Apļa vienādojums. Apļa un taisnes vienādojums Sastādiet vienādojumus riņķim, kas iet cauri
Nodarbības mērķis: iepazīstināt ar riņķa vienādojumu, iemācīt skolēniem sastādīt apļa vienādojumu pēc gatavā zīmējuma, uzbūvēt apli pēc dotā vienādojuma.
Aprīkojums: interaktīvā tāfele.
Nodarbības plāns:
- Organizatoriskais moments - 3 min.
- Atkārtojums. Garīgās darbības organizēšana - 7 min.
- Jaunā materiāla skaidrojums. Apļa vienādojuma atvasināšana - 10 min.
- Izpētītā materiāla konsolidācija - 20 min.
- Nodarbības kopsavilkums - 5 min.
Nodarbību laikā
2. Atkārtošana:
− (1. pielikums 2. slaids) pierakstiet formulu nogriežņa vidus koordināšu atrašanai;
− (3. slaids) Z uzrakstiet formulu attālumam starp punktiem (nozares garumu).
3. Jaunā materiāla skaidrojums.
(4.–6. slaids) Definējiet apļa vienādojumu. Atvasiniet vienādojumus aplim, kura centrs ir punktā ( a;b) un centrēts uz izcelsmi.
(X – a ) 2 + (plkst – b ) 2 = R 2 − riņķa vienādojums ar centru NO (a;b) , rādiuss R , X un plkst – patvaļīga apļa punkta koordinātas .
X 2 + y 2 = R 2 ir apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā.
(7. slaids)
Lai uzrakstītu apļa vienādojumu, jums ir nepieciešams:
- zināt centra koordinātas;
- zināt rādiusa garumu;
- aizvietojiet centra koordinātas un rādiusa garumu apļa vienādojumā.
4. Problēmu risināšana.
Uzdevumos Nr.1 - Nr.6 sastādiet riņķa vienādojumus atbilstoši gatavajiem zīmējumiem.
(14. slaids)
№ 7. Aizpildiet tabulu.
(15. slaids)
№ 8. Izveidojiet apļus piezīmju grāmatiņā, izmantojot vienādojumus:
a) ( X – 5) 2 + (plkst + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (plkst– 7) 2 = 7 2 .
(16. slaids)
№ 9. Atrodiet centra koordinātas un rādiusa garumu, ja AB ir apļa diametrs.
Ņemot vērā: | Risinājums: | ||
R | Centra koordinātas | ||
1 | BET(0 ; -6) AT(0 ; 2) |
AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 . |
BET(0; -6) AT(0 ; 2) NO(0 ; – 2) – centrs |
2 | BET(-2 ; 0) AT(4 ; 0) |
AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6. |
BET (-2;0) AT (4 ;0) NO(1 ; 0) – centrs |
(17. slaids)
№ 10. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs iet caur punktu Uz(-12;5).
Risinājums.
R2 = Labi 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;
Apļa vienādojums: x 2 + y 2 = 169 .
(18. slaids)
№ 11. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kas iet caur sākuma punktu un kura centrs ir punktā NO(3; - 1).
Risinājums.
R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Apļa vienādojums: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
(19. slaids)
№ 12. Uzrakstiet apļa vienādojumu ar centru BET(3;2) iet cauri AT(7;5).
Risinājums.
1. Apļa centrs - BET(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB
= 5;
3. Apļa vienādojums ( X – 3) 2 + (plkst − 2) 2
= 25.
(20. slaids)
№ 13. Pārbaudiet, vai punkti atrodas BET(1; -1), AT(0;8), NO(-3; -1) uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.
Risinājums.
es. Nomainiet punkta koordinātas BET(1; -1) apļa vienādojumā:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - vienlīdzība ir nepareiza, kas nozīmē BET(1; -1) nemelo uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 +
(plkst −
4) 2 =
25.
II. Nomainiet punkta koordinātas AT(0;8) apļa vienādojumā:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)meli X + 3) 2 +
(plkst − 4) 2
=
25.
III. Nomainiet punkta koordinātas NO(-3; -1) apļa vienādojumā:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - vienlīdzība ir patiesa, tātad NO(-3; -1) meli uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 +
(plkst − 4) 2
=
25.
Nodarbības kopsavilkums.
- Atkārtojiet: apļa vienādojums, apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā.
- (21. slaids) Mājasdarbs.
1. definīcija. Ciparu ass ( skaitļa līnija, koordinātu līnija) Ox sauc par taisni, uz kuras ir izvēlēts punkts O atskaites punkts (koordinātu izcelsme)(1. att.), virziens
O → x
uzskaitīti kā pozitīvs virziens un tiek atzīmēts segments, kura garums tiek pieņemts kā garuma vienība.
2. definīcija. Segmentu, kura garums tiek ņemts par garuma vienību, sauc par mērogu.
Katram skaitliskās ass punktam ir koordināte, kas ir reāls skaitlis. Punkta O koordināte ir vienāda ar nulli. Patvaļīga punkta A koordināte, kas atrodas uz stara Ox, ir vienāda ar nogriežņa OA garumu. Patvaļīga skaitliskās ass punkta A koordināte, kas neatrodas uz stara Ox , ir negatīva un absolūtā vērtībā ir vienāda ar nogriežņa OA garumu.
3. definīcija. Taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma Oxy uz plaknes zvaniet abiem savstarpēji perpendikulāri ciparu asis Ox un Oy ar tāds pats mērogs un kopīga izcelsme punktā O turklāt tā, lai rotācija no stara Ox caur 90° leņķi pret staru Oy tiktu veikta virzienā pretēji pulksteņrādītāja virzienam(2. att.).
Piezīme . Tiek saukta taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma Oxy, kas parādīta 2. attēlā labā koordinātu sistēma, Atšķirībā no kreisās koordinātu sistēmas, kurā tiek veikta sijas Ox rotācija 90° leņķī pret staru Oy pulksteņrādītāja virzienā. Šajā rokasgrāmatā mēs ņemiet vērā tikai pareizās koordinātu sistēmas to īpaši neminot.
Ja plaknē ieviešam kādu taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmu Oxy, tad katrs plaknes punkts iegūs divas koordinātas – abscisa un ordinātas, kuras aprēķina šādi. Lai A ir plaknes patvaļīgs punkts. Nometīsim perpendikulus no punkta A AA 1 un AA 2 uz līnijām Ox un Oy, attiecīgi (3. att.).
4. definīcija. Punkta A abscise ir punkta koordināte A 1 uz skaitliskās ass Ox, punkta A ordināta ir punkta koordināte A 2 uz ciparu ass Oy .
Apzīmējums . Punkta koordinātas (abscisa un ordināta). A taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā Oxy (4. att.) parasti apzīmē A(x;y) vai A = (x; y).
Piezīme . Punkts O, saukts izcelsmi, ir koordinātas O(0 ; 0) .
5 . definīcija . Taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā Oxy Ox skaitlisko asi sauc par abscisu asi, bet Oy skaitlisko asi par ordinātu asi (5. att.).
6 . definīcija . Katra taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēma sadala plakni 4 ceturtdaļās ( kvadrantos), kuru numerācija parādīta 5. attēlā.
7. definīcija. Tiek izsaukta plakne, uz kuras ir dota taisnstūra Dekarta koordinātu sistēma koordinātu plakne.
Piezīme . Abscisu asi koordinātu plaknē norāda vienādojums y= 0 , y ass koordinātu plaknē ir norādīta ar vienādojumu x = 0.
1. paziņojums. Attālums starp diviem punktiem koordinātu plakne
A 1 (x 1 ;y 1) un A 2 (x 2 ;y 2)
aprēķināts saskaņā ar formulu
Pierādījums . Apsveriet 6. attēlu.
Ļaujiet aplim būt ar rādiusu , un tā centrs atrodas punktā
. Punkts
atrodas uz apļa tad un tikai tad, ja vektora modulis
vienāds , tas ir. Pēdējā vienlīdzība ir spēkā tad un tikai tad
Vienādojums (1) ir vēlamais apļa vienādojums.
Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, ir perpendikulārs noteiktam vektoram
perpendikulāri vektoram
.
Punkts
un
ir perpendikulāri. Vektori
un
ir perpendikulāri tad un tikai tad, ja to punktu reizinājums ir nulle, t.i.
. Izmantojot formulu vektoru skalārās reizinājuma aprēķināšanai, ko dod to koordinātas, mēs ierakstām vajadzīgās taisnes vienādojumu formā
Apsveriet piemēru. Atrodiet taisnes vienādojumu, kas iet cauri
segmenta AB vidusdaļa ir perpendikulāra šim segmentam, ja punktu koordinātas ir attiecīgi vienādas ar A (1; 6), B (5; 4).
Mēs strīdēsimies šādi. Lai atrastu taisnes vienādojumu, mums jāzina punkts, caur kuru šī taisne iet, un vektors, kas ir perpendikulārs šai taisnei. Vektors, kas ir perpendikulārs šai taisnei, būs vektors, jo saskaņā ar uzdevuma nosacījumu taisne ir perpendikulāra nogrieznim AB. Punkts
mēs nosakām no nosacījuma, ka taisne iet caur AB viduspunktu. Mums ir . Pa šo ceļu
un vienādojums pieņems formu.
Noskaidrosim jautājumu, vai šī taisne iet caur punktu M(7;3).
Mums ir , kas nozīmē, ka šī līnija neiet caur norādīto punktu.
Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, paralēli noteiktam vektoram
Ļaujiet līnijai iet caur punktu
paralēli vektoram
.
Punkts
atrodas uz līnijas tad un tikai tad, ja vektori
un
kolineārs. Vektori
un
ir kolineāri tad un tikai tad, ja to koordinātas ir proporcionālas, t.i.
(3)
Iegūtais vienādojums ir vēlamās taisnes vienādojums.
Vienādojumu (3) var attēlot kā
, kur ņem jebkuru vērtību
.
Tāpēc mēs varam rakstīt
, kur
(4)
Vienādojumu sistēmu (4) sauc par taisnes parametriskajiem vienādojumiem.
Apsveriet piemēru. Atrodiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem. Mēs varam izveidot taisnes vienādojumu, ja zinām punktu un vektoru, kas ir paralēls vai perpendikulārs tam. Ir pieejami divi punkti. Bet, ja divi punkti atrodas uz taisnes, tad tos savienojošais vektors būs paralēls šai taisnei. Tāpēc mēs izmantojam vienādojumu (3), ņemot par vektoru
vektors
. Mēs saņemam
(5)
Vienādojumu (5) sauc par taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem dotiem punktiem.
Vispārīgais taisnes vienādojums
Definīcija. Pirmās kārtas taisnes plaknē vispārīgais vienādojums ir formas vienādojums
, kur
.
Teorēma. Jebkuru plaknes taisni var norādīt kā pirmās kārtas taisnes vienādojumu, un jebkurš pirmās kārtas taisnes vienādojums ir plaknes taisnes vienādojums.
Šīs teorēmas pirmo daļu ir viegli pierādīt. Jebkurā rindā varat norādīt punktu
vektors, kas ir perpendikulārs tam
. Tad saskaņā ar (2) šādas taisnas līnijas vienādojumam ir forma Apzīmē
. Tad vienādojums iegūs formu
.
Tagad mēs pievēršamies teorēmas otrajai daļai. Lai ir vienādojums
, kur
. Noteiktības labad mēs pieņemsim
.
Pārrakstīsim vienādojumu šādā formā:
;
Apsveriet punktu plaknē
, kur
. Tad iegūtajam vienādojumam ir forma , un tas ir taisnes vienādojums, kas iet caur punktu
perpendikulāri vektoram
. Teorēma ir pierādīta.
Teorēmas pierādīšanas procesā mēs pa ceļam pierādījām
Paziņojums, apgalvojums. Ja ir taisnas līnijas vienādojums
, tad vektors
perpendikulāri šai līnijai.
Tipa vienādojums
sauc par plaknes taisnes vispārīgo vienādojumu.
Lai ir rinda
un punkts
. Ir nepieciešams noteikt attālumu no norādītā punkta līdz līnijai.
Apsveriet patvaļīgu punktu
uz taisnas līnijas. Mums ir
. Attālums no punkta
uz taisni ir vienāds ar vektora projekcijas moduli
uz vektoru
perpendikulāri šai līnijai. Mums ir
,
pārveidojot, mēs iegūstam formulu:
Ļaujiet divām taisnēm, kas dotas ar vispārīgajiem vienādojumiem
,
. Tad vektori
perpendikulāri pirmajai un otrajai līnijai. Stūris
starp līnijām ir vienāds ar leņķi starp vektoriem
,
.
Tad formula leņķa noteikšanai starp līnijām ir:
.
Līniju perpendikulitātes nosacījumam ir šāda forma:
.
Līnijas ir paralēlas vai sakrīt tad un tikai tad, ja vektori
kolineārs. Kurā līniju sakritības nosacījumam ir forma:
,
un nosacījums, ka nav krustojuma, ir uzrakstīts šādi:
. Pierādiet pēdējos divus nosacījumus pats.
Izpētīsim taisnās līnijas uzvedību saskaņā ar tās vispārējo vienādojumu.
Dots vispārējais taisnes vienādojums
. Ja
, tad līnija iet caur izcelsmi.
Apsveriet gadījumu, kad neviens no koeficientiem nav vienāds ar nulli
. Mēs pārrakstām vienādojumu šādā formā:
,
,
Kur
. Uzziniet parametru nozīmi
. Atrodiet taisnes krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Plkst
mums ir
, un tad, kad
mums ir
. Tas ir
- tie ir segmenti, kurus nogriež taisna līnija uz koordinātu asīm. Tāpēc vienādojums
sauc par taisnas līnijas vienādojumu segmentos.
Kad
mums ir
. Kad
mums ir
. Tas ir, līnija būs paralēla asij .
Atgādiniet to taisnas līnijas slīpums
sauc par šīs līnijas slīpuma leņķa pieskari pret asi
. Ļaujiet taisnajai līnijai nogriezties uz ass līnijas segments un ir slīpums . Ļaujiet punktu
gulstas uz šo
Tad
==. Un taisnas līnijas vienādojums tiks ierakstīts formā
.
Ļaujiet līnijai iet caur punktu
un ir slīpums . Ļaujiet punktu
atrodas uz šīs līnijas.
Tad =
.
Iegūto vienādojumu sauc par taisnes vienādojumu, kas iet caur noteiktu punktu ar noteiktu slīpumu.
Dotas divas rindas
,
. Apzīmē
ir leņķis starp tiem. Ļaujiet ,atbilstošo līniju slīpuma leņķi pret X asi
Tad
=
,
.
Tad paralēlo līniju nosacījumam ir forma
, un perpendikularitātes nosacījums
Noslēgumā mēs apsveram divas problēmas.
Uzdevums . Trijstūra ABC virsotnēm ir koordinātes: A(4;2), B(10;10), C(20;14).
Atrodiet: a) vienādojumu un vidusdaļas garumu, kas novilkts no virsotnes A;
b) vienādojums un augstuma garums, kas novilkts no virsotnes A;
c) no virsotnes A novilktās bisektrise vienādojums;
Definēsim mediānas AM vienādojumu.
Punkts M () ir segmenta BC vidusdaļa.
Tad , . Tāpēc punktam M ir koordinātes M(15;17). Mediānas vienādojums analītiskās ģeometrijas valodā ir vienādojums taisnei, kas iet caur punktu A (4; 2) paralēli vektoram = (11; 15). Tad vidējais vienādojums ir Vidējais garums AM= .
AS augstuma vienādojums ir vienādojums taisnei, kas iet caur punktu A(4;2), kas ir perpendikulāra vektoram =(10;4). Tad augstuma vienādojums ir 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Augstuma garums ir attālums no punkta A (4; 2) līdz taisnei BC. Šī taisne iet caur punktu B(10;10) paralēli vektoram =(10;4). Tā vienādojums ir , 2x-5g+30=0. Līdz ar to attālums AS no punkta A(4;2) līdz taisnei BC ir vienāds ar AS= .
Lai noteiktu bisektora vienādojumu, mēs atrodam vektoru, kas ir paralēls šai taisnei. Lai to izdarītu, mēs izmantojam romba diagonāles īpašību. Ja vienību vektori ir novietoti malā no punkta A un ir vienādi vērsti ar vektoriem, tad vektors, kas vienāds ar to summu, būs paralēls bisektrisei. Tad mums ir =+.
={6;8}, , ={16,12}, .
Tad = Vektors = (1; 1), kas ir kolineārs dotajam, var kalpot kā vajadzīgās taisnes virziena vektors. Tad vajadzīgās līnijas vienādojums ir redzējis x-y-2=0.
Uzdevums. Upe tek pa taisnu līniju, kas iet caur punktiem A(4;3) un B(20;11). Sarkangalvīte dzīvo punktā C(4;8), un viņas vecmāmiņa dzīvo punktā D(13;20). Katru rītu Sarkangalvīte paņem no mājas tukšu spaini, aiziet pie upes, paņem ūdeni un aiznes vecmāmiņai. Atrodiet īsāko Sarkangalvītes ceļu.
Atradīsim punktu E, kas ir simetrisks vecmāmiņai, attiecībā pret upi.
Lai to izdarītu, vispirms atrodam taisnes vienādojumu, pa kuru plūst upe. Šo vienādojumu var uzskatīt par taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu A(4;3), kas ir paralēls vektoram. Tad līnijas AB vienādojumam ir forma.
Tālāk mēs atrodam taisnes DE vienādojumu, kas iet caur punktu D, kas ir perpendikulārs AB. To var uzskatīt par taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu D, perpendikulāri vektoram
. Mums ir
Tagad atradīsim punktu S - punkta D projekciju uz taisnes AB, kā taisnes AB un DE krustpunktu. Mums ir vienādojumu sistēma
.
Tāpēc punktam S ir koordinātes S(18;10).
Tā kā S ir segmenta DE viduspunkts, tad .
Tāpat.
Tāpēc punktam E ir koordinātes E(23;0).
Atradīsim taisnes CE vienādojumu, zinot šīs taisnes divu punktu koordinātas
Mēs atrodam punktu M kā līniju AB un CE krustpunktu.
Mums ir vienādojumu sistēma
.
Tāpēc punktam M ir koordinātas
.
2. tēma Virsmas vienādojuma jēdziens telpā. Sfēras vienādojums. Plaknes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, ir perpendikulārs dotajam vektoram. Plaknes vispārīgais vienādojums un tā izpēte Divu plakņu paralēlisma nosacījums. Attālums no punkta līdz plaknei. Līnijas vienādojuma jēdziens. Taisna līnija telpā. Taisnes telpas kanoniskie un parametriskie vienādojumi. Taisnes līnijas vienādojumi, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Taisnes un plaknes paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumi.
Pirmkārt, definēsim virsmas vienādojuma jēdzienu telpā.
Ielaidiet kosmosā
tiek dota kāda virsma . Vienādojums
sauc par virsmas vienādojumu ja ir izpildīti divi nosacījumi:
1. par jebkuru punktu
ar koordinātām
guļ uz virsmas,
, tas ir, tā koordinātas apmierina virsmas vienādojumu;
2. jebkurš punkts
, kuras koordinātas apmierina vienādojumu
, atrodas uz līnijas.
Analītiskā ģeometrija nodrošina vienotas metodes ģeometrisko problēmu risināšanai. Lai to izdarītu, visi norādītie un vēlamie punkti un līnijas tiek attiecinātas uz vienu un to pašu koordinātu sistēmu.
Koordinātu sistēmā katru punktu var raksturot ar tā koordinātām, un katru līniju var raksturot ar vienādojumu ar diviem nezināmajiem, no kuriem šī taisne ir grafiks. Tādējādi ģeometriskā problēma tiek reducēta uz algebrisku, kur visas aprēķina metodes ir labi izstrādātas.
Aplis ir punktu lokuss ar vienu noteiktu īpašību (katrs apļa punkts atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par centru). Apļa vienādojumam ir jāatspoguļo šī īpašība, jāizpilda šis nosacījums.
Apļa vienādojuma ģeometriskā interpretācija ir apļa līnija.
Ja apli ievietojam koordinātu sistēmā, tad visi riņķa punkti apmierina vienu nosacījumu - attālumam no tiem līdz apļa centram jābūt vienādam un vienādam ar apli.
Aplis, kura centrā ir punkts BET un rādiuss R novietots koordinātu plaknē.
Ja centra koordinātas (a;b) , un jebkura riņķa punkta koordinātas (x; y) , tad apļa vienādojumam ir šāda forma:
Ja apļa rādiusa kvadrāts ir vienāds ar jebkura riņķa punkta un tā centra atbilstošo koordinātu atšķirību kvadrātu summu, tad šis vienādojums ir apļa vienādojums plaknes koordinātu sistēmā.
Ja apļa centrs sakrīt ar sākuma punktu, tad apļa rādiusa kvadrāts ir vienāds ar jebkura apļa punkta koordinātu kvadrātu summu. Šajā gadījumā apļa vienādojums ir šāds:
Tāpēc jebkuru ģeometrisku figūru kā punktu lokusu nosaka vienādojums, kas attiecas uz tās punktu koordinātām. Un otrādi, vienādojums, kas attiecas uz koordinātām X un plkst , definējiet līniju kā plaknes punktu lokusu, kuru koordinātas atbilst dotajam vienādojumam.
Piemēri uzdevumu risināšanai par apļa vienādojumu
Uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu noteiktam aplim
Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs ir punktā O (2;-3) un kura rādiuss ir 4.Risinājums.
Pievērsīsimies apļa vienādojuma formulai:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2
Aizvietojiet vērtības formulā.
Apļa rādiuss R = 4
Apļa centra koordinātas (atbilstoši nosacījumam)
a = 2
b=-3
Mēs iegūstam:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
vai
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Uzdevums. Vai punkts pieder apļa vienādojumam
Pārbaudiet, vai punkts pieder A(2;3) apļa vienādojums (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .Risinājums.
Ja punkts pieder riņķim, tad tā koordinātas apmierina riņķa vienādojumu.
Lai pārbaudītu, vai punkts ar noteiktām koordinātām pieder pie apļa, mēs aizvietojam punkta koordinātas ar dotā riņķa vienādojumu.
Vienādojumā ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
mēs atbilstoši nosacījumam aizstājam punkta A koordinātas (2; 3), tas ir
x=2
y=3
Pārbaudīsim iegūtās vienādības patiesumu
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 vienlīdzība ir nepareiza
Tātad dotais punkts nepieder dots riņķa vienādojums.
Nodarbības tēma: Apļa vienādojums
Nodarbības mērķi:
Izglītības: Atvasināt riņķa vienādojumu, uzskatot šī uzdevuma risinājumu kā vienu no koordinātu metodes pielietošanas iespējām.
Būt spējīgam:
– Atpazīt riņķa vienādojumu pēc piedāvātā vienādojuma, iemācīt skolēniem sastādīt riņķa vienādojumu pēc gatavā zīmējuma, uzbūvēt apli pēc dotā vienādojuma.
Izglītojoši : Kritiskās domāšanas veidošanās.
Izglītojoši : Attīstīt prasmi veikt algoritmiskus priekšrakstus un spēju rīkoties saskaņā ar piedāvāto algoritmu.
Būt spējīgam:
– Skatiet problēmu un plānojiet tās risināšanas veidus.
– Apkopojiet savas domas mutiski un rakstiski.
Nodarbības veids: jaunu zināšanu asimilācija.
Aprīkojums Kabīne: dators, multimediju projektors, ekrāns.
Nodarbības plāns:
1. Atklāšanas runa - 3 min.
2. Zināšanu papildināšana - 2 min.
3. Problēmas izklāsts un tās risinājums -10 min.
4. Jaunā materiāla frontālais stiprinājums - 7 min.
5. Patstāvīgais darbs grupās - 15 min.
6. Darba prezentācija: diskusija - 5 min.
7. Nodarbības rezultāts. Mājas darbs - 3 min.
Nodarbību laikā
Šī posma mērķis: Skolēnu psiholoģiskais noskaņojums; Visu skolēnu iesaistīšana mācību procesā, veidojot veiksmes situāciju.1. Laika organizēšana.
3 minūtes
Puiši! Jūs iepazināties ar apli 5. un 8. klasē. Ko tu par viņu zini?
Jūs zināt daudz, un šos datus var izmantot ģeometrisko uzdevumu risināšanā. Bet, lai atrisinātu problēmas, kurās tiek izmantota koordinātu metode, ar to nepietiek.Kāpēc?
Pilnīga taisnība.
Tāpēc šodienas nodarbības galvenais mērķis ir atvasināt riņķa vienādojumu no dotās taisnes ģeometriskajām īpašībām un pielietot to ģeometrisku uzdevumu risināšanai.
Ļaujiet tai ietnodarbības moto kļūs Vidusāzijas zinātnieka-enciklopēdista Al-Biruni vārdi: “Zināšanas ir izcilākā no mantām. Visi uz to tiecas, bet tas nenāk pats no sevis.”
Ierakstiet nodarbības tēmu piezīmju grāmatiņā.
Apļa definīcija.
Rādiuss.
Diametrs.
Akords. utt.
Mēs vēl nezinām apļa vienādojuma vispārējo formu.
Studenti uzskaita visu, ko viņi zina par loku.
2. slaids
3. slaids
Posma mērķis ir iegūt priekšstatu par materiāla apguves kvalitāti studentiem, noteikt pamatzināšanas.
2. Zināšanu atjaunināšana.
2 minūtes
Atvasinot riņķa vienādojumu jums būs nepieciešama jau zināmā apļa definīcija un formula, kas ļauj noteikt attālumu starp diviem punktiem pēc to koordinātām.Atcerēsimies šos faktus /Pmateriāla atkārtošana iepriekš studējis/:
– Pierakstiet formulu, kā atrast segmenta viduspunkta koordinātas.
– Pierakstiet formulu vektora garuma aprēķināšanai.
– Pierakstiet formulu attāluma starp punktiem noteikšanai (segmenta garums).
Notiek ierakstu rediģēšana...
Ģeometriskais treniņš.
Doti punktiA (-1; 7) unIn (7; 1).
Aprēķināt nogriežņa AB viduspunkta un tā garuma koordinātas.
Pārbauda izpildes pareizību, labo aprēķinus ...
Viens skolēns pie tāfeles, bet pārējie pieraksta formulas kladēs
Aplis ir ģeometriska figūra, kas sastāv no visiem punktiem, kas atrodas noteiktā attālumā no konkrētā punkta.
| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²
M(x;y), A(x;y)
Aprēķināt: C (3; 4)
| AB | = 10
NO gulēja 4
5. slaids
3. Jaunu zināšanu veidošana.
12 minūtes
Mērķis: jēdziena - apļa vienādojuma veidošana.
Atrisiniet problēmu:
Aplis ar centru A(x; y) ir izveidots taisnstūra koordinātu sistēmā. M(x; y) - patvaļīgs apļa punkts. Atrodiet apļa rādiusu.
Vai jebkura cita punkta koordinātas apmierinās šo vienlīdzību? Kāpēc?
Kvadrātēsim abas vienādojuma puses.Rezultātā mums ir:
r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² ir apļa vienādojums, kur (x; y) ir apļa centra koordinātas, (x; y) ir patvaļīgas apļa vienādojums. punkts, kas atrodas uz apļa, r ir apļa rādiuss.
Atrisiniet problēmu:
Kāds būs apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā?
Tātad, kas jums jāzina, lai uzrakstītu apļa vienādojumu?
Iesakiet algoritmu riņķa vienādojuma sastādīšanai.
Secinājums: ... ierakstiet piezīmju grāmatiņā.
Rādiuss ir segments, kas savieno apļa centru ar patvaļīgu punktu, kas atrodas uz apļa. Tāpēc r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²
Jebkurš apļa punkts atrodas uz šī apļa.
Skolēni raksta piezīmju grāmatiņās.
(0;0)-riņķa centra koordinātas.
x² + y² = r², kur r ir apļa rādiuss.
Apļa centra, rādiusa, jebkura apļa punkta koordinātas...
Viņi piedāvā algoritmu...
Pierakstiet algoritmu piezīmju grāmatiņā.
6. slaids
7. slaids
8. slaids
Skolotājs uzraksta vienādojumu uz tāfeles.
9. slaids
4. Primārais stiprinājums.
23 minūtes
Mērķis:tikko uztvertā materiāla reproducēšana studentiem, lai novērstu izveidoto ideju un koncepciju zudumu. Jaunu zināšanu, ideju, koncepciju nostiprināšana, pamatojoties uz tāmlietojumprogrammas.
ZUN kontrole
Iegūtās zināšanas pielietosim šādu uzdevumu risināšanā.
Uzdevums: No piedāvātajiem vienādojumiem nosauciet skaitļus tiem, kas ir apļa vienādojumi. Un, ja vienādojums ir apļa vienādojums, tad nosauciet centra koordinātas un norādiet rādiusu.
Ne katrs otrās pakāpes vienādojums ar diviem mainīgajiem definē apli.
4x² + y² \u003d 4-elipses vienādojums.
x²+y²=0-punkts.
x² + y² \u003d -4-šis vienādojums nedefinē nevienu skaitli.
Puiši! Kas jums jāzina, lai uzrakstītu apļa vienādojumu?
Atrisiniet problēmu Nr.966 245.lpp (mācību grāmata).
Skolotājs aicina skolēnu pie tāfeles.
Vai uzdevuma nosacījumā norādītie dati ir pietiekami, lai izveidotu apļa vienādojumu?
Uzdevums:
Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs ir sākuma punktā un kura diametrs ir 8.
Uzdevums : zīmē apli.
Centram ir koordinātes?
Nosakiet rādiusu... un izveidojiet
Uzdevums 243. lpp (mācību grāmata) tiek saprasts mutiski.
Izmantojot problēmu risināšanas plānu no 243. lpp., atrisiniet uzdevumu:
Uzrakstiet vienādojumu riņķim, kura centrs ir punktā A(3;2), ja aplis iet caur punktu B(7;5).
1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - apļa vienādojums; (5; 3), r \u003d 6.
2) (x-1)² + y² \u003d 49 - apļa vienādojums; (1; 0), r \u003d 7.
3) x² + y² \u003d 7 - apļa vienādojums; (0; 0), r \u003d √7.
4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- apļa vienādojums; (-3;8),r=√2.
5) 4x² + y² \u003d 4 nav apļa vienādojums.
6) x² + y² = 0- nav apļa vienādojums.
7) x² + y² = -4- nav apļa vienādojums.
Zināt apļa centra koordinātas.
Rādiusa garums.
Apļa vispārējā vienādojumā aizstājiet centra koordinātas un rādiusa garumu.
Atrisināt uzdevumu Nr.966 245.lpp (mācību grāmata).
Pietiekami daudz datu.
Viņi atrisina problēmu.
Tā kā riņķa diametrs ir divreiz lielāks par tā rādiusu, tad r=8÷2=4. Tāpēc x² + y² = 16.
Veikt apļu uzbūvi
Mācību grāmatu darbs. Uzdevums 243. lpp.
Dots: A (3; 2) - apļa centrs; В(7;5)є(А;r)
Atrast: riņķa vienādojums
Risinājums: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²
r² \u003d (x -3)² + (y -2)²
r = AB, r² = AB²
r² =(7-3)²+(5-2)²
r²=25
(x -3)² + (y -2)² \u003d 25
Atbilde: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25
slaids 10-13
Tipisku problēmu risināšana, izrunājot risinājumu skaļā runā.
Skolotājs aicina vienu studentu pierakstīt iegūto vienādojumu.
Atgriezties uz 9. slaidu
Šīs problēmas risinājuma plāna apspriešana.
Slidkalniņš. piecpadsmit. Skolotājs aicina vienu skolēnu pie tāfeles atrisināt šo problēmu.
16. slaids.
17. slaids.
5. Nodarbības kopsavilkums.
5 minūtes
Aktivitāšu atspoguļošana klasē.
Mājas darbs: §3, 91. punkts, kontroljautājumi Nr.16,17.
Uzdevumi Nr.959(b,d,e),967.
Papildu novērtējuma uzdevums (problēmuzdevums): Izveidojiet apli, kas dots ar vienādojumu
x² + 2x + y² -4y = 4.
Par ko mēs runājām stundā?
Ko tu gribēji saņemt?
Kāds bija nodarbības mērķis?
Kādus uzdevumus var atrisināt mūsu "atklājums"?
Kurš no jums uzskata, ka esat sasniedzis stundā skolotāja izvirzīto mērķi par 100%, par 50%; nesasniedza mērķi...?
Novērtēšana.
Pierakstiet mājasdarbu.
Skolēni atbild uz skolotāja uzdotajiem jautājumiem. Veikt savas darbības pašnovērtējumu.
Studentiem vārdos jāizsaka rezultāts un veidi, kā to sasniegt.