) ay maaaring kinakatawan bilang
, saan tumatagal ng anumang halaga
.
Samakatuwid, maaari tayong magsulat
, saan
(4)
Ang sistema ng mga equation (4) ay tinatawag na parametric equation ng tuwid na linya.
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos. Maaari tayong bumuo ng equation ng isang tuwid na linya kung alam natin ang isang punto at isang vector na kahanay o patayo dito. Mayroong dalawang puntos na magagamit. Ngunit kung ang dalawang puntos ay nakahiga sa isang linya, kung gayon ang vector na nagkokonekta sa kanila ay magiging parallel sa linyang ito. Samakatuwid, ginagamit namin ang equation (3), na kumukuha bilang isang vector
vector
. Nakukuha namin
(5)
Ang equation (5) ay tinatawag na equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos.
Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya
Kahulugan. Ang pangkalahatang equation ng isang first-order line sa isang eroplano ay isang equation ng form
, saan
.
Teorama. Anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring ibigay bilang isang first-order line equation, at anumang first-order line equation ay isang equation ng ilang straight line sa eroplano.
Ang unang bahagi ng teorama na ito ay madaling patunayan. Sa anumang linya, maaari mong tukuyin ang isang punto
vector na patayo dito
. Pagkatapos, ayon sa (2), ang equation ng naturang tuwid na linya ay may anyo Magpakilala
. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form
.
Ngayon ay lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng teorama. Magkaroon ng equation
, saan
. Para sa katiyakan, ipagpalagay natin
.
Isulat muli natin ang equation sa anyo:
;
Isaalang-alang ang isang punto sa eroplano
, saan
. Pagkatapos ang resultang equation ay may anyo , at ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto
patayo sa vector
. Ang teorama ay napatunayan.
Sa proseso ng pagpapatunay ng teorama, napatunayan namin sa daan
Pahayag. Kung mayroong isang straight line equation
, pagkatapos ay ang vector
patayo sa linyang ito.
Uri ng equation
ay tinatawag na pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.
Magkaroon ng linya
at tuldok
. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang distansya mula sa tinukoy na punto sa linya.
Isaalang-alang ang isang arbitrary na punto
sa isang tuwid na linya. Meron kami
. Distansya mula sa punto
sa tuwid na linya ay katumbas ng module ng projection ng vector
bawat vector
patayo sa linyang ito. Meron kami
,
nagbabago, makuha namin ang formula:
Hayaan ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga pangkalahatang equation
,
. Pagkatapos ay ang mga vectors
patayo sa una at pangalawang linya, ayon sa pagkakabanggit. Iniksyon
sa pagitan ng mga linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga vector
,
.
Pagkatapos ang formula para sa pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga linya ay:
.
Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya ay may anyo:
.
Ang mga linya ay parallel o nagtutugma kung at kung ang mga vectors lamang
collinear. Kung saan ang kondisyon ng pagkakaisa ng mga linya ay may anyo:
,
at ang kondisyon ng walang intersection ay nakasulat bilang:
. Patunayan ang huling dalawang kundisyon sa iyong sarili.
Siyasatin natin ang pag-uugali ng tuwid na linya ayon sa pangkalahatang equation nito.
Hayaang ibigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya
. Kung ang
, pagkatapos ay dadaan ang linya sa pinanggalingan.
Isaalang-alang ang kaso kapag wala sa mga coefficient ang katumbas ng zero
. Muli naming isinusulat ang equation sa anyo:
,
,
saan
. Alamin ang kahulugan ng mga parameter
. Hanapin ang mga punto ng intersection ng linya na may mga coordinate axes. Sa
meron kami
, At kailan
meron kami
. I.e
- ito ang mga segment na pinutol ng isang tuwid na linya sa mga coordinate axes. Samakatuwid, ang equation
ay tinatawag na equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.
Kailan
meron kami
. Kailan
meron kami
. Iyon ay, ang linya ay magiging parallel sa axis .
Tandaan mo yan slope ng isang tuwid na linya
ay tinatawag na padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng linyang ito sa axis
. Hayaang maputol ang tuwid na linya sa axis segment ng linya at may slope . Hayaan ang punto
namamalagi dito
Pagkatapos
==. At ang equation ng isang tuwid na linya ay isusulat sa anyo
.
Hayaang dumaan ang linya sa punto
at may slope . Hayaan ang punto
namamalagi sa linyang ito.
Pagkatapos =
.
Ang resultang equation ay tinatawag na equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na may ibinigay na slope.
Hayaang magbigay ng dalawang linya
,
. Magpakilala
ang anggulo sa pagitan nila. Hayaan ,mga anggulo ng pagkahilig sa X axis ng mga kaukulang linya
Pagkatapos
=
,
.
Pagkatapos ay ang kondisyon ng parallel na linya ay may anyo
, at ang kondisyon ng perpendicularity
Sa konklusyon, isinasaalang-alang namin ang dalawang problema.
Gawain . Ang mga vertices ng triangle ABC ay may mga coordinate: A(4;2), B(10;10), C(20;14).
Hanapin: a) ang equation at ang haba ng median na nakuha mula sa vertex A;
b) ang equation at ang haba ng taas na nakuha mula sa vertex A;
c) ang equation ng bisector na iginuhit mula sa vertex A;
Tukuyin natin ang equation ng median AM.
Point M () ay ang gitna ng segment BC.
Pagkatapos , . Samakatuwid, ang punto M ay may mga coordinate M(15;17). Ang median equation sa wika ng analytical geometry ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(4;2) na kahanay ng vector =(11;15). Pagkatapos ang median equation ay Panggitna haba AM= .
Ang AS height equation ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(4;2) patayo sa vector =(10;4). Pagkatapos ang equation ng taas ay 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Ang haba ng taas ay ang distansya mula sa puntong A (4; 2) hanggang sa tuwid na linya BC. Ang tuwid na linyang ito ay dumadaan sa puntong B(10;10) na kahanay ng vector =(10;4). Ang equation nito ay , 2x-5y+30=0. Ang distansya ng AS mula sa puntong A(4;2) hanggang sa tuwid na linya BC, samakatuwid, ay katumbas ng AS= .
Upang matukoy ang equation ng bisector, nakita namin ang isang vector na kahanay sa linyang ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang pag-aari ng dayagonal ng isang rhombus. Kung ang mga unit vector ay itinatabi mula sa punto A at pantay na nakadirekta sa mga vector, kung gayon ang isang vector na katumbas ng kanilang kabuuan ay magiging parallel sa bisector. Tapos meron tayong =+.
={6;8}, , ={16,12}, .
Pagkatapos = Ang vector = (1; 1), collinear sa ibinigay na isa, ay maaaring magsilbing vector ng direksyon ng nais na tuwid na linya. Pagkatapos ang equation ng nais na linya ay nakita ang x-y-2=0.
Gawain. Ang ilog ay dumadaloy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A(4;3) at B(20;11). Ang Little Red Riding Hood ay nakatira sa point C(4;8), at ang kanyang lola ay nakatira sa point D(13;20). Tuwing umaga, kumukuha si Little Red Riding Hood ng isang walang laman na balde mula sa bahay, pumupunta sa ilog, umiinom ng tubig at dinadala ito sa kanyang lola. Hanapin ang pinakamaikling landas para sa Little Red Riding Hood.
Hanapin natin ang punto E, simetriko sa lola, kamag-anak sa ilog.
Upang gawin ito, hanapin muna natin ang equation ng tuwid na linya kung saan dumadaloy ang ilog. Ang equation na ito ay maaaring ituring bilang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(4;3) na kahanay ng vector. Pagkatapos ang equation ng linyang AB ay may anyo.
Susunod, nakita natin ang equation ng linyang DE na dumadaan sa puntong D patayo sa AB. Maaari itong ituring na equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto D, patayo sa vector
. Meron kami
Ngayon hanapin natin ang puntong S - ang projection ng punto D sa linyang AB, bilang intersection ng mga linyang AB at DE. Mayroon kaming isang sistema ng mga equation
.
Samakatuwid, ang punto S ay may mga coordinate S(18;10).
Dahil ang S ay ang midpoint ng segment na DE, kung gayon .
Ganun din.
Samakatuwid, ang punto E ay may mga coordinate E(23;0).
Hanapin natin ang equation ng linya CE, alam ang mga coordinate ng dalawang punto ng linyang ito
Nahanap namin ang punto M bilang intersection ng mga linya AB at CE.
Mayroon kaming isang sistema ng mga equation
.
Samakatuwid, ang punto M ay may mga coordinate
.
Paksa 2 Ang konsepto ng surface equation sa espasyo. Sphere equation. Ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na vector. Ang pangkalahatang equation ng eroplano at ang pag-aaral nito Kondisyon ng parallelism ng dalawang eroplano. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano. Ang konsepto ng line equation. Tuwid na linya sa kalawakan. Canonical at parametric equation ng isang tuwid na linya sa espasyo. Mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.
Una, tukuyin natin ang konsepto ng isang surface equation sa espasyo.
Hayaan sa espasyo
ang ilang ibabaw ay ibinigay . Ang equation
ay tinatawag na surface equation kung ang dalawang kondisyon ay natutugunan:
1.para sa anumang punto
may mga coordinate
nakahiga sa ibabaw,
, iyon ay, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation sa ibabaw;
2. anumang punto
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation
, namamalagi sa linya.
Ang analytic geometry ay nagbibigay ng magkakatulad na pamamaraan para sa paglutas ng mga problemang geometriko. Upang gawin ito, ang lahat ng ibinigay at nais na mga punto at linya ay tinutukoy sa parehong sistema ng coordinate.
Sa isang sistema ng coordinate, ang bawat punto ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng mga coordinate nito, at ang bawat linya sa pamamagitan ng isang equation na may dalawang hindi alam, kung saan ang linyang ito ay isang graph. Kaya, ang geometric na problema ay nabawasan sa isang algebraic, kung saan ang lahat ng mga pamamaraan ng pagkalkula ay mahusay na binuo.
Ang bilog ay isang locus ng mga puntos na may isang partikular na katangian (bawat punto ng bilog ay katumbas ng layo mula sa isang punto, na tinatawag na sentro). Dapat ipakita ng equation ng bilog ang property na ito, matugunan ang kundisyong ito.
Ang geometric na interpretasyon ng equation ng isang bilog ay ang linya ng isang bilog.
Kung maglalagay tayo ng isang bilog sa isang sistema ng coordinate, kung gayon ang lahat ng mga punto ng bilog ay nakakatugon sa isang kundisyon - ang distansya mula sa kanila hanggang sa gitna ng bilog ay dapat na pareho at katumbas ng bilog.
Nakasentro ang bilog sa isang punto PERO at radius R inilagay sa coordinate plane.
Kung ang mga coordinate ng sentro (a;b) , at ang mga coordinate ng anumang punto sa bilog (x; y) , kung gayon ang equation ng bilog ay may anyo:
Kung ang parisukat ng radius ng isang bilog ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na pagkakaiba ng kaukulang mga coordinate ng anumang punto sa bilog at sa gitna nito, kung gayon ang equation na ito ay ang equation ng isang bilog sa isang plane coordinate system.
Kung ang sentro ng bilog ay tumutugma sa punto ng pinagmulan, kung gayon ang parisukat ng radius ng bilog ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate ng anumang punto sa bilog. Sa kasong ito, ang equation ng bilog ay kumukuha ng anyo:
Dahil dito, ang anumang geometric figure bilang isang locus ng mga puntos ay tinutukoy ng isang equation na nauugnay sa mga coordinate ng mga punto nito. Sa kabaligtaran, ang equation na nauugnay sa mga coordinate X at sa , tukuyin ang isang linya bilang locus ng mga puntos sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ibinigay na equation.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema tungkol sa equation ng isang bilog
Gawain. Sumulat ng isang equation para sa isang ibinigay na bilog
Sumulat ng isang equation para sa isang bilog na nakasentro sa punto O (2;-3) at may radius 4.Desisyon.
Bumaling tayo sa formula ng equation ng bilog:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2
Palitan ang mga halaga sa formula.
Circle radius R = 4
Mga coordinate ng gitna ng bilog (ayon sa kondisyon)
a = 2
b=-3
Nakukuha namin:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
o
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Gawain. Ang isang punto ay nabibilang sa equation ng isang bilog
Suriin kung ang punto ay kabilang A(2;3) equation ng bilog (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .Desisyon.
Kung ang isang punto ay kabilang sa isang bilog, kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng bilog.
Upang suriin kung ang isang punto na may ibinigay na mga coordinate ay kabilang sa bilog, pinapalitan namin ang mga coordinate ng punto sa equation ng ibinigay na bilog.
Sa equation ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
pinapalitan namin, ayon sa kondisyon, ang mga coordinate ng punto A (2; 3), iyon ay
x=2
y=3
Suriin natin ang katotohanan ng nakuhang pagkakapantay-pantay
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 mali ang pagkakapantay-pantay
Kaya ang ibinigay na punto hinde kabilang ibinigay na equation ng bilog.
Paksa ng aralin: Circle equation
Layunin ng Aralin:
Pang-edukasyon: Kunin ang equation ng bilog, na isinasaalang-alang ang solusyon ng problemang ito bilang isa sa mga posibilidad ng paggamit ng coordinate method.
Magagawang:
– Kilalanin ang equation ng isang bilog ayon sa iminungkahing equation, turuan ang mga mag-aaral na gumuhit ng isang equation ng isang bilog ayon sa natapos na pagguhit, bumuo ng isang bilog ayon sa isang ibinigay na equation.
Pang-edukasyon : Pagbuo ng kritikal na pag-iisip.
Pang-edukasyon : Pag-unlad ng kakayahang gumawa ng mga reseta ng algorithm at ang kakayahang kumilos alinsunod sa iminungkahing algorithm.
Magagawang:
– Tingnan ang problema at magplano ng mga paraan upang malutas ito.
– Ibuod ang iyong mga saloobin sa pasalita at pasulat.
Uri ng aralin: asimilasyon ng bagong kaalaman.
Kagamitan : PC, multimedia projector, screen.
Plano ng aralin:
1. Pambungad na talumpati - 3 min.
2. Pag-update ng kaalaman - 2 min.
3. Paglalahad ng problema at solusyon nito -10 min.
4. Pangharap na pangkabit ng bagong materyal - 7 min.
5. Malayang gawain sa mga pangkat - 15 min.
6. Paglalahad ng gawain: talakayan - 5 min.
7. Ang resulta ng aralin. Takdang-Aralin - 3 min.
Sa panahon ng mga klase
Ang layunin ng yugtong ito: Sikolohikal na kalagayan ng mga mag-aaral; Ang pakikilahok ng lahat ng mga mag-aaral sa proseso ng pag-aaral, na lumilikha ng isang sitwasyon ng tagumpay.1. Oras ng pag-aayos.
3 minuto
Guys! Nakilala mo ang bilog noong ika-5 at ika-8 baitang. Ano ang alam mo tungkol sa kanya?
Marami kang alam, at ang data na ito ay maaaring gamitin sa paglutas ng mga geometric na problema. Ngunit para sa paglutas ng mga problema kung saan ginagamit ang paraan ng coordinate, hindi ito sapat.Bakit?
Ganap na tama.
Samakatuwid, ang pangunahing layunin ng aralin ngayon ay upang makuha ang equation ng isang bilog mula sa mga geometric na katangian ng isang linya at ilapat ito upang malutas ang mga problemang geometriko.
Bumitawmotto ng aralin ang mga salita ng scientist-encyclopedist ng Central Asia na si Al-Biruni ay magiging: “Ang kaalaman ay ang pinakamagaling sa mga ari-arian. Lahat ay nagsusumikap para dito, ngunit hindi ito dumarating nang mag-isa."
Isulat sa kuwaderno ang paksa ng aralin.
Kahulugan ng isang bilog.
Radius.
diameter.
Chord. atbp.
Hindi pa natin alam ang pangkalahatang anyo ng equation ng bilog.
Ilista ng mga mag-aaral ang lahat ng nalalaman nila tungkol sa bilog.
slide 2
slide 3
Ang layunin ng yugto ay upang makakuha ng isang ideya ng kalidad ng asimilasyon ng mga mag-aaral ng materyal, upang matukoy ang pangunahing kaalaman.
2. Pag-update ng kaalaman.
2 minuto
Kapag hinango ang equation ng bilog kakailanganin mo ang alam na kahulugan ng isang bilog at isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa pamamagitan ng kanilang mga coordinate.Tandaan natin ang mga katotohanang ito /Ppag-uulit ng materyal dating pinag-aralan/:
– Isulat ang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng midpoint ng isang segment.
– Isulat ang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang vector.
– Isulat ang formula para sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga punto (haba ng segment).
Pag-edit ng mga tala...
Geometric na ehersisyo.
Binigyan ng puntosA (-1; 7) atSa (7; 1).
Kalkulahin ang mga coordinate ng midpoint ng segment AB at ang haba nito.
Sinusuri ang kawastuhan ng pagpapatupad, itinatama ang mga kalkulasyon ...
Isang estudyante sa pisara, at ang natitira ay nagsusulat ng mga formula sa mga notebook
Ang bilog ay isang geometric figure na binubuo ng lahat ng mga punto na matatagpuan sa isang naibigay na distansya mula sa isang naibigay na punto.
| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²
M(x;y), A(x;y)
Kalkulahin: C (3; 4)
| AB | = 10
Sa laylay 4
slide 5
3. Pagbuo ng bagong kaalaman.
12 minuto
Layunin: ang pagbuo ng konsepto - ang equation ng bilog.
Lutasin ang problema:
Ang isang bilog na may gitnang A(x; y) ay binuo sa isang hugis-parihaba na coordinate system. M(x; y) - di-makatwirang punto ng bilog. Hanapin ang radius ng bilog.
Ang mga coordinate ba ng anumang iba pang punto ay makakatugon sa pagkakapantay-pantay na ito? Bakit?
I-square natin ang magkabilang panig ng equation.Bilang resulta, mayroon kaming:
r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² ay ang equation ng bilog, kung saan ang (x; y) ay ang mga coordinate ng gitna ng bilog, (x; y) ay ang mga coordinate ng isang arbitrary point na nakahiga sa bilog, r ay ang radius ng bilog.
Lutasin ang problema:
Ano ang magiging equation ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan?
Kaya, ano ang kailangan mong malaman upang isulat ang equation ng isang bilog?
Magmungkahi ng algorithm para sa pag-compile ng circle equation.
Konklusyon: ... isulat sa kuwaderno.
Ang radius ay isang segment na nag-uugnay sa gitna ng isang bilog na may di-makatwirang punto na nakahiga sa bilog. Samakatuwid, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²
Ang anumang punto sa isang bilog ay nasa bilog na iyon.
Sumulat ang mga mag-aaral sa kuwaderno.
(0;0)-coordinate ng gitna ng bilog.
x² + y² = r², kung saan ang r ay ang radius ng bilog.
Ang mga coordinate ng gitna ng bilog, ang radius, anumang punto sa bilog...
Iminungkahi nila ang isang algorithm...
Isulat ang algorithm sa isang kuwaderno.
slide 6
Slide 7
Slide 8
Isusulat ng guro ang equation sa pisara.
Slide 9
4. Pangunahing pangkabit.
23 minuto
Target:pagpaparami ng mga mag-aaral ng materyal na naisip na maiwasan ang pagkawala ng mga nabuong ideya at konsepto. Pagsasama-sama ng mga bagong kaalaman, ideya, konsepto batay sa kanilangmga aplikasyon.
Kontrol ng ZUN
Ilapat natin ang nakuhang kaalaman sa paglutas ng mga sumusunod na suliranin.
Gawain: Mula sa mga iminungkahing equation, pangalanan ang mga numero ng mga equation ng bilog. At kung ang equation ay ang equation ng isang bilog, pangalanan ang mga coordinate ng sentro at ipahiwatig ang radius.
Hindi lahat ng equation ng pangalawang degree na may dalawang variable ay tumutukoy sa isang bilog.
4x² + y² \u003d 4-ellipse equation.
x²+y²=0-tuldok.
x² + y² \u003d -4-ang equation na ito ay hindi tumutukoy sa anumang pigura.
Guys! Ano ang kailangan mong malaman upang magsulat ng isang equation para sa isang bilog?
Lutasin ang problema Blg. 966 p. 245 (textbook).
Tinatawag ng guro ang mag-aaral sa pisara.
Sapat ba ang data na tinukoy sa kondisyon ng problema upang makagawa ng isang equation para sa isang bilog?
Gawain:
Isulat ang equation para sa isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan at may diameter na 8.
Gawain : gumuhit ng bilog.
May mga coordinate ang center?
Tukuyin ang radius... at buuin
Gawain sa pahina 243 (textbook) ay naiintindihan nang pasalita.
Gamit ang plano sa paglutas ng problema mula sa p.243, lutasin ang problema:
Isulat ang equation ng isang bilog na nakasentro sa punto A(3;2) kung ang bilog ay dumaan sa punto B(7;5).
1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - equation ng bilog; (5; 3), r \u003d 6.
2) (x-1)² + y² \u003d 49 - equation ng bilog; (1; 0), r \u003d 7.
3) x² + y² \u003d 7 - equation ng bilog; (0; 0), r \u003d √7.
4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- circle equation; (-3;8),r=√2.
5) 4x² + y² \u003d 4 ay hindi isang equation ng isang bilog.
6) ang x² + y² = 0- ay hindi isang equation ng isang bilog.
7) ang x² + y² = -4- ay hindi isang equation ng isang bilog.
Alamin ang mga coordinate ng gitna ng bilog.
Haba ng radius.
Palitan ang mga coordinate ng gitna at ang haba ng radius sa pangkalahatang equation ng isang bilog.
Lutasin ang problema Blg. 966 p. 245 (textbook).
Sapat na data.
Solusyonan nila ang problema.
Dahil ang diameter ng isang bilog ay dalawang beses sa radius nito, kung gayon r=8÷2=4. Samakatuwid, x² + y² = 16.
Isagawa ang pagbuo ng mga bilog
Gawain sa aklat-aralin. Gawain sa pahina 243.
Ibinigay: A (3; 2) - ang gitna ng bilog; В(7;5)є(А;r)
Hanapin: circle equation
Solusyon: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²
r² \u003d (x -3)² + (y -2)²
r = AB, r² = AB²
r² =(7-3)²+(5-2)²
r²=25
(x -3)² + (y -2)² \u003d 25
Sagot: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25
slide 10-13
Paglutas ng mga karaniwang problema sa pamamagitan ng pagbigkas ng solusyon sa isang malakas na pananalita.
Tumawag ang guro ng isang mag-aaral upang isulat ang resultang equation.
Bumalik sa slide 9
Pagtalakay ng isang plano para sa paglutas ng problemang ito.
Slide. labinlima. Tumawag ang guro ng isang mag-aaral sa pisara upang lutasin ang problemang ito.
slide 16.
slide 17.
5. Buod ng aralin.
5 minuto
Pagninilay ng mga aktibidad sa silid-aralan.
Takdang-Aralin: §3, aytem 91, mga tanong sa pagkontrol Blg. 16,17.
Mga Problema Blg. 959(b, d, e), 967.
Gawain para sa karagdagang pagtatasa (problem task): Bumuo ng bilog na ibinigay ng equation
x² + 2x + y² -4y = 4.
Ano ang napag-usapan namin sa klase?
Ano ang gusto mong matanggap?
Ano ang layunin ng aralin?
Anong mga gawain ang maaaring malutas sa pamamagitan ng ating "pagtuklas"?
Sino sa inyo ang naniniwalang nakamit mo ang layuning itinakda ng guro sa aralin ng 100%, ng 50%; hindi naabot ang layunin...?
Pagmamarka.
Isulat ang takdang-aralin.
Sinasagot ng mga mag-aaral ang mga tanong ng guro. Magsagawa ng self-assessment ng kanilang sariling performance.
Kailangang ipahayag ng mga mag-aaral sa isang salita ang resulta at mga paraan upang makamit ito.