Równanie okręgu. Równanie okręgu i prostej Ułóż równania okręgu przechodzącego przez
Cel lekcji: wprowadź równanie koła, naucz uczniów sporządzić równanie koła według gotowego rysunku, zbuduj koło według podanego równania.
Ekwipunek: tablica interaktywna.
Plan lekcji:
- Moment organizacyjny - 3 min.
- Powtórzenie. Organizacja aktywności umysłowej - 7 min.
- Wyjaśnienie nowego materiału. Wyprowadzenie równania okręgu - 10 min.
- Konsolidacja badanego materiału - 20 min.
- Podsumowanie lekcji - 5 min.
Podczas zajęć
2. Powtórzenie:
− (Załącznik 1 slajd 2) zapisz wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka;
− (Slajd 3) Z napisz wzór na odległość między punktami (długość odcinka).
3. Wyjaśnienie nowego materiału.
(Slajdy 4 - 6) Zdefiniuj równanie okręgu. Wyprowadź równania okręgu wyśrodkowanego w punkcie ( a;b) i wyśrodkowany na początku.
(X – a ) 2 + (w – b ) 2 = R 2 − równanie okręgu ze środkiem Z (a;b) , promień R , X oraz w – współrzędne dowolnego punktu na okręgu .
X 2 + tak 2 = R 2 jest równaniem okręgu wyśrodkowanego na początku.
(slajd 7)
Aby napisać równanie koła, potrzebujesz:
- znać współrzędne centrum;
- znać długość promienia;
- wstaw współrzędne środka i długość promienia do równania okręgu.
4. Rozwiązywanie problemów.
W zadaniach nr 1 - nr 6 sporządź równania koła zgodnie z gotowymi rysunkami.
(slajd 14)
№ 7. Uzupełnij tabelkę.
(slajd 15)
№ 8. Skonstruuj koła w notatniku podane przez równania:
a) ( X – 5) 2 + (w + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (w– 7) 2 = 7 2 .
(slajd 16)
№ 9. Znajdź współrzędne środka i długość promienia, jeśli AB to średnica koła.
Dany: | Decyzja: | ||
R | Współrzędne centrum | ||
1 | ALE(0 ; -6) W(0 ; 2) |
AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 . |
ALE(0; -6) W(0 ; 2) Z(0 ; – 2) – Centrum |
2 | ALE(-2 ; 0) W(4 ; 0) |
AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6. |
ALE (-2;0) W (4 ;0) Z(1 ; 0) – Centrum |
(slajd 17)
№ 10. Napisz równanie okręgu wyśrodkowanego na początku przechodzącego przez punkt W celu(-12;5).
Decyzja.
R2 = OK 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;
Równanie okręgu: x 2 + y 2 = 169 .
(slajd 18)
№ 11. Napisz równanie dla okręgu przechodzącego przez początek i wyśrodkowanego w punkcie Z(3; - 1).
Decyzja.
R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Równanie okręgu: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
(slajd 19)
№ 12. Napisz równanie koła ze środkiem ALE(3;2) przechodząc przez W(7;5).
Decyzja.
1. Środek koła - ALE(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB
= 5;
3. Równanie okręgu ( X – 3) 2 + (w − 2) 2
= 25.
(slajd 20)
№ 13. Sprawdź, czy punkty leżą ALE(1; -1), W(0;8), Z(-3; -1) na okręgu określonym równaniem ( X + 3) 2 + (w − 4) 2 = 25.
Decyzja.
I. Podstaw współrzędne punktu ALE(1; -1) do równania koła:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - równość jest nieprawidłowa, co oznacza ALE(1; -1) nie kłamie na okręgu podanym przez równanie ( X + 3) 2 +
(w −
4) 2 =
25.
II. Podstaw współrzędne punktu W(0;8) do równania okręgu:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
W(0;8)kłamstwa X + 3) 2 +
(w − 4) 2
=
25.
III. Podstaw współrzędne punktu Z(-3; -1) do równania koła:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - równość jest prawdziwa, więc Z(-3; -1) kłamstwa na okręgu podanym przez równanie ( X + 3) 2 +
(w − 4) 2
=
25.
Podsumowanie lekcji.
- Powtórz: równanie okręgu, równanie okręgu wyśrodkowanego na początku.
- (slajd 21) Zadanie domowe.
Definicja 1 . Oś numeryczna ( linia liczbowa, linia współrzędnych) Ox nazywamy linią prostą, na której wybrany jest punkt O punkt odniesienia (początek współrzędnych)(rys.1), kierunek
O → x
Wymienione jako pozytywny kierunek i zaznaczony jest odcinek, którego długość przyjmuje się jako jednostka długości.
Definicja 2 . Segment, którego długość jest traktowana jako jednostka długości, nazywa się skalą.
Każdy punkt osi numerycznej ma współrzędną , która jest liczbą rzeczywistą. Współrzędna punktu O jest równa zeru. Współrzędna dowolnego punktu A leżącego na promieniu Ox jest równa długości odcinka OA . Współrzędna dowolnego punktu A osi liczbowej, nie leżącego na promieniu Ox , jest ujemna, aw wartości bezwzględnej jest równa długości odcinka OA .
Definicja 3 . Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich Oxy na płaszczyźnie zadzwońcie do dwojga nawzajem prostopadły osie numeryczne Ox i Oy z ta sama skala oraz wspólne pochodzenie w punkcie O, ponadto tak, że obrót od promienia Ox o kąt 90° do promienia Oy odbywa się w kierunku odwrotnie(rys. 2).
Uwaga . Prostokątny kartezjański układ współrzędnych Oxy, pokazany na rysunku 2, nazywa się prawy układ współrzędnych, W odróżnieniu lewe układy współrzędnych, w którym obrót belki Ox o kąt 90° do belki Oy odbywa się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. W tym przewodniku my rozważ tylko prawidłowe układy współrzędnych nie wspominając o tym w szczególności.
Jeżeli na płaszczyźnie Oxy wprowadzimy jakiś układ prostokątnych współrzędnych kartezjańskich, to każdy punkt płaszczyzny uzyska dwie współrzędne – odcięta oraz rzędna, które są obliczane w następujący sposób. Niech A będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Spuśćmy prostopadłe z punktu A AA 1 i AA 2 odpowiednio do linii Ox i Oy (ryc. 3).
Definicja 4 . Odcięta punktu A jest współrzędną punktu A 1 na osi liczbowej Ox, rzędna punktu A jest współrzędną punktu A 2 na osi numerycznej Oy .
Przeznaczenie . Współrzędne (odcięta i rzędna) punktu A w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy (rys. 4) jest zwykle oznaczany A(x;tak) lub A = (x; tak).
Uwaga . Punkt O, zwany pochodzenie, ma współrzędne O(0 ; 0) .
Definicja 5 . W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy oś liczbowa Ox nazywana jest osią odciętych, a oś liczbowa Oy nazywana jest osią rzędnych (ryc. 5).
Definicja 6 . Każdy prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich dzieli płaszczyznę na 4 ćwiartki ( ćwiartki), których numerację pokazano na rysunku 5.
Definicja 7 . Nazywa się płaszczyznę, na której podany jest prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich płaszczyzna współrzędnych.
Uwaga . Oś odciętych jest podana na płaszczyźnie współrzędnych przez równanie tak= 0 , oś y jest dana na płaszczyźnie współrzędnych równaniem x = 0.
Oświadczenie 1 . Odległość między dwoma punktami płaszczyzna współrzędnych
A 1 (x 1 ;tak 1) oraz A 2 (x 2 ;tak 2)
obliczony według wzoru
Dowód . Rozważ rysunek 6.
Niech okrąg ma promień , a jego środek znajduje się w punkcie
. Kropka
leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy moduł wektora
równa się , tj. Ostatnia równość obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy
Równanie (1) to pożądane równanie okręgu.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt jest prostopadłe do danego wektora
prostopadle do wektora
.
Kropka
oraz
są prostopadłe. Wektory
oraz
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero, tj.
. Korzystając ze wzoru na obliczenie iloczynu skalarnego wektorów podanego przez ich współrzędne, zapisujemy równanie żądanej linii prostej w postaci
Rozważ przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez
środek odcinka AB jest prostopadły do tego odcinka, jeśli współrzędne punktów są odpowiednio równe A (1; 6), B (5; 4).
Będziemy się spierać w następujący sposób. Aby znaleźć równanie prostej, musimy znać punkt, przez który przechodzi ta linia, oraz wektor prostopadły do tej prostej. Wektor prostopadły do tej linii będzie wektorem, ponieważ zgodnie ze stanem problemu linia jest prostopadła do odcinka AB. punkt
określamy z warunku, że prosta przechodzi przez środek AB. Mamy . Zatem
a równanie przyjmie formę.
Wyjaśnijmy pytanie, czy ta prosta przechodzi przez punkt M(7;3).
Mamy , co oznacza, że ta linia nie przechodzi przez określony punkt.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, równoległej do danego wektora
Niech linia przechodzi przez punkt
równolegle do wektora
.
Kropka
leży na linii wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
oraz
współliniowy. Wektory
oraz
są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne są proporcjonalne, tj.
(3)
Wynikowe równanie jest równaniem pożądanej linii prostej.
Równanie (3) można przedstawić jako
, gdzie ma jakąkolwiek wartość
.
Dlatego możemy pisać
, gdzie
(4)
Układ równań (4) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej.
Rozważ przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty. Możemy skonstruować równanie prostej, jeśli znamy punkt i wektor równoległy lub prostopadły do niego. Dostępne są dwa punkty. Ale jeśli dwa punkty leżą na linii, to łączący je wektor będzie równoległy do tej linii. Dlatego używamy równania (3), przyjmując jako wektor
wektor
. dostajemy
(5)
Równanie (5) nazywa się równaniem prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
Ogólne równanie prostej
Definicja. Ogólne równanie linii pierwszego rzędu na płaszczyźnie jest równaniem postaci
, gdzie
.
Twierdzenie. Każda linia prosta w płaszczyźnie może być podana jako równanie linii pierwszego rzędu, a każde równanie linii pierwszego rzędu jest równaniem pewnej linii prostej w płaszczyźnie.
Pierwsza część tego twierdzenia jest łatwa do udowodnienia. Na dowolnej linii możesz określić punkt
wektor prostopadły do niego
. Wtedy zgodnie z (2) równanie takiej prostej ma postać Oznaczać
. Wtedy równanie przyjmie postać
.
Przejdźmy teraz do drugiej części twierdzenia. Niech będzie równanie
, gdzie
. Dla jednoznaczności przyjmiemy
.
Przepiszmy równanie w postaci:
;
Rozważ punkt na samolocie
, gdzie
. Wtedy otrzymane równanie ma postać , i jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt
prostopadle do wektora
. Twierdzenie zostało udowodnione.
W trakcie dowodzenia twierdzenia udowodniliśmy po drodze
Oświadczenie. Jeśli istnieje równanie linii prostej
, to wektor
prostopadle do tej linii.
Wpisz równanie
nazywa się ogólnym równaniem linii prostej w płaszczyźnie.
Niech będzie linia
i kropka
. Wymagane jest określenie odległości od wskazanego punktu do linii.
Rozważ dowolny punkt
na linii prostej. Mamy
. Dystans Z punktu
do prostej jest równy modułowi rzutu wektora
na wektor
prostopadle do tej linii. Mamy
,
transformatorowy, otrzymujemy wzór:
Niech dwie proste podane przez równania ogólne
,
. Następnie wektory
prostopadłe odpowiednio do pierwszej i drugiej linii. Zastrzyk
między liniami jest równy kątowi między wektorami
,
.
Wtedy wzór na określenie kąta między liniami to:
.
Warunek prostopadłości linii ma postać:
.
Linie są równoległe lub pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
współliniowy. W której warunek zbieżności linii ma postać:
,
a warunek braku przecięcia jest zapisany jako:
. Sam udowodnij dwa ostatnie warunki.
Zbadajmy zachowanie linii prostej zgodnie z jej ogólnym równaniem.
Niech dane będzie ogólne równanie prostej
. Jeśli
, linia przechodzi przez początek.
Rozważ przypadek, w którym żaden ze współczynników nie jest równy zero
. Przepisujemy równanie w postaci:
,
,
Gdzie
. Dowiedz się, co oznaczają parametry
. Znajdź punkty przecięcia linii z osiami współrzędnych. Na
mamy
, i kiedy
mamy
. Tj
- są to odcinki odcięte linią prostą na osiach współrzędnych. Dlatego równanie
nazywa się równaniem linii prostej w odcinkach.
Kiedy
mamy
. Kiedy
mamy
. Oznacza to, że linia będzie równoległa do osi .
Odwołaj to nachylenie linii prostej
nazywana jest styczną kąta nachylenia tej prostej do osi
. Niech linia prosta zostanie odcięta na osi odcinek i ma nachylenie . Niech punkt
leży na tym
Następnie
==. A równanie prostej zostanie zapisane w postaci
.
Niech linia przechodzi przez punkt
i ma nachylenie . Niech punkt
leży na tej linii.
Następnie =
.
Powstałe równanie nazywa się równaniem linii prostej przechodzącej przez dany punkt o określonym nachyleniu.
Niech zostaną podane dwie linie
,
. Oznaczać
jest kąt między nimi. Zostawiać ,kąty nachylenia do osi X odpowiednich linii
Następnie
=
,
.
Wtedy warunek linii równoległych ma postać
i warunek prostopadłości
Podsumowując, rozważamy dwa problemy.
Zadanie . Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A(4;2), B(10;10), C(20;14).
Znajdź: a) równanie i długość mediany wyciągniętej z wierzchołka A;
b) równanie i długość wysokości wyciągnięte z wierzchołka A;
c) równanie dwusiecznej wyprowadzone z wierzchołka A;
Zdefiniujmy równanie mediany AM.
Punkt M () jest środkiem odcinka BC.
Następnie , . Dlatego punkt M ma współrzędne M(15;17). Równanie mediany w języku geometrii analitycznej to równanie prostej przechodzącej przez punkt A (4; 2) równolegle do wektora = (11; 15). Wtedy równanie mediany to Mediana długości AM= .
Równanie wysokości AS jest równaniem linii prostej przechodzącej przez punkt A(4;2) prostopadły do wektora =(10;4). Wtedy równanie wysokości to 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Długość wysokości to odległość od punktu A (4; 2) do prostej BC. Ta prosta przechodzi przez punkt B(10;10) równolegle do wektora =(10;4). Jego równanie to , 2x-5y+30=0. Odległość AS od punktu A(4;2) do prostej BC jest więc równa AS= .
Aby wyznaczyć równanie dwusiecznej, znajdujemy wektor równoległy do tej prostej. Aby to zrobić, używamy właściwości przekątnej rombu. Jeżeli wektory jednostkowe są odsunięte od punktu A i są równo skierowane z wektorami, to wektor równy ich sumie będzie równoległy do dwusiecznej. Wtedy mamy =+.
={6;8}, , ={16,12}, .
Wtedy = Wektor = (1; 1), współliniowy do danego, może służyć jako wektor kierunkowy pożądanej linii prostej. Wtedy równanie żądanej linii widzi x-y-2=0.
Zadanie. Rzeka płynie w linii prostej przechodzącej przez punkty A(4;3) i B(20;11). Czerwony Kapturek mieszka w punkcie C(4;8), a jej babcia w punkcie D(13;20). Czerwony Kapturek każdego ranka zabiera z domu puste wiadro, idzie nad rzekę, czerpie wodę i zanosi ją babci. Znajdź najkrótszą drogę dla Czerwonego Kapturka.
Znajdźmy punkt E, symetryczny względem babci, względem rzeki.
Aby to zrobić, najpierw znajdujemy równanie linii prostej, wzdłuż której płynie rzeka. Równanie to można uznać za równanie linii prostej przechodzącej przez punkt A(4;3) równolegle do wektora. Wtedy równanie prostej AB ma postać.
Następnie znajdujemy równanie prostej DE przechodzącej przez punkt D prostopadły do AB. Można ją traktować jako równanie prostej przechodzącej przez punkt D, prostopadłej do wektora
. Mamy
Teraz znajdźmy punkt S - rzut punktu D na prostą AB, jako przecięcie prostych AB i DE. Mamy układ równań
.
Dlatego punkt S ma współrzędne S(18;10).
Ponieważ S jest środkiem odcinka DE, to .
Podobnie.
Dlatego punkt E ma współrzędne E(23;0).
Znajdźmy równanie prostej CE, znając współrzędne dwóch punktów tej prostej
Znajdujemy punkt M jako przecięcie prostych AB i CE.
Mamy układ równań
.
Dlatego punkt M ma współrzędne
.
Temat 2 Pojęcie równania powierzchni w przestrzeni. Równanie sferyczne. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt jest prostopadłe do danego wektora. Ogólne równanie płaszczyzny i jego badanie Warunek równoległości dwóch płaszczyzn. Odległość od punktu do płaszczyzny. Pojęcie równania linii. Linia prosta w przestrzeni. Równania kanoniczne i parametryczne prostej w przestrzeni. Równania prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty. Warunki równoległości i prostopadłości prostej i płaszczyzny.
Najpierw zdefiniujmy pojęcie równania powierzchni w przestrzeni.
Wpuść przestrzeń
podana jest pewna powierzchnia . Równanie
nazywa się równaniem powierzchni jeśli spełnione są dwa warunki:
1. dla dowolnego punktu
ze współrzędnymi
leżąc na powierzchni,
, to znaczy, że jego współrzędne spełniają równanie powierzchni;
2. dowolny punkt
, którego współrzędne spełniają równanie
, leży na linii.
Geometria analityczna zapewnia jednolite metody rozwiązywania problemów geometrycznych. W tym celu wszystkie podane i pożądane punkty i linie odnoszą się do tego samego układu współrzędnych.
W układzie współrzędnych każdy punkt można scharakteryzować swoimi współrzędnymi, a każdą linię równaniem z dwiema niewiadomymi, z których ta linia jest wykresem. W ten sposób problem geometryczny sprowadza się do problemu algebraicznego, gdzie wszystkie metody obliczeniowe są dobrze rozwinięte.
Okrąg to zbiór punktów o jednej określonej właściwości (każdy punkt okręgu jest równoodległy od jednego punktu, zwanego środkiem). Równanie okręgu musi odzwierciedlać tę właściwość, spełniać ten warunek.
Interpretacją geometryczną równania koła jest linia koła.
Jeżeli umieścimy okrąg w układzie współrzędnych, to wszystkie punkty okręgu spełniają jeden warunek - odległość od nich do środka okręgu musi być taka sama i równa okręgowi.
Okrąg wyśrodkowany w punkcie ALE i promień R umieszczone na płaszczyźnie współrzędnych.
Jeśli współrzędne centrum (a;b) i współrzędne dowolnego punktu na okręgu (x; y) , to równanie okręgu ma postać:
Jeśli kwadrat promienia koła jest równy sumie kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych dowolnego punktu na okręgu i jego środka, to równanie to jest równaniem koła w układzie współrzędnych płaszczyzny.
Jeżeli środek okręgu pokrywa się z punktem początkowym, to kwadrat promienia okręgu jest równy sumie kwadratów współrzędnych dowolnego punktu na okręgu. W tym przypadku równanie okręgu przyjmuje postać:
Dlatego każda figura geometryczna jako miejsce punktów jest określona przez równanie odnoszące się do współrzędnych jej punktów. Odwrotnie, równanie odnoszące się do współrzędnych X oraz w , zdefiniuj linię jako zbiór punktów na płaszczyźnie, których współrzędne spełniają podane równanie.
Przykłady rozwiązywania problemów dotyczących równania koła
Zadanie. Napisz równanie dla danego okręgu
Napisz równanie na okrąg o środku w punkcie O (2;-3) i promieniu 4.Decyzja.
Przejdźmy do wzoru równania koła:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2
Zastąp wartości we wzorze.
Promień okręgu R = 4
Współrzędne środka okręgu (zgodnie z warunkiem)
a = 2
b=-3
Otrzymujemy:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
lub
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Zadanie. Czy punkt należy do równania koła?
Sprawdź, czy punkt należy A(2;3) równanie okręgu (x-2) 2 + (t + 3) 2 = 16 .Decyzja.
Jeśli punkt należy do okręgu, to jego współrzędne spełniają równanie okręgu.
Aby sprawdzić, czy punkt o danych współrzędnych należy do okręgu, podstawiamy współrzędne tego punktu do równania danego okręgu.
W równaniu ( x - 2) 2 + (tak + 3) 2 = 16
podstawiamy zgodnie z warunkiem współrzędne punktu A (2; 3), czyli
x=2
y=3
Sprawdźmy prawdziwość uzyskanej równości
(x - 2) 2 + (tak + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 równość jest zła
Więc dany punkt nie należy podane równanie okręgu.
Temat lekcji: Równanie okręgu
Cele Lekcji:
Edukacyjny: Wyprowadź równanie okręgu, uznając rozwiązanie tego problemu za jedną z możliwości zastosowania metody współrzędnych.
Być w stanie:
– Rozpoznaj równanie koła zgodnie z proponowanym równaniem, naucz uczniów sporządzić równanie koła według gotowego rysunku, zbuduj okrąg zgodnie z podanym równaniem.
Edukacyjny : Kształtowanie krytycznego myślenia.
Edukacyjny : Wykształcenie umiejętności formułowania zaleceń algorytmicznych i działania zgodnie z proponowanym algorytmem.
Być w stanie:
– Zobacz problem i zaplanuj sposoby jego rozwiązania.
– Podsumuj swoje przemyślenia ustnie i pisemnie.
Rodzaj lekcji: przyswajanie nowej wiedzy.
Ekwipunek : PC, projektor multimedialny, ekran.
Plan lekcji:
1. Przemówienie inauguracyjne - 3 min.
2. Aktualizacja wiedzy - 2 min.
3. Stwierdzenie problemu i jego rozwiązanie -10 min.
4. Mocowanie czołowe nowego materiału - 7 min.
5. Samodzielna praca w grupach - 15 min.
6. Prezentacja pracy: dyskusja - 5 min.
7. Wynik lekcji. Praca domowa - 3 min.
Podczas zajęć
Cel tego etapu: Nastrój psychologiczny uczniów; Zaangażowanie wszystkich uczniów w proces uczenia się, tworzenie sytuacji sukcesu.1. Organizowanie czasu.
3 minuty
Chłopaki! Spotkałeś się z kręgiem w piątej i ósmej klasie. Co o niej wiesz?
Dużo wiesz, a te dane można wykorzystać do rozwiązywania problemów geometrycznych. Ale do rozwiązywania problemów, w których używana jest metoda współrzędnych, to nie wystarczy.Czemu?
Dokładnie tak.
Dlatego głównym celem dzisiejszej lekcji jest wyprowadzenie równania okręgu z właściwości geometrycznych danej linii i zastosowanie go do rozwiązywania problemów geometrycznych.
Odpuść sobiemotto lekcji słowa środkowoazjatyckiego naukowca-encyklopedysty Al-Biruniego zamienią się w: „Wiedza jest najwspanialszym z posiadłości. Wszyscy do tego dążą, ale to nie przychodzi samo.”
Zapisz temat lekcji w zeszycie.
Definicja koła.
Promień.
Średnica.
Akord. Itp.
Nie znamy jeszcze ogólnej postaci równania okręgu.
Uczniowie wymieniają wszystko, co wiedzą o kręgu.
slajd 2
slajd 3
Celem etapu jest zorientowanie się w jakości uczenia się przez uczniów materiału, określenie podstawowej wiedzy.
2. Aktualizacja wiedzy.
2 minuty
Wyprowadzając równanie okręgu będziesz potrzebować znanej już definicji okręgu i wzoru, który pozwoli ci znaleźć odległość między dwoma punktami na podstawie ich współrzędnych.Zapamiętajmy te fakty /Ppowtórzenie materiału wcześniej studiował/:
– Zapisz wzór na znalezienie współrzędnych punktu środkowego odcinka.
– Zapisz wzór na obliczenie długości wektora.
– Zapisz wzór na znalezienie odległości między punktami (długość segmentu).
Edycja rekordów...
Trening geometryczny.
Otrzymane punktyA (-1; 7) orazW (7; 1).
Oblicz współrzędne punktu środkowego odcinka AB i jego długość.
Sprawdza poprawność wykonania, koryguje obliczenia...
Jeden uczeń przy tablicy, a reszta zapisuje wzory w zeszytach
Okrąg to figura geometryczna składająca się ze wszystkich punktów znajdujących się w określonej odległości od danego punktu.
| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²
M(x;y), A(x;y)
Oblicz: C (3; 4)
| AB | = 10
Z położyć 4
zjeżdżalnia 5
3. Tworzenie nowej wiedzy.
12 minut
Cel: tworzenie pojęcia - równanie koła.
Rozwiąż problem:
Okrąg o środku A(x; y) jest tworzony w prostokątnym układzie współrzędnych. M(x; y) - dowolny punkt okręgu. Znajdź promień okręgu.
Czy współrzędne jakiegokolwiek innego punktu spełnią tę równość? Czemu?
Podnieśmy do kwadratu obie strony równania.W efekcie mamy:
r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² to równanie okręgu, gdzie (x; y) to współrzędne środka okręgu, (x; y) to współrzędne dowolnego punkt leżący na okręgu, r jest promieniem okręgu.
Rozwiąż problem:
Jakie będzie równanie okręgu wyśrodkowanego na początku?
Więc co musisz wiedzieć, aby napisać równanie koła?
Zaproponuj algorytm kompilacji równania okręgu.
Wniosek: ... napisz w zeszycie.
Promień to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem leżącym na okręgu. Dlatego r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²
Każdy punkt na kole leży na tym kole.
Uczniowie piszą w zeszytach.
(0;0) – współrzędne środka okręgu.
x² + y² = r², gdzie r jest promieniem okręgu.
Współrzędne środka okręgu, promień, dowolny punkt na okręgu...
Proponują algorytm...
Zapisz algorytm w zeszycie.
zjeżdżalnia 6
Slajd 7
Slajd 8
Nauczyciel zapisuje równanie na tablicy.
Slajd 9
4. Zapięcie podstawowe.
23 minuty
Cel:odtworzenie przez uczniów materiału, który właśnie został dostrzeżony, aby zapobiec utracie uformowanych pomysłów i koncepcji. Konsolidacja nowej wiedzy, pomysłów, koncepcji opartych na ichAplikacje.
Kontrola ZUN
Wykorzystajmy zdobytą wiedzę w rozwiązywaniu poniższych problemów.
Zadanie: Z proponowanych równań nazwij numery tych, które są równaniami koła. A jeśli równanie jest równaniem koła, nazwij współrzędne środka i wskaż promień.
Nie każde równanie drugiego stopnia z dwiema zmiennymi definiuje koło.
4x² + y² \u003d 4-równanie elipsy.
x²+y²=0-kropka.
x² + y² \u003d -4-to równanie nie definiuje żadnej figury.
Chłopaki! Co musisz wiedzieć, aby napisać równanie na okrąg?
Rozwiąż problem nr 966 s. 245 (podręcznik).
Nauczyciel wzywa ucznia do tablicy.
Czy dane podane w stanie problemu wystarczą do sporządzenia równania okręgu?
Zadanie:
Napisz równanie dla okręgu o środku i średnicy 8.
Zadanie : rysuje okrąg.
Centrum ma współrzędne?
Określ promień... i zbuduj
Zadanie na stronie 243 (podręcznik) jest rozumiany ustnie.
Korzystając z planu rozwiązywania problemów ze strony 243, rozwiąż problem:
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie A(3;2), jeśli okrąg przechodzi przez punkt B(7;5).
1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - równanie okręgu; (5; 3), r \u003d 6.
2) (x-1)² + y² \u003d 49 - równanie okręgu (1; 0), r \u003d 7.
3) x² + y² \u003d 7 - równanie okręgu; (0; 0), r \u003d √7.
4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d równanie 2-kołowe; (-3;8),r=√2.
5) 4x² + y² \u003d 4 nie jest równaniem koła.
6) x² + y² = 0- nie jest równaniem koła.
7) x² + y² = -4- nie jest równaniem okręgu.
Poznaj współrzędne środka koła.
Długość promienia.
Podstaw współrzędne środka i długość promienia do ogólnego równania okręgu.
Rozwiąż zadanie nr 966 s. 245 (podręcznik).
Dość danych.
Rozwiązują problem.
Ponieważ średnica koła jest dwukrotnością jego promienia, to r=8÷2=4. Dlatego x² + y² = 16.
Wykonaj budowę kręgów
Praca podręcznikowa. Zadanie na stronie 243.
Biorąc pod uwagę: A (3; 2) - środek koła; В(7;5)є(А;r)
Znajdź: równanie okręgu
Rozwiązanie: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²
r² \u003d (x -3)² + (y -2)²
r = AB, r² = AB²
r² =(7-3)²+(5-2)²
r²=25
(x -3)² + (y -2)² \u003d 25
Odpowiedź: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25
zjeżdżalnia 10-13
Rozwiązywanie typowych problemów poprzez wypowiadanie rozwiązania głośną mową.
Nauczyciel wzywa jednego ucznia, aby spisał wynikowe równanie.
Wróć do slajdu 9
Omówienie planu rozwiązania tego problemu.
Ślizgać się. piętnaście. Nauczyciel wzywa jednego ucznia do tablicy, aby rozwiązać ten problem.
slajd 16.
slajd 17.
5. Podsumowanie lekcji.
5 minut
Refleksja zajęć w klasie.
Praca domowa: §3 pkt 91, pytania kontrolne nr 16,17.
Zadania nr 959(b,d,e), 967.
Zadanie do oceny dodatkowej (zadanie problemowe): Skonstruuj okrąg podany przez równanie
x² + 2x + y² -4y = 4.
O czym rozmawialiśmy na zajęciach?
Co chciałeś otrzymać?
Jaki był cel lekcji?
Jakie zadania może rozwiązać nasze „odkrycie”?
Który z Was uważa, że osiągnąłeś cel postawiony przez nauczyciela na lekcji o 100%, o 50%; nie osiągnął celu...?
Cieniowanie.
Zapisz pracę domową.
Uczniowie odpowiadają na pytania zadane przez nauczyciela. Przeprowadź samoocenę własnego działania.
Uczniowie muszą wyrazić jednym słowem rezultat i sposoby jego osiągnięcia.