dalas ng spring pendulum. Libreng vibrations. Spring pendulum. Sapilitang vibrations. Resonance
Kung ang bola ay inilipat mula sa posisyon ng balanse sa pamamagitan ng isang distansya x, kung gayon ang pagpahaba ng tagsibol ay magiging katumbas ng Δl 0 + x. Pagkatapos ang resultang puwersa ay kukuha ng halaga:
Isinasaalang-alang ang kondisyon ng ekwilibriyo (1.7.1), nakukuha natin ang:
Ang minus sign ay nagpapahiwatig na ang displacement at puwersa ay nasa magkasalungat na direksyon.
Ang nababanat na puwersa f ay may mga sumusunod na katangian:
- Ito ay proporsyonal sa pag-aalis ng bola mula sa posisyon ng ekwilibriyo;
- Ito ay palaging nakadirekta patungo sa posisyon ng ekwilibriyo.
Upang ipaalam sa sistema ng displacement x, kinakailangan na magsagawa ng trabaho laban sa nababanat na puwersa:
Ang gawaing ito ay lumilikha ng isang reserba ng potensyal na enerhiya ng system:
Sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na puwersa, ang bola ay lilipat patungo sa posisyon ng ekwilibriyo na may patuloy na pagtaas ng bilis. Samakatuwid, ang potensyal na enerhiya ng system ay bababa, ngunit ang kinetic energy ay tataas (napapabayaan natin ang masa ng tagsibol). Pagdating sa posisyon ng equilibrium, ang bola ay magpapatuloy sa paggalaw sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw. Ito ay isang mabagal na paggalaw at titigil kapag ang kinetic energy ay ganap na na-convert sa potensyal. Pagkatapos ang parehong proseso ay magpapatuloy kapag ang bola ay gumagalaw sa tapat na direksyon. Kung walang friction sa system, ang bola ay mag-o-oscillate nang walang katiyakan.
Ang equation ng pangalawang batas ni Newton sa kasong ito ay:
Ibahin natin ang equation tulad nito:
Ipinapakilala ang notasyon , nakakakuha tayo ng linear homogenous differential equation ng pangalawang order:
Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit, madaling i-verify na ang pangkalahatang solusyon ng equation (1.7.8) ay may anyo:
kung saan ang a ay ang amplitude at ang φ ay ang paunang yugto ng oscillation - mga pare-parehong halaga. Samakatuwid, ang oscillation ng isang spring pendulum ay harmonic (Fig. 1.7.2).
kanin. 1.7.2. harmonic oscillation
Dahil sa periodicity ng cosine, ang iba't ibang estado ng oscillatory system ay inuulit pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon (panahon ng oscillation) T, kung saan ang yugto ng oscillation ay tumatanggap ng pagtaas ng 2π. Maaari mong kalkulahin ang panahon gamit ang equation:
mula sa kung saan sumusunod:
Ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras ay tinatawag na dalas:
Ang yunit ng dalas ay ang dalas ng naturang oscillation, ang panahon kung saan ay 1 s. Ang yunit na ito ay tinatawag na 1 Hz.
Mula sa (1.7.11) sumusunod na:
Samakatuwid, ang ω 0 ay ang bilang ng mga oscillation na ginawa sa loob ng 2π segundo. Ang value na ω 0 ay tinatawag na circular o cyclic frequency. Gamit ang (1.7.12) at (1.7.13), isinusulat namin:
Ang pagkakaiba () na may paggalang sa oras, nakakakuha kami ng isang expression para sa bilis ng bola:
Mula sa (1.7.15) sumusunod na ang bilis ay nagbabago din ayon sa harmonic law at nauuna sa phase shift ng ½π. Differentiating (1.7.15), nakukuha namin ang acceleration:
1.7.2. Mathematical pendulum
Mathematical pendulum tinatawag na isang idealized system na binubuo ng isang hindi mapalawak na walang timbang na sinulid kung saan ang isang katawan ay sinuspinde, ang buong masa nito ay puro sa isang punto.
Ang paglihis ng pendulum mula sa posisyon ng balanse ay nailalarawan sa pamamagitan ng anggulo φ na nabuo ng thread na may patayo (Larawan 1.7.3).
kanin. 1.7.3. Mathematical pendulum
Kapag ang pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo, isang metalikang kuwintas ang lumitaw na may posibilidad na ibalik ang pendulum sa posisyon ng ekwilibriyo:
Isulat natin ang dynamics equation para sa pendulum umiinog na paggalaw, ibinigay na ang moment of inertia nito ay katumbas ng ml 2:
Ang equation na ito ay maaaring dalhin sa anyo:
Nililimitahan ang ating sarili sa kaso ng maliliit na pagbabagu-bago sinφ ≈ φ at ipinakilala ang notasyon:
equation (1.7.19) ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:
na tumutugma sa anyo sa equation ng mga oscillations ng isang spring pendulum. Samakatuwid, ang solusyon nito ay magiging isang harmonic oscillation:
Mula sa (1.7.20) sumusunod na ang cyclic oscillation frequency ng isang mathematical pendulum ay nakadepende sa haba at free fall acceleration nito. Gamit ang pormula para sa panahon ng oscillation () at (1.7.20), nakukuha natin ang kilalang kaugnayan:
1.7.3. pisikal na pendulum
Ang pisikal na pendulum ay isang matibay na katawan na may kakayahang mag-oscillating sa paligid ng isang nakapirming punto na hindi tumutugma sa sentro ng pagkawalang-galaw. Sa posisyon ng balanse, ang sentro ng inertia ng pendulum C ay nasa ilalim ng suspension point O sa parehong patayo (Larawan 1.7.4).
kanin. 1.7.4. pisikal na pendulum
Kapag ang pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng equilibrium sa pamamagitan ng isang anggulo φ, isang metalikang kuwintas ang lumitaw na may posibilidad na ibalik ang pendulum sa posisyon ng balanse:
kung saan ang m ay ang masa ng pendulum, l ay ang distansya sa pagitan ng suspension point at ang sentro ng inertia ng pendulum.
Isulat natin ang equation para sa dynamics ng rotational motion para sa pendulum, na isinasaalang-alang na ang moment of inertia ay katumbas ng I:
Para sa maliliit na pagbabagu-bago sinφ ≈ φ. Pagkatapos, ipinakilala ang notasyon:
na tumutugma din sa anyo sa equation ng mga oscillations ng isang spring pendulum. Mula sa mga equation (1.7.27) at (1.7.26) sumusunod na sa maliit na paglihis ng pisikal na pendulum mula sa posisyon ng balanse, nagsasagawa ito ng isang harmonic oscillation, ang dalas nito ay nakasalalay sa masa ng pendulum, ang sandali ng pagkawalang-galaw. at ang distansya sa pagitan ng axis ng pag-ikot at ang sentro ng pagkawalang-galaw. Gamit ang (1.7.26), maaari mong kalkulahin ang panahon ng oscillation:
Ang paghahambing ng mga formula (1.7.28) at () ay nakukuha natin na isang mathematical pendulum na may haba:
magkakaroon ng parehong panahon ng oscillation bilang ang itinuturing na pisikal na pendulum. Ang dami (1.7.29) ay tinatawag pinababang haba pisikal na pendulum. Samakatuwid, ang pinababang haba ng isang pisikal na pendulum ay ang haba ng naturang mathematical pendulum, ang panahon ng oscillation na kung saan ay katumbas ng panahon ng oscillation ng isang ibinigay na pisikal na pendulum.
Ang isang punto sa isang tuwid na linya na nagkokonekta sa punto ng suspensyon sa sentro ng pagkawalang-galaw, na nasa layo ng pinababang haba mula sa axis ng pag-ikot, ay tinatawag swing center pisikal na pendulum. Ayon sa teorama ni Steiner, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang pisikal na pendulum ay:
kung saan ang I 0 ay ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa sentro ng pagkawalang-galaw. Ang pagpapalit ng (1.7.30) sa (1.7.29), makuha namin ang:
Samakatuwid, ang pinababang haba ay palaging mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng suspension point at ng pendulum's center of inertia, upang ang suspension point at ang swing center ay nasa magkabilang panig ng center of inertia.
1.7.4. Enerhiya ng maharmonya na vibrations
Sa panahon ng harmonic oscillation, nangyayari ang isang panaka-nakang pagbabago sa isa't isa kinetic energy oscillating body E k at potential energy E p dahil sa pagkilos ng quasi-elastic force. Mula sa mga enerhiya na ito, ang kabuuang enerhiya E ng oscillatory system ay idinagdag:
Isulat natin ang huling expression
Ngunit k \u003d mω 2, kaya nakuha namin ang expression para sa kabuuang enerhiya ng oscillating body
Kaya, ang kabuuang enerhiya ng isang harmonic oscillation ay pare-pareho at proporsyonal sa parisukat ng amplitude at ang parisukat ng pabilog na dalas ng oscillation.
1.7.5. damped vibrations .
Kapag nag-aaral ng mga harmonic oscillations, ang mga puwersa ng friction at paglaban na umiiral sa mga tunay na sistema ay hindi isinasaalang-alang. Ang pagkilos ng mga puwersang ito ay makabuluhang nagbabago sa likas na katangian ng paggalaw, nagiging ang oscillation kumukupas.
Kung, bilang karagdagan sa quasi-elastic force, ang mga puwersa ng paglaban ng medium (friction forces) ay kumikilos sa system, kung gayon ang pangalawang batas ni Newton ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
kung saan ang r ay ang koepisyent ng friction, na nagpapakilala sa mga katangian ng daluyan upang labanan ang paggalaw. Pinapalitan namin ang (1.7.34b) sa (1.7.34a):
Ang graph ng function na ito ay ipinapakita sa Fig. 1.7.5 bilang solid curve 1, at ang isang dashed line 2 ay nagpapakita ng pagbabago sa amplitude:
Sa napakakaunting friction, ang panahon ng damped oscillation ay malapit sa panahon ng undamped free oscillation (1.7.35.b)
Ang rate ng pagbaba sa amplitude ng oscillation ay tinutukoy ng pamamasa kadahilanan: mas malaki ang β, mas malakas ang retarding effect ng medium at mas mabilis na bumababa ang amplitude. Sa pagsasagawa, ang antas ng pagpapalambing ay madalas na nailalarawan pagbabawas ng logarithmic damping, ibig sabihin nito ay isang halaga na katumbas ng natural na logarithm ng ratio ng dalawang magkasunod na amplitude ng oscillation na pinaghihiwalay ng isang agwat ng oras na katumbas ng panahon ng oscillation:
;
Samakatuwid, ang damping coefficient at ang logarithmic damping decrement ay nauugnay sa isang medyo simpleng relasyon:
Sa malakas na pamamasa, makikita mula sa formula (1.7.37) na ang oscillation period ay isang haka-haka na dami. Ang kilusan sa kasong ito ay tinatawag na aperiodic. Ang aperiodic motion graph ay ipinapakita sa Fig. 1.7.6. Ang mga undamped at damped oscillations ay tinatawag sariling o libre. Bumangon ang mga ito dahil sa paunang pag-aalis o paunang bilis at nangyayari sa kawalan ng panlabas na impluwensya mula sa unang nakaimbak na enerhiya.
1.7.6. Sapilitang panginginig ng boses. Resonance .
pinilit Ang mga oscillation ay tinatawag na mga lumitaw sa sistema na may partisipasyon ng isang panlabas na puwersa na nagbabago ayon sa isang pana-panahong batas.
Ipagpalagay natin na, bilang karagdagan sa quasi-elastic force at friction force, isang panlabas na puwersa sa pagmamaneho ang kumikilos sa materyal na punto.
,
kung saan F 0 - amplitude; ω - pabilog na dalas ng mga oscillation ng puwersang nagmamaneho. Bumubuo kami ng differential equation (pangalawang batas ni Newton):
,
Ang amplitude ng forced oscillation (1.7.39) ay direktang proporsyonal sa amplitude ng driving force at may kumplikadong dependence sa attenuation coefficient ng medium at ang circular frequency ng natural at forced oscillations. Kung ang ω 0 at β ay ibinigay para sa system, kung gayon ang amplitude ng sapilitang mga oscillations ay pinakamataas na halaga sa ilang partikular na dalas ng puwersang nagtutulak, na tinatawag matunog.
Ang kababalaghan mismo - na umaabot sa pinakamataas na amplitude para sa ibinigay na ω 0 at β - ay tinatawag resonance.
kanin. 1.7.7. Resonance |
Sa kawalan ng paglaban, ang amplitude ng sapilitang mga oscillations sa resonance ay walang hanggan na malaki. Sa kasong ito, mula sa ω res = ω 0, i.e. Ang resonance sa isang sistema na walang pamamasa ay nangyayari kapag ang dalas ng puwersang nagtutulak ay tumutugma sa dalas ng mga natural na oscillation. Ang graphical na pag-asa ng amplitude ng sapilitang mga oscillations sa circular frequency ng driving force para sa iba't ibang mga halaga ng damping coefficient ay ipinapakita sa Fig. 5.
Ang mekanikal na resonance ay maaaring maging kapaki-pakinabang at nakakapinsala. Ang nakakapinsalang epekto ng resonance ay higit sa lahat dahil sa pagkawasak na maaaring idulot nito. Kaya, sa teknolohiya, na isinasaalang-alang ang iba't ibang mga panginginig ng boses, kinakailangan upang mahulaan ang posibleng paglitaw ng mga kondisyon ng matunog, kung hindi man ay maaaring magkaroon ng pagkawasak at mga sakuna. Ang mga katawan ay karaniwang may ilang natural na mga frequency ng vibration at, nang naaayon, ilang mga resonant frequency.
Kung ang koepisyent ng attenuation ng mga panloob na organo ng isang tao ay hindi malaki, kung gayon ang mga resonant phenomena na lumitaw sa mga organo na ito sa ilalim ng impluwensya ng mga panlabas na panginginig ng boses o sound wave ay maaaring humantong sa mga trahedya na kahihinatnan: pagkalagot ng mga organo, pinsala sa mga ligament, atbp. Gayunpaman, ang mga naturang phenomena ay halos hindi sinusunod sa ilalim ng katamtamang panlabas na impluwensya, dahil ang koepisyent ng attenuation ng mga biological system ay medyo malaki. Gayunpaman, ang mga matunog na phenomena sa ilalim ng pagkilos ng mga panlabas na mekanikal na panginginig ng boses ay nagaganap sa panahon lamang loob. Ito, tila, ay isa sa mga dahilan para sa negatibong epekto ng infrasonic oscillations at vibrations sa katawan ng tao.
1.7.7. Self-oscillations
Mayroon ding mga ganitong oscillatory system na sila mismo ang kumokontrol sa panaka-nakang muling pagdadagdag ng nasayang na enerhiya at samakatuwid ay maaaring magbago nang mahabang panahon.
Ang mga undamped oscillations na umiiral sa anumang sistema sa kawalan ng variable na panlabas na impluwensya ay tinatawag self-oscillations, at ang mga system mismo self-oscillating.
Ang amplitude at dalas ng mga self-oscillations ay nakasalalay sa mga katangian sa self-oscillating system mismo; sa kaibahan sa sapilitang mga oscillations, hindi sila tinutukoy ng mga panlabas na impluwensya.
Sa maraming kaso, ang mga self-oscillating system ay maaaring katawanin ng tatlong pangunahing elemento (Fig. 1.7.8): 1) ang aktwal na oscillating system; 2) mapagkukunan ng enerhiya; 3) isang regulator ng supply ng enerhiya sa aktwal na oscillatory system. Ang oscillatory system sa pamamagitan ng feedback channel (Fig. 6) ay kumikilos sa regulator, na nagpapaalam sa regulator tungkol sa estado ng sistemang ito.
Ang isang klasikong halimbawa ng isang mekanikal na self-oscillating system ay isang relo kung saan ang isang pendulum o balanse ay isang oscillatory system, ang isang spring o isang nakataas na timbang ay isang mapagkukunan ng enerhiya, at ang isang anchor ay isang regulator ng input ng enerhiya mula sa isang mapagkukunan patungo sa isang oscillatory system.
marami mga sistemang biyolohikal(puso, baga, atbp.) ay nag-o-oscillating sa sarili. Ang isang tipikal na halimbawa ng isang electromagnetic self-oscillating system ay mga generator ng self-oscillating oscillations.
1.7.8. Pagdaragdag ng mga vibrations sa isang direksyon
Isaalang-alang ang pagdaragdag ng dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon at parehong dalas:
x 1 \u003d isang 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d isang 2 cos (ω 0 t + α 2).
Ang isang harmonic oscillation ay maaaring tukuyin gamit ang isang vector, ang haba nito ay katumbas ng amplitude ng mga oscillations, at ang direksyon ay bumubuo ng isang anggulo na may ilang axis na katumbas ng paunang yugto ng mga oscillations. Kung ang vector na ito ay umiikot na may angular na bilis ω 0, ang projection nito sa napiling axis ay magbabago ayon sa harmonic law. Batay dito, pumili kami ng ilang axis X at kinakatawan ang mga oscillation gamit ang mga vectors a 1 at a 2 (Fig. 1.7.9).
Mula sa Figure 1.7.6 ito ay sumusunod na
.
Ang mga scheme kung saan ang mga oscillation ay inilalarawan nang grapiko bilang mga vector sa isang eroplano ay tinatawag na mga vector diagram.
Sumusunod ito mula sa formula 1.7.40. Na kung ang pagkakaiba ng bahagi ng parehong mga oscillations ay katumbas ng zero, ang amplitude ng nagresultang oscillation ay katumbas ng kabuuan ng mga amplitudes ng mga idinagdag na oscillations. Kung ang pagkakaiba ng bahagi ng mga idinagdag na oscillation ay katumbas ng , kung gayon ang amplitude ng nagresultang oscillation ay katumbas ng . Kung ang mga frequency ng mga idinagdag na oscillations ay hindi pareho, ang mga vector na nauugnay sa mga oscillations na ito ay iikot sa ibang bilis. Sa kasong ito, ang nagresultang vector ay pumipintig sa magnitude at umiikot sa isang hindi pare-parehong rate. Dahil dito, bilang isang resulta ng karagdagan, hindi isang harmonic oscillation ang nakuha, ngunit isang kumplikadong proseso ng oscillatory.
1.7.9. beats
Isaalang-alang ang pagdaragdag ng dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon, bahagyang naiiba sa dalas. Hayaan ang dalas ng isa sa mga ito ay katumbas ng ω , at ang dalas ng pangalawang ω + ∆ω, at ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:
x 1 \u003d isang cos ωt, x 2 \u003d isang cos (ω + ∆ω) t.
Ang pagdaragdag ng mga expression na ito at paggamit ng formula para sa kabuuan ng mga cosine, makakakuha tayo ng:
Ang mga oscillation (1.7.41) ay maaaring ituring bilang isang harmonic oscillation na may frequency ω, ang amplitude nito ay nag-iiba ayon sa batas . Ang function na ito ay panaka-nakang may dalas na dalawang beses ang dalas ng expression sa ilalim ng module sign, i.e. na may dalas ∆ω. Kaya, ang dalas ng amplitude pulsations, na tinatawag na beat frequency, ay katumbas ng pagkakaiba sa mga frequency ng mga idinagdag na oscillations.
1.7.10. Pagdaragdag ng mutually perpendicular vibrations (Lissajous figures)
Kung ang isang materyal na punto ay nag-o-oscillate sa kahabaan ng x-axis at sa kahabaan ng y-axis, pagkatapos ay lilipat ito sa ilang curvilinear trajectory. Hayaang magkapareho ang dalas ng oscillation at ang unang yugto ng unang oscillation ay katumbas ng zero, pagkatapos ay isusulat namin ang mga oscillation equation sa anyo:
Ang equation (1.7.43) ay ang equation ng isang ellipse, ang mga axes na kung saan ay arbitraryong naka-orient kaugnay sa x at y coordinate axes. Ang oryentasyon ng ellipse at ang laki ng mga semiax nito ay nakasalalay sa mga amplitude a at b at ang pagkakaiba ng phase na α. Isaalang-alang natin ang ilang mga espesyal na kaso:
(m=0, ±1, ±2, …). Sa kasong ito, ang equation ay may anyoIto ang equation ng isang ellipse, ang mga axes kung saan nag-tutugma sa mga coordinate axes, at ang mga semiax nito ay katumbas ng mga amplitude (Fig. 1.7.12). Kung ang mga amplitude ay pantay, ang ellipse ay nagiging bilog.
Fig.1.7.12 |
Kung ang mga frequency ng mutually perpendicular oscillations ay naiiba sa isang maliit na halaga ∆ω, maaari silang ituring bilang mga oscillations ng parehong frequency, ngunit may dahan-dahang pagbabago ng phase difference. Sa kasong ito, maaaring isulat ang mga oscillation equation
x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]
at ang expression na ∆ωt+α ay itinuturing bilang isang phase difference na dahan-dahang nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa isang linear na batas. Ang resultang paggalaw sa kasong ito ay sumusunod sa dahan-dahang pagbabago ng kurba, na magkakasunod na kukuha ng anyo na tumutugma sa lahat ng mga halaga ng pagkakaiba ng bahagi mula -π hanggang +π.
Kung ang mga frequency ng mutually perpendicular oscillations ay hindi pareho, kung gayon ang trajectory ng resultang paggalaw ay may anyo ng medyo kumplikadong mga kurba na tinatawag Lissajous figure. Hayaan, halimbawa, ang mga frequency ng mga idinagdag na oscillation ay nauugnay bilang 1 : 2 at pagkakaiba ng bahagi π/2. Pagkatapos ang mga oscillation equation ay may anyo
x=a cos ωt, y=b cos.
Habang kasama ang x-axis ang punto ay namamahala upang lumipat mula sa isang matinding posisyon patungo sa isa pa, kasama ang y-axis, umaalis sa zero na posisyon, ito ay namamahala upang maabot ang isang matinding posisyon, pagkatapos ay isa pa at bumalik. Ang curve view ay ipinapakita sa fig. 1.7.13. Ang curve na may parehong frequency ratio, ngunit ang phase difference na katumbas ng zero ay ipinapakita sa Fig. 1.7.14. Ang ratio ng mga frequency ng mga idinagdag na oscillations ay kabaligtaran sa ratio ng bilang ng mga punto ng intersection ng Lissajous figure na may mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes. Samakatuwid, sa pamamagitan ng paglitaw ng mga numero ng Lissajous, matutukoy ng isa ang ratio ng mga frequency ng mga idinagdag na oscillations o isang hindi kilalang dalas. Kung ang isa sa mga frequency ay kilala.
Fig.1.7.13 |
Fig.1.7.14 |
Ang mas malapit sa pagkakaisa ang rational fraction na nagpapahayag ng ratio ng mga frequency ng vibration, mas kumplikado ang mga resultang Lissajous figure.
1.7.11. Pagpapalaganap ng alon sa isang nababanat na daluyan
Kung sa anumang lugar ng isang nababanat (solid na likido o gas) na daluyan ng mga panginginig ng boses ng mga particle nito ay nasasabik, pagkatapos ay dahil sa pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle, ang vibration na ito ay magpapalaganap sa daluyan mula sa maliit na butil patungo sa particle na may isang tiyak na bilis υ. ang proseso ng pagpapalaganap ng mga vibrations sa kalawakan ay tinatawag kumaway.
Ang mga particle ng daluyan kung saan ang alon ay nagpapalaganap ay hindi kasama ng alon sa paggalaw ng pagsasalin, sila ay nag-oocillate lamang sa paligid ng kanilang mga posisyon sa balanse.
Depende sa mga direksyon ng mga oscillations ng particle na may paggalang sa direksyon kung saan ang alon ay nagpapalaganap, mayroong longitudinal at nakahalang mga alon. Sa isang longitudinal wave, ang mga particle ng medium ay nag-o-ocillate kasama ang propagation ng wave. Sa isang transverse wave, ang mga particle ng medium ay nag-oscilllate sa mga direksyon na patayo sa direksyon ng wave propagation. Ang mga nababanat na transverse wave ay maaaring lumitaw lamang sa isang daluyan na may paglaban sa paggugupit. Samakatuwid, sa likido at gas na media, ang mga longitudinal wave lamang ang maaaring mangyari. Sa isang solidong daluyan, ang paglitaw ng parehong longitudinal at transverse waves ay posible.
Sa fig. Ang 1.7.12 ay nagpapakita ng paggalaw ng mga particle sa panahon ng pagpapalaganap sa isang daluyan ng isang transverse wave. Ang mga numero 1, 2, atbp. ay tumutukoy sa mga particle na nahuhuli sa isa't isa sa layo na katumbas ng (¼ υT), i.e. sa pamamagitan ng distansya na nilakbay ng alon sa isang-kapat ng panahon ng mga oscillations na ginawa ng mga particle. Sa sandaling kinuha bilang zero, ang alon, na nagpapalaganap sa kahabaan ng axis mula kaliwa hanggang kanan, ay umabot sa particle 1, bilang isang resulta kung saan ang particle ay nagsimulang lumipat pataas mula sa posisyon ng balanse, na nag-drag sa susunod na mga particle kasama nito. Pagkatapos ng isang-kapat ng panahon, ang particle 1 ay umabot sa pinakamataas na posisyon ng ekwilibriyo ng particle 2. Pagkatapos ng isa pang quarter ng panahon, ang unang bahagi ay lalampas sa posisyon ng ekwilibriyo, na gumagalaw sa direksyon mula sa itaas hanggang sa ibaba, ang pangalawang particle ay aabot sa pinakamataas. posisyon, at ang ikatlong butil ay magsisimulang umakyat pataas mula sa posisyon ng ekwilibriyo. Sa sandali ng oras na katumbas ng T, kukumpletuhin ng unang particle ang kumpletong ikot ng oscillation at magiging kapareho ng estado ng paggalaw gaya ng panimulang sandali. Ang alon sa oras na T, na dumaan sa landas (υT), ay aabot sa particle 5.
Sa Fig. Ang 1.7.13 ay nagpapakita ng paggalaw ng mga particle sa panahon ng pagpapalaganap sa isang daluyan ng isang longitudinal wave. Ang lahat ng mga pagsasaalang-alang tungkol sa pag-uugali ng mga particle sa isang transverse wave ay maaari ding ilapat sa kasong ito na ang mga displacement pataas at pababa ay pinalitan ng mga displacement sa kanan at kaliwa.
Makikita mula sa figure na sa panahon ng pagpapalaganap ng isang longitudinal wave sa daluyan, ang mga alternating condensation at rarefaction ng mga particle ay nilikha (ang mga lugar ng condensation ay bilog sa figure sa pamamagitan ng isang tuldok na linya), na gumagalaw sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon. sa bilis υ.
kanin. 1.7.15 |
kanin. 1.7.16 |
Sa fig. Ang 1.7.15 at 1.7.16 ay nagpapakita ng mga oscillation ng mga particle na ang mga posisyon at equilibria ay nasa axis x. Sa katotohanan, hindi lamang mga particle ang nag-oocillate sa kahabaan ng axis x, ngunit isang koleksyon ng mga particle na nakapaloob sa isang tiyak na dami. Ang pagkalat mula sa mga pinagmumulan ng mga oscillations, ang proseso ng alon ay sumasaklaw sa higit pang mga bahagi ng espasyo, ang locus ng mga punto, kung saan ang mga oscillations ay umaabot sa oras na t, ay tinatawag na kaway sa harap(o kaway sa harap). Ang harap ng alon ay ang ibabaw na naghihiwalay sa bahagi ng espasyo na nasasangkot na sa proseso ng alon mula sa lugar kung saan ang mga oscillation ay hindi pa lumitaw.
Ang locus ng mga puntos na nag-o-oscillating sa parehong yugto ay tinatawag ibabaw ng alon . Ang ibabaw ng alon ay maaaring iguhit sa anumang punto sa espasyo na sakop ng proseso ng alon. Dahil dito, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ibabaw ng alon, habang mayroon lamang isang harap ng alon anumang oras. Ang mga ibabaw ng alon ay nananatiling nakatigil (dumadaan sila sa mga posisyon ng equilibrium ng mga particle na nag-o-oscillating sa parehong yugto ). Ang wavefront ay patuloy na gumagalaw.
Ang mga ibabaw ng alon ay maaaring maging anumang hugis. Sa pinakasimpleng mga kaso, mayroon silang hugis ng isang eroplano o globo. Alinsunod dito, ang alon sa mga kasong ito ay tinatawag na eroplano o spherical. Sa isang eroplanong alon, ang mga ibabaw ng alon ay isang hanay ng mga eroplano na parallel sa isa't isa, sa isang spherical wave - isang hanay ng mga concentric sphere.
kanin. 1.7.17 |
Hayaang kumalat ang isang eroplanong alon sa kahabaan ng axis x. Pagkatapos ang lahat ng mga punto ng globo, mga posisyon, equilibria na kung saan ay may parehong coordinate x(ngunit ang pagkakaiba sa mga halaga ng coordinate y at z), mag-oscillate sa parehong yugto.
Sa Fig. Ang 1.7.17 ay nagpapakita ng curve na nagbibigay ng offset ξ mula sa posisyon ng ekwilibriyo ng mga puntos na may iba't ibang x sa isang punto ng panahon. Ang pagguhit na ito ay hindi dapat kunin bilang isang nakikitang larawan ng isang alon. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng mga function ξ (x, t) para sa ilang naayos punto sa oras t. Ang ganitong graph ay maaaring itayo para sa parehong longitudinal at transverse waves.
Ang distansyang λ, para sa isang maikling alon ay kumakalat sa isang oras na katumbas ng panahon ng oscillation ng mga particle ng medium, ay tinatawag na haba ng daluyong. Obvious naman yun
kung saan ang υ ay ang bilis ng alon, ang T ay ang panahon ng oscillation. Ang haba ng daluyong ay maaari ding tukuyin bilang ang distansya sa pagitan ng pinakamalapit na mga punto ng daluyan, oscillating na may pagkakaiba sa bahagi na katumbas ng 2π (tingnan ang Fig. 1.7.14)
Ang pagpapalit sa kaugnayan (1.7.45) T hanggang 1/ν (ν ay ang dalas ng oscillation), nakukuha namin
Ang formula na ito ay maaari ding makuha mula sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang. Sa isang segundo, ang pinagmumulan ng alon ay nagsasagawa ng ν oscillations, na bumubuo sa medium sa bawat oscillation ng isang "crest" at isang "trough" ng wave. Sa oras na makumpleto ng pinagmulan ang ν -th oscillation, ang unang "ridge" ay magkakaroon ng oras upang dumaan sa landas υ. Dahil dito, ang ν "crests" at "troughs" ng wave ay dapat magkasya sa haba υ.
1.7.12. Plane wave equation
Ang wave equation ay isang expression na nagbibigay ng displacement ng isang oscillating particle bilang isang function ng mga coordinate nito x, y, z at oras t :
ξ = ξ (x, y, z; t)
(ibig sabihin ang mga coordinate ng posisyon ng equilibrium ng particle). Ang function na ito ay dapat na panaka-nakang may kinalaman sa oras t , at nauugnay sa mga coordinate x, y, z. . Ang periodicity sa oras ay sumusunod sa katotohanan na ang mga punto ay naghihiwalay sa isa't isa sa isang distansya λ , nagbabago sa parehong paraan.
Hanapin ang uri ng function ξ sa kaso ng isang alon ng eroplano, sa pag-aakalang ang mga oscillation ay magkatugma. Upang gawing simple, itinuturo namin ang mga coordinate axes upang ang axis x tumutugma sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon. Pagkatapos ang mga ibabaw ng alon ay magiging patayo sa axis x at dahil ang lahat ng mga punto ng ibabaw ng alon ay nag-o-ocillate nang pantay, ang pag-aalis ξ ay depende lamang sa x at t:
ξ = ξ (x, t) .
Fig.1.7.18 |
Hayaan ang mga oscillations ng mga puntos na nakahiga sa eroplano x = 0 (Larawan 1.7.18), magkaroon ng form
Hanapin natin ang uri ng oscillation ng mga puntos sa eroplano na tumutugma sa isang arbitrary na halaga x . Para umalis sa eroplano x=0 sa eroplanong ito, tumatagal ang alon ( υ ay ang bilis ng pagpapalaganap ng alon). Dahil dito, ang mga oscillations ng mga particle na nakahiga sa eroplano x , ay magiging huli sa oras ng τ mula sa mga vibrations ng mga particle sa eroplano x = 0 , ibig sabihin. magiging hitsura
Kaya, equation ng alon ng eroplano(paayon, at nakahalang), nagpapalaganap sa direksyon ng axis x , tulad ng sumusunod:
Tinutukoy ng expression na ito ang relasyon sa pagitan ng oras t at ang lugar na iyon x , kung saan ang bahagi ay may nakapirming halaga. Ang nagreresultang halaga ng dx/dt ay nagbibigay ng bilis kung saan gumagalaw ang ibinigay na halaga ng phase. Ang pagkakaiba ng expression (1.7.48), nakuha namin
Ang equation ng isang alon na nagpapalaganap sa direksyon ng pagbaba x :
Kapag kumukuha ng formula (1.7.53), ipinapalagay namin na ang oscillation amplitude ay hindi nakadepende sa x . Para sa isang eroplanong alon, ito ay sinusunod kapag ang enerhiya ng alon ay hindi hinihigop ng daluyan. Kapag nagpapalaganap sa isang daluyan na sumisipsip ng enerhiya, ang intensity ng wave ay unti-unting bumababa sa distansya mula sa pinagmulan ng mga oscillations - ang wave attenuation ay sinusunod. Ipinapakita ng karanasan na sa isang homogenous na medium ang naturang pamamasa ay nangyayari ayon sa isang exponential law:
Kanya-kanya plane wave equation, isinasaalang-alang ang pamamasa, ay may sumusunod na anyo:
(1.7.54) |
(a 0 ay ang amplitude sa mga punto ng eroplano x = 0).
Ang spring pendulum ay isang oscillatory system na binubuo ng isang materyal na punto na may mass m at isang spring. Isaalang-alang ang isang pahalang na spring pendulum (Larawan 1, a). Ito ay isang napakalaking katawan na binaril sa gitna at inilalagay sa isang pahalang na baras, kung saan maaari itong mag-slide nang walang alitan (isang perpektong oscillatory system). Ang baras ay naayos sa pagitan ng dalawang vertical na suporta.
Ang isang walang timbang na bukal ay nakakabit sa katawan sa isang dulo. Ang kabilang dulo nito ay naayos sa isang suporta, na sa pinakasimpleng kaso ay nakapahinga na may kaugnayan sa inertial reference frame kung saan ang pendulum ay umuusad. Sa simula, ang spring ay hindi deformed, at ang katawan ay nasa equilibrium na posisyon C. Kung, sa pamamagitan ng pag-unat o pag-compress sa spring, ang katawan ay inalis sa balanse, pagkatapos ay mula sa gilid ng deformed spring, isang nababanat na puwersa ay magsisimula upang kumilos dito, palaging nakadirekta sa posisyon ng ekwilibriyo.
I-compress natin ang spring sa pamamagitan ng paglipat ng katawan sa posisyon A, at bitawan. Sa ilalim ng pagkilos ng puwersa ng pagkalastiko, ito ay lilipat nang mas mabilis. Sa kasong ito, sa posisyon A, ang maximum na nababanat na puwersa ay kumikilos sa katawan, dahil dito ang ganap na pagpahaba x m ng tagsibol ay ang pinakamalaking. Samakatuwid, sa posisyon na ito, ang acceleration ay maximum. Kapag ang katawan ay lumipat sa posisyon ng balanse, ang ganap na pagpahaba ng tagsibol ay bumababa, at dahil dito, ang acceleration na ibinibigay ng nababanat na puwersa ay bumababa. Ngunit dahil ang acceleration sa panahon ng paggalaw na ito ay co-directed sa bilis, ang bilis ng pendulum ay tumataas at sa posisyon ng equilibrium ito ay magiging maximum.
Ang pagkakaroon ng maabot ang posisyon ng balanse C, ang katawan ay hindi titigil (bagaman sa posisyon na ito ang tagsibol ay hindi deformed, at ang nababanat na puwersa ay zero), ngunit sa pagkakaroon ng isang bilis, ito ay lilipat pa sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw, na umaabot sa tagsibol. Ang resultang nababanat na puwersa ay nakadirekta na ngayon laban sa paggalaw ng katawan at pinapabagal ito. Sa puntong D, ang bilis ng katawan ay magiging katumbas ng zero, at ang acceleration ay maximum, ang katawan ay titigil saglit, pagkatapos nito, sa ilalim ng pagkilos ng nababanat na puwersa, ito ay magsisimulang lumipat sa kabaligtaran ng direksyon, sa posisyong ekwilibriyo. Ang pagkakaroon muli ng pagpasa nito sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos, ang katawan, na pinipiga ang tagsibol at nagpapabagal sa paggalaw, ay aabot sa punto A (dahil walang alitan), i.e. gumagawa ng puspusan. Pagkatapos nito, ang paggalaw ng katawan ay mauulit sa inilarawan na pagkakasunud-sunod. Kaya, ang mga sanhi ng libreng oscillations ng isang spring pendulum ay ang pagkilos ng nababanat na puwersa na nangyayari kapag ang tagsibol ay deformed, at ang pagkawalang-galaw ng katawan.
Ayon sa batas ni Hooke F x = -kx. Ayon sa ikalawang batas ni Newton F x = max x . Samakatuwid, max = -kx. Mula rito
Dynamic na equation ng paggalaw ng isang spring pendulum.
Nakikita namin na ang acceleration ay direktang proporsyonal sa displacement at nakadirekta nang kabaligtaran dito. Paghahambing ng resultang equation sa equation ng harmonic oscillations , nakikita natin na ang spring pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations na may cyclic frequency
Panahon ng oscillation ng spring pendulum.
Ang parehong formula ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang oscillation period ng isang vertical spring pendulum (Fig. 1. b). Sa katunayan, sa posisyon ng balanse, dahil sa pagkilos ng grabidad, ang tagsibol ay nakaunat na ng isang tiyak na halaga x 0, na tinutukoy ng kaugnayan mg = kx 0 . Kapag ang pendulum ay inilipat mula sa posisyon ng ekwilibriyo O sa x, ang projection ng elastic force
Ang spring pendulum ay isang materyal na punto ng masa, na nakakabit sa isang ganap na nababanat na walang timbang na spring na may katigasan. . Mayroong dalawang pinakasimpleng kaso: pahalang (Larawan 15, a) at patayo (Larawan 15, b) mga pendulum.
a)
Pahalang na palawit(Larawan 15a). Kapag naglilipat ng kargamento
wala sa ekwilibriyo sa dami kumikilos dito sa isang pahalang na direksyon. pagpapanumbalik ng nababanat na puwersa
(Batas ni Hooke).
Ipinapalagay na ang pahalang na suporta kung saan dumudulas ang load
sa panahon ng mga vibrations nito, ito ay ganap na makinis (walang alitan).
b) patayong palawit(fig.15, b). Ang posisyon ng balanse sa kasong ito ay nailalarawan sa kondisyon:
saan - ang magnitude ng elastic force na kumikilos sa load
kapag ang tagsibol ay statically stretch sa ilalim ng impluwensya ng grabidad
.
a |
Fig.15. Spring pendulum: a- pahalang at b– patayo
Kung ang spring ay nakaunat at ang load ay pinakawalan, ito ay magsisimulang mag-oscillate patayo. Kung ang offset sa isang punto sa oras ay
,
pagkatapos ay ang nababanat na puwersa ay isusulat na ngayon bilang
.
Sa parehong mga kaso na isinasaalang-alang, ang spring pendulum ay gumaganap ng mga harmonic oscillations na may isang panahon
(27)
at cyclic frequency
. (28)
Gamit ang halimbawa ng pagsasaalang-alang sa isang spring pendulum, maaari nating tapusin na ang mga harmonic oscillations ay isang paggalaw na dulot ng isang puwersa na tumataas ayon sa proporsyon ng displacement. . Sa ganitong paraan, kung ang restoring force ay parang batas ni Hooke
(nakuha niya ang pangalanparang nababanat na puwersa
), kung gayon ang system ay dapat magsagawa ng mga harmonic oscillations. Sa sandali ng pagpasa sa posisyon ng balanse, ang puwersa ng pagpapanumbalik ay hindi kumikilos sa katawan, gayunpaman, nilaktawan ng katawan ang posisyon ng balanse sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw at ang puwersa ng pagpapanumbalik ay nagbabago ng direksyon sa kabaligtaran.
Mathematical pendulum
Fig.16. Mathematical pendulum
Mga oscillations ng naturang pendulum sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis
(hindi hihigit sa 5º) ay maaaring ituring na harmonic, at ang cyclic frequency ng mathematical pendulum:
, (29)
at ang panahon:
. (30)
2.3. Enerhiya ng katawan sa panahon ng harmonic vibrations
Ang enerhiya na ibinibigay sa oscillating system sa panahon ng paunang pagtulak ay pana-panahong mababago: ang potensyal na enerhiya ng deformed spring ay mako-convert sa kinetic energy ng gumagalaw na load at vice versa.
Hayaang magsagawa ng mga harmonic oscillations ang spring pendulum sa paunang yugto
, ibig sabihin.
(fig.17).
Fig.17. Batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya
kapag nag-oscillate ang spring pendulum
Sa maximum na paglihis ng load mula sa posisyon ng balanse, ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng pendulum (ang enerhiya ng isang deformed spring na may higpit ) ay katumbas ng
. Kapag dumaan sa posisyon ng ekwilibriyo (
) ang potensyal na enerhiya ng spring ay magiging katumbas ng zero, at ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng oscillatory system ay matutukoy bilang
.
Ipinapakita ng Figure 18 ang mga dependences ng kinetic, potensyal at kabuuang enerhiya sa mga kaso kung saan ang mga harmonic oscillations ay inilalarawan ng mga trigonometric function ng sine (dashed line) o cosine (solid line).
Fig.18. Mga graph ng time dependence ng kinetic
at potensyal na enerhiya para sa mga harmonic oscillations
Mula sa mga graph (Larawan 18) sumusunod na ang dalas ng pagbabago sa kinetic at potensyal na enerhiya ay dalawang beses na mas mataas kaysa sa natural na dalas ng mga harmonic oscillations.
Ang operasyon ng karamihan sa mga mekanismo ay batay sa pinakasimpleng batas ng pisika at matematika. Ang konsepto ng isang spring pendulum ay naging laganap na. Ang ganitong mekanismo ay naging napakalawak, dahil ang tagsibol ay nagbibigay ng kinakailangang pag-andar, maaari itong maging isang elemento ng mga awtomatikong device. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang gayong aparato, ang prinsipyo ng pagpapatakbo at maraming iba pang mga punto nang mas detalyado.
Mga kahulugan ng spring pendulum
Tulad ng naunang nabanggit, ang spring pendulum ay naging napakalawak. Kabilang sa mga tampok ay ang mga sumusunod:
- Ang aparato ay kinakatawan ng isang kumbinasyon ng timbang at tagsibol, ang masa nito ay maaaring hindi isinasaalang-alang. Ang iba't ibang mga bagay ay maaaring kumilos bilang isang load. Sa kasong ito, maaari itong maimpluwensyahan ng isang panlabas na puwersa. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang paglikha ng isang safety valve na naka-install sa isang pipeline system. Ang pag-fasten ng load sa spring ay isinasagawa sa iba't ibang paraan. Sa kasong ito, tanging ang klasikong bersyon ng tornilyo ang ginagamit, na pinakamalawak na ginagamit. Ang mga pangunahing katangian ay higit na nakasalalay sa uri ng materyal na ginamit sa paggawa, ang diameter ng coil, ang tamang pagkakahanay at maraming iba pang mga punto. Ang mga pagliko sa dulo ay kadalasang ginagawa sa paraang maaari silang kumuha ng malaking pagkarga sa panahon ng operasyon.
- Bago magsimula ang pagpapapangit, ang kabuuang mekanikal na enerhiya ay wala. Sa kasong ito, ang katawan ay hindi apektado ng puwersa ng pagkalastiko. Ang bawat tagsibol ay may orihinal na posisyon, na pinananatili nito sa mahabang panahon. Gayunpaman, dahil sa isang tiyak na katigasan, ang katawan ay naayos sa paunang posisyon nito. Ang mahalaga ay kung paano inilalapat ang pagsisikap. Ang isang halimbawa ay dapat itong idirekta sa axis ng tagsibol, dahil kung hindi man ay may posibilidad ng pagpapapangit at maraming iba pang mga problema. Ang bawat spring ay may sarili nitong partikular na compression at mga limitasyon ng extension. Sa kasong ito, ang maximum na compression ay kinakatawan ng kawalan ng isang puwang sa pagitan ng mga indibidwal na pagliko; sa panahon ng pag-igting, mayroong isang sandali kapag ang isang hindi maibabalik na pagpapapangit ng produkto ay nangyayari. Kung ang kawad ay masyadong pinahaba, ang isang pagbabago sa mga pangunahing katangian ay nangyayari, pagkatapos nito ang produkto ay hindi bumalik sa orihinal na posisyon nito.
- Sa kaso na isinasaalang-alang, ang mga oscillations ay ginaganap dahil sa pagkilos ng nababanat na puwersa. Ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang medyo malaking bilang ng mga tampok na dapat isaalang-alang. Ang epekto ng pagkalastiko ay nakamit dahil sa tiyak na pag-aayos ng mga pagliko at ang uri ng materyal na ginamit sa paggawa. Sa kasong ito, ang nababanat na puwersa ay maaaring kumilos sa parehong direksyon. Kadalasan, nangyayari ang compression, ngunit ang pag-igting ay maaari ding isagawa - ang lahat ay nakasalalay sa mga katangian ng partikular na kaso.
- Ang bilis ng paggalaw ng katawan ay maaaring mag-iba sa isang medyo malaking hanay, ang lahat ay depende sa kung anong uri ng epekto. Halimbawa, ang isang spring pendulum ay maaaring ilipat ang isang suspendido na pagkarga sa isang pahalang at patayong eroplano. Ang pagkilos ng puwersa ng direksyon ay higit sa lahat ay nakasalalay sa patayo o pahalang na pag-install.
Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang kahulugan ng isang spring pendulum ay medyo pangkalahatan. Sa kasong ito, ang bilis ng paggalaw ng isang bagay ay nakasalalay sa iba't ibang mga parameter, halimbawa, ang magnitude ng inilapat na puwersa at iba pang mga sandali. Bago ang aktwal na mga kalkulasyon, isang scheme ay nilikha:
- Ang suporta kung saan nakakabit ang spring ay ipinahiwatig. Kadalasan, ang isang linya na may back hatching ay iginuhit upang ipakita ito.
- Ang isang spring ay ipinapakita sa schematically. Madalas itong kinakatawan ng isang kulot na linya. Sa isang schematic display, hindi mahalaga ang haba at diametrical indicator.
- Inilalarawan din ang katawan. Hindi ito dapat tumutugma sa mga sukat, gayunpaman, ang lugar ng direktang pagkakabit ay mahalaga.
Ang diagram ay kinakailangan upang schematically ipakita ang lahat ng mga puwersa na nakakaapekto sa aparato. Tanging sa kasong ito posible na isaalang-alang ang lahat ng bagay na nakakaapekto sa bilis ng paggalaw, pagkawalang-galaw at maraming iba pang mga sandali.
Ang mga spring pendulum ay ginagamit hindi lamang sa mga kalkulasyon o paglutas ng iba't ibang mga problema, kundi pati na rin sa pagsasanay. Gayunpaman, hindi lahat ng katangian ng naturang mekanismo ay naaangkop.
Ang isang halimbawa ay ang kaso kapag ang mga oscillatory na paggalaw ay hindi kinakailangan:
- Paglikha ng mga elemento ng pag-lock.
- Mga mekanismo ng tagsibol na nauugnay sa transportasyon ng iba't ibang mga materyales at bagay.
Ang mga isinagawang kalkulasyon ng spring pendulum ay nagpapahintulot sa iyo na piliin ang pinaka-angkop na timbang ng katawan, pati na rin ang uri ng tagsibol. Ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na tampok:
- Paikot-ikot na diameter. Ito ay maaaring ibang-iba. Kung gaano karaming materyal ang kinakailangan para sa produksyon ay higit sa lahat ay nakasalalay sa indicator ng diameter. Tinutukoy din ng diameter ng mga coils kung gaano karaming puwersa ang dapat ilapat upang ganap na ma-compress o bahagyang lumawak. Gayunpaman, ang pagtaas sa laki ay maaaring lumikha ng mga makabuluhang paghihirap sa pag-install ng produkto.
- Ang diameter ng wire. Ang isa pang mahalagang parameter ay ang diameter ng wire. Maaari itong mag-iba sa isang malawak na hanay, depende sa lakas at antas ng pagkalastiko.
- Ang haba ng produkto. Tinutukoy ng indicator na ito kung gaano karaming puwersa ang kinakailangan para sa buong compression, pati na rin kung gaano karaming elasticity ang maaaring magkaroon ng produkto.
- Tinutukoy din ng uri ng materyal na ginamit ang mga pangunahing katangian. Kadalasan, ang tagsibol ay ginawa gamit ang isang espesyal na haluang metal na may naaangkop na mga katangian.
Sa mga kalkulasyon sa matematika, maraming puntos ang hindi isinasaalang-alang. Ang nababanat na puwersa at maraming iba pang mga tagapagpahiwatig ay natutukoy sa pamamagitan ng pagkalkula.
Mga uri ng spring pendulum
Mayroong ilang iba't ibang uri ng spring pendulum. Dapat tandaan na ang pag-uuri ay maaaring isagawa ayon sa uri ng spring na naka-install. Kabilang sa mga tampok na napapansin namin:
- Medyo laganap ang mga vertical oscillations, dahil sa kasong ito ang pagkarga ay walang friction at iba pang mga epekto. Sa isang patayong pag-aayos ng pagkarga, ang antas ng impluwensya ng grabidad ay tumataas nang malaki. Ang variant ng execution na ito ay laganap kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga kalkulasyon. Dahil sa gravity, malamang na ang katawan sa panimulang punto ay gagawa ng malaking bilang ng mga inertial na paggalaw. Ito ay pinadali din ng pagkalastiko at pagkawalang-kilos ng paggalaw ng katawan sa pagtatapos ng stroke.
- Ginagamit din ang isang pahalang na spring pendulum. Sa kasong ito, ang pagkarga ay nasa sumusuportang ibabaw at nangyayari rin ang alitan sa sandali ng paggalaw. Kapag inilagay nang pahalang, ang gravity ay gumagana nang medyo naiiba. Ang pahalang na posisyon ng katawan ay naging laganap sa iba't ibang mga gawain.
Ang paggalaw ng isang spring pendulum ay maaaring kalkulahin gamit ang isang sapat na malaking bilang ng iba't ibang mga formula, na dapat isaalang-alang ang epekto ng lahat ng pwersa. Sa karamihan ng mga kaso, naka-install ang isang klasikong spring. Kabilang sa mga tampok, napapansin namin ang mga sumusunod:
- Ang klasikong twisted compression spring ay laganap na ngayon. Sa kasong ito, mayroong isang puwang sa pagitan ng mga pagliko, na tinatawag na pitch. Ang compression spring ay maaaring maiunat, ngunit madalas na hindi ito naka-install para dito. Ang isang natatanging tampok ay maaaring tawaging katotohanan na ang mga huling pagliko ay ginawa sa anyo ng isang eroplano, dahil kung saan ang isang pare-parehong pamamahagi ng puwersa ay natiyak.
- Maaaring mai-install ang isang bersyon ng kahabaan. Ito ay idinisenyo upang mai-install kapag ang inilapat na puwersa ay nagdudulot ng pagtaas sa haba. Ang mga kawit ay inilalagay para sa pangkabit.
Nagreresulta ito sa isang oscillation na maaaring tumagal ng mahabang panahon. Ang formula sa itaas ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin na isinasaalang-alang ang lahat ng mga sandali.
Mga formula para sa panahon at dalas ng oscillation ng spring pendulum
Kapag nagdidisenyo at nagkalkula ng mga pangunahing tagapagpahiwatig, medyo maraming pansin ang binabayaran din sa dalas at panahon ng oscillation. Ang cosine ay isang periodic function na gumagamit ng value na hindi nagbabago pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon. Ito ang tagapagpahiwatig na ito na tinatawag na panahon ng oscillation ng isang spring pendulum. Ang letrang T ay ginagamit upang italaga ang tagapagpahiwatig na ito, at ang konsepto ay kadalasang ginagamit upang makilala ang halaga na kabaligtaran sa panahon ng oscillation (v). Sa karamihan ng mga kaso, ang formula na T=1/v ay ginagamit sa mga kalkulasyon.
Ang panahon ng oscillation ay kinakalkula gamit ang isang medyo kumplikadong formula. Ito ay ang mga sumusunod: T=2p√m/k. Upang matukoy ang dalas ng oscillation, ginagamit ang formula: v=1/2п√k/m.
Ang itinuturing na cyclic oscillation frequency ng spring pendulum ay nakasalalay sa mga sumusunod na puntos:
- Ang masa ng bigat na nakakabit sa tagsibol. Ang tagapagpahiwatig na ito ay itinuturing na pinakamahalaga, dahil nakakaapekto ito sa iba't ibang mga parameter. Ang puwersa ng pagkawalang-kilos, bilis at maraming iba pang mga tagapagpahiwatig ay nakasalalay sa masa. Bilang karagdagan, ang masa ng pagkarga ay isang dami na hindi mahirap sukatin dahil sa pagkakaroon ng mga espesyal na kagamitan sa pagsukat.
- koepisyent ng pagkalastiko. Para sa bawat tagsibol, ang tagapagpahiwatig na ito ay makabuluhang naiiba. Ang koepisyent ng pagkalastiko ay ipinahiwatig upang matukoy ang mga pangunahing parameter ng tagsibol. Ang parameter na ito ay nakasalalay sa bilang ng mga pagliko, ang haba ng produkto, ang distansya sa pagitan ng mga pagliko, ang kanilang diameter at marami pa. Natutukoy ito sa iba't ibang paraan, kadalasan sa paggamit ng mga espesyal na kagamitan.
Huwag kalimutan na kapag ang spring ay malakas na nakaunat, ang batas ni Hooke ay huminto sa paggana. Sa kasong ito, ang panahon ng oscillation ng tagsibol ay nagsisimulang depende sa amplitude.
Ang panahon ay sinusukat sa unibersal na yunit ng oras, sa karamihan ng mga kaso segundo. Sa karamihan ng mga kaso, ang oscillation amplitude ay kinakalkula kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema. Upang gawing simple ang proseso, ang isang pinasimple na diagram ay itinayo, na nagpapakita ng mga pangunahing puwersa.
Mga formula para sa amplitude at paunang yugto ng isang spring pendulum
Ang pagkakaroon ng pagpapasya sa mga tampok ng mga proseso na ipinapasa at pag-alam sa equation ng mga oscillations ng spring pendulum, pati na rin ang mga paunang halaga, posible na kalkulahin ang amplitude at paunang yugto ng spring pendulum. Ang halaga ng f ay ginagamit upang matukoy ang paunang yugto, ang amplitude ay tinutukoy ng simbolo A.
Upang matukoy ang amplitude, maaaring gamitin ang formula: A \u003d √x 2 + v 2 / w 2. Ang paunang yugto ay kinakalkula ng formula: tgf=-v/xw.
Gamit ang mga formula na ito, posibleng matukoy ang pangunahing mga parameter na ginagamit sa mga kalkulasyon.
Enerhiya ng mga oscillations ng isang spring pendulum
Kung isinasaalang-alang ang oscillation ng isang load sa isang spring, dapat isaalang-alang ng isa ang sandali na ang paggalaw ng pendulum ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng dalawang puntos, iyon ay, ito ay rectilinear. Tinutukoy ng sandaling ito ang katuparan ng mga kundisyon tungkol sa puwersang pinag-uusapan. Maaari nating sabihin na ang kabuuang enerhiya ay potensyal.
Posible upang kalkulahin ang enerhiya ng mga oscillations ng isang spring pendulum, isinasaalang-alang ang lahat ng mga tampok. Pangalanan natin ang sumusunod bilang mga pangunahing punto:
- Maaaring maganap ang mga oscillation sa pahalang at patayong eroplano.
- Ang zero potensyal na enerhiya ay pinili bilang posisyon ng balanse. Dito nakatakda ang pinagmulan ng mga coordinate. Bilang isang patakaran, sa posisyon na ito, ang tagsibol ay nagpapanatili ng hugis nito, sa kondisyon na walang deforming force.
- Sa kaso na isinasaalang-alang, ang kinakalkula na enerhiya ng spring pendulum ay hindi isinasaalang-alang ang friction force. Sa isang patayong pagkarga, ang puwersa ng friction ay hindi gaanong mahalaga, na may isang pahalang na pagkarga, ang katawan ay nasa ibabaw at maaaring mangyari ang alitan sa panahon ng paggalaw.
- Ang sumusunod na formula ay ginagamit upang kalkulahin ang enerhiya ng vibration: E=-dF/dx.
Ang impormasyon sa itaas ay nagpapahiwatig na ang batas ng konserbasyon ng enerhiya ay ang mga sumusunod: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Ang inilapat na formula ay nagsasabi ng sumusunod:
Posible upang matukoy ang enerhiya ng oscillation ng isang spring pendulum kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema.
Libreng oscillations ng spring pendulum
Isinasaalang-alang kung ano ang naging sanhi ng mga libreng oscillations ng isang spring pendulum, ang pansin ay dapat bayaran sa pagkilos ng mga panloob na pwersa. Nagsisimula silang mabuo halos kaagad pagkatapos mailipat ang paggalaw sa katawan. Ang mga tampok ng harmonic oscillations ay nasa mga sumusunod na punto:
- Ang iba pang mga uri ng mga puwersa ng isang nakakaimpluwensyang kalikasan ay maaari ding lumitaw, na nakakatugon sa lahat ng mga pamantayan ng batas, ay tinatawag na quasi-elastic.
- Ang mga pangunahing dahilan para sa pagpapatakbo ng batas ay maaaring mga panloob na pwersa na nabuo kaagad sa sandali ng pagbabago ng posisyon ng katawan sa espasyo. Sa kasong ito, ang pag-load ay may isang tiyak na masa, ang puwersa ay nilikha sa pamamagitan ng pag-aayos ng isang dulo para sa isang nakatigil na bagay na may sapat na lakas, ang pangalawa para sa pagkarga mismo. Sa kawalan ng alitan, ang katawan ay maaaring magsagawa ng oscillatory motions. Sa kasong ito, ang nakapirming pagkarga ay tinatawag na linear.
Huwag kalimutan na mayroong isang malaking bilang ng iba't ibang uri ng mga sistema kung saan ang paggalaw ng isang oscillatory na kalikasan ay isinasagawa. Ang nababanat na pagpapapangit ay nangyayari din sa kanila, na nagiging sanhi ng mga ito upang magamit upang maisagawa ang anumang gawain.
Kahulugan 1
Ang mga libreng vibrations ay maaaring mangyari sa ilalim ng pagkilos ng mga panloob na pwersa pagkatapos lamang na alisin ang buong sistema sa ekwilibriyo.
Upang maganap ang mga oscillations ayon sa harmonic law, kinakailangan na ang puwersa na nagbabalik sa katawan sa posisyon ng ekwilibriyo ay proporsyonal sa pag-aalis ng katawan mula sa posisyon ng ekwilibriyo at nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran ng displacement.
F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .
Sinasabi ng ratio na ang ω ay ang dalas ng harmonic oscillation. Ang ari-arian na ito ay tipikal para sa isang nababanat na puwersa sa loob ng pagkakalapat ng batas ni Hooke:
F y p p \u003d - k x.
Kahulugan 2
Ang mga puwersa ng anumang kalikasan na nakakatugon sa kondisyon ay tinatawag parang nababanat.
Iyon ay, isang load na may mass m, na nakakabit sa isang spring ng stiffness k na may isang nakapirming dulo, na ipinapakita sa Figure 2. 2. 1 ay bumubuo ng isang sistemang may kakayahang magsagawa ng mga harmonic free oscillations sa kawalan ng friction force.
Kahulugan 3
Ang isang bigat na inilagay sa isang spring ay tinatawag na isang linear harmonic oscillator.
Larawan 2 . 2 . 1 . Panginginig ng boses ng isang load sa isang spring. Walang friction.
Pabilog na dalas
Ang circular frequency ω 0 ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglalapat ng formula ng pangalawang batas ni Newton:
m a = - k x = m ω 0 2 x .
Kaya makuha namin:
Kahulugan 4
Tinatawag ang frequency ω 0 natural na dalas ng oscillatory system.
Ang pagpapasiya ng panahon ng harmonic oscillations ng load sa spring T ay matatagpuan mula sa formula:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
Ang pahalang na pag-aayos ng spring-load system, ang puwersa ng grabidad ay binabayaran ng puwersa ng reaksyon ng suporta. Kapag ang isang load ay nasuspinde sa isang spring, ang direksyon ng gravity ay sumusunod sa linya ng paggalaw ng load. Ang posisyon ng balanse ng isang nakaunat na spring ay:
x 0 = m g k , habang ang mga oscillation ay ginagawa sa paligid ng isang bagong equilibrium na estado. Ang mga formula para sa natural na frequency ω 0 at ang oscillation period T sa mga expression sa itaas ay wasto.
Kahulugan 5
Sa umiiral na koneksyon sa matematika sa pagitan ng acceleration ng body a at ng coordinate x, ang pag-uugali ng oscillatory system ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang mahigpit na paglalarawan: ang acceleration ay ang pangalawang derivative ng coordinate ng body x na may paggalang sa oras t:
Ang paglalarawan ng pangalawang batas ni Newton na may bigat sa isang bukal ay isusulat bilang:
m a - m x = - k x , o x ¨ + ω 0 2 x = 0 , kung saan ang libreng frequency ω 0 2 = k m .
Kung ang mga pisikal na sistema ay nakasalalay sa pormula x ¨ + ω 0 2 x = 0 , kung gayon sila ay makakagawa ng mga libreng oscillatory harmonic na galaw na may iba't ibang amplitude. Posible ito dahil inilapat ang x = x m cos (ω t + φ 0).
Kahulugan 6Tinatawag ang isang equation ng anyong x ¨ + ω 0 2 x = 0 libreng oscillation equation. Ang kanilang mga pisikal na katangian ay maaari lamang matukoy ang kanilang sariling dalas ng oscillation ω 0 o period T.
Ang amplitude x m at ang inisyal na yugto φ 0 ay matatagpuan gamit ang isang pamamaraan na naglabas sa kanila mula sa estado ng balanse ng unang sandali ng oras.
Halimbawa 1
Sa pagkakaroon ng isang displaced load mula sa posisyon ng balanse sa isang distansya ∆ l at isang sandali ng oras na katumbas ng t = 0, ito ay ibinaba nang walang paunang bilis. Pagkatapos x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Kung ang load ay nasa posisyon ng equilibrium, kung gayon ang paunang bilis ± υ 0 ay ipinadala sa panahon ng pagtulak, kaya x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.
Ang amplitude x m na may paunang yugto φ 0 ay tinutukoy ng pagkakaroon ng mga paunang kondisyon.
Figure 2. 2. 2. Modelo ng mga libreng vibrations ng isang load sa isang spring.
Ang mga mekanikal na oscillatory system ay nakikilala sa pamamagitan ng pagkakaroon ng nababanat na mga puwersa ng pagpapapangit sa bawat isa sa kanila. Figure 2. 2. Ang 2 ay nagpapakita ng angular na katapat ng isang harmonic oscillator oscillating torsional. Ang disk ay matatagpuan nang pahalang at nakabitin sa isang nababanat na sinulid na naayos sa gitna ng masa nito. Kung ito ay pinaikot sa isang anggulo θ, pagkatapos ay mayroong isang sandali ng elastic torsion force M y p r:
M y p p \u003d - x θ.
Ang expression na ito ay hindi tumutugma sa batas ni Hooke para sa torsion deformation. Ang halaga ng x ay katulad ng k ng higpit ng spring. Ang talaan ng ikalawang batas ni Newton para sa rotational motion ng disk ay nasa anyo
I ε = M y p p = - x θ o I θ ¨ = - x θ , kung saan ang moment of inertia ay tinutukoy ng I = I C , at ang ε ay ang angular acceleration.
Katulad ng formula ng isang spring pendulum:
ω 0 = x I , T = 2 π I x .
Ang paggamit ng torsion pendulum ay makikita sa mga mekanikal na orasan. Ito ay tinatawag na isang balancer, kung saan ang paglikha ng isang sandali ng nababanat na pwersa ay isinasagawa gamit ang isang helical spring.
Figure 2. 2. 3 . Umiikot na palawit.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter