Cirkel vergelijking. Vergelijking van een cirkel en een rechte lijn Stel de vergelijkingen op van een cirkel die doorgaat
Het doel van de les: de vergelijking van een cirkel introduceren, leerlingen leren een cirkelvergelijking op te stellen volgens een voltooide tekening, een cirkel bouwen volgens een gegeven vergelijking.
Apparatuur: interactief bord.
Lesplan:
- Organisatorisch moment - 3 min.
- Herhaling. Organisatie van mentale activiteit - 7 min.
- Uitleg van nieuw materiaal. Afleiding van de cirkelvergelijking - 10 min.
- Consolidatie van het bestudeerde materiaal - 20 min.
- Lessamenvatting - 5 min.
Tijdens de lessen
2. Herhaling:
− (Bijlage 1 schuif 2) noteer de formule voor het vinden van de coördinaten van het midden van het segment;
− (Dia 3) Z schrijf de formule voor de afstand tussen punten (de lengte van het segment).
3. Uitleg van nieuw materiaal.
(Dia's 4 - 6) Definieer de vergelijking van een cirkel. Leid de vergelijkingen af van een cirkel met het middelpunt op een punt ( a;b) en gecentreerd op de oorsprong.
(X – a ) 2 + (Bij – b ) 2 = R 2 − cirkelvergelijking met middelpunt Met (a;b) , straal R , X en Bij – coördinaten van een willekeurig punt op de cirkel .
X 2 + ja 2 = R 2 is de vergelijking van een cirkel met het middelpunt op de oorsprong.
(dia 7)
Om de vergelijking van een cirkel te schrijven, heb je nodig:
- ken de coördinaten van het centrum;
- ken de lengte van de straal;
- vervang de coördinaten van het middelpunt en de lengte van de straal in de cirkelvergelijking.
4. Probleemoplossing.
Stel in taken nr. 1 - nr. 6 de vergelijkingen van de cirkel op volgens de voltooide tekeningen.
(Dia 14)
№ 7. Vul de tabel in.
(dia 15)
№ 8. Construeer cirkels in het notitieboek gegeven door de vergelijkingen:
a) ( X – 5) 2 + (Bij + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (Bij– 7) 2 = 7 2 .
(Dia 16)
№ 9. Vind de coördinaten van het middelpunt en de lengte van de straal als AB is de diameter van de cirkel.
Gegeven: | Beslissing: | ||
R | Centrum coördinaten | ||
1 | MAAR(0 ; -6) BIJ(0 ; 2) |
AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 . |
MAAR(0; -6) BIJ(0 ; 2) Met(0 ; – 2) – centrum |
2 | MAAR(-2 ; 0) BIJ(4 ; 0) |
AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6. |
MAAR (-2;0) BIJ (4 ;0) Met(1 ; 0) – centrum |
(Dia 17)
№ 10. Schrijf de vergelijking van een cirkel met het middelpunt op de oorsprong die door het punt gaat Tot(-12;5).
Beslissing.
R2 = OK 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;
Cirkelvergelijking: x 2 + y 2 = 169 .
(dia 18)
№ 11. Schrijf een vergelijking voor een cirkel die door de oorsprong gaat en gecentreerd is op het punt Met(3; - 1).
Beslissing.
R2= besturingssysteem 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Cirkelvergelijking: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
(Dia 19)
№ 12. Schrijf de vergelijking van een cirkel met een middelpunt MAAR(3;2) passeren BIJ(7;5).
Beslissing.
1. Het middelpunt van de cirkel - MAAR(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB
= 5;
3. Cirkelvergelijking ( X – 3) 2 + (Bij − 2) 2
= 25.
(dia 20)
№ 13. Controleer of punten liggen MAAR(1; -1), BIJ(0;8), Met(-3; -1) op de cirkel die wordt gegeven door de vergelijking ( X + 3) 2 + (Bij − 4) 2 = 25.
Beslissing.
l. Vervang de coördinaten van het punt MAAR(1; -1) in de cirkelvergelijking:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - gelijkheid is onjuist, wat betekent MAAR(1; -1) liegt niet op de cirkel gegeven door de vergelijking ( X + 3) 2 +
(Bij −
4) 2 =
25.
II. Vervang de coördinaten van het punt BIJ(0;8) in de cirkelvergelijking:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
BIJ(0;8)leugens X + 3) 2 +
(Bij − 4) 2
=
25.
III. Vervang de coördinaten van het punt Met(-3; -1) in de cirkelvergelijking:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - gelijkheid is waar, dus Met(-3; -1) leugens op de cirkel gegeven door de vergelijking ( X + 3) 2 +
(Bij − 4) 2
=
25.
Samenvatting van de les.
- Herhaal: vergelijking van een cirkel, vergelijking van een cirkel met het middelpunt in de oorsprong.
- (Dia 21) Huiswerk.
Definitie 1 . Numerieke as ( getallenlijn, coördinaatlijn) Ox wordt een rechte lijn genoemd waarop het punt O is gekozen referentiepunt (oorsprong van coördinaten)(fig.1), richting
O → x
Vermeld als positieve richting en een segment is gemarkeerd, waarvan de lengte wordt genomen als eenheid van lengte.
Definitie 2 . Het segment, waarvan de lengte wordt genomen als een lengte-eenheid, wordt schaal genoemd.
Elk punt van de numerieke as heeft een coördinaat, wat een reëel getal is. De coördinaat van het punt O is gelijk aan nul. De coördinaat van een willekeurig punt A dat op de straal Ox ligt, is gelijk aan de lengte van het segment OA. De coördinaat van een willekeurig punt A van de numerieke as, niet liggend op de straal Ox , is negatief en is in absolute waarde gelijk aan de lengte van het segment OA .
Definitie 3 . Rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem Oxy op het vlak bel de twee onderling loodrecht numerieke assen Ox en Oy met dezelfde schaal en gemeenschappelijke oorsprong op het punt O bovendien zodanig dat de rotatie van de straal Ox over een hoek van 90 ° met de straal Oy wordt uitgevoerd in de richting tegen de klok in(Figuur 2).
Opmerking . Het rechthoekige cartesiaanse coördinatensysteem Oxy in figuur 2 heet rechter coördinatenstelsel, In tegenstelling tot linker coördinatenstelsels, waarbij de rotatie van de straal Ox onder een hoek van 90° ten opzichte van de straal Oy met de klok mee wordt uitgevoerd. In deze gids gaan we overweeg alleen juiste coördinatenstelsels zonder het in het bijzonder te noemen.
Als we een systeem van rechthoekige Cartesische coördinaten Oxy op het vlak introduceren, dan krijgt elk punt van het vlak twee coördinaten – abscis en ordinaat, die als volgt worden berekend. Laat A een willekeurig punt van het vlak zijn. Laten we loodlijnen laten vallen vanaf punt A AA 1 en AA 2 naar respectievelijk de lijnen Ox en Oy (Fig. 3).
Definitie 4 . De abscis van punt A is de coördinaat van het punt EEN 1 op de numerieke as Ox, de ordinaat van punt A is de coördinaat van het punt EEN 2 op de numerieke as Oy .
Aanwijzing . Coördinaten (abscis en ordinaat) van een punt A in het rechthoekige cartesiaanse coördinatensysteem Oxy (Fig. 4) wordt meestal aangeduid met EEN(x;ja) of EEN = (x; ja).
Opmerking . Punt O, genaamd oorsprong, heeft coördinaten O(0 ; 0) .
Definitie 5 . In het rechthoekige cartesiaanse coördinatensysteem Oxy wordt de numerieke as Ox de abscis genoemd en de numerieke as Oy de ordinaat-as (Fig. 5).
Definitie 6 . Elk rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem verdeelt het vlak in 4 kwarten (kwadranten), waarvan de nummering is weergegeven in figuur 5.
Definitie 7 . Een vlak waarop een rechthoekig Cartesiaans coördinatenstelsel is gegeven heet coördinaatvlak.
Opmerking . De as van de abscis wordt gegeven op het coördinatenvlak door de vergelijking ja= 0 , de y-as wordt gegeven op het coördinatenvlak door de vergelijking x = 0.
Verklaring 1 . Afstand tussen twee punten coördinaatvlak
EEN 1 (x 1 ;ja 1) en EEN 2 (x 2 ;ja 2)
berekend volgens de formule
Bewijs . Overweeg figuur 6.
Laat de cirkel een straal hebben , en het middelpunt is in het punt
. Punt
ligt op de cirkel dan en slechts dan als de modulus van de vector
gelijk aan , d.w.z. De laatste gelijkheid geldt als en slechts als
Vergelijking (1) is de gewenste cirkelvergelijking.
De vergelijking van een rechte die door een bepaald punt gaat, staat loodrecht op een gegeven vector
loodrecht op de vector
.
Punt
en
zijn loodrecht. Vectoren
en
zijn loodrecht dan en slechts als hun puntproduct nul is, d.w.z.
. Met behulp van de formule voor het berekenen van het scalaire product van vectoren gegeven door hun coördinaten, schrijven we de vergelijking van de gewenste rechte lijn in de vorm
Overweeg een voorbeeld. Vind de vergelijking van een rechte lijn die er doorheen gaat
het midden van het segment AB staat loodrecht op dit segment als de coördinaten van de punten respectievelijk gelijk zijn aan A (1; 6), B (5; 4).
We zullen als volgt redeneren. Om de vergelijking van een rechte lijn te vinden, moeten we het punt weten waardoor deze rechte lijn gaat, en de vector loodrecht op deze rechte. De vector loodrecht op deze lijn zal de vector zijn, aangezien, afhankelijk van de toestand van het probleem, de lijn loodrecht staat op het segment AB. punt
we bepalen uit de voorwaarde dat de lijn door het middelpunt van AB gaat. We hebben . Dus
en de vergelijking zal de vorm aannemen.
Laten we de vraag verduidelijken of deze lijn door het punt M(7;3) gaat.
We hebben , wat betekent dat deze lijn niet door het opgegeven punt gaat.
Vergelijking van een rechte die door een gegeven punt gaat, evenwijdig aan een gegeven vector
Laat de lijn door het punt gaan
evenwijdig aan de vector
.
Punt
ligt op een lijn dan en slechts dan als de vectoren
en
collineair. Vectoren
en
zijn collineair dan en slechts dan als hun coördinaten proportioneel zijn, d.w.z.
(3)
De resulterende vergelijking is de vergelijking van de gewenste rechte lijn.
Vergelijking (3) kan worden weergegeven als
, waar neemt elke waarde aan
.
Daarom kunnen we schrijven:
, waar
(4)
Het stelsel vergelijkingen (4) wordt de parametrische vergelijkingen van de rechte lijn genoemd.
Overweeg een voorbeeld. Zoek de vergelijking van een rechte lijn die door de punten gaat. We kunnen de vergelijking van een rechte lijn construeren als we een punt kennen en een vector evenwijdig aan of loodrecht daarop. Er zijn twee punten beschikbaar. Maar als twee punten op een lijn liggen, dan is de vector die ze verbindt evenwijdig aan deze lijn. Daarom gebruiken we vergelijking (3), met als vector
vector
. We krijgen
(5)
Vergelijking (5) wordt de vergelijking van een rechte lijn genoemd die door twee gegeven punten gaat.
Algemene vergelijking van een rechte lijn
Definitie. De algemene vergelijking van een eerste-orde lijn op een vlak is een vergelijking van de vorm
, waar
.
Stelling. Elke rechte lijn in het vlak kan worden gegeven als een eerste-orde lijnvergelijking, en elke eerste-orde lijnvergelijking is een vergelijking van een rechte lijn in het vlak.
Het eerste deel van deze stelling is eenvoudig te bewijzen. Op elke lijn kunt u een punt specificeren
vector loodrecht daarop
. Dan heeft volgens (2) de vergelijking van zo'n rechte lijn de vorm aanduiden
. Dan zal de vergelijking de vorm aannemen
.
We gaan nu naar het tweede deel van de stelling. Laat er een vergelijking zijn
, waar
. Voor de zekerheid gaan we ervan uit:
.
Laten we de vergelijking herschrijven in de vorm:
;
Overweeg een punt in het vliegtuig
, waar
. Dan heeft de resulterende vergelijking de vorm , en is de vergelijking van een rechte lijn die door het punt gaat
loodrecht op de vector
. De stelling is bewezen.
Tijdens het bewijzen van de stelling hebben we gaandeweg bewezen:
Uitspraak. Als er een lineaire vergelijking is
, dan de vector
loodrecht op deze lijn.
Typ vergelijking
wordt de algemene vergelijking van een rechte lijn in een vlak genoemd.
Laat er een lijn zijn
en punt
. Het is nodig om de afstand van het opgegeven punt tot de lijn te bepalen.
Overweeg een willekeurig punt
op een rechte lijn. We hebben
. Afstand vanaf het punt
naar de rechte lijn is gelijk aan de module van de projectie van de vector
per vector
loodrecht op deze lijn. We hebben
,
transformeren, we krijgen de formule:
Laat twee rechte lijnen gegeven door de algemene vergelijkingen
,
. dan de vectoren
loodrecht op respectievelijk de eerste en tweede lijn. Injectie
tussen lijnen is gelijk aan de hoek tussen vectoren
,
.
Dan is de formule om de hoek tussen de lijnen te bepalen:
.
De voorwaarde van loodrechtheid van lijnen heeft de vorm:
.
Lijnen zijn evenwijdig of vallen samen als en slechts dan als de vectoren
collineair. Waarin de voorwaarde van samenvallen van lijnen heeft de vorm:
,
en de toestand van geen snijpunt wordt geschreven als:
. Bewijs zelf de laatste twee voorwaarden.
Laten we het gedrag van de rechte lijn onderzoeken volgens zijn algemene vergelijking.
Laat de algemene vergelijking van een rechte lijn worden gegeven
. Als een
, dan gaat de lijn door de oorsprong.
Beschouw het geval waarin geen van de coëfficiënten gelijk is aan nul
. We herschrijven de vergelijking in de vorm:
,
,
Waar
. Ontdek de betekenis van de parameters
. Zoek de snijpunten van de lijn met de coördinaatassen. Bij
we hebben
, en wanneer
we hebben
. D.w.z
- dit zijn de segmenten die worden afgesneden door een rechte lijn op de coördinaatassen. Daarom is de vergelijking
wordt de vergelijking van een rechte lijn in segmenten genoemd.
Wanneer
we hebben
. Wanneer
we hebben
. Dat wil zeggen, de lijn loopt evenwijdig aan de as .
Herhaal dat helling van een rechte lijn
heet de tangens van de hellingshoek van deze lijn aan de as
. Laat de rechte lijn afsnijden op de as lijnstuk en heeft een helling . laat het punt
liegt hierover
Dan
==. En de vergelijking van een rechte lijn wordt geschreven in de vorm
.
Laat de lijn door het punt gaan
en heeft een helling . laat het punt
ligt op deze lijn.
Dan =
.
De resulterende vergelijking wordt de vergelijking van een rechte lijn genoemd die door een bepaald punt met een gegeven helling gaat.
Laat twee regels worden gegeven
,
. aanduiden
is de hoek ertussen. laten zijn ,hellingshoeken naar de X-as van de overeenkomstige lijnen
Dan
=
,
.
Dan heeft de voorwaarde van evenwijdige lijnen de vorm
, en de loodrechtheidsvoorwaarde
Tot slot beschouwen we twee problemen.
Taak . De hoekpunten van de driehoek ABC hebben coördinaten: A(4;2), B(10;10), C(20;14).
Vind: a) de vergelijking en de lengte van de mediaan getrokken uit het hoekpunt A;
b) de vergelijking en de lengte van de hoogte getrokken vanaf hoekpunt A;
c) de vergelijking van de bissectrice getrokken uit het hoekpunt A;
Laten we de vergelijking van de mediaan AM definiëren.
Punt M () is het midden van het segment BC.
Dan , . Daarom heeft punt M coördinaten M(15;17). De mediaanvergelijking in de taal van de analytische meetkunde is de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A (4; 2) evenwijdig aan de vector = (11; 15) gaat. Dan is de mediaanvergelijking Mediane lengte AM= .
De AS-hoogtevergelijking is de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A(4;2) loodrecht op de vector =(10;4) gaat. Dan is de hoogtevergelijking 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
De lengte van de hoogte is de afstand van het punt A (4; 2) tot de rechte lijn BC. Deze rechte gaat door het punt B(10;10) evenwijdig aan de vector =(10;4). De vergelijking is , 2x-5j+30=0. De afstand AS van het punt A(4;2) tot de rechte BC is dus gelijk aan AS= .
Om de vergelijking van de bissectrice te bepalen, vinden we een vector evenwijdig aan deze lijn. Hiervoor gebruiken we de eigenschap van de diagonaal van een ruit. Als eenheidsvectoren opzij worden gezet van punt A en gelijk gericht zijn met vectoren, dan zal een vector gelijk aan hun som evenwijdig aan de bissectrice zijn. Dan hebben we =+.
={6;8}, , ={16,12}, .
Dan = De vector = (1; 1), collineair aan de gegeven, kan dienen als de richtingsvector van de gewenste rechte lijn. Dan heeft de vergelijking van de gewenste lijn x-y-2=0 gezien.
Taak. De rivier stroomt in een rechte lijn door de punten A(4;3) en B(20;11). Roodkapje woont op punt C(4;8), en haar grootmoeder woont op punt D(13;20). Elke ochtend haalt Roodkapje een lege emmer van het huis, gaat naar de rivier, haalt water en brengt het naar haar grootmoeder. Vind de kortste weg voor Roodkapje.
Laten we het punt E zoeken, symmetrisch ten opzichte van de grootmoeder, ten opzichte van de rivier.
Om dit te doen, vinden we eerst de vergelijking van de rechte lijn waarlangs de rivier stroomt. Deze vergelijking kan worden beschouwd als de vergelijking van een rechte lijn die door het punt A(4;3) evenwijdig aan de vector gaat. Dan heeft de vergelijking van de rechte AB de vorm.
Vervolgens vinden we de vergelijking van de lijn DE die door het punt D loodrecht op AB gaat. Het kan worden beschouwd als de vergelijking van een rechte lijn die door het punt D gaat, loodrecht op de vector
. We hebben
Laten we nu het punt S zoeken - de projectie van het punt D op de lijn AB, als het snijpunt van de lijnen AB en DE. We hebben een stelsel vergelijkingen
.
Daarom heeft punt S coördinaten S(18;10).
Aangezien S het middelpunt is van het segment DE, dan is .
Insgelijks.
Daarom heeft punt E coördinaten E(23;0).
Laten we de vergelijking van de lijn CE zoeken, met de coördinaten van twee punten van deze lijn
We vinden het punt M als het snijpunt van de lijnen AB en CE.
We hebben een stelsel vergelijkingen
.
Daarom heeft punt M coördinaten
.
Onderwerp 2 Het concept van de oppervlaktevergelijking in de ruimte. Bol vergelijking. De vergelijking van een vlak dat door een bepaald punt gaat, staat loodrecht op een gegeven vector. De algemene vergelijking van het vlak en zijn studie Conditie van parallellisme van twee vlakken. De afstand van een punt tot een vlak. Het concept van de lijnvergelijking. Rechte lijn in de ruimte. Canonieke en parametrische vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte. Vergelijkingen van een rechte die door twee gegeven punten gaat. Condities van parallelliteit en loodrechtheid van een lijn en een vlak.
Laten we eerst het concept van een oppervlaktevergelijking in de ruimte definiëren.
Laat in de ruimte
enig oppervlak wordt gegeven . De vergelijking
heet de oppervlaktevergelijking als aan twee voorwaarden is voldaan:
1.voor elk punt
met coördinaten
aan de oppervlakte liggen,
, dat wil zeggen, de coördinaten voldoen aan de oppervlaktevergelijking;
2. elk punt
, waarvan de coördinaten voldoen aan de vergelijking
, ligt aan de lijn.
Analytische geometrie biedt uniforme methoden voor het oplossen van geometrische problemen. Om dit te doen, worden alle gegeven en gewenste punten en lijnen naar hetzelfde coördinatensysteem verwezen.
In een coördinatensysteem kan elk punt worden gekenmerkt door zijn coördinaten, en elke lijn door een vergelijking met twee onbekenden, waarvan deze lijn een grafiek is. Zo wordt het geometrische probleem teruggebracht tot een algebraïsch probleem, waarbij alle rekenmethoden goed ontwikkeld zijn.
Een cirkel is een verzameling punten met één specifieke eigenschap (elk punt van de cirkel ligt op gelijke afstand van één punt, het middelpunt genoemd). De cirkelvergelijking moet deze eigenschap weerspiegelen, aan deze voorwaarde voldoen.
De geometrische interpretatie van de vergelijking van een cirkel is de lijn van een cirkel.
Als we een cirkel in een coördinatensysteem plaatsen, dan voldoen alle punten van de cirkel aan één voorwaarde - de afstand van hen tot het middelpunt van de cirkel moet hetzelfde zijn en gelijk aan de cirkel.
Cirkel gecentreerd op een punt MAAR en straal R in het coördinatenvlak geplaatst.
Als de coördinaten van het centrum (a;b) , en de coördinaten van een willekeurig punt op de cirkel (x; y) , dan heeft de cirkelvergelijking de vorm:
Als het kwadraat van de straal van een cirkel gelijk is aan de som van de gekwadrateerde verschillen van de corresponderende coördinaten van een willekeurig punt op de cirkel en zijn middelpunt, dan is deze vergelijking de vergelijking van een cirkel in een vlak coördinatensysteem.
Als het middelpunt van de cirkel samenvalt met het beginpunt, dan is het kwadraat van de straal van de cirkel gelijk aan de som van de kwadraten van de coördinaten van een willekeurig punt op de cirkel. In dit geval heeft de cirkelvergelijking de vorm:
Daarom wordt elke geometrische figuur als een verzameling punten bepaald door een vergelijking die de coördinaten van zijn punten relateert. Omgekeerd, de vergelijking met betrekking tot de coördinaten X en Bij , definieer een lijn als de verzameling punten in het vlak waarvan de coördinaten voldoen aan de gegeven vergelijking.
Voorbeelden van het oplossen van problemen met de vergelijking van een cirkel
Taak. Schrijf een vergelijking voor een gegeven cirkel
Schrijf een vergelijking voor een cirkel met het middelpunt O (2;-3) en met straal 4.Beslissing.
Laten we ons wenden tot de formule van de cirkelvergelijking:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2
Vervang de waarden in de formule.
Cirkelstraal R = 4
Coördinaten van het middelpunt van de cirkel (volgens de conditie)
een = 2
b=-3
We krijgen:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
of
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Taak. Behoort een punt tot de vergelijking van een cirkel?
Controleer of punt erbij hoort EEN(2;3) cirkel vergelijking (x - 2) 2 + (j + 3) 2 = 16 .Beslissing.
Als een punt bij een cirkel hoort, dan voldoen zijn coördinaten aan de cirkelvergelijking.
Om te controleren of een punt met gegeven coördinaten tot de cirkel behoort, vervangen we de coördinaten van het punt in de vergelijking van de gegeven cirkel.
In de vergelijking ( x - 2) 2 + (ja + 3) 2 = 16
we vervangen, volgens de voorwaarde, de coördinaten van het punt A (2; 3), dat wil zeggen
x=2
y=3
Laten we de waarheid van de verkregen gelijkheid controleren
(x - 2) 2 + (ja + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 gelijkheid is verkeerd
Dus het gegeven punt er niet bij horen gegeven cirkelvergelijking.
Lesonderwerp: cirkel vergelijking
Lesdoelen:
Leerzaam: Leid de cirkelvergelijking af en beschouw de oplossing van dit probleem als een van de mogelijkheden om de coördinatenmethode toe te passen.
In staat zijn om:
– De vergelijking van een cirkel herkennen volgens de voorgestelde vergelijking, leerlingen leren een cirkelvergelijking op te stellen volgens een voltooide tekening, een cirkel bouwen volgens een gegeven vergelijking.
Leerzaam : Vorming van kritisch denken.
Leerzaam : Ontwikkeling van het vermogen om algoritmische voorschriften te maken en het vermogen om te handelen in overeenstemming met het voorgestelde algoritme.
In staat zijn om:
– Zie het probleem en bedenk manieren om het op te lossen.
– Vat uw gedachten mondeling en schriftelijk samen.
Soort les: assimilatie van nieuwe kennis.
Apparatuur : PC, multimediaprojector, scherm.
Lesplan:
1. Openingstoespraak - 3 min.
2. Kennis actualiseren - 2 min.
3. Verklaring van het probleem en de oplossing ervan -10 min.
4. Frontale bevestiging van het nieuwe materiaal - 7 min.
5. Zelfstandig werken in groepen - 15 min.
6. Presentatie van het werk: discussie - 5 min.
7. Het resultaat van de les. Huiswerk - 3 minuten.
Tijdens de lessen
Het doel van deze fase: Psychologische stemming van studenten; Betrokkenheid van alle studenten bij het leerproces, het creëren van een successituatie.1. Tijd organiseren.
3 minuten
Jongens! Je ontmoette de cirkel in de 5e en 8e klas. Wat weet je van haar?
Je weet veel, en deze gegevens kunnen worden gebruikt bij het oplossen van geometrische problemen. Maar voor het oplossen van problemen waarbij de coördinatenmethode wordt gebruikt, is dit niet voldoende.Waarom?
Absoluut gelijk.
Daarom is het belangrijkste doel van de les van vandaag om de vergelijking van een cirkel af te leiden uit de geometrische eigenschappen van een bepaalde lijn en deze toe te passen om geometrische problemen op te lossen.
Laat het gaanmotto van de les de woorden van de Centraal-Aziatische wetenschapper-encyclopedist Al-Biruni zullen worden: “Kennis is het meest voortreffelijke bezit. Iedereen streeft ernaar, maar het komt niet vanzelf.”
Schrijf het onderwerp van de les in een notitieboekje.
Definitie van een cirkel.
Straal.
Diameter.
Akkoord. Enzovoort.
De algemene vorm van de cirkelvergelijking kennen we nog niet.
De leerlingen noteren alles wat ze weten over de cirkel.
schuif 2
schuif 3
Het doel van het podium is om een idee te krijgen van de kwaliteit van het leren door studenten van de stof, om de basiskennis te bepalen.
2. Kennis update.
2 minuten
Bij het afleiden van de cirkelvergelijking je hebt de al bekende definitie van een cirkel nodig en een formule waarmee je de afstand tussen twee punten kunt vinden aan de hand van hun coördinaten.Laten we deze feiten onthouden /Pherhaling van materiaal eerder gestudeerd/:
– Noteer de formule voor het vinden van de coördinaten van het middelpunt van een segment.
– Noteer de formule voor het berekenen van de lengte van een vector.
– Noteer de formule voor het vinden van de afstand tussen punten (lengte van het segment).
Records bewerken...
Geometrische training.
gegeven puntenEEN (-1; 7) enIn (7; 1).
Bereken de coördinaten van het middelpunt van het segment AB en de lengte ervan.
Controleert de juistheid van de uitvoering, corrigeert berekeningen ...
Een student aan het bord, en de rest schrijft formules op in notitieboekjes
Een cirkel is een geometrische figuur die bestaat uit alle punten die zich op een bepaalde afstand van een bepaald punt bevinden.
| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²
M(x;y), A(x;y)
Bereken: C (3; 4)
| AB | = 10
Met leg 4
schuif 5
3. Vorming van nieuwe kennis.
12 minuten
Doel: de vorming van het concept - de vergelijking van de cirkel.
Het probleem oplossen:
Een cirkel met middelpunt A(x; y) wordt geconstrueerd in een rechthoekig coördinatenstelsel. M(x; y) - willekeurig punt van de cirkel. Zoek de straal van de cirkel.
Zullen de coördinaten van een ander punt aan deze gelijkheid voldoen? Waarom?
Laten we beide zijden van de vergelijking kwadrateren.Als resultaat hebben we:
r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² is de vergelijking van de cirkel, waarbij (x; y) de coördinaten van het middelpunt van de cirkel zijn, (x; y) de coördinaten van een willekeurige punt dat op de cirkel ligt, r is de straal van de cirkel.
Het probleem oplossen:
Wat is de vergelijking van een cirkel met het middelpunt in de oorsprong?
Dus, wat moet je weten om de vergelijking van een cirkel te schrijven?
Stel een algoritme voor om de cirkelvergelijking op te stellen.
Conclusie: ... schrijf in een notitieboekje.
Een straal is een segment dat het middelpunt van een cirkel verbindt met een willekeurig punt dat op de cirkel ligt. Daarom, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²
Elk punt op een cirkel ligt op die cirkel.
Studenten schrijven in notitieboekjes.
(0;0)-coördinaten van het middelpunt van de cirkel.
x² + y² = r², waarbij r de straal van de cirkel is.
De coördinaten van het middelpunt van de cirkel, de straal, elk punt op de cirkel...
Ze stellen een algoritme voor...
Schrijf het algoritme op in een notitieboekje.
schuif 6
Schuif 7
Schuif 8
De leraar schrijft de vergelijking op het bord.
Schuif 9
4. Primaire bevestiging.
23 minuten
Doel:reproductie door studenten van het materiaal dat zojuist is waargenomen om het verlies van de gevormde ideeën en concepten te voorkomen. Consolidatie van nieuwe kennis, ideeën, concepten op basis van huntoepassingen.
ZUN-besturing
Laten we de opgedane kennis toepassen bij het oplossen van de volgende problemen.
Taak: Noem van de voorgestelde vergelijkingen de getallen van de vergelijkingen van de cirkel. En als de vergelijking de vergelijking van een cirkel is, noem dan de coördinaten van het middelpunt en geef de straal aan.
Niet elke vergelijking van de tweede graad met twee variabelen definieert een cirkel.
4x² + y² \u003d 4-ellips vergelijking.
x²+y²=0-punt.
x² + y² \u003d -4-deze vergelijking definieert geen enkele figuur.
Jongens! Wat moet je weten om een vergelijking voor een cirkel te schrijven?
Het probleem oplossen nr. 966 blz. 245 (handboek).
De leraar roept de leerling naar het bord.
Zijn de gegevens gespecificeerd in de toestand van het probleem voldoende om een vergelijking voor een cirkel op te stellen?
Taak:
Schrijf de vergelijking voor een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met een diameter van 8.
Taak : tekent een cirkel.
Centrum heeft coördinaten?
Bepaal de straal... en bouw
Taak op pagina 243 (leerboek) wordt mondeling begrepen.
Gebruik het probleemoplossingsplan vanaf p.243 om het probleem op te lossen:
Schrijf de vergelijking van een cirkel met het middelpunt op punt A(3;2) als de cirkel door punt B(7;5) gaat.
1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - cirkelvergelijking; (5; 3), r \u003d 6.
2) (x-1)² + y² \u003d 49 - cirkelvergelijking; (1; 0), r \u003d 7.
3) x² + y² \u003d 7 - cirkelvergelijking; (0; 0), r \u003d √7.
4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2-cirkelvergelijking; (-3;8),r=√2.
5) 4x² + y² \u003d 4 is geen vergelijking van een cirkel.
6) x² + y² = 0- is geen vergelijking van een cirkel.
7) x² + y² = -4- is geen vergelijking van een cirkel.
Ken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.
Straal lengte.
Vervang de coördinaten van het middelpunt en de lengte van de straal in de algemene vergelijking van een cirkel.
Los probleem nr. 966 blz. 245 op (leerboek).
Genoeg gegevens.
Ze lossen het probleem op.
Aangezien de diameter van een cirkel tweemaal zijn straal is, is r=8÷2=4. Dus x² + y² = 16.
Voer de constructie van cirkels uit
Leerboek werk. Taak op pagina 243.
Gegeven: A (3; 2) - het middelpunt van de cirkel; В(7;5)є(А;r)
Zoek: cirkelvergelijking
Oplossing: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²
r² \u003d (x -3)² + (y -2)²
r = AB, r² = AB²
r² =(7-3)²+(5-2)²
r²=25
(x -3)² + (y -2)² \u003d 25
Antwoord: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25
dia 10-13
Typische problemen oplossen door de oplossing luid uit te spreken.
De leraar roept een student om de resulterende vergelijking op te schrijven.
Keer terug naar dia 9
Bespreking van een plan om dit probleem op te lossen.
Schuif. vijftien. De leraar roept een leerling naar het bord om dit probleem op te lossen.
schuif 16.
dia 17.
5. Samenvatting van de les.
5 minuten
Reflectie op activiteiten in de klas.
Huiswerk: §3, item 91, controlevragen nr. 16,17.
Problemen nr. 959 (b, d, e), 967.
Taak voor aanvullende beoordeling (probleemtaak): Construeer een cirkel die wordt gegeven door de vergelijking
x² + 2x + y² -4y = 4.
Waar hebben we het in de klas over gehad?
Wat wilde je ontvangen?
Wat was het doel van de les?
Welke taken kunnen worden opgelost door onze "ontdekking"?
Wie van jullie is van mening dat je het doel dat door de leraar in de les is gesteld met 100%, met 50% hebt bereikt; het doel niet bereikt...?
Beoordeling.
Schrijf huiswerk op.
De leerlingen beantwoorden vragen van de docent. Voer een zelfevaluatie uit van hun eigen prestaties.
Studenten moeten het resultaat en de manieren om dit te bereiken in een woord uitdrukken.
- Algemene urineanalyse: verzamelregels, indicatoren en interpretatie van resultaten
- Vossebesblad tijdens de zwangerschap: alle voor- en nadelen Vossebesblad tijdens de zwangerschap van blaasontsteking
- Bevroren zwangerschap: oorzaken, symptomen, behandeling en preventie
- Mening van artsen: onschadelijk en nutteloos