Revolūcijas ķermeņa dinamikas pamatvienādojums. Stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamika (2) - Lekcija. Lenijs pa dipola asi
Darbs ķermeņa rotācijas laikā notiek, lai palielinātu tā kinētisko enerģiju. Jo tad vai .
Ņemot to vērā, mēs iegūstam. Tāpēc spēka moments
iedarbošanās uz ķermeni ir vienāda ar ķermeņa inerces momenta un leņķiskā paātrinājuma reizinājumu. Ja rotācijas ass sakrīt ar brīvo asi (sk. 7.7.), tad pastāv vektora vienādība
Šī vienlīdzība ir cieta ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums par fiksēto asi.
Piemērs 4.5.1. Tievs garuma un masas stienis griežas ap fiksētu asi ar leņķisko paātrinājumu. Rotācijas ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā vidu. Nosakiet spēka momentu, kas iedarbojas uz stieni.
|
Saskaņā ar rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu griezes moments ir saistīts ar leņķisko paātrinājumu ar šādu sakarību: ; kur ir stieņa inerces moments ap griešanās asi. Jo rotācijas ass iet caur stieņa masas centru, tad .
Tāpēc spēka moments, kas iedarbojas uz stieni, ir .
Atbilde : .
Piemērs 4.5.2. Vārpsta cieta cilindra formā ir uzstādīta uz horizontālas ass ar masu. Ap cilindru ir apvīta nestiepjama aukla, kuras brīvajā galā tiek piekārts masas svars. Ar kādu paātrinājumu svars kritīsies, ja to atstās pie sevis?
|
Veidosim zīmējumu (4.5.1. att.). Slodze samazinās ar paātrinājumu. To ietekmē gravitācijas spēki un auklas spriegums. Vārpsta griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar leņķisko paātrinājumu. Smaguma spēks iedarbojas uz vārpstu, reakcijas spēks no ass, uz kuras balstās vārpsta, un reakcijas spēks no auklas sāniem. Griezes moments tiek radīts tikai ar spēku, jo. spēku darbības līnija uniet cauri rotācijas asij (šo spēku roka ir vienāda ar 0).
Slodzes translācijas kustības dinamikas pamatvienādojumam ir šāda forma:
. Projicēts uz Oy asi: .
Vārpstas rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumam ir šāda forma: .
Ja spēks, kas iedarbojas uz ķermeni, rada momentu, kas veicina griešanos noteiktā virzienā, tad tā moments tiek uzskatīts par pozitīvu (spēka momenta vektora virziens sakrīt ar leņķiskā paātrinājuma virzienu), ja traucē, moments tiek uzskatīts par negatīvu (virzieni un ir pretēji). Tāpēc skalārā formā (projekcijā uz leņķiskā paātrinājuma virzienu) rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums būs šādā formā: .
Ņemot vērā, ka rotācijas ass iet caur cilindriskās vārpstas masas centru perpendikulāri tās pamatnes plaknei, kur ir cilindra pamatnes rādiuss un griezes moments (spēka plecs ir vienāds ar pamatnes rādiusu no cilindra), tad.
Saskaņā ar Ņūtona trešo likumu (aukla ir nestiepjama), tāpēc . To punktu tangenciālais paātrinājums, kas atrodas uz vārpstas loka, ir saistīts ar tā leņķisko paātrinājumu ar attiecību: . Jebkurš auklas punkts, uz kura ir piekārta slodze, pārvietojas ar tādu pašu paātrinājumu. Tāpēc, no kurienes. Aizvietojot vienādojumā (1), mēs iegūstam: un.
Atbilde:.
Piemērs 4.5.3. Plāns elastīgs pavediens tiek izmests caur bloku diska formā ar masu, kura galos tiek piekārti masu atsvari. Ar kādu paātrinājumu slodzes kustēsies, ja tās atstās sev? Ignorēt berzi.
Lēmums:
Veidosim zīmējumu (4.5.2. att.). Pirmais svars pakāpeniski virzīsies uz augšu ar paātrinājumu, otrais nokritīsies ar tādu pašu paātrinājumu. Slodžu translācijas kustības vienādojumiem vektora formā ir forma .
Projicēts uz ass virzienu:
, kur.
Saskaņā ar rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu. Masām kustoties, disks ātri griežas pulksteņrādītāja virzienā, tāpēc spēks veicina griešanos, bet spēks kavē griešanos. Tāpēc skalārā formā (projekcijā uz leņķiskā paātrinājuma virzienu), kopš spēku plecs ir vienāds ar diska rādiusu.
Ņemot vērā, ka diska inerces moments un slodžu lineārais paātrinājums ir vienāds ar
diska loka punktu tangenciālais paātrinājums, kas saistīts ar leņķisko paātrinājumu
valkājot , tad , no kurienes .. Skalārā formā (projicēts leņķiskā paātrinājuma virzienā)
Atbilde: .
Vispirms aplūkosim materiālu punktu A ar masu m, kas virzās pa apli ar rādiusu r (1.16. att.). Ļaujiet tai iedarboties nemainīgam spēkam F, kas vērsts tangenciāli uz apli. Saskaņā ar Ņūtona otro likumu šis spēks izraisa tangenciālu paātrinājumu jeb F = m a τ .
Izmantojot koeficientu aτ = βr , iegūstam F = m βr.
Sareizināsim abas iepriekš uzrakstītās vienādības puses ar r.
Fr = m βr 2 . (3.13)
Izteiksmes (3.13) kreisā puse ir spēka moments: М= Fr. Labā puse ir leņķiskā paātrinājuma β reizinājums ar materiāla punkta A inerces momentu: J= m r 2 .
Punkta leņķiskais paātrinājums tā rotācijas laikā ap fiksētu asi ir proporcionāls griezes momentam un apgriezti proporcionāls inerces momentam(materiāla punkta rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums ):
M = β J vai
(3.14)
Ar nemainīgu griezes spēka griezes momentu leņķiskais paātrinājums būs nemainīga vērtība, un to var izteikt ar leņķisko ātrumu starpību:
(3.15)
Tad rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu var uzrakstīt kā
vai
(3.16)
[
- impulsa moments (vai impulsa moments), MΔt - spēku impulsa moments (vai griezes momenta moments)].
Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu var uzrakstīt kā
(3.17)
§ 3.4. Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums
Apsveriet biežu rotācijas kustības gadījumu, kad ārējo spēku kopējais moments ir vienāds ar nulli. Ķermeņa rotācijas kustības laikā katra tā daļiņa pārvietojas ar lineāro ātrumu υ = ωr, .
Rotējoša ķermeņa leņķiskais impulss ir vienāds ar momentu summu
tās atsevišķo daļiņu impulsi:
(3.18)
Impulsa momenta izmaiņas ir vienādas ar spēku momenta impulsu:
dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3,19)
Ja visu ārējo spēku, kas iedarbojas uz ķermeņa sistēmu, kopējais moments attiecībā pret patvaļīgu fiksētu asi ir vienāds ar nulli, t.i. M=0, tad dL un sistēmas ķermeņu leņķiskā impulsa vektora summa laika gaitā nemainās.
Izolētas sistēmas visu ķermeņu leņķiskā impulsa summa paliek nemainīga (leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ):
d(Jω)=0 Jω=konst. (3.20)
Saskaņā ar leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu mēs varam rakstīt
J 1ω 1 = J 2ω 2 (3,21)
kur J 1 un ω 1 - inerces moments un leņķiskais ātrums sākotnējā laika momentā, un J 2 un ω 2 - laikā t.
No leņķiskā impulsa saglabāšanās likuma izriet, ka pie M=0 sistēmas griešanās procesā ap asi jebkuras izmaiņas attālumā no ķermeņiem līdz rotācijas asij ir jāpavada ar kustības ātruma izmaiņām. to rotācija ap šo asi. Palielinoties attālumam, griešanās ātrums samazinās, attālumam samazinoties, palielinās. Piemēram, vingrotājs, kurš izpilda salto, lai paspētu veikt vairākus pagriezienus gaisā, lēciena laikā saritinās. Balerīna vai daiļslidotāja, riņķojot piruetē, izpleš rokas, ja vēlas palēnināt griešanos, un, gluži pretēji, piespiež tās pie ķermeņa, kad viņa cenšas griezties pēc iespējas ātrāk.
Stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamika.
Inerces moments.
Spēka mirklis. Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums.
impulsa moments.
Inerces moments.
(Apsveriet eksperimentu ar rites cilindriem.)
Apsverot rotācijas kustību, ir jāievieš jauni fizikālie jēdzieni: inerces moments, spēka moments, impulsa moments.
Inerces moments ir ķermeņa inerces mērs ķermeņa rotācijas laikā ap fiksētu asi.
Inerces moments materiāla punkta vērtība attiecībā pret fiksētu griešanās asi ir vienāda ar tā masas reizinājumu ar attāluma kvadrātu līdz apskatāmajai rotācijas asij (1. att.):
Atkarīgs tikai no materiāla punkta masas un tā stāvokļa attiecībā pret griešanās asi un nav atkarīgs no pašas rotācijas klātbūtnes.
Inerces moments - skalārais un aditīvais daudzums
Ķermeņa inerces moments ir vienāds ar visu tā punktu inerces momentu summu
.
Nepārtraukta masas sadalījuma gadījumā šī summa tiek samazināta līdz integrālim:
,
kur ir neliela ķermeņa tilpuma masa, ir ķermeņa blīvums, ir attālums no elementa līdz rotācijas asij.
Inerces moments ir analogs masai rotācijas kustībā. Jo lielāks ir ķermeņa inerces moments, jo grūtāk ir mainīt rotējošā ķermeņa leņķisko ātrumu. Inerces momentam ir nozīme tikai noteiktā rotācijas ass pozīcijā.
Ir bezjēdzīgi runāt vienkārši par "inerces momentu". Tas ir atkarīgs no:
1) no rotācijas ass stāvokļa;
2) par ķermeņa masas sadalījumu attiecībā pret rotācijas asi, t.i. par ķermeņa formu un izmēru.
Eksperimentāls pierādījums tam ir pieredze ar rites cilindriem.
Pēc dažu viendabīgu ķermeņu integrēšanas mēs varam iegūt šādas formulas (rotācijas ass iet caur ķermeņa masas centru):
Stīpas (mēs neņemam vērā sienas biezumu) vai doba cilindra inerces moments:
Diska vai cieta cilindra ar rādiusu R inerces moments:
Bumbiņas inerces moments
Stieņa inerces moments
E Ja ķermenim ir zināms inerces moments ap asi, kas iet caur masas centru, tad inerces momentu ap jebkuru asi, kas ir paralēla pirmajai, nosaka ar Šteinera teorēma: ķermeņa inerces moments ap patvaļīgu asi ir vienāds ar inerces momentu J 0 ap asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa masas centru, ko pievieno ķermeņa masas reizinājumam ar kvadrāts no attāluma starp asīm.
kur d attālums no masas centra līdz rotācijas asij.
Masas centrs ir iedomāts punkts, kura novietojums raksturo dotā ķermeņa masas sadalījumu. Ķermeņa masas centrs pārvietojas tāpat kā materiāls punkts ar tādu pašu masu, iedarbojoties uz visiem ārējiem spēkiem, kas iedarbojas uz šo ķermeni.
Inerces momenta jēdzienu mehānikā ieviesa krievu zinātnieks L. Eilers 18. gadsimta vidū, un kopš tā laika tas ir plaši izmantots daudzu stingrās ķermeņa dinamikas problēmu risināšanā. Inerces momenta vērtība ir jāzina praksē, aprēķinot dažādus rotējošus mezglus un sistēmas (spararatus, turbīnas, elektromotoru rotorus, žiroskopus). Inerces moments ir iekļauts ķermeņa (kuģa, lidmašīnas, šāviņa u.c.) kustības vienādojumos. To nosaka, kad viņi vēlas uzzināt rotācijas kustības parametrus lidmašīna ap masas centru ārēja traucējuma (vēja brāzma utt.) iedarbībā. Mainīgas masas ķermeņiem (raķetēm) masa un inerces moments laika gaitā mainās.
2 .Spēka mirklis.
Viens un tas pats spēks rotējošam ķermenim var piešķirt dažādus leņķiskos paātrinājumus atkarībā no tā virziena un pielietojuma punkta. Lai raksturotu spēka rotācijas darbību, tiek ieviests spēka momenta jēdziens.
Izšķir spēka momentu attiecībā pret fiksētu punktu un attiecībā pret fiksētu asi. Spēka moments attiecībā pret punktu O (polu) ir vektora lielums, kas vienāds ar rādiusa vektora vektora reizinājumu, kas ar spēka vektoru novilkts no punkta O līdz spēka pielikšanas punktam:
Ilustrējot šo definīciju, att. 3 tiek veikts, pieņemot, ka punkts O un vektors atrodas zīmējuma plaknē, tad vektors arī atrodas šajā plaknē, un vektors uz to un ir vērsts prom no mums (kā vektora reizinājums no 2 vektori; saskaņā ar labās malas likuma).
Spēka momenta modulis ir skaitliski vienāds ar spēka un rokas reizinājumu:
kur ir spēka plecs attiecībā pret punktu O, ir leņķis starp virzieniem un, .
Plecs - īsākais attālums no griešanās centra līdz spēka darbības līnijai.
Spēka momenta vektors ir vērsts kopā ar labās karkasa translācijas kustību, ja tā rokturis ir pagriezts spēka rotācijas darbības virzienā. Spēka moments ir aksiāls (brīvs) vektors, tas ir vērsts pa griešanās asi, nav saistīts ar noteiktu darbības līniju, to var pārnest uz
telpa, kas ir paralēla pati sev.
Spēka moments attiecībā pret fiksēto asi Z ir vektora projekcija uz šo asi (kas iet caur punktu O).
E Ja uz ķermeni iedarbojas vairāki spēki, tad iegūtais spēku moments ap fiksēto asi Z ir vienāds ar visu uz ķermeni iedarbojošo spēku momentu ap šo asi algebrisko summu.
Ja ķermenim pieliktais spēks neatrodas rotācijas plaknē, to var sadalīt 2 komponentos: guļus griešanās plaknē un tai F n . Kā redzams no 4. attēla, F n nerada rotāciju, bet tikai noved pie ķermeņa deformācijas; ķermeņa rotācija notiek tikai komponenta F dēļ.
Rotējošu ķermeni var attēlot kā materiālu punktu kopumu.
AT mēs izvēlamies kādu punktu patvaļīgi ar masu m i, uz kuru iedarbojas spēks, piešķirot punktam paātrinājumu (5. att.). Tā kā tikai tangenciālais komponents rada rotāciju, tas ir vērsts perpendikulāri rotācijas asij, lai vienkāršotu izvadi.
Šajā gadījumā
Saskaņā ar otro Ņūtona likumu: . Reiziniet abas vienādojuma puses ar r i ;
,
kur ir spēka moments, kas iedarbojas uz materiālu punktu,
Materiāla punkta inerces moments.
Līdz ar to,.
Visam ķermenim: ,
tie. ķermeņa leņķiskais paātrinājums ir tieši proporcionāls uz to iedarbojošo ārējo spēku momentam un apgriezti proporcionāls tā inerces momentam. Vienādojums
(1) ir stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas vienādojums attiecībā pret fiksētu asi jeb Ņūtona otrais rotācijas kustības likums.
3 . impulsa moments.
Salīdzinot rotācijas un translācijas kustības likumus, ir redzama analoģija.
Impulsa analogs ir leņķiskais impulss. Leņķiskā impulsa jēdzienu var ieviest arī attiecībā pret fiksētu punktu un attiecībā pret fiksētu asi, bet vairumā gadījumu to var definēt šādi. Ja materiāla punkts griežas ap fiksētu asi, tad tā leņķiskais impulss attiecībā pret šo asi absolūtā vērtībā ir vienāds ar
kur m i- materiāla punkta masa,
es - viņa līnijas ātrums
r i- attālums līdz rotācijas asij.
Jo rotācijas kustībai
kur ir materiālā punkta inerces moments ap šo asi.
Stingra ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu asi ir vienāds ar visu tā punktu leņķiskā impulsa summu attiecībā pret šo asi:
G de ir ķermeņa inerces moments.
Tādējādi stingra ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu griešanās asi ir vienāds ar tā inerces momenta reizinājumu attiecībā pret šo asi ar leņķisko ātrumu un ir vērsts kopā ar leņķiskā ātruma vektoru.
Atšķirsim vienādojumu (2) attiecībā pret laiku:
(3) vienādojums ir cita stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojuma forma attiecībā pret fiksētu asi: momenta atvasinājums.
stingra ķermeņa impulss ap fiksētu griešanās asi ir vienāds ar ārējo spēku momentu ap to pašu asi
Šis vienādojums ir viens no svarīgākajiem raķešu dinamikas vienādojumiem. Raķetes kustības procesā nepārtraukti mainās tās masas centra pozīcija, kā rezultātā rodas dažādi spēku momenti: pretestība, aerodinamiskais spēks, lifta radītie spēki. Raķetes rotācijas kustības vienādojums visu tai pielikto spēku momentu iedarbībā kopā ar raķetes masas centra kustības vienādojumiem un kinemātikas vienādojumiem ar zināmiem sākuma apstākļiem ļauj noteikt raķetes atrašanās vieta kosmosā jebkurā laikā.
Atgādiniet to elementārs darbsdAspēksFsauc par spēka skalāro reizinājumuFbezgalīgi mazam pārvietojumamdl:kur ir leņķis starp spēka virzienu un kustības virzienu.
Ņemiet vērā, ka parastā spēka sastāvdaļa F n(pretstatā tangenciālajam F τ ) un atbalsta reakcijas spēku N darbs netiek veikts, jo tie ir perpendikulāri kustības virzienam.
Elements dl=rd pie maziem griešanās leņķiem d (r ir ķermeņa elementa rādiusa vektors). Tad šī spēka darbs tiek uzrakstīts šādi:
. (19)
Izteiksme Fr cos ir spēka moments (spēka F un pleca reizinājums p=r cos):
(20)
Tad darbs ir
. (21)
Šis darbs tiek veikts, lai mainītu rotācijas kinētisko enerģiju:
. (22)
Ja I=const, tad pēc labās puses diferencēšanas iegūstam:
vai kopš
, (23)
kur
- leņķiskais paātrinājums.
Izteiksme (23) ir stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas vienādojums attiecībā pret fiksētu asi, ko no cēloņu un seku attiecību viedokļa labāk attēlot kā:
. (24)
Ķermeņa leņķisko paātrinājumu nosaka ārējo spēku momentu algebriskā summa ap griešanās asi, kas dalīta ar ķermeņa inerces momentu ap šo asi.
Salīdzināsim galvenos lielumus un vienādojumus, kas nosaka ķermeņa griešanos ap fiksētu asi un tā translācijas kustību (skat. 1. tabulu):
1. tabula
translācijas kustība |
rotācijas kustība |
Inerces moments I |
|
Ātrums |
Leņķiskais ātrums |
Paātrinājums |
Leņķiskais paātrinājums |
Spēks |
Spēka mirklis |
Dinamikas pamatvienādojums: |
Dinamikas pamatvienādojums: |
Darbs |
Darbs |
Kinētiskā enerģija |
Kinētiskā enerģija |
Stingra ķermeņa translācijas kustības dinamiku pilnībā nosaka spēks un masa kā to inerces mērs. Stingra ķermeņa rotācijas kustības laikā kustības dinamiku nosaka nevis spēks kā tāds, bet gan tā moments, inerci veido nevis masa, bet gan tās sadalījums attiecībā pret griešanās asi. Ķermenis neiegūst leņķisko paātrinājumu, ja tiek pielikts spēks, bet tā moments būs nulle.
Darba veikšanas metodika
Laboratorijas uzstādīšanas shematiskā diagramma ir parādīta 6. attēlā. Tas sastāv no diska ar masu m d , četriem uz tā piestiprinātiem stieņiem ar masu m 2 un četriem m 1 masas atsvariem, kas atrodas simetriski uz stieņiem. Ap disku tiek uztīts pavediens, no kura tiek piekārts atsvars m.
Saskaņā ar otro Ņūtona likumu mēs sastādām slodzes m translācijas kustības vienādojumu, neņemot vērā berzes spēkus:
(25)
vai skalārā formā, t.i. kustības virziena projekcijās:
. (26)
, (27)
kur T ir vītnes stiepes spēks. Saskaņā ar rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu (24) spēka moments T, kura ietekmē ķermeņu sistēma m d , m 1, m 2 veic rotācijas kustību, ir vienāds ar momenta reizinājumu. šīs sistēmas inerce I un tās leņķiskais paātrinājums :
vai
, (28)
kur R ir šī spēka plecs, kas vienāds ar diska rādiusu.
Izteiksim vītnes stiepes spēku no (28):
(29)
un pielīdziniet (27) un (29) labās puses:
. (30)
Lineārais paātrinājums ir saistīts ar sekojošo leņķisko attiecību a=R, tāpēc:
. (31)
No kurienes slodzes paātrinājums m, neņemot vērā berzes spēkus blokā, ir:
. (32)
Apsveriet sistēmas kustības dinamiku, ņemot vērā berzes spēkus, kas darbojas sistēmā. Tie rodas starp stieni, uz kura ir piestiprināts disks, un instalācijas fiksēto daļu (gultņu iekšpusē), kā arī starp instalācijas kustīgo daļu un gaisu. Mēs ņemsim vērā visus šos berzes spēkus, izmantojot berzes spēku momentu.
Ar apsveršanu berzes moments rotācijas dinamikas vienādojums ir uzrakstīts šādi:
, (33)
kur a' ir lineārais paātrinājums berzes spēku iedarbībā, Mtr ir berzes spēku moments.
Atņemot vienādojumu (33) no vienādojuma (28), mēs iegūstam:
,
. (34)
Paātrinājumu, neņemot vērā berzes spēku (a), var aprēķināt, izmantojot formulu (32). Svara paātrinājumu, ņemot vērā berzes spēkus, var aprēķināt pēc vienmērīgi paātrinātas kustības formulas, mērot nobraukto attālumu S un laiku t:
. (35)
Zinot paātrinājumu vērtības (a un a’), berzes spēku momenta noteikšanai var izmantot formulu (34). Aprēķiniem ir jāzina rotējošo ķermeņu sistēmas inerces momenta vērtība, kas būs vienāda ar diska, stieņu un slodžu inerces momentu summu.
Diska inerces moments saskaņā ar (14) ir vienāds ar:
. (36)
Katra stieņa (6. att.) inerces moments attiecībā pret O asi saskaņā ar (16) un Šteinera teorēmu ir:
kur a c =l/2+R, R ir attālums no stieņa masas centra līdz rotācijas asij О; l ir stieņa garums; I oc - tā inerces moments ap asi, kas iet caur masas centru.
Līdzīgi aprēķina slodžu inerces momentus:
, (38)
kur h ir attālums no kravas masas centra līdz rotācijas asij O; d ir kravas garums; I 0 r ir slodzes inerces moments ap asi, kas iet caur tās masas centru. Saskaitot visu ķermeņu inerces momentus, iegūstam formulu visas sistēmas inerces momenta aprēķināšanai.
Biļete 1.
Gaismas vilnis. Gaismas viļņu traucējumi.
Gaisma – fiziskajā optikā cilvēka acs uztvertais elektromagnētiskais starojums. Kā gaismas aizņemtā spektra diapazona īsviļņu robeža tiek ņemta sadaļa ar viļņu garumu vakuumā 380-400 nm (750-790 THz), bet garo viļņu robeža - 760-780 nm ( 385-395 THz). Plašā nozīmē, ko izmanto ārpus fiziskās optikas, ko bieži sauc par gaismu
|
Biļete 2
Biļetes numurs 3
1. Rotācijas kustības kinemātika. Sakarība starp vektoriem v un ω.
Absolūti stingra ķermeņa rotācijas kustība ap fiksētu asi ir tā kustība, kurā visi ķermeņa punkti pārvietojas plaknēs, kas ir perpendikulāras fiksētai taisnei, ko sauc par rotācijas asi, un apraksta apļus, kuru centri atrodas uz šīs ass. Rotācijas leņķiskais ātrums ir vektors, kas skaitliski vienāds ar ķermeņa griešanās leņķa pirmo atvasinājumu attiecībā pret laiku un ir vērsts pa griešanās asi saskaņā ar labās skrūves noteikumu:
Leņķiskā ātruma mērvienība ir radiāni sekundē (rad/s).
Tātad vektors ω
nosaka griešanās virzienu un ātrumu. Ja ω=konst, tad rotāciju sauc par vienmērīgu.
Leņķisko ātrumu var saistīt ar lineāro ātrumu υ
patvaļīgs punkts BET. Ļaujiet uz laiku Δt punkts iet pa apļa ceļa garuma loku Δs. Tad punkta lineārais ātrums būs vienāds ar:
/////////////
Ar vienmērīgu rotāciju to var raksturot ar rotācijas periodu T- laiks, kurā ķermeņa punkts veic vienu pilnīgu apgriezienu, t.i. griežas leņķī 2π:
/////////////////
Pilnu apgriezienu skaitu, ko ķermenis veic vienmērīgas kustības laikā pa apli laika vienībā, sauc par griešanās frekvenci:
….....................
Kur
Lai raksturotu ķermeņa nevienmērīgo rotāciju, tiek ieviests leņķiskā paātrinājuma jēdziens. Leņķiskais paātrinājums ir vektora lielums, kas vienāds ar pirmo leņķiskā ātruma atvasinājumu attiecībā pret laiku:
////////////////////////(1.20)
Izteiksim punkta paātrinājuma tangenciālās un normālās sastāvdaļas A rotējošs ķermenis leņķiskā ātruma un leņķiskā paātrinājuma izteiksmē:
////////////////(1.21)
/////////////////(1.22)
Vienmērīgi mainīgas punkta kustības gadījumā pa apli ( ε=konst):
////////////////////////////
Kur ω0
- sākotnējais leņķiskais ātrums.Stingra ķermeņa translācijas un rotācijas kustības ir tikai vienkāršākie tā kustības veidi. Kopumā stingra ķermeņa kustība var būt diezgan sarežģīta. Tomēr iekšā teorētiskā mehānika ir pierādīts, ka jebkura stingra ķermeņa sarežģīta kustība var tikt attēlota kā translācijas un rotācijas kustību kombinācija.
Translācijas un rotācijas kustību kinemātiskie vienādojumi ir apkopoti tabulā. 1.1 .
1.1. tabula
2. Maksvela vienādojumi. 06
Pirmo Maksvela vienādojumu pāri veido
Pirmais no šiem vienādojumiem saista E vērtības ar vektora B laika izmaiņām un būtībā ir elektromagnētiskās indukcijas likuma izpausme. Otrais vienādojums atspoguļo vektora B īpašību, ka tā līnijas ir aizvērtas (vai iet uz bezgalību)
//////////
Biļetes numurs 4
Biļetes numurs 5
Darbs. Jauda.
Darbs ir skalāra vērtība, kas vienāda ar spēka projekcijas reizinājumu kustības virzienam un ceļam s, pagājis garām spēka pielikšanas punktam A fs cos (1.53) Ja spēks un kustības virziens veido asu leņķi (cosα>0), darbs ir pozitīvs. Ja leņķis α ir neass (cosα<0),работа отрицательна. При α = π/2 работаравна нулю
Divu vektoru skalārā reizinājums ir: AB AB cos Izteiksmi darbam (1.54) var uzrakstīt kā skalāru reizinājumu
Kur Δs nozīmē elementāro nobīdes vektoru, ko mēs iepriekš apzīmējām ar Δr. sv t /////////////
Jauda W ir vērtība, kas vienāda ar darba attiecību ΔA uz laika sprīdi Δt kam tas tiek veikts: ///////////////////////
Ja darbs laika gaitā mainās, tad tiek ievadīta momentānās jaudas vērtība: ///////////
Biļetes numurs 6
Maksvela vienādojumi.
2. Freneļa difrakcija no vienkāršākajiem šķēršļiem.
Biļetes numurs 7
Biļetes numurs 8
Biļetes numurs 9
Līdzsvara stāvoklī
spēku mg līdzsvarots ar elastīgo spēku kΔ l0:
mg kl 0 (1.129)
0 f mg k(l x)
f kx(1.130)
Šāda veida spēki tiek pieņemti
sauc par kvazielastīgo
Svārstību amplitūda.
Vērtība iekavās zem zīmes
Svārstību sākuma fāze.
laika intervāls T, kura laikā fāze
svārstības saņem pieaugumu, kas vienāds ar 2π
cikliskā frekvence.
0 2 (1,139)
Enerģijas harmonika
svārstības
Diferencēšana (1,135) attiecībā uz laiku,
Tāds pats kā vidēji
vērtību Ep un vienāds E/ 2.
Strāvas indukcija.
Tiek noteikts indukcijas strāvas lielums
tikai Φ izmaiņu ātrums, t.i., vērtība
atvasinājums dΦ/ d t. Mainot zīmi
Pašreizējais.
Elektromagnētiskā parādība
Indukcija.
Lenca likums nosaka, ka inducētā strāva vienmēr ir
Tā izaicinoša.
Biļetes numurs 10
Nulle
Sadalot šo izteiksmi L un aizstājot ar
(2.188);
Aizstājot ω0 ar formulu (2.188), iegūstam
Brīvi slāpēts
Svārstības.
Svārstību vienādojumu var iegūt no tā, ka
izskatās kā:
kur….
aizstājot vērtību (2,188) ar ω0 un (2,196) ar β,
Mēs to atrodam
Dalot (2,198) ar ietilpību Ar, mēs iegūstam spriegumu
uz kondensatora:
Biļetes numurs 12
Lorenca spēks ir
Tādējādi kustība
Apļa rādiuss
kas rotē
Definēts pēc formulas
(2.184) ar izmaiņām v uz v = v
Spirālveida solis l Var būt atrasts
reizinot v║ līdz noteiktajam
Formulas (2.185) periods
pārsūdzības T:
…............
2. Polarizācija pie dubultlaušanas. Divkāršā laušana - gaismas stara sadalīšanas efekts divās komponentēs anizotropā vidē. Pirmo reizi to atklāja dāņu zinātnieks Rasmuss Bartolīns uz Islandes špaga kristāla. Ja gaismas stars krīt perpendikulāri kristāla virsmai, tad uz šīs virsmas tas sadalās divos staros. Pirmais stars turpina izplatīties taisni, un to sauc par parasto ( o- parasts), otrais novirzās uz sāniem un tiek saukts par neparastu ( e- ārkārtējs). Ārkārtas staru kūļa elektriskā lauka vektora svārstību virziens atrodas galvenās sekcijas plaknē (plakne, kas iet caur staru kūli un kristāla optisko asi). Kristāla optiskā ass ir virziens optiski anizotropā kristālā, pa kuru izplatās gaismas stars, nepiedzīvojot divkāršu lūzumu.
Gaismas laušanas likuma pārkāpums ar ārkārtēju staru ir saistīts ar faktu, ka gaismas izplatīšanās ātrums (un līdz ar to arī viļņu laušanas koeficients) ar tādu polarizāciju kā ārkārtējam staram ir atkarīgs no virziena. Parastajam viļņam izplatīšanās ātrums ir vienāds visos virzienos.
Jūs varat izvēlēties apstākļus, kādos parastie un neparastie stari izplatās pa vienu un to pašu trajektoriju, bet ar atšķirīgu ātrumu. Tad tiek novērota polarizācijas izmaiņu ietekme. Piemēram, lineāri polarizētu gaismu, kas krīt uz plāksnes, var attēlot kā divas sastāvdaļas (parastos un ārkārtējos viļņus), kas pārvietojas ar dažādu ātrumu. Šo divu komponentu ātruma atšķirības dēļ pie izejas no kristāla starp tām būs zināma fāzu atšķirība, un atkarībā no šīs atšķirības gaismai pie izejas būs atšķirīga polarizācija. Ja plāksnes biezums ir tāds, ka pie izejas no tā viens stars atrodas ceturtdaļu viļņa (ceturtdaļa perioda) aiz otra, tad polarizācija pārvērtīsies apļveida (šādu plāksni sauc par ceturtdaļviļņu ), ja viens stars atpaliek no otra par pusviļņu, tad gaisma paliks lineāri polarizēta , bet polarizācijas plakne griezīsies pa noteiktu leņķi, kura vērtība ir atkarīga no leņķa starp krītošā polarizācijas plakni. stars un galvenā sekcijas plakne (šādu plāksni sauc par pusviļņu plāksni).Kvalitatīvi parādību var izskaidrot šādi. No Maksvela vienādojumiem materiālajai videi izriet, ka gaismas fāzes ātrums vidē ir apgriezti proporcionāls vides dielektriskajai konstantei ε. Dažos kristālos caurlaidība - tenzora daudzums - ir atkarīga no elektriskā vektora virziena, tas ir, no viļņa polarizācijas stāvokļa, un tāpēc viļņa fāzes ātrums būs atkarīgs no tā polarizācijas. Saskaņā ar klasisko gaismas teoriju, efekta rašanās ir saistīta ar to, ka mainīgais gaismas elektromagnētiskais lauks izraisa vielas elektronu svārstības, un šīs svārstības ietekmē gaismas izplatīšanos vidē, un dažās vielās tas notiek. ir vieglāk likt elektroniem svārstīties noteiktos virzienos.Mākslīgā divlaušana. Papildus kristāliem divkāršā laušana tiek novērota arī izotropā vidē, kas novietota elektriskā laukā (Kerr efekts), magnētiskajā laukā (Cotton-Mouton efekts, Faradeja efekts), mehānisko spriegumu iedarbībā (fotoelastība). Šo faktoru ietekmē sākotnēji izotropiska vide maina savas īpašības un kļūst anizotropa. Šajos gadījumos vides optiskā ass sakrīt ar elektriskā lauka virzienu, magnētisko lauku, spēka pielikšanas virzienu Negatīvie kristāli ir vieniāli kristāli, kuros parasta gaismas kūļa izplatīšanās ātrums ir mazāks par izplatīšanās ātrumu. neparastu staru. Kristalogrāfijā negatīvos kristālus sauc arī par šķidriem ieslēgumiem kristālos, kuriem ir tāda pati forma kā pašam kristālam.Pozitīvie kristāli ir vienpusēji kristāli, kuros parasta gaismas kūļa izplatīšanās ātrums ir lielāks par ārkārtēja stara izplatīšanās ātrumu. .
Biļetes numurs 13
Dipola starojums.06
Sauc par elementāru
Dipola elektriskais
Šādas sistēmas moments ir
p ql cos tn lpp m cos t, (2.228)
kur l- dubultā amplitūda
Lenijs gar dipola asi,
lpp m= ql n
Viļņu fronte tā sauktajā viļņu zonā, t.i.
Atkarība
Viļņa intensitāte no
leņķis θ ir attēlots ar
Diagrammas palīdzība
Virziena dipols
(246. att.).
Enerģija izstarota visos virzienos
starojums.
Biļetes numurs 14
dotais punkts.
negatīvs
dipola ass.
Atrodi spriedzi
Lauka klātbūtne uz ass
dipols, kā arī
Tieša, garāmejoša
Schey caur centru
Dipols un perpen-
Dicular viņam
asis (4. att.).
Punkta pozīcija
Mēs raksturosim
Vat viņu attālums
ēst r no dipo centra
la. Atgādiniet to
r >> l.
Uz dipola ass vektoriem E+ un E– ir pretēji
Tam seko
….........
Biļetes numurs 15
Enerģija
Fizikālo daudzumu raksturojošs
ātrumu un,
otrkārt, atrodot ķermeni iekšā
Potenciālais spēku lauks.
Pirmā veida enerģiju sauc
Vektori v.
Reizinot ar m skaitītājs un saucējs,
vienādojumu (1.65) var pārrakstīt šādi:
Kinētiskā enerģija
…..........
A T2T1(1.67)
Potenciālā enerģija
Ķermeņi, kas veido sistēmu
…...........
Enerģijas nezūdamības likums
E E 2 E 1 A n. k. (1,72)
Sistēmai no Nķermeņi starp kuriem
Spriegojuma līnija.
Sprieguma vektora plūsma
Līniju blīvums ir izvēlēts tā, lai skaitlis
Vektors E.
Punkta lādiņa E līnijas ir
radiālās līnijas.
Tāpēc kopējais rindu skaits N vienāds
Ja vietne dS orientēta tā, lai normāli uz
veido leņķi α ar vektoru E, tad skaitli
Vietnes normāli
skaitliski vienāds ar
…..........
kur Ф izteiksmi sauc par vektora E plūsmu
Tajās vietās, kur vektors E
Tilpums, ko sedz virsma
ness), En un attiecīgi d F
būs negatīvs (10. att.)
Gausa teorēma
Var parādīt, ka, tāpat kā sfēriskai
Biļetes numurs 16
Izmaiņas.
Inerciālās sistēmas
atpakaļskaitīšana
Atsauces sistēma, kurā
Neinerciāls.
Inerciālās sistēmas piemērs
inerciāls
Grupas ātrums ir lielums, kas raksturo "viļņu grupas" izplatīšanās ātrumu - tas ir, vairāk vai mazāk labi lokalizēts kvazi-monohromatisks vilnis (viļņi ar diezgan šauru spektru). Grupas ātrums daudzos svarīgos gadījumos nosaka enerģijas un informācijas pārneses ātrumu ar kvazisinusoidālu vilni (lai gan šis apgalvojums vispārīgā gadījumā prasa nopietnus precizējumus un atrunas).
Grupas ātrumu nosaka dinamika fiziskā sistēma, kurā izplatās vilnis (noteiktas vides, noteikta lauka utt.). Vairumā gadījumu šīs sistēmas linearitāte tiek pieņemta (precīzi vai aptuveni).
Viendimensijas viļņiem grupas ātrumu aprēķina pēc dispersijas likuma:
,
kur - leņķiskā frekvence, - viļņa numurs.
Viļņu grupas ātrumu telpā (piemēram, trīsdimensiju vai divdimensiju) nosaka frekvences gradients gar viļņu vektoru :
Piezīme: grupas ātrums parasti ir atkarīgs no viļņa vektora (viendimensijas gadījumā no viļņa skaitļa), tas ir, vispārīgi runājot, tas ir atšķirīgs dažādām vērtībām un dažādiem viļņa vektora virzieniem.
Biļetes numurs 17
Spēku darbs
….......
…........
…........
mēs to ņēmām vērā
….....
Tādējādi darbam ceļā 1–2 mēs iegūstam
Tāpēc spēki, kas iedarbojas uz lādiņu q" iekšā
stacionārais uzlādes lauks q, ir
potenciāls.
kur El ir vektora E projekcija virzienā
elementāra nobīde d l
Ķēdes cirkulācija.
Tādējādi par elektrostatisko
Potenciāls.
Dažādām izmēģinājuma vērtībām q' attieksme
Wp/qpr būs nemainīgs
vedichina φ ─ sauc par lauka potenciālu
elektriskie lauki
No 225 un 226 mēs iegūstam
Ņemot vērā (2.23), iegūstam
….......
Par lādiņa potenciālo enerģiju q' laukā
atšķirtība
No 226. izriet, ka
vides
viendabīga viela
Duļķainas vides piemēri:
- dūmi (sīkas cietas daļiņas gāzē)
- migla (šķidruma pilieni gaisā, gāze)
– šūnu suspensija
– emulsija (dispersa sistēma, kas sastāv no
Citi enerģijas veidi
absorbējošs
….......
…........
….....
Biļetes numurs 18
Ņūtona otrais likums.02
Ķermeņi.
Attiecības starp spriedzi
R virziens ir
Jūs varat rakstīt
Šūpoties pa pieskari uz
virsmas τ pēc vērtības dτ
Potenciāls nemainīsies
ka φ/τ = 0. Bet φ/τ ir vienāds ar
Ciālā virsma būs
spēles virziens
Tas pats punkts.
Biļetes numurs 19
Kondensatori
Kondensatora kapacitāte ir fiziska
daudzums proporcionāls maksai q un atpakaļ
Kondensatoru pieslēgšana
Ar paralēlo savienojumu (50. att.), uz katra no
spriegums
Vāki.
Tāpēc spriegums pāri katram
kondensatori:
Kirhhofa likums.
Biļetes numurs 20
Var piešķirt citu izskatu
…..............
vektora vērtība
p m v (1.44)
Impulsa nezūdamības likums
Sistēmas impulsu p sauc
veidojot sistēmu,
…....................
Sistēmas smaguma centrs.
Inerces centra ātrums ir
diferencējot r ar ieslēgts
laiks:
.................
Atsaucoties uz mi vi ir pi un Σpi dod
sistēmas impulsu p, mēs varam rakstīt
p m v c(1,50)
Tādējādi sistēmas impulss ir
Katrs no iekšējiem spēkiem
Saskaņā ar trešo likumu
Ņūtonu var uzrakstīt f ij
= – f ji
Simbols F i atzīmēts
Rezultātā ārējais
spēki, kas iedarbojas uz ķermeni i
Vienādojums (1.45)
…......
….........
…..........
Rezultātā nulle
P ir nemainīgs
Pastāvīgs
p m v c(1.50)
Uzlādes sistēmas enerģija.02
Apsveriet divu punktu lādiņu sistēmu q 1 un q 2,
atrodas attālumā r 12.
Maksas pārnešanas darbi q 1 no bezgalības līdz punktam,
tālu no q 2 uz r 12 ir vienāds ar:
kur φ 1 - lādiņa radītais potenciāls q 2 tajā
punkts, kur lādiņš pārvietojas q 1
Līdzīgi, par otro maksu mēs saņemam:
…........
Vienāds ar trīs lādiņu enerģiju
…...............
….....................
kur φ1 ir lādiņu radītais potenciāls q 2 un q 3 tajā
vieta, kur atrodas lādiņš q 1 utt.
Sistēmai sērijveidā pievienojot lādiņus
q4, q 5 utt., to var redzēt
lietu N uzlādē potenciālo enerģiju
Sistēma ir vienāda
kur φi vai potenciāls tiek radīts tajā brīdī,
kur ir qi, par visām maksām, izņemot i th.
Biļetes numurs 21
Spēks
Izteiksme (2.147) sakrīt ar (2.104), ja mēs uzstādām
k = 1. Tāpēc SI Ampēra likumam ir forma
df id lB (2,148)
df iB dl grēks (2,149)
Lorenca spēks
Saskaņā ar (2.148) uz vienu strāvas elementu d es strādāju
magnētiskā lauka stiprums
df id lB (2,150)
Nomaiņa id l cauri S j dl[cm. (2.111)], likuma izteiksme
Ampere var piešķirt izskatu
df SdljB jB dV
kur dV ir tā vadītāja tilpums, kuram
spēku d f.
Sadalīšana d f uz dV, iegūstam "spēka blīvumu", t.i.
spēks, kas darbojas uz vadītāja tilpuma vienību:
f vienības v jB (2,151)
Atradīsim to
baro. apmēram ne"uB
Šis spēks ir vienāds ar nesējiem pielikto spēku summu
uz tilpuma vienību. Tādi pārvadātāji n, izmeklētājs
Ir svarīgi atzīmēt, ka likums runā tikai par kopējo izstaroto enerģiju. Enerģijas sadalījumu pa emisijas spektru apraksta Planka formula, saskaņā ar kuru spektram ir viens maksimums, kura atrašanās vietu nosaka Vīna likums.
Vīna nobīdes likums nosaka viļņa garuma, pie kura melnā ķermeņa enerģijas starojuma plūsma sasniedz maksimumu, atkarību no melnā ķermeņa temperatūras. λmax = b/T≈ 0,002898 m K × T–1 (K),
kur T ir temperatūra, un λmax ir viļņa garums ar maksimālo intensitāti. Koeficients b, ko sauc par Vīnes konstanti, SI sistēmā vērtība ir 0,002898 m K.
Gaismas frekvencei (hercos) Vīnes pārvietošanās likums ir:
α ≈ 2,821439… - nemainīga vērtība (vienādojuma sakne ),
k - Bolcmaņa konstante,
h - Planka konstante,
T ir temperatūra (kelvinos).
Biļetes numurs 22
Ņūtona trešais likums.
virziens.
f12 f21 (1,42)
Biļetes numurs 23
Planka formula.
Biļetes numurs 24
Biļetes numurs 25
Džoula-Lenca likums.
Fotoelektrisks efekts.
Biļetes numurs 26
Komptona efekts.
Biļete 1.
Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums.
Šis ir ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums: rotējoša ķermeņa leņķiskais paātrinājums ir tieši proporcionāls visu spēku momentu summai, kas uz to iedarbojas ap ķermeņa rotācijas asi, un ir apgriezti proporcionāls ķermeņa inerces moments ap šo griešanās asi. Iegūtais vienādojums pēc formas ir līdzīgs Ņūtona otrā likuma izteiksmei ķermeņa translācijas kustībai.
Ņūtona otrais rotācijas kustības likums Pēc definīcijas leņķisko paātrinājumu un pēc tam šo vienādojumu var pārrakstīt šādi, ņemot vērā (5.9) vai
Šo izteiksmi sauc par rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu un formulē šādi: stingra ķermeņa leņķiskā impulsa maiņa ir vienāda ar visu ārējo spēku impulsa impulsu, kas iedarbojas uz šo ķermeni.