Patuloy na random variable. Mga pamamaraan para sa pagtatakda ng tuluy-tuloy na random na variable. Probability density at ang mga pangunahing katangian nito. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Mga halimbawa ng paglutas ng problema Tukuyin ang mga paraan ng tabular para sa pagtatakda ng batas sa pamamahagi sa

"Maaari kong aminin na ang isang magandang pangunahing tauhang babae, na tumatakas, ay maaaring matagpuan ang kanyang sarili sa isang paliko-liko at mapanganib na landas sa bundok. Ito ay mas malamang, ngunit posible pa rin, na ang tulay sa ibabaw ng kailaliman ay babagsak sa sandaling siya ay tumuntong dito. Ito ay lubos na hindi malamang na sa huling sandali ay kukuha siya ng isang talim ng damo at mag-hang sa kailaliman, ngunit kahit na may ganoong posibilidad maaari akong sumang-ayon. Ito ay medyo mahirap, ngunit maaari ka pa ring maniwala na ang isang guwapong cowboy ay dadaan sa oras na iyon at tutulungan ang mga kapus-palad. Ngunit sa sandaling iyon ay magkakaroon ng isang cameraman na may camera, na handang kunan ang lahat ng mga kapana-panabik na kaganapang ito sa pelikula - hindi ako maniniwala dito, salamat!

Niels Bohr sa cowboy westerns

Ang isa sa mga pangunahing konsepto ng probability theory ay ang konsepto ng isang random variable:

Random na halaga- ito ay isang halaga na, bilang resulta ng pagsubok, ay kukuha sa isa at isa lamang na posibleng halaga, hindi alam nang maaga at depende sa mga random na dahilan na hindi maaaring isaalang-alang nang maaga.

Ipatukoy namin ang mga random na variable sa pamamagitan ng mga titik ng alpabetong Latin X, Y, Z

Ang random variable ay:

discrete

tuloy-tuloy

halo-halong (discrete-
tuloy-tuloy)

Halimbawa: dais. Ang na-drop na numero ay isang random na variable na maaaring tumagal ng isa sa mga posibleng value — 1, 2, 3, 4, 5 o 6 na may pantay na posibilidad*.

Halimbawa: taas ng mga mag-aaral - ang taas ng isang mag-aaral ay maaaring tumagal sa anumang halaga mula sa numerical range na 1 m hanggang 2.5 m. Ang bilang ng mga posibleng halaga ay walang katapusan.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable

Upang tukuyin ang isang discrete random variable, hindi sapat na ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito; dapat ding ipahiwatig ng isa ang kanilang posibilidad.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable tinatawag na pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang mga probabilidad ng kanilang paglitaw.

Ang batas sa pamamahagi ay maaaring tukuyin sa isang talahanayan, sa analytically (sa anyo ng isang formula) o graphically (sa anyo ng isang polygon ng pamamahagi).

Isaalang-alang ang isang random na variable X, na kumukuha ng mga halaga x 1, x2, x 3 . x n na may ilang posibilidad pi , saan i= 1..n. Kabuuan ng mga probabilidad pi katumbas ng 1.

Talaan ng korespondensiya ng mga halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga probabilidad ng form

tinawag malapit sa distribusyon ng isang discrete random variable o malapit lang sa distribution. Ang talahanayan na ito ay ang pinaka-maginhawang paraan ng pagtukoy ng isang discrete random variable.

Ang graphical na representasyon ng talahanayang ito ay tinatawag polygon ng pamamahagi. Ang mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga kaukulang probabilities ay naka-plot kasama ang ordinate axis.

Mga numerical na katangian ng discrete random variable

Ang batas sa pamamahagi ay ganap na nagpapakilala sa isang discrete random variable. Gayunpaman, kapag imposibleng matukoy ang batas sa pamamahagi, o hindi ito kinakailangan, maaaring limitahan ng isa ang sarili sa paghahanap ng mga halaga, na tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable:

• Inaasahang halaga,
• pagpapakalat,
• Karaniwang lihis

Tinutukoy ng mga halagang ito ang ilang average na halaga sa paligid kung saan pinagsama-sama ang mga halaga ng isang random na variable, at ang antas ng kanilang pagpapakalat sa paligid ng average na halaga na ito.

Pag-asa sa matematika M Ang discrete random variable ay ang average na halaga ng random variable, katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga ng random variable at ang kanilang mga probabilities.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika:

Upang ilarawan ang maraming praktikal na mahahalagang katangian ng isang random na variable, kinakailangang malaman hindi lamang ang inaasahan sa matematika nito, kundi pati na rin ang paglihis ng mga posibleng halaga nito mula sa average na halaga.

Pagkakaiba-iba ng isang random na variable- isang sukatan ng pagkalat ng isang random na variable, katumbas ng mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito.

Isinasaalang-alang ang mga katangian ng inaasahan sa matematika, madaling ipakita iyon

Magiging natural na isaalang-alang hindi ang squared deviation ng isang random variable mula sa kanyang mathematical expectation, kundi ang deviation lang. Gayunpaman, ang mathematical na inaasahan ng paglihis na ito ay zero. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang ilang posibleng mga paglihis ay positibo, ang iba ay negatibo, at bilang resulta ng kanilang magkaparehong pagkansela, ang zero ay nakuha. Maaaring kunin ng isa bilang isang sukatan ng pagpapakalat ang matematikal na inaasahan ng modulus ng paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito, ngunit bilang isang panuntunan, ang mga aksyon na nauugnay sa ganap na mga halaga ay humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon.

Mga katangian ng pagpapakalat:

1. Ang pagpapakalat ng pare-pareho ay zero.
2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito.
3. Kung ang x at y mga independiyenteng random na variable, kung gayon ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga variable na ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba.

Karaniwang lihis random variable (minsan ang terminong " standard deviation ng isang random variable Ang "") ay tinatawag na isang numero na katumbas ng

Ang karaniwang paglihis, samakatuwid, ay, tulad ng pagkakaiba, isang sukatan ng pagpapakalat ng pamamahagi, ngunit sinusukat, sa kaibahan sa pagkakaiba, sa parehong mga yunit na ginagamit upang sukatin ang mga halaga ng isang random na variable.

Pag-uulit ng mga pagsubok. Bernoulli formula.

Ang posibilidad na ang isang random na paghagis ng isang barya ay mapunta nang baligtad ay 1/2. Kaya, sa pag-alam sa posibilidad ng isang kaganapan, maaari nating hulaan na kapag ang isang barya ay inihagis ng isang daang beses, ang coat of arms ay lilitaw ng 50 beses? Ito ay hindi kailangang eksaktong 50. Ngunit isang bagay sa paligid na tiyak.

Si Jacob Bernoulli (1654-1705) ay mahigpit na pinatunayan na ang posibilidad na ang isang kaganapan PERO eksaktong dumating k panahon sa panahon ng independyente n pagsubok ay





saan p- ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap PERO, q ay ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan na nagaganap.

flash-library.narod.ru

Paraan para sa pagtukoy ng mga discrete random variable 736

KARAGDAGANG KAUGNAY NA MATERYAL:

Ipagpalagay na kami ay interesado sa isang discrete random variable X. Upang ganap na mailarawan ito, sapat na upang ipahiwatig ang lahat ng posibleng mga halaga nito. X 1 , X 2 , . x n(dito n ay isang ibinigay na integer) at mga probabilidad R X= x i>= p i, saan i = 1, 2, . n kung saan tinatanggap ang mga halagang ito. Karaniwan ang lahat ng mga halagang ito ay naitala sa anyo ng isang talahanayan (Talahanayan 3.1).

Ang talahanayan ay tinatawag na batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable (ihambing ito sa serye ng variation ng isang discrete statistical feature upang makita ang koneksyon sa pagitan ng statistics at probability theory).

Dahil para sa bawat pagpapatupad ng set na ito ng mga kundisyon, ang random variable X maaari lamang kumuha ng isang halaga mula sa isang hanay ng mga posibleng halaga, kung gayon ang mga halagang ito ay kumakatawan sa isang kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan. Pagkatapos, batay sa Corollary 2 mula sa panuntunan ng pagdaragdag ng mga probabilities, ang kundisyon ay dapat masiyahan. Ito ay tinatawag na normalizing condition.

Sa graphically, ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaaring katawanin bilang isang putol na linya - isang polygon (Fig. 3.2) (dito muli, angkop na alalahanin ang variational series).



kanin. 3.2. Graphical na representasyon ng batas ng pamamahagi
discrete random variable

Kung ang hanay ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay walang hanggan, ngunit mabibilang, ang batas sa pamamahagi ay kukuha ng form (Talahanayan 3.2):

Lecture 1_06: Teorya ng probabilidad. mga random na variable

Sa aktwal na paggamit ng probability theory, ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan ay hindi kailanman natugunan. Ang konseptong ito ay kinakailangan para sa teoretikal na pagpapatibay ng mga probabilistikong iskema. Ang mga random na scheme ay madalas na isinasaalang-alang, kung saan ang kaganapan ay ang hitsura ng isang tiyak na numero. Para sa gayong mga scheme, ang konsepto ng isang random na variable ay ipinakilala. Ang konseptong ito ang magiging pokus ng ating panayam. Isasaalang-alang namin ang mga random na variable, mga paraan ng pagtukoy sa mga ito (ang tinatawag na mga batas sa pamamahagi), mga numerical na katangian ng mga random na variable, pati na rin ang pinakakaraniwang mga batas sa pamamahagi.

Ang isang random na variable ay isang pagmamapa ng isang hanay ng mga elementarya na kaganapan sa isang hanay ng mga tunay (o integer) na mga numero

Ang sumusunod na scheme ay ipinapalagay: bilang isang resulta ng isang random na eksperimento, ang isa sa mga elementarya na kaganapan ay napili, ang halaga ng function ay kinakalkula mula dito, at ang halagang ito ay sinusunod. Tinutukoy ng nabanggit na pagmamapa ang mga posibilidad ng paglitaw ng ilang mga halaga ng isang random na variable.

Halimbawa, hayaan ang set ng mga elementary event na binubuo ng dalawang throws ng isang die, na nagbibigay ng 36 elementary na resulta. Hayaang tukuyin ang function na ξ bilang ang kabuuan ng mga halaga na pinagsama sa mga dice. Malinaw, ang gayong random na variable ay maaaring tumagal ng mga halaga mula 2 hanggang 12. Sa kasong ito, ang halaga 2 ay tumutugma sa isang elementarya na kaganapan, at, sabihin nating, ang halaga 9 - apat: (3.6), (4.5), (5.4) at ( 6.3).

Karaniwan, ito ay hindi elementarya na mga kaganapan, ang hanay ng kung saan ay ganap na hindi alam sa amin, ngunit sa halip ay mga random na variable na sinusunod at pinag-aralan. Upang itakda ang kanilang probabilistic na pag-uugali, kailangan mong itakda ang mga probabilidad na ang isang random na variable ay tumatagal ng isang partikular na halaga. Maaari naming tukuyin ang halimbawa ng isang random na variable na isinasaalang-alang namin tulad ng sumusunod:

Subukan ang iyong sarili na gumawa ng isang talahanayan ng mga probabilidad ng kabuuan ng mga puntos ng tatlong paghagis ng isang dice.

Ang pagpapasiya ng mga probabilidad kung saan ang isang random na variable ay tumatagal sa mga halaga nito ay tinatawag na batas ng pamamahagi nito.

Distribution function ng isang random variable

Ang isa sa pinakamahalagang paraan upang itakda ang batas sa pamamahagi ay ang itakda ang function ng pamamahagi.

Ang distribution function ng isang random variable ξ ay ang function

Ang ipinapakita ng larawan
distribution function ng isang random variable na isinasaalang-alang bilang isang halimbawa.

Para sa kalinawan, ang lugar sa ilalim ng graph ng function ay may kulay na kulay abo. Malinaw na nakikita na ang function na ito ay monotonically nodecreasing at piecewise constant. Ito ay may mga pagtalon sa mga punto na tumutugma sa mga halaga na ang posibilidad ay positibo.

Ang ganitong function ng pamamahagi ay madalas na tinatawag na integral. Kapag ito ay tuloy-tuloy at mayroon itong hinalaw, kung gayon ang hinalaw na ito ay madalas na tinatawag na density ng pamamahagi. Kung ang function ng pamamahagi, tulad ng sa aming halimbawa, ay pare-pareho, kung gayon ang isang hanay ng mga jumps ay maaaring gumanap ng papel ng density.

Ang pagtukoy sa isang arbitrary na function ng pamamahagi ay mahirap. Para sa pagiging simple, dalawang diskarte ang ginagamit.

Una, kadalasang maaaring paghigpitan ng isang tao ang sarili sa ilang napakasimpleng katangiang numero ng isang random na variable.

Pangalawa, may mga madalas na nagaganap na mga klase ng probability distribution, at kadalasan, para sa ilang kadahilanang "modelo", mauunawaan ng isa kung saang klase nabibilang ang isang naibigay na pamamahagi. Sa kasong ito, sapat na upang tukuyin ang mga parameter ng pamamahagi na ito.

Isasaalang-alang natin ngayon ang mga pamamaraang ito.

Mga katangian ng mga random na variable

Hayaang maibigay ang isang random na variable ξ, na kumukuha ng isang tiyak na bilang ng mga halaga a 1 , a 2 , . a k may probabilidad
p 1 , p 2 , . p k. Ang mathematical na inaasahan ng random variable na ito ay ang kabuuan Eξ = Σ i Tungkol sa 1: k p i a i .

Kung paano tinutukoy ang inaasahan sa matematika para sa isang mas pangkalahatang kaso, kailangan mong sabihin nang hiwalay: ginagamit ang mga integral, ngunit naturuan ka na na ang integral ay tinukoy sa pamamagitan ng integral sums, at para sa mga random na variable maaari kang magpakilala ng mga discrete random variable na malapit sa kanila. , ang mathematical na mga inaasahan kung saan gaganap ang papel ng integral sums para sa mathematical expectation ng orihinal na random variable.

Ang pag-asa sa matematika, tulad ng makikita mula sa pormula na ito, ay maaaring bigyang-kahulugan bilang sentro ng grabidad ng isang hanay ng mga masa. p i puro sa mga punto a i. Naturally, ang mga katangian nito ay kilala sa amin bilang mga katangian ng sentro ng grabidad:

4. a, ibig sabihin, kung k= 1 , pagkatapos Eξ = a,
5. kung η = cξ , saan c ay pare-pareho, kung gayon Eη = cEξ ,
6. para sa anumang ξ at η, E(ξ + η) = Eξ + Eη .

Ang pagkakaiba ng random variable ay ang matematikal na inaasahan ng squared deviation ng random variable na ito mula sa matematikal na inaasahan nito.

Ang kahulugan na ito sa una ay nagdudulot ng tahimik na katakutan. Sa totoo lang, napaka-convenient. pandiwang paglalarawan mga formula. Ang mga salitang mathematical expectation ay nangangahulugan na dapat tayong sumulat
Dξ = E (.)
paglilinaw ng parisukat
Dξ = E (.) 2
nalalapat na ang paglihis sa ekspresyong nasa panaklong
Dξ = E (. − .) 2
Ang random na variable mula sa inaasahan sa matematika ay nakumpleto ang pagsulat ng formula
Dξ = E (ξ − Eξ) 2

Ang dispersion ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang sandali ng pagkawalang-galaw ng parehong hanay ng mga masa tungkol sa sentro ng grabidad nito. Ang mga katangian nito ay kilala rin sa amin:

7. kung ang isang random na variable na may probabilidad 1 ay kumukuha ng halaga a, pagkatapos Dξ = 0,
8. kung η = cξ , saan c ay pare-pareho, kung gayon Dη = c 2 Dξ .
9. Gusto kong magkaroon ng pagkakapantay-pantay D(ξ + η) = Dξ + Dη , ngunit ito ay totoo lamang para sa kaso ng mga independiyenteng random na variable.

Ang mga random na variable na ξ at η ay tinatawag na independyente kung para sa alinman a at b mga malayang kaganapan

Madaling makita iyon kung susumahin natin n independyente at magkaparehong distributed na mga random na variable na may inaasahan sa matematika a at pagpapakalat b, kung gayon para sa kanilang kabuuan ang inaasahan at pagkakaiba sa matematika ay, ayon sa pagkakabanggit, n a at nb, at para sa arithmetic mean - ayon sa pagkakabanggit a at b/n .

Kaya, kung gusto nating suriin ang ilang numero, na siyang inaasahan sa matematika ng ilang random na variable, maaari nating ayusin ang isang random na pagsubok - obserbahan ang random variable na ito ng maraming beses at kalkulahin ang arithmetic mean. Ang pagkalat nito sa paligid ng tunay na halaga ay bababa sa pagtaas ng bilang ng mga obserbasyon: kung susukatin mo ito ng isang daang beses, bababa ito ng sampung beses (dahil hindi ang pagpapakalat mismo ang mahalaga, ngunit ang ugat nito). Ang katotohanang ito ay sumasailalim sa isang mahalagang computational na paraan ng statistical modeling.

Tandaan na, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga random na kaganapan, ang isa ay maaaring makilala sa pagitan ng mutually independent at pairwise independent random variable. Para sa nabanggit na pag-aari ng mga pagkakaiba-iba, sapat na ang mga random na variable ay independyente sa mga pares. Ginagamit ang iba pang mga katangian, ngunit ito ang pinakamahalaga. Ngayon ay isasaalang-alang namin ang ilang mahahalagang uri ng mga pamamahagi at sa bawat oras na ipahiwatig namin ang kanilang inaasahan sa matematika.

Mga uri ng pamamahagi

Unipormeng pamamahagi

Ang random variable ay ibinahagi nang pantay sa pagitan [ a,b] , saan a kung ang function ng pamamahagi nito
F(x) ay katumbas ng 0 para sa x, 1 sa x > b at linearly nag-iiba mula 0 hanggang 1 sa a .

(a + b)/2 , at ang pagkakaiba ay ( b − a) 2 /12 .

Ang figure ay nagpapakita ng isang plot ng distribution function na ito para sa a= 0 at b = 1 .

Napakahalaga ng batas sa pamamahagi na ito para sa amin, dahil ang lahat ng karaniwang computer sensor ng mga random na variable (pseudo-random na numero) ay nagmomodelo lamang ng mga random na variable, at mula sa kanila ang mga random na variable na kailangan namin ay nilikha.

exponential distribution

Ang isang random na variable ay ipinamamahagi ng exponentially o exponentially kung ito ay hindi-negatibo at F(x) = 1 − exp(−λ x), kung saan ang λ ay isang positibong pare-pareho.

Ang mathematical expectation ng naturang random variable ay λ − 1 , at ang variance ay λ − 2 .

Ang figure ay nagpapakita ng isang plot ng distribution function na ito para sa λ = 3.

Madalas nating natutugunan ang batas sa pamamahagi na ito sa mga aplikasyon, lalo na sa engineering ng radyo at komunikasyon. Sa partikular, madalas na ipinapalagay na ang oras ng pag-uusap ng dalawang subscriber ay ibinahagi ayon sa isang exponential law.

Normal na pamamahagi

Ito ang pinakasikat sa mga karaniwang distribusyon ng probabilidad, at sa unang tingin ay tila kakaiba na ang ganitong kumplikadong pormula ang pinakakaraniwan.

Ang random na variable ay karaniwang ipinamamahagi o ayon sa Gauss kung (sa kanan ay isang larawan ng K. F. Gauss (1777-1855))



Ang function na ito ay depende sa mga parameter a at σ. Ang mathematical na inaasahan ng naturang random variable ay a, at ang pagkakaiba ay σ 2 .



Ang graph ay nagpapakita ng isang karaniwang function na may a= 0 at σ = 1 .

Ang dahilan para sa madalas na paglitaw ng batas na ito sa mga aplikasyon ay kapag nagdaragdag ng mga random na variable, ang distribusyon ng kanilang kabuuan, na itinuturing bilang isang random na variable, ay madalas na lumalapit sa normal.

Hindi ito mangyayari sa ating mga gawain, ngunit ito ay hindi karapat-dapat na hindi banggitin ito.

Pamamahagi ng Bernoulli

Ang pinakasimpleng discrete distribution na ito ay pinangalanan sa Swiss mathematician na si Jacob Bernoulli the Elder (1654-1705), (mayroon ding mas bata na nagtrabaho sa St. Petersburg).

Ang isang random na variable ay ibinahagi ng Bernoulli kung kukuha lamang ito ng dalawang halaga. Karaniwan ang mga halagang ito ay 1, ang posibilidad na kung saan ay p ,
at 0, ang posibilidad na katumbas ng q = 1 − p.

Ang mathematical na inaasahan ng naturang random variable ay p, at ang pagkakaiba ay pq .

Siyempre, ikaw mismo ang gagawa ng ganoong iskedyul.

Ang batas ni Bernoulli ay napaka-maginhawa para sa lahat ng uri ng mga pagtatayo ng modelo, ito ay medyo mas kumplikado kaysa sa partikular na kaso nito - paghahagis ng barya, kung saan p = 1/2 .

Binomial na pamamahagi

Random variable ξ katumbas ng kabuuan n independiyenteng magkaparehong Bernoulli random variable, ay may binomial distribution. Para sa kanya

Ang mathematical na inaasahan ng naturang random variable ay np, at ang pagkakaiba ay npq .

Binomial na pamamahagi na may tumataas na bilang ng mga termino n nagiging halos kapareho sa isang normal na distribusyon.

Kinakailangan lamang na gawing normal ang random variable sa angkop na paraan: ibawas ang mathematical expectation at hatiin sa ugat ng variance, ibig sabihin, sa halip na ξ, isaalang-alang.
η = (ξ — np)(npq) − 1/2 .

Kung may paglaki n probabilidad p bumababa, at sa paraan na ang produkto ay napanatili o nagpapatatag np, nakakakuha kami ng isa pang klasikal na pamamahagi, na ilalarawan namin ngayon.

Pamamahagi ng Poisson

Ang pamamahagi na ito ay iminungkahi ng Pranses na matematiko na si Siméon Poisson (1781-1840), isang honorary member ng St. Petersburg Academy of Sciences.

Ang isang random variable ξ ay may Poisson distribution kung

Ang mathematical expectation ng naturang random variable ay λ, at ang variance ay λ din.



Ang distribusyon ng Poisson ay tipikal para sa isang pamamaraan ng mga bihirang kaganapan - kung saan mayroong maraming random na variable na may distribusyon ng Bernoulli at napakaliit na posibilidad ng isang positibong resulta para sa bawat isa.

Halimbawa, nabanggit na ang bilang ng mga titik na nahuhulog sa isang mailbox na may walang markang sobre ay may pamamahagi ng Poisson.

Mga ehersisyo

Kinukuha ng random variable ang mga halaga 0 na may posibilidad na 0.3, 2 na may posibilidad na 0.2, 4 na may posibilidad na 0.5. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba nito.

Ang dalawang random na variable ay may mathematical expectation na 0 at isang variance ng 1. Hanggang saan maaaring magbago ang variance ng kanilang kabuuan. Bumuo ng isang halimbawa na may pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pagkakaiba ng kabuuan.

Mga tanong sa pagsusulit

Random na mga variable at ang kanilang mga function sa pamamahagi.

Pag-asa at pagpapakalat sa matematika. Ang kanilang mga ari-arian.

www.math.spbu.ru

Blog na pang-edukasyon - lahat para sa pag-aaral

Pag-uulit ng mga eksperimento

Sa praktikal na aplikasyon Ang teorya ng probabilidad ay madalas na humarap sa mga problema kung saan ang parehong eksperimento o katulad na mga eksperimento ay inuulit nang higit sa isang beses. Bilang resulta ng bawat eksperimento, maaaring lumitaw o hindi ang ilang kaganapan A, at hindi kami interesado sa resulta ng bawat indibidwal na eksperimento, ngunit sa kabuuang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A bilang resulta ng isang serye ng mga eksperimento. Sa ganitong mga problema, kinakailangan upang matukoy ang posibilidad ng anumang naibigay na bilang ng mga pagpapakita ng isang kaganapan bilang resulta ng isang serye ng mga eksperimento. Ang mga ito ay malulutas nang simple sa kaso kapag ang mga eksperimento ay independyente.

Ang ilang mga eksperimento ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng isa o isa pang resulta ng bawat isa sa mga eksperimento ay hindi nakasalalay sa kung ano ang mga kinalabasan ng iba pang mga eksperimento.

Maaaring isagawa ang mga independiyenteng eksperimento sa pareho o iba't ibang kondisyon. Sa unang kaso, ang posibilidad ng kaganapan A sa lahat ng mga eksperimento ay pareho Р i (А)=const. Sa pangalawang kaso, ang posibilidad ng kaganapan A ay nagbabago mula sa karanasan hanggang sa karanasan Р i (А)=var. Ang unang kaso ay isang partikular na teorama, at ang pangalawa ay pangkalahatang teorama tungkol sa paulit-ulit na mga eksperimento.

Ang pagbabalangkas ng isang partikular na teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento:
Kung ang n independiyenteng mga eksperimento ay ginanap, sa bawat isa sa kung saan ang kaganapan A ay nangyayari na may posibilidad na p, kung gayon ang posibilidad na ang kaganapan A ay nangyari nang eksaktong m beses ay ipinahayag ng formula:

kung saan ang q = 1 - p, C n m ay ang bilang ng lahat ng kumbinasyon, i.e. ang bilang ng mga paraan kung saan posibleng pumili ng m mula sa n mga eksperimento kung saan naganap ang kaganapang A.

Pangkalahatang formula ng teorama:

kung saan ang z ay isang arbitrary na parameter.

Parehong sa pangkalahatan at sa isang partikular na kaso:

Random na mga variable at batas ng kanilang pamamahagi
Ang isang random na variable ay isang dami na, bilang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal ng isa o isa pang halaga, hindi alam nang maaga kung alin.

Ang mga random na variable ay may dalawang uri:
tuloy-tuloy;
di-tuloy (discrete).

Sa hinaharap, sumang-ayon tayo na tukuyin ang mga random na variable sa pamamagitan ng malalaking titik, at ang kanilang mga posibleng halaga sa pamamagitan ng kaukulang maliliit na titik.
Halimbawa:
Ang X ay ang bilang ng mga hit na may tatlong shot:
x 1 = 0;
x 2 = 1;
x 3 = 2;
x 4 = 3.

Isaalang-alang ang isang discontinuous random variable X na may mga posibleng value x 1 , x 2 , …, x n . Ang bawat isa sa mga halagang ito ay posible, ngunit hindi tiyak, at ang halaga ng X ay maaaring kunin ang bawat isa sa kanila na may ilang posibilidad
X \u003d x 1;
X \u003d x 2;
X \u003d x 3;
X \u003d x 4.

∑P m,n = 1, dahil ang mga hindi magkatugmang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo. Ang kabuuang posibilidad na ito ay sa paanuman ay ibinahagi sa mga indibidwal na halaga. Ang isang random na variable ay ganap na ilalarawan mula sa isang probabilistikong punto ng view kung ang distribusyon na ito ay ibinigay, i.e. ang eksaktong posibilidad ng bawat kaganapan ay nakasaad. Ito ay nagtatatag ng tinatawag na batas ng pamamahagi ng isang random variable.

Ang batas ng pamamahagi ng isang random variable Ang anumang kaugnayan na nagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities ay tinatawag.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discontinuous random variable X ay maaaring ibigay sa mga sumusunod na anyo:
tabular;
analitikal;
graphic.

Ang pinakasimpleng anyo ng pagtatakda ng batas ng pamamahagi ng isang discontinuous random variable X ay isang talahanayan.

mga random na variable. Discrete random variable.
Inaasahang halaga

Ang ikalawang seksyon sa teorya ng posibilidad nakatuon mga random na variable , na literal na sinamahan kami sa bawat artikulo sa paksa. At dumating na ang oras upang malinaw na ipahayag kung ano ito:

Random tinawag halaga, na bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha isa at isa lamang isang numerical value na nakadepende sa mga random na salik at hindi mahuhulaan nang maaga.

Ang mga random na variable ay karaniwang italaga sa pamamagitan ng * , at ang kanilang mga halaga sa kaukulang maliliit na titik na may mga subscript, halimbawa, .

* Minsan ginagamit pati na rin ang mga titik ng Griyego

Nakatagpo kami ng isang halimbawa sa unang aralin sa probability theory, kung saan aktwal naming isinasaalang-alang ang sumusunod na random na variable:

- ang bilang ng mga puntos na mahuhulog pagkatapos maghagis ng dice.

Ang pagsubok na ito ay magreresulta sa isa lang at wala ng iba ang linya, alin ang hindi mahuhulaan (hindi isinasaalang-alang ang mga trick); sa kasong ito, ang random na variable ay maaaring tumagal ng isa sa mga sumusunod na halaga:

- ang bilang ng mga lalaki sa 10 bagong silang.

Malinaw na ang bilang na ito ay hindi alam nang maaga, at sa susunod na sampung anak na ipinanganak ay maaaring mayroong:

O mga lalaki - isa at isa lamang ng mga nakalistang opsyon.

At, upang mapanatili ang hugis, isang maliit na pisikal na edukasyon:

- long jump distance (sa ilang unit).

Kahit na ang master ng sports ay hindi mahuhulaan ito 🙂

Gayunpaman, ano ang iyong mga hypotheses?

Sa lalong madaling panahon hanay ng mga tunay na numero walang katapusan, kung gayon ang random na variable ay maaaring tumagal walang katapusang marami mga halaga mula sa ilang pagitan. At ito ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga nakaraang halimbawa.

Sa ganitong paraan, ipinapayong hatiin ang mga random na variable sa 2 malalaking grupo:

1) Discrete (paputol-putol) random variable - kumukuha ng hiwalay na kinuha, nakahiwalay na mga halaga. Ang bilang ng mga halagang ito tiyak o walang katapusan ngunit mabibilang.

... hindi maintindihan na mga termino ang iginuhit? Ulitin kaagad mga pangunahing kaalaman sa algebra!

2) Continuous random variable - tumatagal lahat mga numerong halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusan na saklaw.

Tandaan : mga pagdadaglat DSV at NSV ay popular sa pang-edukasyon na panitikan

Una, suriin natin ang isang discrete random variable, pagkatapos - tuloy-tuloy.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable

- ito ay pagkakasundo sa pagitan ng mga posibleng halaga ng dami na ito at ang kanilang mga posibilidad. Kadalasan, ang batas ay nakasulat sa isang talahanayan:

Ang termino ay medyo karaniwan hilera pamamahagi, ngunit sa ilang mga sitwasyon ito ay tila hindi maliwanag, at samakatuwid ay susundin ko ang "batas".

At ngayon napaka mahalagang punto : dahil ang random variable kinakailangan tatanggapin isa sa mga halaga, pagkatapos ay mabubuo ang kaukulang mga kaganapan buong grupo at ang kabuuan ng mga probabilidad ng kanilang paglitaw ay katumbas ng isa:

o, kung nakasulat na nakatiklop:

Kaya, halimbawa, ang batas ng pamamahagi ng mga probabilidad ng mga puntos sa isang die ay may sumusunod na anyo:

Maaaring nasa ilalim ka ng impresyon na ang isang discrete random variable ay maaari lamang kumuha ng "magandang" integer value. Iwaksi natin ang ilusyon - maaari silang maging anuman:

Ang ilang laro ay may sumusunod na batas sa pamamahagi ng kabayaran:

…marahil matagal mo nang pinapangarap ang mga ganoong gawain 🙂 May sasabihin ako sa iyo na sikreto - ako rin. Lalo na pagkatapos ng trabaho teorya sa larangan.

Solusyon: dahil ang isang random na variable ay maaaring tumagal lamang ng isa sa tatlong mga halaga, ang mga kaukulang kaganapan ay nabuo buong grupo, na nangangahulugan na ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa:

Inilalantad namin ang "partisan":

– sa gayon, ang posibilidad na manalo ng mga conventional unit ay 0.4.

Kontrol: kung ano ang kailangan mong tiyakin.

Sagot:

Ito ay hindi pangkaraniwan kapag ang batas sa pamamahagi ay kailangang i-compile nang nakapag-iisa. Para sa paggamit na ito klasikal na kahulugan ng posibilidad, multiplication / addition theorems para sa mga probabilities ng kaganapan at iba pang chips tervera:

Ang kahon ay naglalaman ng 50 mga tiket sa lottery, kung saan mayroong 12 nanalo, at 2 sa kanila ang nanalo ng 1000 rubles bawat isa, at ang natitira - 100 rubles bawat isa. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable - ang halaga ng mga panalo kung ang isang tiket ay random na nakuha mula sa kahon.

Solusyon: tulad ng napansin mo, kaugalian na ilagay ang mga halaga ng isang random na variable pataas na ayos. Samakatuwid, nagsisimula kami sa pinakamaliit na panalo, at lalo na ang mga rubles.

Sa kabuuan, mayroong 50 - 12 = 38 tulad ng mga tiket, at ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na tiket ay hindi manalo.

Ang natitirang mga kaso ay simple. Ang posibilidad na manalo ng rubles ay:

At para sa:

Pagsusuri: - at ito ay isang partikular na kaaya-ayang sandali ng gayong mga gawain!

Sagot: ang kinakailangang batas sa pamamahagi ng kabayaran:

Ang sumusunod na gawain para sa isang malayang desisyon:

Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay . Gumawa ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable - ang bilang ng mga hit pagkatapos ng 2 shot.

... I knew that you missed him 🙂 We remember multiplication at addition theorems. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang batas sa pamamahagi ay ganap na naglalarawan ng isang random na variable, ngunit sa pagsasagawa ito ay kapaki-pakinabang (at kung minsan ay mas kapaki-pakinabang) upang malaman lamang ang ilan sa mga ito. mga katangiang numero .

Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable

Ano ang probabilistikong kahulugan ng resultang nakuha? Kung igulong mo ang mamatay ng sapat na beses, kung gayon ibig sabihin ang mga puntos na ibinaba ay magiging malapit sa 3.5 - at ang mas maraming pagsubok na gagawin mo, mas malapit. Sa totoo lang, napag-usapan ko na ang tungkol sa epektong ito nang detalyado sa aralin tungkol sa istatistikal na posibilidad.

Ngayon, alalahanin natin ang ating hypothetical na laro:

Lumilitaw ang tanong: kumikita ba ang paglalaro ng larong ito? ... sino ang may anumang mga impression? Kaya hindi mo masasabing "offhand"! Ngunit ang tanong na ito ay madaling masagot sa pamamagitan ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika, sa esensya - weighted average mga posibilidad na manalo:

Kaya, ang matematikal na inaasahan ng larong ito natatalo.

Huwag magtiwala sa mga impression - magtiwala sa mga numero!

Oo, dito maaari kang manalo ng 10 at kahit na 20-30 beses sa isang hilera, ngunit sa katagalan ay hindi maiiwasang mapahamak tayo. At hindi ko ipapayo sa iyo na maglaro ng mga ganoong laro 🙂 Well, marahil lamang para sa kasiyahan.

Mula sa lahat ng nasa itaas, sumusunod na ang inaasahan sa matematika ay HINDI isang RANDOM na halaga.

Malikhaing gawain para sa independiyenteng pananaliksik:

Si Mr X ay naglalaro ng European roulette ayon sa sumusunod na sistema: palagi siyang tumataya ng 100 rubles sa pula. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable - ang kabayaran nito. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan ng mga panalo at bilugan ito hanggang kopecks. Paano karaniwan natatalo ba ang manlalaro sa bawat daang taya?

Sanggunian : Ang European roulette ay naglalaman ng 18 pula, 18 itim at 1 berdeng sektor ("zero"). Sa kaganapan ng isang "pula" na bumagsak, ang manlalaro ay binabayaran ng dobleng taya, kung hindi man ito ay mapupunta sa kita ng casino

Mayroong maraming iba pang mga sistema ng roulette kung saan maaari kang lumikha ng iyong sariling mga talahanayan ng posibilidad. Ngunit ito ang kaso kapag hindi namin kailangan ang anumang mga batas sa pamamahagi at mga talahanayan, dahil tiyak na tiyak na ang inaasahan ng matematika ng manlalaro ay eksaktong pareho. Ang mga pagbabago lamang mula sa system patungo sa system pagpapakalat, na malalaman natin sa bahagi 2 ng aralin.

Ngunit bago iyon, magiging kapaki-pakinabang na iunat ang iyong mga daliri sa mga susi ng calculator:

Ang random na variable ay ibinibigay ng sarili nitong batas sa pamamahagi ng posibilidad:

Hanapin kung ito ay kilala na. Magpatakbo ng tseke.

Pagkatapos ay lumingon kami sa pag-aaral pagpapakalat ng isang discrete random variable, at kung maaari,

Ano ang kasama sa medikal na pagsusuri (sa pamamagitan ng utos 302n) Kapag nagsasagawa ng medikal na pagsusuri alinsunod sa order No. 302n, ang lahat ay kinakailangang sumailalim sa: isang klinikal na pagsusuri ng ihi; […]

Programa ng estado upang tulungan ang boluntaryong resettlement sa Russian Federation ng mga kababayan na naninirahan sa ibang bansa Hakbang-hakbang na gabay para sa mga kalahok ng Estado […]

Inaalam namin kung ano ang dapat na sukat ng pinakamababang pensiyon para sa isang taong may kapansanan ng pangkat 2. Ngayon ang estado ay nagbibigay ng tulong sa mga hindi protektadong bahagi ng populasyon sa lipunan sa iba't ibang paraan. Espesyal na pag-aalaga […]

Mga pangunahing pamamahagi

mga random na variable

Mga Alituntunin para sa pansariling gawain mga mag-aaral

lahat ng anyo ng edukasyon

Pinagsama ni V.A. Bobkova

Ivanovo 2005

Pinagsama ni V.A. Bobkova

Mga pangunahing distribusyon ng mga random na variable: Mga patnubay para sa independiyenteng gawain ng mga mag-aaral ng lahat ng anyo ng edukasyon / Comp. V. A. Bobkova; GOUVPO Ivan. estado kemikal-teknolohiya un-t. - Ivanovo, 2005. 32 p.

Ang mga tagubiling metodolohikal ay nakatuon sa isa sa mahahalagang seksyon ng kursong "Teorya ng Probability at Mga Istatistika ng Matematika", ibig sabihin: ang mga pangunahing pamamahagi ng mga random na variable. Ang konsepto ng isang random na variable ay ibinigay, ang mga pamamaraan para sa pagtatakda ng discrete at tuloy-tuloy na random variable ay inilarawan, ang mga kahulugan ng matematikal na inaasahan, pagkakaiba-iba, standard deviation ay ibinigay. Dagdag pa, ang mga pangunahing distribusyon ng mga discrete random variable ay isinasaalang-alang: Bernoulli distribution, binomial distribution, Poisson distribution, geometric at hypergeometric distribution, pati na rin ang mga pangunahing distribusyon ng tuluy-tuloy na random variable: uniform, exponential, normal distributions. Ang mga formula para sa mga numerical na katangian ng isinasaalang-alang na mga distribusyon ay hinango, ang mga graphic na paglalarawan at mga halimbawa ng paglutas ng problema ay ibinibigay. Ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon ay ibinigay.

Ang mga tagubiling pamamaraan ay inilaan para sa independiyenteng gawain ng mga mag-aaral ng lahat ng mga espesyalidad ng unibersidad.

Bibliograpiya: 4 na pamagat.

Tagasuri ng Doktor ng Teknikal na Agham, Propesor A. N. Labutin

(Ivanovo State University of Chemical Technology)

Pangunahing impormasyon tungkol sa mga random na variable

Ang konsepto ng isang random variable

Random tinatawag nila ang halaga na, bilang resulta ng pagsubok, ay kukuha ng isa at isa lamang posibleng halaga, na hindi alam nang maaga at depende sa mga random na dahilan na hindi maaaring isaalang-alang.

Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malaking Latin mga titik X, Y, Z, …, at ang kanilang mga posibleng halaga ay ang kaukulang maliliit na titik x, y, z, … .

Mga halimbawa ng mga random na variable:

1) ang bilang ng mga tawag na natanggap mula sa mga subscriber sa palitan ng telepono sa isang tiyak na oras;

2) ang bigat ng isang butil ng trigo na kinuha nang random;

3) ang bilang ng mga mahuhusay na marka para sa mga mag-aaral ng isang grupo sa pagsusulit;

4) ang distansya mula sa punto ng paghagis ng discus hanggang sa punto ng pagkahulog;

5) ang bilang ng mga maling pagkaka-print sa aklat.

Ang pagkakaiba-iba ng mga random na variable ay mahusay. Ang bilang ng mga halaga na kanilang kinukuha ay maaaring may hangganan, mabibilang, o hindi mabilang; ang mga halagang ito ay maaaring isaayos nang discretely o punan ang mga pagitan (finite o infinite).

Mga discrete random variable - ito ay mga random na variable na maaari lamang tumagal sa isang may hangganan o mabibilang na hanay ng mga halaga. Halimbawa, ang bilang ng mga paglitaw ng coat of arms sa limang coin tosses (mga posibleng halaga ay 0, 1, 2, 3, 4, 5); ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target (mga posibleng halaga ay 1, 2, ..., n, kung saan n ang bilang ng magagamit na mga cartridge); ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang device na binubuo ng tatlong elemento (mga posibleng value 0, 1, 2, 3) ay mga discrete random variable.

Patuloy na random variable ay mga random na variable na ang mga posibleng halaga ay bumubuo ng ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan. Halimbawa, ang uptime ng device, ang range ng projectile, ang oras ng paghihintay para sa bus ay tuluy-tuloy na random variable.

Mga pamamaraan para sa pagtatakda ng mga random na variable

Upang magtakda ng isang random na variable, kailangan mong malaman ang mga halaga na maaari nitong kunin, at ang mga probabilidad kung saan kinukuha ng random variable ang mga halaga nito. Anumang panuntunan (talahanayan, function, graph) na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga probabilidad ng mga indibidwal na halaga ng isang random na variable o isang hanay ng mga halagang ito ay tinatawag batas ng random variable distribution (o simple lang pamamahagi ). Sinasabi nila tungkol sa isang random na variable na "ito ay sumusunod sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi."

Hayaang ang X ay isang discrete random variable na kumukuha ng mga halaga (ang hanay ng mga halagang ito ay may hangganan o mabibilang) na may ilang mga probabilidad. . Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable maginhawang itakda gamit ang formula i = 1, 2, 3, … , n, … , na tumutukoy sa posibilidad na, bilang resulta ng eksperimento, ang random na variable na X ay kukuha sa halaga . Para sa isang discrete random variable, ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay bilang mga talahanayan ng pamamahagi :

Dito ang unang linya ay naglalaman ng lahat ng posibleng mga halaga (karaniwan ay sa pataas na pagkakasunud-sunod) ng random na variable, at ang pangalawa - ang kanilang mga probabilidad. Ang nasabing mesa ay tinatawag malapit sa pamamahagi .

Dahil ang mga kaganapan ay hindi magkatugma at bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa.

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaaring tukuyin sa graphically, kung ang mga posibleng halaga ng random variable ay naka-plot sa abscissa axis, at ang kanilang mga probabilities ay naka-plot sa ordinate axis. Ang isang putol na linya na nag-uugnay sa sunud-sunod na nakuhang mga puntos ay tinatawag polygon ng pamamahagi .

Malinaw, ang serye ng pamamahagi ay mabubuo lamang para sa mga discrete random variable. Para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, hindi maaaring isa-isahin ang lahat ng posibleng halaga.

Ang isang unibersal na paraan upang tukuyin ang batas sa pamamahagi ng posibilidad, na angkop para sa parehong discrete at tuloy-tuloy na random variable, ay ang function ng pamamahagi.

Hayaang ang X ay isang random na variable, x - totoong numero. Ang probability distribution function ng random variable X tinatawag na probabilidad na ang random variable na ito ay kukuha ng halagang mas mababa sa x:

(1)

Sa geometriko, ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: Ang F(x) ay ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha sa halaga na inilalarawan sa tunay na axis sa pamamagitan ng punto sa kaliwa ng puntong x, iyon ay, na ang Ang random point X ay mahuhulog sa pagitan.

Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:

1. Ang mga halaga ng function ng pamamahagi ay nabibilang sa segment:

2. Ang F(x) ay isang hindi bumababa na function, i.e. kung .

Corollary 1. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na nasa pagitan )