Reprezentacja geometryczna liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych. Operacje na zbiorach. Wydziwianie. Seria liczb
Istnieją następujące formy liczb zespolonych: algebraiczny(x+iy), trygonometryczny(r(cos+isin )), demonstracja(ponownie i ).
Dowolna liczba zespolona z=x+iy może być reprezentowana na płaszczyźnie XOY jako punkt A(x,y).
Płaszczyzna, na której przedstawione są liczby zespolone, nazywana jest płaszczyzną zmiennej zespolonej z (umieszczamy symbol z na płaszczyźnie).
Oś OX jest osią rzeczywistą, tj. zawiera liczby rzeczywiste. OS to urojona oś z urojonymi liczbami.
x+iy- algebraiczna forma zapisu liczby zespolonej.
Wyprowadzamy postać trygonometryczną liczby zespolonej.
Otrzymane wartości podstawiamy do postaci wyjściowej: , tj.
r(cos+isin) - trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej.
Postać wykładnicza liczby zespolonej wynika ze wzoru Eulera:
,następnie
z= odnośnie i - wykładnicza forma zapisu liczby zespolonej.
Działania na liczbach zespolonych.
1. dodatek. z 1 + z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . odejmowanie. z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);
3. mnożenie. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. podział. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Dwie liczby zespolone, które różnią się tylko znakiem jednostki urojonej, tj. z=x+iy (z=x-iy) nazywamy sprzężoną.
Praca.
z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).
Ten iloczyn z1*z2 liczb zespolonych to: , tj. moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów, a argument iloczynu jest równy sumie argumentów czynników.
;
;
Prywatny.
Jeśli liczby zespolone są podane w postaci trygonometrycznej.
Jeśli liczby zespolone są podane w formie wykładniczej.
Potęgowanie.
1. Liczba zespolona jest podana w algebraiczny Formularz.
z=x+iy, to z n jest znajdowane przez Wzór dwumianowy Newtona:
- liczba kombinacji n elementów przez m (liczba sposobów, w jakie można pobrać n elementów z m).
; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.
Używany do liczb zespolonych.
W wynikowym wyrażeniu musisz zastąpić potęgi i ich wartościami:
i 0 =1 Stąd w ogólnym przypadku otrzymujemy: i 4k =1
ja 1 = ja ja 4k+1 =i
ja 2 =-1 ja 4k+2 =-1
ja 3 =-i ja 4k+3 =-i
Przykład.
ja 31 = ja 28 ja 3 =-i
ja 1063 = ja 1062 i=i
2. trygonometryczny Formularz.
z=r(cos +isin ), następnie
- Formuła de Moivre'a.
Tutaj n może być zarówno „+”, jak i „-” (liczba całkowita).
3. Jeśli liczba zespolona jest podana w wskazujący Formularz:
Ekstrakcja korzeni.
Rozważ równanie:
.
Jego rozwiązaniem jest n-ty pierwiastek liczby zespolonej z:
.
N-ty pierwiastek liczby zespolonej z ma dokładnie n rozwiązań (wartości). N-ty pierwiastek bieżącej liczby ma tylko jedno rozwiązanie. W złożonych - n rozwiązań.
Jeśli liczba zespolona jest podana w trygonometryczny Formularz:
z=r(cos +isin ), to n-ty pierwiastek z znajduje się według wzoru:
, gdzie k=0,1…n-1.
Wydziwianie. Linie numeryczne.
Niech zmienna a przyjmie kolejno wartości a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n . Taki wyliczony zbiór liczb nazywamy sekwencją. Ona jest nieskończona.
Szereg liczb to wyrażenie a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . Liczby a 1, a 2, a 3, ... i n należą do serii.
Na przykład.
a 1 jest pierwszym członkiem serii.
in jest n-tym lub wspólnym członkiem serii.
Szereg uważa się za podany, jeśli znany jest n-ty (wyraz wspólny serii).
Seria liczb ma nieskończoną liczbę członków.
Liczniki - postęp arytmetyczny (1,3,5,7…).
n-ty element jest określony wzorem a n = a 1 + d (n-1); d=a n-a n-1 .
Mianownik - postęp geometryczny. bn=biqn-1;
.
Rozważ sumę pierwszych n wyrazów szeregu i oznacz ją przez Sn.
Sn=a1+a2+…+a n .
Sn jest n-tą sumą częściową szeregu.
Rozważ limit:
S to suma szeregu.
Wydziwianie zbieżny jeśli ta granica jest skończona (istnieje skończona granica S).
Wiersz rozbieżny jeśli ta granica jest nieskończona.
W przyszłości nasze zadanie jest następujące: ustalić, która seria.
Jednym z najprostszych, ale najczęstszych szeregów jest ciąg geometryczny.
, C=const.
Postęp geometryczny tozbieżny
obok, jeśli
i rozbieżne, jeśli
.
Również szereg harmoniczny(wiersz
). Ten rząd rozbieżny
.
Liczby geometryczne rzeczywiste, podobnie jak liczby wymierne, są reprezentowane przez punkty na linii prostej.
Wynajmować ja - dowolna linia prosta, a O - niektóre jej punkty (ryc. 58). Każda dodatnia liczba rzeczywista α umieść odpowiednio punkt A, leżący na prawo od O w odległości α jednostki długości.
Jeśli na przykład α = 2,1356..., to
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
itd. Oczywiste jest, że punkt A w tym przypadku musi leżeć na linii ja na prawo od punktów odpowiadających liczbom
2; 2,1; 2,13; ... ,
ale na lewo od punktów odpowiadających liczbom
3; 2,2; 2,14; ... .
Można wykazać, że te warunki określają na linii ja jedyny punkt A, który uważamy za geometryczny obraz liczby rzeczywistej α = 2,1356... .
Podobnie każda ujemna liczba rzeczywista β umieść odpowiednio punkt B leżący na lewo od O w odległości | β | jednostki długości. Na koniec przypisujemy punkt O liczbie „zero”.
Tak więc liczba 1 zostanie wyświetlona na linii prostej ja punkt A, znajdujący się na prawo od O w odległości jednej jednostki długości (ryc. 59), liczba - √2 - punkt B, leżący na lewo od O w odległości √2 jednostek długości itp.
Pokażmy jak na linii prostej ja za pomocą cyrkla i linijki można znaleźć punkty odpowiadające liczbom rzeczywistym √2, √3, √4, √5 itd. Aby to zrobić, najpierw pokazujemy, jak konstruować odcinki, których długości wyrażają te liczby . Niech AB będzie odcinkiem wziętym jako jednostka długości (ryc. 60).
W punkcie A przywracamy prostopadłość do tego odcinka i odkładamy na nim odcinek AC, równy odcinkowi AB. Następnie, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC, otrzymujemy; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2
Dlatego odcinek BC ma długość √2. Teraz przywróćmy prostopadłą do odcinka BC w punkcie C i wybierzmy na nim punkt D tak, aby odcinek CD był równy jednostce długości AB. Następnie z prawego trójkąta BCD znajdujemy:
ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3
Dlatego odcinek BD ma długość √3. Kontynuując opisany proces dalej, możemy otrzymać odcinki BE, BF, ..., których długości wyrażone są liczbami √4, √5 itd.
Teraz na linii ja łatwo jest znaleźć te punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb √2, √3, √4, √5 itd.
Umieszczając na przykład odcinek BC na prawo od punktu O (ryc. 61), otrzymujemy punkt C, który służy jako geometryczna reprezentacja liczby √2. W ten sam sposób stawiając odcinek BD na prawo od punktu O, otrzymujemy punkt D”, który jest geometrycznym obrazem liczby √3 itd.
Nie należy jednak myśleć, że za pomocą cyrkla i linijki na osi liczbowej ja można znaleźć punkt odpowiadający dowolnej liczbie rzeczywistej. Udowodniono np., że mając do dyspozycji tylko cyrkiel i linijkę, nie da się skonstruować odcinka, którego długość wyrażona jest liczbą π = 3,14 ... . Więc na linii liczbowej ja przy użyciu takich konstrukcji nie można wskazać punktu odpowiadającego tej liczbie, niemniej jednak taki punkt istnieje.
Więc dla każdej liczby rzeczywistej α możliwe jest skojarzenie jakiegoś dobrze zdefiniowanego punktu linii ja . Ten punkt zostanie oddzielony od punktu początkowego O w odległości | α | jednostki długości i znajdować się na prawo od O jeśli α > 0 i na lewo od O jeśli α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ja . Rzeczywiście, niech liczba α odpowiada punktowi A, a liczba β - punkt B. Wtedy, jeśli α > β , wtedy A będzie na prawo od B (ryc. 62, a); jeśli α < β , wtedy A będzie leżał na lewo od B (ryc. 62, b).
Mówiąc w § 37 o geometrycznej reprezentacji liczb wymiernych, postawiliśmy pytanie: czy dowolny punkt prostej można uznać za geometryczny obraz jakiejś racjonalny liczby? W tamtym czasie nie mogliśmy odpowiedzieć na to pytanie; teraz możemy na nie odpowiedzieć całkiem zdecydowanie. Na linii znajdują się punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb niewymiernych (na przykład √2). Dlatego nie każdy punkt na linii prostej reprezentuje liczbę wymierną. Ale w tym przypadku pojawia się kolejne pytanie: czy dowolny punkt rzeczywistej linii można uznać za geometryczny obraz jakiegoś? ważny liczby? Ten problem został już pozytywnie rozwiązany.
Rzeczywiście, niech A będzie dowolnym punktem na linii ja , leżący na prawo od O (ryc. 63).
Długość odcinka OA jest wyrażona przez pewną dodatnią liczbę rzeczywistą α (patrz § 41). Dlatego punkt A jest geometrycznym obrazem liczby α . Podobnie ustalono, że każdy punkt B leżący na lewo od O można uznać za geometryczny obraz ujemnej liczby rzeczywistej - β , gdzie β - długość segmentu VO. Wreszcie punkt O służy jako geometryczna reprezentacja liczby zero. Oczywiste jest, że dwa różne punkty linii ja nie może być geometrycznym obrazem tej samej liczby rzeczywistej.
Z powodów podanych powyżej linia prosta, na której jakiś punkt O jest wskazany jako punkt „początkowy” (dla danej jednostki długości) nazywa się Numer linii.
Wniosek. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i zbiór wszystkich punktów prostej rzeczywistej są w relacji jeden-do-jednego.
Oznacza to, że każda liczba rzeczywista odpowiada jednemu, dobrze określonemu punktowi osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi osi liczbowej przy takiej korespondencji odpowiada jedna, dobrze określona liczba rzeczywista.
Ekspresyjną geometryczną reprezentację systemu liczb wymiernych można uzyskać w następujący sposób.
Ryż. 8. Oś liczbowa
Na jakiejś prostej, „osi numerycznej”, zaznaczamy odcinek od 0 do 1 (ryc. 8). Ustawia to długość segmentu jednostki, która, ogólnie rzecz biorąc, może być wybrana dowolnie. Liczby całkowite dodatnie i ujemne są następnie przedstawiane jako zbiór równo rozmieszczonych punktów na osi liczb, a mianowicie liczby dodatnie są oznaczone po prawej stronie, a ujemne po lewej stronie punktu 0. Aby przedstawić liczby z mianownikiem, dzielimy każdą otrzymanych odcinków o długości jednostkowej na równe części; punkty podziału będą reprezentować ułamki z mianownikiem.Jeśli zrobimy to dla wartości odpowiadających wszystkim liczbom naturalnym, to każda liczba wymierna zostanie przedstawiona przez jakiś punkt na osi liczbowej. Zgodzimy się nazwać te punkty „racjonalnymi”; ogólnie terminy „liczba wymierna” i „punkt wymierny” będą używane jako synonimy.
W rozdziale I § 1 zdefiniowano relację nierówności dla liczb naturalnych. Stosunek ten jest odzwierciedlony na osi rzeczywistej w następujący sposób: jeśli liczba naturalna A jest mniejsza niż liczba naturalna B, to punkt A leży na lewo od punktu B. Ponieważ wskazany stosunek geometryczny jest ustalony dla dowolnej pary punktów wymiernych, Naturalna jest próba uogólnienia relacji nierówności arytmetycznych w taki sposób, aby zachować ten geometryczny porządek dla rozpatrywanych punktów. To się powiedzie, jeśli przyjmiemy następującą definicję: mówi się, że liczba wymierna A jest mniejsza niż liczba wymierna lub, że liczba B jest większa od liczby, jeśli różnica jest dodatnia. Z tego (dla ) wynika, że punktami (liczbami) pomiędzy nimi są te, które
jednocześnie każda taka para punktów, wraz ze wszystkimi punktami pomiędzy nimi, nazywana jest odcinkiem (lub odcinkiem) i jest oznaczona (a sam zbiór punktów pośrednich nazywa się odcinkiem (lub odcinkiem), oznaczonym przez
Odległość dowolnego punktu A od początku 0, traktowana jako liczba dodatnia, nazywana jest wartością bezwzględną A i jest oznaczona symbolem
Pojęcie „wartości bezwzględnej” definiuje się następująco: if , to if then Jest jasne, że jeśli liczby mają ten sam znak, to równość jest prawdziwa, jeśli mają różne znaki, następnie . Łącząc te dwa wyniki razem, dochodzimy do ogólnej nierówności
który jest ważny niezależnie od znaków
Fakt o fundamentalnym znaczeniu wyraża następujące twierdzenie: punkty wymierne są wszędzie gęste na osi liczbowej. Znaczenie tego stwierdzenia jest takie, że w każdym przedziale, bez względu na to, jak mały może być, istnieją punkty racjonalne. Aby zweryfikować słuszność podanego twierdzenia, wystarczy wziąć liczbę tak dużą, że przedział ( będzie mniejszy niż podany przedział ; wtedy przynajmniej jeden z punktów formularza będzie znajdował się wewnątrz tego przedziału. Tak więc jest nie ma takiego przedziału na osi liczbowej (nawet najmniejszego, co można sobie wyobrazić), w którym nie byłoby punktów wymiernych. To implikuje kolejny wniosek: każdy przedział zawiera nieskończoną liczbę punktów wymiernych. Rzeczywiście, gdyby jakiś przedział zawierał tylko skończonej liczby punktów wymiernych, to wewnątrz przedziału utworzonego przez dwa sąsiednie takie punkty nie byłoby już punktów wymiernych, a to jest sprzeczne z tym, co właśnie zostało udowodnione.
BILET 1
Racjonalny liczby to liczby zapisane jako p/q, gdzie q jest naturalne. liczba i p jest liczbą całkowitą.
Dwie liczby a=p1/q1 i b=p2/q2 nazywane są równymi, jeśli p1q2=p2q1 i p2q1 i a>b jeśli p1q2
BILET 2
Liczby zespolone. Liczby zespolone
Równanie algebraiczne to równanie postaci: P n ( x) = 0, gdzie P n ( x) - wielomian n- o stopień. Kilka liczb rzeczywistych x oraz w zostanie nazwany uporządkowany, jeśli zostanie określone, który z nich jest uważany za pierwszy, a który za drugi. Zamówiona notacja pary: ( x, tak). Liczba zespolona to arbitralnie uporządkowana para liczb rzeczywistych. z = (x, tak)-Liczba zespolona.
x- prawdziwa część z, tak- część urojona z. Jeśli x= 0 i tak= 0, to z= 0. Rozważ z 1 = (x 1 , y 1) i z 2 = (x 2 , y 2).
Definicja 1. z 1 \u003d z 2, jeśli x 1 \u003d x 2 i y 1 \u003d y 2.
Koncepcje > i< для комплексных чисел не вводятся.
Reprezentacja geometryczna i postać trygonometryczna liczb zespolonych.
M( x, tak) « z = x + ja.
½ OM½ = r =½ z½ = .(zdjęcie)
r nazywamy modułem liczby zespolonej z.
j nazywamy argumentem liczby zespolonej z. Jest określony do ± 2p n.
X= rcosj , tak= rinj.
z= x+ ja= r(cosj + i sinj) jest postacią trygonometryczną liczb zespolonych.
Oświadczenie 3.
= (cos + i grzech),
= (cos + i grzech ), to
= (cos( + ) + i grzech( + )),
= (cos(-)+ i sin(-)) przy ¹0.
Oświadczenie 4.
Jeśli z=r (cosj + i sinj), a następnie „ naturalny n:
= (cos nj + i grzech nj),
BILET 3
Wynajmować X-zestaw liczb zawierający co najmniej jedną liczbę (zestaw niepusty).
xÎ X- x zawarte w X. ; xÏ X- x nie należy X.
Definicja: Wiele X nazywana jest ograniczona od góry (od dołu), jeśli istnieje liczba M(m) tak, że dla każdego x Î X nierówności x £ M (x ³ m), podczas gdy liczba M nazywana jest górną (dolną) granicą zbioru X. Wiele X jest nazywany ograniczonym od góry, jeśli $ M, " x Î X: x £ M. Definicja zestaw nieograniczony z góry. Wiele X nazywa się nieograniczoną z góry, jeśli „ M $ x Î X: x> Definicja M wiele X jest nazywany ograniczonym, jeśli jest ograniczony powyżej i poniżej, tj. $ M, m taki, że " x Î X: m £ x £ M. Równoważna definicja ograniczonego zestawu: Set X jest nazywany ograniczonym, jeśli $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Definicja: Najmniejsza z górnych granic zbioru ograniczonego powyżej X nazywa się jej najniższą górną granicą i oznacza Sup X
(najwyższy). =Sup X. Podobnie można określić dokładną
dolna krawędź. równowartość definicja dokładna górna krawędź:
Liczba nazywana jest najniższą górną granicą zbioru X, jeśli: 1) " x Î X: X£ (warunek ten wskazuje, że jest to jedna z górnych granic). 2) " < $ x Î X: X> (ten warunek pokazuje, że -
najmniejsza z górnych granic).
łyk X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) jest najmniej infimum. Zadajmy pytanie: czy każdy zbiór ograniczony ma dokładne twarze?
Przykład: X= {x: x>0) nie ma najmniejszej liczby.
Twierdzenie o istnieniu dokładnej górnej (dolnej) ściany. Każdy niepusty górny (dolny) zbiór granic xОR ma górny (dolny) punkt ograniczenia.
Twierdzenie o rozdzielności liczby mnogiej:▀▀▄
BILET 4
Jeśli każda liczba n (n = 1,2,3 ..) jest przypisana do pewnej liczby Xn, to mówią, że jest ona określona i podana podciąg x1, x2 …, napisz (Xn), (Xn) Przykład: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,… z góry (od dołu), jeśli liczba punktów x=x1,x2,…xn leżących na osi rzeczywistej jest ograniczona od góry (od dołu), tj. $C:Xn£C" Ostatni limit: liczba a nazywana jest granicą ostatniego if dla dowolnego ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nierówność |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
w n > N.
Wyjątkowość limitu ciąg ograniczony i zbieżny
Właściwość 1: Sekwencja zbieżna ma tylko jeden limit.
Dowód: przez sprzeczność niech a oraz b granice ciągu zbieżnego (x n ), gdzie a nie jest równe b. rozważ nieskończenie małe sekwencje (α n )=(x n -a) i (β n )=(x n -b). Dlatego wszystkie elementy b.m. sekwencje (α n -β n ) mają tę samą wartość b-a, a następnie przez właściwość b.m. sekwencje b-a=0 tj. b=a i doszliśmy do sprzeczności.
Właściwość 2: Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód: Niech a będzie granicą ciągu zbieżnego (x n ), wtedy α n =x n -a jest elementem b.m. sekwencje. Weź dowolne ε>0 i użyj go, aby znaleźć N ε: / x n -a/< ε при n>Nε . Oznaczmy przez b największą z liczb ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . Oczywiste jest, że /xn/
Uwaga: ciąg ograniczony może być zbieżny lub nie.
BILET 6
Sekwencja a n nazywana jest nieskończenie małą, co oznacza, że granica tej sekwencji po niej wynosi 0.
a n jest nieskończenie małym Û lim(n ® + ¥)a n =0 tj. dla każdego ε>0 istnieje N takie, że |a n |<ε
Twierdzenie. Suma nieskończenie małych jest nieskończenie mała.
a n b n ®nieskończenie mały Þ a n +b n jest nieskończenie mały.
Dowód.
a n - nieskończenie małe Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 z |a n |<ε
b n - nieskończenie małe Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 z |b n |<ε
Ustawmy N=max(N 1 ,N 2 ), wtedy dla dowolnego n>N z obie nierówności zachodzą jednocześnie:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Ustaw "ε 1 >0, ustaw ε=ε 1 /2. Wtedy dla dowolnego ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
to a n + b n - nieskończenie małe.
Twierdzenie Iloczyn nieskończenie małych jest nieskończenie mały.
a n ,b n jest nieskończenie małe Þ a n b n jest nieskończenie małe.
Dowód:
Ustaw "ε 1 >0, ustaw ε=Öε 1 , ponieważ a n i b n są nieskończenie małe dla tego ε>0, to jest N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Weźmy N=max (N 1 ;N 2 ), wtedy "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n jest nieskończenie małe, co trzeba było udowodnić.
Twierdzenie Iloczyn ciągu ograniczonego i ciągu nieskończenie małego jest ciągiem nieskończenie małym
a n jest ciągiem ograniczonym
a n jest ciągiem nieskończenie małym Þ a n a n jest ciągiem nieskończenie małym.
Dowód: Ponieważ а n jest ograniczone Û $С>0: "nн N z |a n |£C
Ustawiamy "ε 1 >0; ustawiamy ε=ε 1 /C; ponieważ n jest nieskończenie małe, wtedy ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n jest nieskończenie małe Sekwencja nazywa się BBP(sekwencja), jeśli Write . Oczywiście BBP nie jest ograniczone. Odwrotne stwierdzenie na ogół nie jest prawdziwe (przykład). Jeśli dla dużych n członków, to piszą to oznacza, że jak tylko . Podobnie jest definiowane znaczenie notacji Nieskończenie duże sekwencje a n = 2 n ;
b n \u003d (-1) n 2 n ; c n \u003d -2 n Definicja(nieskończenie duże sekwencje) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥ jeśli "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε gdzie ε jest dowolnie małe. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥ jeśli "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε BILET 7 Twierdzenie „O monotonie zbieżności. ostatni" Każda sekwencja monotoniczna jest zbieżna, tj. ma ograniczenia. Dokumentacja Niech ostatni (xn) monoton się wzniesie. i ograniczone z góry. X - cały zbiór liczb, który przyjmuje el-t tego ostatniego zgodnie z konwencjami. Twierdzenia mają wiele ograniczeń, dlatego zgodnie z wg. Twierdzenie, że ma skończoną dokładną górę. twarz supX xn®supX (supX oznaczamy przez x*). Dlatego x* dokładna góra. krawędzi, to xn£x* " n." e >0 vyp-sya $ xm (niech m będzie n z pokrywką): xm>x*-e z " n>m => ze wskazanych 2 nierówności otrzymujemy druga nierówność x*-e£xn£x*+e dla n>m jest równoważna 1xn-x*1 BILET 8 Wykładnik lub liczba e Nr obręczy R ostatni ze wspólnym wyrazem xn=(1+1/n)^n (do potęgi n)(1) . Okazuje się, że ciąg (1) narasta monotonicznie, jest ograniczony od góry i jest nieco zbieżny, granica tego posta nazywa się wykładnicza i jest oznaczona symbolem e "2.7128 ... Numer e BILET 9 Zasada zagnieżdżonych segmentów Niech na osi liczbowej będzie podany ciąg odcinków ,,…,,… Ponadto segmenty te spełniają wymagania sl. war.: 1) każdy następca jest zagnieżdżony w poprzednim, tj. , „n=1,2,…; 2) Długości odcinków ®0 wraz ze wzrostem n, tj. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekwencja z określonymi świętymi nazywana jest zagnieżdżoną. Twierdzenie Każda sekwencja zagnieżdżonych segmentów zawiera jedno m-ku należące do wszystkich segmentów sekwencji jednocześnie, ze wspólnym punktem wszystkich segmentów, do których są one skrócone. Dokumentacja(an)-sekwencja lewych końców segmentów yavl. monotonicznie niemalejący i ograniczony od góry liczbą b1. (bn)-sekwencja prawych końców jest monotonicznie nie rosnąca, dlatego te sekwencje są yavl. zbieżne, tj. liczby rzeczownikowe c1=lim(n®¥)an i c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ich Ogólne znaczenie. Rzeczywiście, ma granicę lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) ze względu na warunek 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=c2-c1=> c1=c2=c Jasne jest, że m. c jest wspólne dla wszystkich segmentów, ponieważ „n i c mld. Teraz udowodnimy, że jest jednym. Załóżmy, że $ jest kolejnym c', do którego skrócone są wszystkie segmenty. Jeśli weźmiemy dowolne nieprzecinające się odcinki c i c', to z jednej strony cały „ogon” ostatniego (an), (bn) musi znajdować się w pobliżu c'' (ponieważ an i bn zbiegają się do c i c' w tym samym czasie). Sprzeczność doc-ett-mu. BILET 10 Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z dowolnego limitu. na koniec możesz wybrać spotkanie. podsekw. 1. Ponieważ ostatni jest ograniczony, to $ m i M takie, że " m £ xn £ M, " n. D1= - odcinek, w którym leżą wszystkie m-ki ostatniego. Podzielmy to na pół. Przynajmniej w jednej z połówek będzie nieskończona liczba t-do ostatni D2 to połowa, w której leży nieskończona liczba m-do-ostatnia. Podzieliliśmy to na pół. Przynajmniej w jednej z połówek neg. D2 nah-Xia nieskończona ilość tak do ostatniego. Ta połowa to D3. Dzielimy odcinek D3 ... i tak dalej. otrzymujemy ciąg zagnieżdżonych segmentów, których długości mają tendencję do 0. Zgodnie z m-me o zagnieżdżonych segmentach, $jedności. t-ka C, kat. posiadane wszystkie segmenty D1, niektóre t-ku Dn1. W odcinku D2 wybieram m-ku xn2, aby n2>n1. W segmencie D3 … itd. W rezultacie jemy ostatnie xnkÎDk. BILET 11 BILET 12 fundamentalny Na zakończenie rozważmy kwestię kryterium zbieżności ciągu liczbowego. Niech m.in.: wraz z liczbą naturalną można podstawić pod ostatnią nierówność inną liczbę naturalną ,następnie Otrzymaliśmy następujące oświadczenie: Jeśli sekwencja jest zbieżna, warunek Cauchy: Ciąg liczbowy spełniający warunek Cauchy'ego nazywa się fundamentalny. Można udowodnić, że prawdą jest również odwrotność. Mamy więc kryterium (warunek konieczny i wystarczający) zbieżności ciągu. Kryterium Cauchy'ego. Aby sekwencja miała granicę, konieczne i wystarczające jest, aby była fundamentalna. Drugie znaczenie kryterium Cauchy'ego. Członkowie sekwencji i gdzie n oraz m są nieskończenie zbliżające się do . BILET 13 Granice jednostronne. Definicja 13.11. Numer ALE nazywa się granicą funkcji y = f(x) w X dążenie do x 0 lewo (prawo) jeśli takie, że | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ
(x-x 0< δ
). Oznaczenia: Twierdzenie 13.1 (druga definicja granicy). Funkcjonować y=f(x) ma w X, dążąc do X 0, granica równa ALE, wtedy i tylko wtedy, gdy obie jego jednostronne granice w tym momencie istnieją i są równe ALE. Dowód. 1) Jeżeli , to i dla x 0 - x< δ, и для x-x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Jeżeli , to istnieje δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x-x 0<
δ2. Wybierając mniejsze liczby δ 1 i δ 2 i biorąc je za δ, otrzymujemy to dla | x-x0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentarz. Ponieważ udowodniono równoważność wymagań zawartych w definicji granicy 13.7 oraz warunku istnienia i równości granic jednostronnych, warunek ten można uznać za drugą definicję granicy. Definicja 4 (według Heinego) Numer ALE nazywa się granicą funkcji, jeśli dowolny BBP wartości argumentów sekwencja odpowiadających wartości funkcji jest zbieżna do ALE. Definicja 4 (według Cauchy'ego). Numer ALE o nazwie jeśli . Udowodniono, że te definicje są równoważne. BILET 14 i 15 Właściwości granicy funkcji w punkcie 1) Jeśli granica istnieje w t-ke, to jest unikalna 2) Jeżeli w cyklu x0 granica funkcji f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> to w tym t-ke $ granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Rozdzielenie tych 2 funkcji. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Twierdzenie 3. Jeśli ( lub A ) wtedy $ jest dzielnicą, w której występuje nierówność >B(odp. Wynajmować A>B ustawiamy wtedy Dla wybranych, lewa z tych nierówności ma postać >B odp. udowodniono drugą część twierdzenia, tylko w tym przypadku bierzemy Konsekwencja (zachowanie znaków funkcyjnych jej granicy). Ustawienie w twierdzeniu 3 B=0, otrzymujemy: jeśli ( odpowiednio), następnie $ , we wszystkich punktach, które będą >0 (odp.<0),
tych. funkcja zachowuje znak swojej granicy. Twierdzenie 4(o przekroczeniu granicy nierówności). Jeżeli w jakimś sąsiedztwie punktu (może poza samym tym punktem) warunek jest spełniony i funkcje te mają w tym punkcie granice, to . W języku i Wprowadźmy funkcję . Oczywiste jest, że w okolicy t. Następnie z twierdzenia o zachowaniu funkcji mamy wartość jej granicy, ale Twierdzenie 5.(na granicy funkcji pośredniej). (1) Jeśli i w pewnym sąsiedztwie t. (może z wyjątkiem samego t.) warunek (2) jest spełniony, wtedy funkcja ma granicę w t. i ta granica jest równa ALE. przez warunek (1) $ for (oto najmniejsze sąsiedztwo punktu ). Ale wtedy, na mocy warunku (2), wartość będzie również znajdować się w - sąsiedztwie punktu ALE, tych. . BILET 16 Definicja 14.1. Funkcjonować y=α(x) nazywa się nieskończenie małym at x→x 0, jeśli Własności nieskończenie małych. 1. Suma dwóch nieskończenie małych jest nieskończenie mała. Dowód. Jeśli α(x) oraz β(x) są nieskończenie małe dla x→x 0, to są δ 1 i δ 2 takie, że | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, , to znaczy α(х)+β(х) jest nieskończenie małe. Komentarz. Wynika z tego, że suma dowolnej skończonej liczby nieskończenie małych jest nieskończenie mała. 2. Jeśli α( X) jest nieskończenie mały at x→x 0, a f(x) jest funkcją ograniczoną w pewnym sąsiedztwie x 0, następnie α(x)f(x) jest nieskończenie mały at x→x 0. Dowód. Wybierz numer M taki, że | f(x)| Wniosek 1. Iloczyn nieskończenie małej przez liczbę skończoną jest nieskończenie mały. Wniosek 2. Iloczyn dwóch lub więcej nieskończenie małych jest nieskończenie mały. Wniosek 3. Liniowa kombinacja nieskończenie małych jest nieskończenie mała. 3. (Trzecia definicja limitu). Jeżeli , to koniecznym i wystarczającym warunkiem tego jest to, że funkcja f(x) można przedstawić jako f(x)=A+α(x), gdzie α(x) jest nieskończenie mały at x→x 0. Dowód. 1)
Niech wtedy | f(x)-A|<ε при x→x 0, to znaczy α(x)=f(x)-A jest nieskończenie mały w x→x 0 . w konsekwencji , f(x)=A+α(x). 2) Niech f(x)=A+α(x). Następnie oznacza | f(x)-A|<ε при |x-x0| < δ(ε). Cледовательно, . Komentarz. W ten sposób uzyskuje się jeszcze jedną definicję granicy, która jest równoważna dwóm poprzednim. Nieskończenie duże funkcje. Definicja 15.1. Funkcja f(x) jest nazywana nieskończenie dużą dla x x 0, jeśli Dla nieskończenie dużych można wprowadzić taki sam system klasyfikacji jak dla nieskończenie małych, a mianowicie: 1. Nieskończenie duże f(x) i g(x) są uważane za tego samego rzędu, jeśli 2. Jeżeli , to f(x) jest uważane za nieskończenie duże wyższe rzędy niż g(x). 3. Nieskończenie duże f(x) nazywamy k-tym rzędem względem nieskończenie dużego g(x), jeśli . Komentarz. Zauważ, że a x jest nieskończenie dużym (dla a>1 i x ) wyższym rzędem niż x k dla dowolnego k, a log a x jest nieskończenie niższym rzędem niż jakakolwiek potęga x k . Twierdzenie 15.1. Jeżeli α(x) jest nieskończenie małe dla x→x 0 , to 1/α(x) jest nieskończenie duże dla x→x 0 . Dowód. Udowodnijmy, że dla |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Zatem , czyli 1/α(x) jest nieskończenie duże jak x→x 0 . BILET 17 Twierdzenie 14.7 (pierwsza godna uwagi granica). . Dowód. Rozważ okrąg o promieniu jednostkowym wyśrodkowany na początku i załóż, że kąt AOB wynosi x (radian). Porównajmy pola trójkąta AOB, sektora AOB i trójkąta AOC, gdzie prosta OS jest styczną do okręgu przechodzącego przez punkt (1; 0). To oczywiste, że . Używając odpowiednich wzorów geometrycznych dla obszarów figur, otrzymujemy z tego, że lub sinx RZECZYWISTE LICZBY II § 44 Geometryczna reprezentacja liczb rzeczywistych Liczby geometryczne rzeczywiste, podobnie jak liczby wymierne, są reprezentowane przez punkty na linii prostej. Wynajmować ja
- dowolna linia prosta, a O - niektóre jej punkty (ryc. 58). Każda dodatnia liczba rzeczywista α
umieść odpowiednio punkt A, leżący na prawo od O w odległości α
jednostki długości. Jeśli na przykład α
= 2,1356..., to 2 < α
< 3 itd. Oczywiste jest, że punkt A w tym przypadku musi leżeć na linii ja
na prawo od punktów odpowiadających liczbom 2; 2,1; 2,13; ... , ale na lewo od punktów odpowiadających liczbom 3; 2,2; 2,14; ... . Można wykazać, że te warunki określają na linii ja
jedyny punkt A, który uważamy za geometryczny obraz liczby rzeczywistej α
= 2,1356... . Podobnie każda ujemna liczba rzeczywista β
umieść odpowiednio punkt B leżący na lewo od O w odległości | β |
jednostki długości. Na koniec przypisujemy punkt O liczbie „zero”. Tak więc liczba 1 zostanie wyświetlona na linii prostej ja
punkt A, znajdujący się na prawo od O w odległości jednej jednostki długości (ryc. 59), liczba - √2 - punkt B, leżący na lewo od O w odległości √2 jednostek długości itp. Pokażmy jak na linii prostej ja
za pomocą kompasu i linijki można znaleźć punkty odpowiadające liczbom rzeczywistym √2, √3, √4, √5 itd. Aby to zrobić, najpierw pokażemy, jak konstruować odcinki, których długości są wyrażone przez te liczby. Niech AB będzie odcinkiem wziętym jako jednostka długości (ryc. 60). W punkcie A przywracamy prostopadłość do tego odcinka i odkładamy na nim odcinek AC, równy odcinkowi AB. Następnie, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC, otrzymujemy; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2 Dlatego odcinek BC ma długość √2. Teraz przywróćmy prostopadłą do odcinka BC w punkcie C i wybierzmy na nim punkt D tak, aby odcinek CD był równy jednostce długości AB. Następnie z prawego trójkąta BCD znajdujemy: ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3 Dlatego odcinek BD ma długość √3. Kontynuując opisany proces dalej, możemy otrzymać odcinki BE, BF, ..., których długości wyrażone są liczbami √4, √5 itd. Teraz na linii ja
łatwo jest znaleźć te punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb √2, √3, √4, √5 itd. Umieszczając na przykład na prawo od punktu O odcinek BC (ryc. 61), otrzymujemy punkt C, który służy jako geometryczna reprezentacja liczby √2. W ten sam sposób odkładając odcinek BD na prawo od punktu O, otrzymujemy punkt D”, który jest geometrycznym obrazem liczby √3 itd. Nie należy jednak myśleć, że za pomocą cyrkla i linijki na osi liczbowej ja
można znaleźć punkt odpowiadający dowolnej liczbie rzeczywistej. Udowodniono np., że mając do dyspozycji tylko cyrkiel i linijkę, nie da się skonstruować odcinka, którego długość wyrażona jest liczbą π
= 3,14 ... . Więc na linii liczbowej ja
przy użyciu takich konstrukcji nie można wskazać punktu odpowiadającego tej liczbie, niemniej jednak taki punkt istnieje. Więc dla każdej liczby rzeczywistej α
możliwe jest skojarzenie jakiegoś dobrze zdefiniowanego punktu linii ja
. Ten punkt zostanie oddzielony od punktu początkowego O w odległości | α
| jednostki długości i znajdować się na prawo od O jeśli α
> 0 i na lewo od O jeśli α
< 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ja
. Rzeczywiście, niech liczba α
odpowiada punktowi A, a liczba β
- punkt B. Wtedy, jeśli α
> β
, wtedy A będzie na prawo od B (ryc. 62, a); jeśli α
< β
, wtedy A będzie leżał na lewo od B (ryc. 62, b). Mówiąc w § 37 o geometrycznej reprezentacji liczb wymiernych, postawiliśmy pytanie: czy dowolny punkt prostej można uznać za geometryczny obraz jakiejś racjonalny liczby? W tamtym czasie nie mogliśmy odpowiedzieć na to pytanie; teraz możemy na nie odpowiedzieć całkiem zdecydowanie. Na linii znajdują się punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb niewymiernych (na przykład √2). Dlatego nie każdy punkt na linii prostej reprezentuje liczbę wymierną. Ale w tym przypadku pojawia się kolejne pytanie: czy dowolny punkt rzeczywistej linii można uznać za geometryczny obraz jakiegoś? ważny liczby? Ten problem został już pozytywnie rozwiązany. Rzeczywiście, niech A będzie dowolnym punktem na linii ja
, leżący na prawo od O (ryc. 63). Długość odcinka OA jest wyrażona przez pewną dodatnią liczbę rzeczywistą α
(patrz § 41). Dlatego punkt A jest geometrycznym obrazem liczby α
. Podobnie ustalono, że każdy punkt B leżący na lewo od O można uznać za geometryczny obraz ujemnej liczby rzeczywistej - β
, gdzie β
- długość segmentu VO. Wreszcie punkt O służy jako geometryczna reprezentacja liczby zero. Oczywiste jest, że dwa różne punkty linii ja
nie może być geometrycznym obrazem tej samej liczby rzeczywistej. Z powodów podanych powyżej linia prosta, na której jakiś punkt O jest wskazany jako punkt „początkowy” (dla danej jednostki długości) nazywa się Numer linii. Wniosek. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i zbiór wszystkich punktów prostej rzeczywistej są w relacji jeden-do-jednego. Oznacza to, że każda liczba rzeczywista odpowiada jednemu, dobrze określonemu punktowi osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi osi liczbowej przy takiej korespondencji odpowiada jedna, dobrze określona liczba rzeczywista. Ćwiczenia
320. Dowiedz się, który z dwóch punktów znajduje się na osi liczbowej po lewej, a który po prawej stronie, jeśli te punkty odpowiadają liczbom: a) 1.454545... i 1.455454...; c) 0 i - 1,56673...; b) - 12.0003... i - 12.0002...; d) 13.24... i 13.00.... 321. Dowiedz się, który z dwóch punktów jest dalej od punktu początkowego O na osi liczbowej, jeśli te punkty odpowiadają liczbom: a) 5,2397... i 4,4996...; c) -0,3567... i 0,3557... . d) - 15.0001 i - 15.1000...; 322. W tym rozdziale pokazano, że skonstruować odcinek o długości √ n
używając cyrkla i linijki możesz wykonać następujące czynności: najpierw skonstruuj odcinek o długości √2, potem odcinek o długości √3 itd., aż dojdziemy do odcinka o długości √ n
. Ale dla każdego ustalonego P
> 3 proces ten można przyspieszyć. Jak na przykład zacząłbyś budować odcinek o długości √10? 323*. Jak za pomocą kompasu i linijki znaleźć punkt na osi liczbowej odpowiadający liczbie 1 / α
, jeśli położenie punktu odpowiadającego liczbie α
, znany?
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14